[r]
(1)Bài Tính a/
sin15
cos15 b/
sin18
cos18 c/
sin 36
cos 36
d/
tg e/tg37 30 '0 Bài Tính
a/
0 0
0
0
cot 44 226 cos 406
cot 72 cot 18 cos316
g tg
g g
b/
0
0
0
cos 288 cot 72
18 162 sin108 g tg tg
c/
0
0 0
2sin 2550 cos 188
368 2cos 638 cos98 tg
d/
2 2
2
cos 197 cos 287 sin 323 sin 217 cos 37
Bài Tính giá trị biểu thức sau
a/ tg200tg400tg600tg800 d/ 2
12 12 12
tg tg tg
b/ 0
1
2sin 70
2sin10 e/
0 0
9 27 63 81
tg tg tg tg c/sin4 sin43 sin4 sin4
16 16 16 16
f/ cos6 cos63 cos65 cos6
16 16 16 16
Bài Rút gọn
a/ sin sinx 3x cos cosx 3x
b/
2 cos cos sin sin x x x x c/ 2cos sin cos x x x
d/
1 sin sin sin sin
x x x x Bài 5
a/ Cho sinxcosx a Tính
sin cosx x sinx cosx
3 3 sin cos sin cos x x x x 4 4 sin cos sin cos x x x x 5 5 sin cos sin cos x x x x b/ Cho tgxcotgx a .Tính
cot
tgx gx
2
2
cot cot tg x g x tg x g x
3 3 cot cot tg x g x tg x g x
6 6 cot cot tg x g x tg x g x
Bài
a/ Cho tgx2.Tính
4 2
4 2
3sin 5sin cos 11sin cos 4sin cos 2cos 5sin 3sin cos 2sin cos 10sin cos 3cos
x x x x x x x x
A
x x x x x x x x
b/Cho tgx=4 Tính
5 4
4
7 cos 4cos sin 2cos sin 5cos sin 6sin 8sin cos 2sin cos
x x x x x x x x
B
x x x x
(2)Bài Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số a/2 sin
4x cos4x sin2 xcos2x
2 sin8x cos8x
b/ sin4x 4 cos2x cos4x 4sin2x
c/
4
6
sin cos sin cos
x x
x x
d/
2
2
1
1 cot
tg x
tg x g x
tgx
Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x
a/
cos2 cos2 cos2 cos2 2sin23 3
f x x x x x x
b/
cos2 cos2 cos23
f x x x x
c/
sin2 sin2 sin23
f x x x x
d/cos2
x a
cos2x 2 cos cos cosa x
a x
e/
3
cos cos3 sin sin
cos sin
m x x m x x
f x
x x
2 x k
Bài 9
a/Cho asin sinx y b cos cosx y0.Tính 2 2 2 2
sin cos sin cos
S
a x b x a y b y
b/Cho hệ
2 2
2 2
1
cos cos
sin cos m tg x n tg y
m x n
m x n y
.Tìm hệ thức liên hệ m n khơng phụ thuộc x,y
c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x: Ssin6xcos6x m
sin4 xcos4x
Bài 10a/Cho
4
sin x cos x
m n m n Chứng minh
10 10
4
4
sin x cos x m n m n b/Cho 2tg x tg y tg z tg x tg y tg y tg z tg z tg x2 . . 2 . 2 . 2 . 1
Chứng minh
2 2
sin xsin ysin z1
c/Cho
3
3
.cos cos sin sin cos sin
a x a x x m
a x a x x n
.Chứng minh 3
m n
2 3
m n
2 23 a2d/Cho
1
2
3
sin cos sin cos cos a
a a
.Chứng minh a12a22a32 1
Bài 11 Gọi , giá trị khác x thỏa mãn hệ thức acosx b sinx c Biết
2 0; 2
a b k a/.Tính sin2 .sin2
2
(3)b/Chứng minh
2
2 cos
2
c a b
b tg
a
Bài 12 Tính
a/A cos 200 cos 409 cos1600 cos1800
b/B tg200 tg400 tg1600 tg1800
c/C sin 50 sin100 sin 3600
Bài 13 Chứng minh
a/tg a tg a tg a tg atg atg a6
b/ tg a b
tga tgb tg a b tgatgb
c/sin2
a b
sin2a sin2b 2sin sin cosa b
a b
d/ sin
cos cos cos a b c
tga tgb tgc tga tgb tgc
a b c
e/cos sina
b c
cos sinb
c a
cos sinc
a b
0f/sin sina
b c
sin sinb
c a
sin sinc
a b
0 g/sin
sin
sin
cos cos cos cos cos cos
