Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Gia Lai

TaiLieu.VN giới thiệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Gia Lai nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập Toán một cách thuận lợi.

NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT GIA LAI ĐỀ THI HSG TOÁN Thời gian: 180 phút ĐỀ BÀI Câu 1: x3 − 3mx + có đồ thị ( C ) Tìm tất giá trị thực ( 2,0 điểm) Cho hàm số y = tham số m để đường thẳng d : y = x cắt đồ thị ( C ) ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Câu 2: (4.0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số thực ( x + 1) x − + = (5 +  x + 2020 y − x2 = 2019 y + 2020 b) Giải hệ phương trình tập số thực   y + x 3x − = y −  Câu 3: ) x −1 x (1) ( 2) (2,0 điểm) 3n 1  Tìm hệ số x10 khai triển f (= x )  x + x + 1 ( x + ) với n số tự nhiên 4  14n thỏa mãn An3 + Cnn − = Câu 4: 2sin B tan (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có sin A + sin C = minh Câu 5: A C + tan = Chứng 2 tam giác ABC u1 =  (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định  4un − = u , ∀n ≥ n +  u − n  1 + + + u − u1 − un − Tính A = lim CSN n Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC , M N trung điểm BH AH Trên cạnh CD lấy điểm K cho tứ giác MNCK hình bình hành Biết 9 2 M  ;  , K ( 9; ) , 5 5 điểm C thuộc điểm B thuộc đường thẳng d1 : x − y + = d2 : x − y − = hoành độ đỉnh C lớn Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu 7: (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi I điểm thuộc miền tứ diện ABCD , đường thẳng AI , BI , CI , DI cắt mặt phẳng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ( BCD ) , ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC ) điểm M, N, ĐỀ THI HSG TOÁN P, Q thỏa Câu 8: ( ) NHĨM TỐN VD – VDC AI MI CI DI a a Biết VIBCD = V , với a, b ∈ ∗ tối giản Tính S= a + b = = = b b MI NI PI QI mãn a + b Tìm giá trị lớn (4,0 điểm) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 8ab − = biểu thức P = 1 ab + + 2 + a + b + 3a 2b -HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT GIA LAI ĐỀ THI HSG TOÁN Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số tham số m y= x3 − 3mx + có đồ thị ( C ) Tìm tất giá trị thực để đường thẳng d : y = x cắt đồ thị ( C ) ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Lời giải Ta có phương trình hồnh độ x − 3mx + = x ⇔ x − 3mx − x + = , (1) Do phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy 2x2= x1 + x3 ,(2) 3m  x1 + x2 + x3 =  −1 Mặt khác theo định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba ta có  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =  x x x = −3  Thay (2) vào phương trình ta x2 = m , mà x2 nghiệm phương m = trình (1) ta −2m3 − m + = ⇔   2m + 2m + = ⇔ m =  x1 = −1  Thử lại với m = ta phương trình hồnh độ x − x − x + = ⇔  x2 = dễ thấy  x3 = 3 ba nghiệm lập thành cấp số cộng với công sai d = Câu 2: (4.0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số thực ( x + 1) x − + = (5 + ) x −1 x Lời giải Cách Điều kiện x ≥ PT ⇔ ( x + ) x − + = x + x x − ⇔ ( x − 1) x − − ( x − 1) + = Đặt t = x − ( t ≥ ) , phương trình