Tài liệu DE THI CHON DOI TUYEN HSG TINH

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 a. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình 3 3 3 2 3 2( ) x y z xyz x y z  − − =   = +   b. Biết p 1 và p 2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh: 1 2 1 ( ) 2 A p p= + là hợp số Bài 2: Cho các số nguyên : x, y,a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 2 2 2 ( ) 6( ) 16 8 2 8 10x ay x ay x y xy x y− + − + + − + − + Bài 3: Giải phưong trình: 2 2 2 4 8 4 x x x+ − = − Bài 4: Cho đường tròn (O, R) đường kính BC; A là điểm di động trên cung BC. Gọi (I, r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. a. Tìm quỹ tích điểm I khi A di động trên cung BC; b. Đặt S= S ABC . Tính r theo R, S. c. Biết AB ≤ AC . Chứng minh rằng: r ≤ R ( 2 1)− HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Môn Toán 9 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM Bài 1 6 điểm a) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình 3 3 3 2 3 2( ) x y z xyz x y z  − − =   = +   Từ 3 3 3 3x y z xyz− − = ;x y x z⇒ > > Từ 2 2( )x y z= + => x chẵn và 2 2( ) 4 2x y z x x= + < ⇒ = Thay vào 2 2( )x y z= + ta có y = z =1 Vậy nghiệm của hệ là x=2; y=z=1. 1 1 1 b) Không mất tính tổng quát giả sử: 1 2 2 p p< < * 1 2 2 p p N + ⇒ ∈ (trong đó 1 2 ;p p là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp) 1 2 1 2 2 p p p p + ⇒ < < 1 2 2 p p+ ⇒ là hợp số (vì 1 2 2 p p+ nằm giữa hai số nguyên tố liên tiếp) 0,5 0,5 1 1 Bài 2 3 điểm Viết lại A= 2 2 ( 3) ( 4 1) 0x ay x y− + + − + ≥ Đẳng thức xẩy ra 3 0 4 1 0 x ay x y − + =  ⇔  − + =  ( 4) 2a y⇒ − = 2 4 4 a y a ⇒ ≠ ⇒ = − => a- 4 là ước của 2 =>a= 2; 3; 5; 6. từ đó suy ra được giá trị của y (a, x, y) = (2; -5; -1); (3; -9; -2); (5; 7; 2) ; (6; 3; 1) thì minA=0 1 0,5 1 0,5 Bài 3 3 điểm Giải phương trình: 2 2 2 4 8 4 x x x+ − = − (1) Điều kiện 2 2 2x≤ ≤ Đặt 2 2 1 4 x y= + (1) trở thành 2 2 2 1 4 4 4y y y+ + = − 2 1 4 4y y⇔ + = − 3 4 y⇔ = 5 2 x⇔ = ± (Tmđk) 0,5 0,75 0,75 1 Bài 4 8 điểm Vẽ hình đúng 0,5 a) Gọi K là giao điểm của AI với (O). Ta có ∠ BAI = 45 0 nên khi A di động trên cung BC thì K cố định Ta có ∠ IBK= ∠ BIK= 1 ˆ ˆ ( ) 2 A B+ BIK⇒ ∆ cân tại K =>BK=KI=KC => I ( ; )K KB∈ phần nằm trong nữa đường tròn (O) và cung đối xứng của nó qua BC O C B A K I M N 1 1 1 b) 2 ABC AMIN BIC S S S S= = + 2 .S r r BC⇔ = + 2 .2S r r R⇔ = + 2 2 ( )r R S R⇔ + = + hay 2 r S R R⇔ = + − 1 1 1 c) 1 1 1 ( ) ( 2 ) . 2 2 2 ABC S r b c a r b c R b c= + + = + + = 2 bc r b c R ⇔ = + + (*) Ta có 2 2 2 2R a b c bc= = + ≥ 2b c bc+ ≥ (*) => 1 2 1 2 ( 2 )2 2 (2 2 ) 2 2( 2 1) r bc bc R b c R R bc bc bc − = ≤ = = + + + + ( 2 1)r R⇔ ≤ − 0,5 0,5 1 LƯU Ý: - Các cách giải khác đúng, hợp lí vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài chấm xong là tròn đến nữa điểm. . ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 a. Tìm nghiệm. Biết AB ≤ AC . Chứng minh rằng: r ≤ R ( 2 1)− HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Môn Toán 9 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM Bài 1 6 điểm a) Tìm nghiệm