a b b c c a
a b b c c a
Bài 14 a/ Cho
cos cos cos sin sin sin
cos sin
x y z x y z
m
x y z x y z
Chứng minh
cos x y cos y z cos z x m
b/Cho ,
2
3sin 2sin 3sin 2sin
.Chứng minh 2 c/Cho ,
2
sin2 sin2 sin
.Chứng minh2 d/ Cho
cos cos
cos cos
a b
a b
k
.Chứng minh với x ta có
cos cos
a x b x
e/ Cho mcos
a b
cos
a b
với
a b
k k, ;m 1.Chứng minh1
1 msin 2a1 msin 2b 1 m Bài 15 Chứng minh đẳng thức sau a/
2
2 2sin
1
2cot cos
4
x
g x x
b/ cos 2 cos cos3 2cos 2cos cos
x x x
x
x x
c/sin4 cos4 1cos 4
4
(4)d/sin6 cos6 3cos 4 8
x x x
e/sin8 cos8 7cos8 1cos6
8
x x x x
f/ 3
3
tgx tg x tg x tg x
g/ 2
3 3
tgxtg x tg x tg x tg x tgx
Bài 16 Tính
a/ cos cos4 cos5
7 7
A
b/ B sin sin15 sin 75 sin 850 0
c/ C cos cos cos cos 2x x x nx
d/ cos cos cos cos
2 2
n D
n n n n
Bài 17
a/ Đặt S cosx2 cos 2x ncosnx.Chứng minh
2
sin 2sin 2 sin 2 2sin 2
x n nx
n x
S
x
với x k 2
b/Chứng minh sin 1 2 2 2n
n
c/CMR cos 2 2n
( n-1 dấu căn) d/CMR sin 2
2n
( n-1 dấu căn)
e/
1
2
2
4
1 cos 2 sin sin
2
i n
n
i n
i
Bài 18 Chứng minh
a/ 4sin sin sin sin
3
x x x x
b/ 4cos cos cos cos
3
x x x x
c/
3
tgxtg x tg xtg x
d/ 3
3
tgx tg x tg x tg x
e/ 2 23
3
tg x tg xtg x tg x
(5)Bài 19 (Áp dụng 18)Tính:
a/ 0
sin 20 sin 40 sin 80
A
b/ 0
cos10 cos 20 cos80
B
c/ 0 0 0 0
sin sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 82
C
d/ 0 0 0 0 0
3 17 23 37 43 57 63 77 83 243
D tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg
e/ 10 11 13
27 27 27 27 27 27 27 27 27
E tg tg tg tg tg tg tg tg tg f/ F tg10 tg50 tg90 tg1770
g/ G tg2 05 tg2100 tg2800 tg2850
Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z)
a/ Cho sin sin sin 0 cos ,cos , cos đôi khác sin sin sin sin
sin sin sin sin sin sin sin sin
x y z
x y z
x y z
b/Cho cos cos cos 0 cos ,cos , cos đôi khác cos cos cos3 cos
cos cos cos3 cos cos cos cos3 cos
x y z
x y z
x y z
Bài 21 Rút gọn biểu thức sau a/ sin sin13 sin18
cos8 cos13 cos18
x x x
A
x x x
b/B sin2
a 2b
cos2a cos 22 b
c/C sin2
a 2b
sin 22 a sin2b
d/
2 2
2 2
sin sin sin
sin cos cos
a b a b
D
a b a b
Bài 21 Chứng minh
a/sin 4 4sin 3 6sin 2 4sin 16sin sin4 x
x x x x x
b/cos 1cos3 1cos5 8sin2 cos3
2
x x x x x
c/cos 270 cos 630
d/sin 242 sin 62
e/ 300 400 500 600 3cos 200
tg tg tg tg
f/tg90 tg150 tg270 cot 27g cot 15g cot 9g 8
g/cos120 cos180 4cos15 cos 21 cos 240 0
1
(6)Bài 22
a/ Cho
sin cos
;
sin cos
x a x A
x b x B
Chứng minh cos
aA bB
aB bA
b/
1
1 cos
2
n k k
k n
c/cos8 cos12 cos18 1cos 7sin
35 35 35 5
Bài 23 Chứng minh
a/sin
a b
sin
a b
sin
b c
sin
b c
sin
c a
sin
c a
0b/cos
a b
sin
a b
cos
b c
sin
b c
cos
c a
sin
c a
0c/sin sina
b c
sin sinb
c a
sin sinc
a b
0 Bài 24 Tínha/ cos2 cos4 cos6
7 7
A
b/ cos cos2 cos3
7 7
B
c/ sin sin5 sin7 sin11
24 24 24 24
C
d/ sin sin7 sin13 sin19 sin25
30 30 30 30 30
D