trở thành 2t − 5t + = ⇔ ( t − 1) ( 2t ⇔t= + 4t + 6t + 3) = 2t + 4t + 6t + > 0, ∀t ≥ ⇒ x −1 = ⇔ x = Cách Điều kiện x ≥ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN PT ⇔ ( x + ) x − + = x + x x − ⇔ ( x2 − x + 2) x − − 5x + = ) x −1 − x) + x NHĨM TỐN VD – VDC ( ⇔ ( x − x + 1) ( ⇔ ( x − x + 1) x − − x + x − x + x − x + = − x2 − x + = x − − x2 ⇔ ( x − x + 1) + ( x − 2) ( x + 2) = x −1 + x (x ⇔− − x + 1) ( x − ) x −1 + x + ( x − 2) ( x + ) =0   −x + 2x −1 ⇔ ( x − 2)  + x + 2 =  x −1 + x  ⇔ ( x − 2) ⇔ ( x − 2) − x2 + 2x −1 + ( x + 2) x −1 + x2 + 2x x −1 + x ( x + 2) x −1 + 4x −1 ⇔ x−2= x −1 + x = ( x + 2) x −1 + 4x −1 x −1 + x = > 0, ∀ x > ⇔x= (TM) Vậy phương trình có nghiệm x =  x + 2020 y − x2 = 2019  y + 2020 b) Giải hệ phương trình tập số thực   y + x 3x − = y −  (1) ( 2) Lời giải  x≥  3 x − ≥  Điều kiện  ⇔ 9 y − ≥ y ≥  2019 y x + 2020 x2 y2 Từ (1) ta có = ⇔ 2019 x + 2020 = 2019 y + 2020 ) (*) ( ) ( 2 x y + 2020 2019 Nếu x > y ⇒ VT (*) > VP(*) Ngược lại x < y ⇒ VT (*) < VP(*) Mặt khác với x = y ⇒ VT (*) = VP (*) Vậy x = y Thay x = y vào phương trình (2), ta có ( ) (2 x + x 3x − = x − ⇔ x + 3x − = ( )( 3x − ) ) 1  ⇔ x − 3x − x + 3x − =⇔ x − 3x − =  x ≥  3  ⇔ x − 3x + = ⇔ x = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3± Trang NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN  3+ 3+   3− 3−  ; ;  ;   2 2     Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm  (2,0 điểm) 3n 1  Tìm hệ số x10 khai triển f (= x )  x + x + 1 ( x + ) với 4  n−2 thỏa mãn An + Cn n số tự nhiên 14n = Lời giải Ta có An3 + Cnn − =14n ⇔ NHĨM TỐN VD – VDC Câu 3: n! n! + =14n, với n ≥ 3, n ∈  ( n − 3)! ( n − )!.2! n ( n − 1) = 14n ⇔ ( n − 1)( n − ) + n − =28, n ≥ ⇔ n ( n − 1)( n − ) +  n = ( tm ) ⇔ 2n − 5n − 25 =0 ⇔  n = − (l )  2 1  Với n = suy f (= x )  x + x + 1 4  ⇔ f ( x) = ( x + 2= ) 15 2 15 x + 4x + 4) ( x + 2) ( 16 1 19 19 ( x + ) = ∑ C19k x19−k 2k 16 16 k =1 ⇒ số hạng tổng quát Tk +1 = k k 19− k C19 x 16 Cho 19 − k = 10 ⇒ k = ta số hạng chứa= x10 T10 9 10 = C19 x C199 25 x10 16 Vậy hệ số số hạng chứa x10 C19 = 2956096 Câu 4: 2sin B tan (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có sin A + sin C = minh A C + tan = Chứng 2 tam giác ABC Lời giải A+C B A+C B = cos ; cos = sin 2 2 A−C B A+C A−C B B Ta có sin A + sin C = 2sin B ⇔ 2sin cos ⇔ cos = 2sin = 4sin cos (1) 2 2 2 Vì A + B + C = π ⇒ sin A+C sin A C B A C Và tan + tan = ⇔ 3cos = cos cos ⇔ = A C 2 2 3 cos cos 2 B A+C A−C B B A−C ⇔ cos = cos + cos ⇔ cos = sin + cos ( 2) 2 2 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Từ (1) ( ) ta có π A−C vào (1) suy cos =1 ⇔ A − C =k 4π ⇒ A =C Vậy tam giác ABC có= A C= ,B Câu 5: π ⇒ B= 3 NHĨM TỐN VD – VDC Thay B = B B B cos = 3sin ⇔ tan = 2 ĐỀ THI HSG TOÁN π suy tam giác ABC u1 =  (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định  4un − = u , ∀n ≥ 1 n +  − u n  1 + + + u − u1 − un − Tính A = lim CSN n2 Lời giải un+= −1 Đặt un − 4un − −1 = ( un − 1) + 3un − v= un − ⇒ vn+1 = n 3vn + ⇒ 1 1 = + Vậy ( ) CSC= d 3,= vn+1 vn v1 =1 + ( n − 1) =3n − Nên = 3n − un − Ta có 1 = 3.1 − + 3.2 − + + 3n − + + + u1 − u1 − un − = 3.