Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)§Ị Thi häc sinh giái cÊp hun Năm học 2006-2007
Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phỳt
Bài 1: (2 Điểm)
Cho biÓu thøc: P =
1 2 : 1
x x x x
x x x x x
x x
a,Rót gän P
b,Tìm x ngun để P có giá trị nguyên Bài 2: ( 2điểm).
Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm
b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn 3
1 x
x =50
Bµi 3: (2 Điểm).
Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2 Chứng minh:
a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 t2. b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2
Bài 4: ( Điểm).
Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng trịn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A
a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành
b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng
c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: ( im)
Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña: A = x2 1y2 501xy
Đá án: Toán 9
Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0;x 1 ( 0, 25 ®iĨm)
a, Rót gän: P =
1
:
1
2
x x x
x x
x z ( 0, 25 ®iĨm)
P =
1 )
1 (
1
2
x x x
x
( 0, ®iĨm) b P =
1 1
x x
(2)Để P nguyên ) ( 0 1 1 Loai x x x x x x x x x x x (0,5điêm)
Vậy với x= 0;4;9 P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
0 1 2 0 6 0 6 4 1 2 2 2 m x x m m x x m m m (0,5®) )3 )(2 ( 25 m m m
m (0,5đ)
b Giải phơng trình: 23 ( 3)3 50
m
m (0,5®)
5 1 50 ) 3 ( 2 m m m m m m (0,5đ)
Bài 3: ( 2điểm).
a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0. (0, ®iĨm)
V× x1> => c
1
1 a x b
x Chøng tá
1
x lµ mét nghiệm dơng phơng
trình: ct2 + bt + a = 0; t1 =
1
1
x Vì x2 nghiệm phơng trình:
(3)vì x2> nên c
2
2
a x b
x điều chứng tỏ
1
x nghiệm dơng
phơng tr×nh ct2 + bt + a = ; t2 =
2
1
x (0,5 ®iĨm)
Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 ; t2
t1 =
1
1
x ; t2 =
1
x
b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 =
1
1
x + x1 2 (0,5 ®iĨm)
t2 + x2 =
2
1
x + x2 2
Do x1 + x2 + t1 + t2 4 (0,5 điểm) Bài 4: (3 điểm)
a (1 điểm) Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên
CH AB vµ BH AC => BD AB CD AC (0,5đ)
Do đó: ABD = 900 ACD = 900 Vậy AD đờng kính đờng trịn tâm O (0,5 đ)
Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng trịn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành
b Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB (0,25 đ) Do đó: APB = ACB Mặt khác:
AHB + ACB = 1800 (0,25 ®) => APB + AHB = 1800 (0,25 ®)
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB
Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC (0,25 ®) VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng (0,25đ) c (1 điểm)
Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A (0,25đ)
(4)đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn (0,25đ)
D đầu đờng kính kẻ từ A đờng trịn tâm O (0,25đ) Bài 5: (1điểm).
Ta cã: A =x2 1y2 21xy10012xy
(0,25®) Mµ
(1)
4
4
1
2
2
2 y xy x y xy x y
x (0,25®)
x2 + 2xy + y2 4xy =>(x + y)2 4xy =>
2
) (
1
1
y x
xy
=>
2
4
y x
xy (2) (0,25®)
Tõ (1) vµ (2) => A
2 2 ( )2
2006
1001
y x y x y
x
VËy Min A = 2006 x = y =