Bài 25 Tính a/
2
sin sin sin cos cos cos
A a a na
A a a na
b/
2 2
1
2 2
2
cos cos cos sin sin sin
B a a na
B a a na
c/C tga 2 2tg a 2ntg a2n 2n1cot 2g n1a
d/ 2
1
2 2
2 2 2
n n
n n n
a a a a a a
D tg tga tg tg tg tg tg
e/
2 2n 2n
a a
E tga tg tg
f/ 2 2
1 1
4cos cos cos
2
n
n
F
a a a
Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số nhau) a/Cho
2
2
1 cos
1 cos
r r y r
r x r r
Chứng minh
2
2
2
x y r
tg tg
r
(7)b/Cho a,b,c đôi khác góc , , , thỏa
a b c
tg tg tg Chứng minh
2 2
sin sin sin
a b b c c a
a b b c c a
Bài 27 a/Cho
1
cosx cos 2x cos3x
a a a Chứng minh
2
2 sin
2
a a a x
a
b/Cho
1
sinx sin 3x sin 5x
a a a Chứng minh
1
3
a a a a
a a
Bài 28
a/Cho , ,
2 k
( k nguyên) Giả sử sin2 ,sin2 ,sin2
lập thành cấp số cộng,
sin 0 tg tg 1.Chứng minh tg tg, ,tg lập thành cấp số nhân b/Cho 0 ,
2
tg tg có nghĩa.Chứng minh sin ,sin ,sin lập thành cấp số cộng
2
tg tg c/Cho , , thỏa hệ
0
cos cos cos sin sin sin
Chứng mini , , lập thành cấp số cộng với công sai d d/Cho 0 , , khác ,
2
k k .Chứng minh ta có , , cos ,cos ,cos
2 2
cot cot , cot sin ,sin ,sin
2 2
tg tg tg
g g g
Các tốn có liên quan với định lí Vi-et
Bài Tính giá trị biểu thức sau a/
1 1
3
cos cos cos
7 7
A
b/ 2
1 1
2
sin sin sin
7 7
B
(8)c/ 4
1 1
2
cos cos cos
7 7
C
d/ cos cos9 cos9 cos17 cos17 cos
12 12 12 12 12 12
D
e/
4 4
2 2
3
cos cos cos
14 14 14
3
4cos cos cos
14 14 14
E
f/ 3cos2 3cos4 cos8
7 7
F
Bài Tính
a/ 2
18 18 18
A tg tg tg
b/ 6 67
18 18 18
B tg tg tg
c/ 62 68
18 18 18
C tg tg tg
d/
5 5
D tg tg tg tg Bài
a/Giả sử tg1,tg2,tg3 ba nghiệm phương tình x3ax2bx c 0 1, 2,
tg tg tg ba nghiệm phương trình x3 cx2 bx a 0
Chứng minh
1 3 k
b/Chứng minh
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
7 41 53 79 41 53 79 41 53 41 53 79
53 79 79 41
tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg g tg tg
tg tg tg tg tg tg
Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh số bổ đề quan trọng sau 1/ Cho x,y,z khác ,
2 k k
Chứng minh
,
tgx tgy tgz tgxtgytgz x y z n n
2/ Cho x,y,z khác , k k
.Chứng minh
,
2
tgx tgy tgy tgz tgz tgx x y z n n 3/ Cho x,y,z khác ,
2 k k
.Chứng minh
,
tgx tgy tgz tgxtgytgz tgztgy tgytgz tgztgx x y z n n
(9)2 2
cos cos cos 2cos cos cos
cos cos cos cos
2 2
x y z x y z
x y z x y z y z x z x y
Ứng dụng
Bài Cho ab1,bc1,ca1.Chứng minh
1 1 1
a b b c c a a b b c c a
ab bc ca ab bc ca
Bài Cho
1 xyz
xy yz zx
Chứng minh
1
1
1
1
1
1
4
x y y z z x
xy yz zx
Bài Giải hệ sau
1 1
3
1
x y z
x y z
xy yz zx
Bài 4Cho xyz0 x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx Chứng minh
2 2 2
1 1 1 1
4
x y z x y z
x y z x y z
Bài Cho x+y+z=xyz Chứng minh a/
x y
1
z21
4xyzb/
3 3
2 2
3 3
1 3 3 x x x x y y z z
x x y z
(x y z, , c/
2 2
1 1
0
x y x y
xy
Bài Cho x,y,z>0 x2 y2 z2 2xyz 1
Chứng minh
2
2
1xyz