(1 + + + + n ) − 2n n (1 + n ) 3n − n = = − 2n 2 1 + + + u1 − u1 − un − 3n − n = = lim = Do A lim n2 2n 2 Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC , M N trung điểm BH AH Trên cạnh CD lấy điểm K cho tứ giác MNCK hình bình hành Biết https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 9 2 M  ;  , K ( 9; ) , 5 5 hoành d2 : x − y − = d1 : x − y + = điểm C độ đỉnh C lớn Tìm tọa độ đỉnh NHĨM TỐN VD – VDC thuộc điểm B thuộc đường thẳng ĐỀ THI HSG TỐN hình chữ nhật ABCD Lời giải B ( b ; 2b + ) ; C ( c ; c − ) , ( c > ) Ta có MN // CK nên MN ⊥ BC , mà BH ⊥ AC nên N trực tâm tam giác MBC Vậy CN ⊥ BM ⇒ MK ⊥ BM   36    8 ;  ; MB =  b − ; 2b +  5  5  36    8   ⇔b= MK ⊥ BM ⇒ MK BM = ⇒ B (1; ) 0⇔  b −  +  2b +  =  5 5 5   +) KC =( c − 9; c − ) ; BC =( c − 1; c − ) +) MK =    0 ⇔ ( c − )( 2c − ) = CK ⊥ CB ⇒ KC.BC = ⇔ ( c − )( c − 1) + ( c − )( c − ) = c = ( NhËn ) ⇔ Vậy C ( 9; ) c = ( Lo¹i ) +) K trung điểm CD nên ta D ( 9;0 )   x =  x − =0 Vậy A (1;0 ) +) Giả sử A ( x ; y ) , ta có BA = CD ⇔  ⇔ y 4 y = − = −   Kết luận: A (1;0 ) , B (1;4 ) , C ( 9; ) , D ( 9;0 ) Câu 7: (2 điểm) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi I điểm thuộc miền tứ diện ABCD , đường thẳng AI , BI , CI , DI cắt mặt phẳng ( BCD ) , ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC ) điểm M , N , P , Q thỏa mãn AI MI CI DI = = = MI NI PI QI ∗ a a tối giản Tính S= a + b Biết VIBCD = V , với a, b ∈  b b Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI HSG TỐN A N I B D M H C = VIBCD - Đặt - Ta có: V= V= V= V4 , ta có: V = V1 + V2 + V3 + V4 , VIACD , VIABD , VIABC NHÓM TOÁN VD – VDC P Q AI AM d ( A, ( BCD ) ) VABCD V AI V +1= = = = ⇒ = −1 MI IM d ( I , ( BCD ) ) VIBCD V1 MI V1 - Tương tự: BI V CI V DI V = − 1; = − 1; = −1 NI V2 PI V3 QI V4 AI MI CI DI V V V V = = = ⇒ = = = ⇒ V1 = V2 = V3 = V4 = V MI NI PI QI V1 V2 V3 V4 - Theo giả thiết: Hay VIBCD = a = 1 V ⇒ b = Vậy S = a + b = Câu 8: (4,0 điểm) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 8ab − = ( a + b ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 ab + + 2 + a + b + 3a 2b Lời giải Từ giả thiết suy 8ab − = ( a + b4 ) ≥ AM − GM 6(ab) (1) 1 Với a, b > 0, ab1 ta chứng minh (3)  + 2 1+ a 1+ b + ab Đặt ab = t , t > Từ (1) suy −3t + 4t − 10 ⇔ t1 (2)   1   − − +  0 2  + a + ab   + b + ab  Thật (3) ⇔  ⇔ a (b − a ) b( a − b) + 0 (1 + a ) (1 + ab) (1 + b2 ) (1 + ab) ⇔ (a − b)2 (ab − 1)0 (đúng) Khi đó, P 1  t t+2 +  = f (t ) với t ∈  ;1 + t + 3t t +1 3  1 1  f (t ) f= < 0, t ∈  ;1 nên Max= Suy ra, P   1  (1 + t )      ,1 ′ − Do f (t ) =  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy giá trị lớn P đạt a= b= ĐỀ THI HSG TỐN NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang ... TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT GIA LAI ĐỀ THI HSG TOÁN Thời gian: 180 phút ĐỀ BÀI Câu 1: x3... -HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT NHĨM TỐN VD – VDC SỞ... THỨC NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT GIA LAI ĐỀ THI HSG TOÁN Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số tham số m y= x3 −