[r]
(1)đề thi HSG : môn tốn lớp 9 Câu 1: (2đ)
Rót gän biÓu thøc : A = 6 2 3 2 12 18 128 Câu 2: (2đ)
Giải phơng trình : x2 +3x +1 = (x+3) x2 1 Câu 3: (2 đ) Giải hệ phơng tr×nh
2
3
1
x y xy x y x y
Câu 4: (2đ)
Cho PT bËc hai Èn x :
X2 - (m-1) x + m2 - 3m + = 0
c/m : PT cã nghiƯm vµ chØ m Gäi x1 , x2 lµ nghiƯm cđa PT c/m
x x x x1 2 1 2
Câu 6: (2đ) : Cho parabol y =
4x đờn thẳng (d) : y =
2 2x a/ Vẽ (P) (d)trên hệ trục toạ độ
b/ Gọi A,B giao điểm (P) (d) hệ toạ trục toạ độ Oxy Tìm M
AB cđa (P) cho SMAB lín nhÊt
Câu 7: (2đ)
a/ c/m : Với số dơng a
2
2
2
1 1
1
1 1
a a a a
b/ TÝnh S = 12 12 12 12 1 2 2
1 2 2006 2007
Câu ( điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đờng tròn (O,AB) ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠
O ) Tia OM cắt (O) C Gọi D giao điểm thứ hai CA với (O)
a/ Chứng minh tam giác AMD cân
b/ Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E Xác định vị trí tơng đối đơng thẳng EA (O) (O’)
c/ Đờng thẳng AM cắt OD H, đờng tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hng
d/ Tại vị trí M cho ME // AB h·y tÝnh OM theo a
Câu ( điểm ): Cho tam giác có số đo đờng cao số nguyên , bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác
Đáp án.
Câu 1:( điểm):
Rút gän : A= 6 2 3 2 12 18 128
(2)C©u 2: (2điểm)
Phơng trình dạng
( x2 1 3 x2 1 x 0 (0,5®) =>
2
1 x
x x
(0,5®) =>
2
2
1 x
x x
(0,25®)
=> x2 2 (0,75®) Câu 3: ( 2điểm)
Giải hệ phơng trình
2 3
1(1) (2) x y xy
x y x y
Do x2 y2 xy 1
(2) <=> x3 y3 x 3y x y3 xy
(0,5®) <=> 2y x x y2 0
2
2
0 y
x x y
(0,5®)
20 2
2
y
x y y
(0,5®) (x,y) =1,0 ; 1,0 (0,5đ) Câu 4: (2điểm) Tìm giá trị nhỏ A =
2
2006 2007 x
x
2
2
2007 2013 2013
1
2007 2007
x A
x x
(0,5®)
Amin 22013 2007 x Max
2 2007 x
Min
x = (0,75®) VËy A nhá nhÊt = 2013 2006
2007 2007
(0,75®)
Khi x =
Câu 5: (2đ)
Phơng trình : x2 2m 1x 2m2 3m 1 0 * Cã nghiÖm : 'm12 2m2 3m1 0
m2 m 0 m m 1
0
0
0 m m
m m
m
(3)A o ’ k o b e d
c
m
n
h
1 2
2
x x m
x x m m
Q = 2
1 2 2
x x x x m m m m m
2
2 1
2
2 16
m
m m
V× 0 m
4 m -1
4
3 =>
2 m
16 Do Q =
2
9
2
16 m
Câu 6: (2điểm)
a/ V (P) (d) hệ trục toạ độ , xác
b/ HS Xác định đợc phơng trình đờng thẳng (d’) có phơng trình : y =
2x m
(d’) tiÕp xóc víi (P) PT :
4x 2x m Cã nghiÖm kÐp x2 2x 4m 0
Cã nghiÖm kÐp
'
4 m
Hoành độ tiếp điểm x =1 y=1
Do ta có tiếp điểm M( -1 ; 1/4) dễ dàng c/m với vị trí SMAB nhỏ Câu 7 : (2 điểm )
a/ Ta cã:
2
2
1 1 1 1
1
1 1 1
a a a a a a a a
Mµ
1 1 1 1
0
1 1
a a a a a a a a
Do
2
2
1 1
1
1
a a a a
b/ áp dụng c/m câu a ta có :
S = 1 1 1 1
2 2006 2007
S = 2007 2007
Câu 8: (4điểm)
Vẽ hình viết giả thiết : cân đối đẹp (0,5đ) a/ Ta có tam giác OAC cân O
Cã ODAC nªn MOD DOA => MD =AD
Hay tam giác DAM cân D (0,5đ) b/ Ta c/m đợc AOECOE c g c( )
=> EAO ECO 900
(4)Hay EAAB Chøng tá EA lµ tiÕp tuyÕn
(o) (o) (0,5đ)
c/ Giả sử AM cắt (o) N : 2
AOC ANC nên COH CN A ' (0,5đ)
=> CHO N' nội tiếp Do N’ =N hay A, M, N thẳng hàng (0,5đ)
d/ Dựng MKOA EM //AB nên MEOcân M AEMKlà hình chữ nhật (0,5đ) Đặt ME = MO = x
Ta cã MO2 AO2 AM2 AO2 AO AK.
=AO2 AO ME. (0,25®) x2 a2 ax
1 1
x (0,25đ) Câu 9: (2®iĨm)
Gọi x, y, z lần lợt đờng cao ứng với cạnh a,b,c tam giác
Nhận xét : Đờng cao tam giác ln lớn đờng kính đờng trịn nội tiếp tam giác : tức 2< x ; < y ; 2< z (0,25 đ)
Vì x ,y, z z nên x ; y ; z (0,25®) => 1
x yz
1 1
3 3 (1) (0,5®) Mặt khác : 1
xyz
1
a b c a b c ax by cz S ABC r
(2) (0,5®)
Tõ (1) vµ (2) => x = y= z
Hay tam giác ABC (0,5đ)