Tu chon nang cao toan 8

Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình ...1. Các bài toán này [r]

Chủ đề 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

I Tóm tắt lý thuyết

1 Trên tập xác định biểu thức f(x,y, )

a Số A gọi giá trị lớn f(x,y, ) nếu f x y( , , )A có (x0; y0; )

cho f x y( , , )0 A

Ký hiệu Max f A

b Số B gọi giá trị nhỏ f(x,y, ) nếu f x y( , , )B có (x0; y0; )

cho f x y( , , )0 B

Ký hiệu Min f B

2 Cách tìm giá trị lớn hay nhỏ biểu thức đại số - Tìm tập xác định biểu thức

- Trên tập xác định biểu thức, chứng minh f x y( , , )A hoặc

( , , ) f x y B

- Chỉ số (x0; y0 ) cho f x y( , , )0 A f x y( , , )0 B - Kết luận: Max f A x = x0 ; y = y0

Min f B x = x0 ; y = y0 3 Các kiến thức thường dùng

+



x , x R Tổng quát  f x( )2k 0 với  x

Từ xuy ra:  f x( )2k m m , x R

M   f x( )2k M, x R

+ x 0,xR

+ x x, xR Dấu x ≥

+ |x| ≥ -x, xR Dấu x ≤

+ xy x  y

Dấu xảy xy0 + x y x  y

Dấu xảy xy0và |x| ≥ |y| II Các dạng tập thường gặp

§1 ĐA THỨC BẬC NHẤT CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ

b B8 5x 3

Giải a Biểu thức A xác định với x thuộc tập số R

Ta có 7x 0

Nên A0 A0 7x 50

 x75

Vậy A = x75

b Biểu thức B xác định với x thuộc tập số R

Ta có: 8 5x 0  8 5x 33 Nên B = 

x

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức

1

5 

 x

D

Giải Biểu thức D xác định với xR

Ta có 2x 0 Nên 5 2x15 Vậy max D = 5,

2 

x

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2009

2008 



x x

C

Giải Biểu thức C xác định với xR

Áp dụng bất đẳng thức xy x  y Dấu xảy xy0 ta Cx 2008 x 2009

x 2008 2009 x x 20082009 x Nên C 1

Vậy C = (x – 2008)(2009 – x)

Tức 2008x2009

Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức

a M 51 4x 1

b N x1 x

c Px  x5

2 Tìm giá trị lớn biểu thức a C 12 3x

b   21 3 x

D

3 Tìm giá trị nhỏ

a E x a  x b với a b b Fx  x 3 x 4 x

c 2 12

    

x x x x

M

§2 ĐA THỨC BẬC HAI

Ví dụ 1: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

 

 x x

b Tìm giá trị lớn biểu thức

3 2  

 x x

B

Giải

a Biểu thức A xác định với x thuộc tập số thực R

Ta có:

 

 x x

A 3( 2 )

 

 x x 3(x1)2  55

Do ( 1)2

 

x với x, nên A5

1

1

5     

 x x

A Vậy A = -5 x =

b Biểu thức B xác định với x thuộc tập số thực R

Ta có

  

 x x

B 2 ) ( 3 13 13 ) ( ) 9 (                  x x x x

Do )

3

(

 

x với x nên

5 13  B 3 13    x B

Ví dụ 2: Với giá trị x, y biểu thức sau đây:

a 12 4

   

 x xy y x

C đạt giá trị nhỏ nhất

b D 15 10x 10x2 24xy 16y2

  



 đạt giá trị lớn

Giải

a Biểu thức C xác định với x thuộc tập số thực R

4 12

5 2

   

 x xy y x

C

(( 24)2 (42) (43 )2 120 ) 2            y x x y xy x x x 0  

 x

C Và 2x 3y0

 x2 

y

Vậy C =  x = y34

b D 15 10x 10x2 24xy 16y2

     40 ) ( ) ( 40 ) 16 24 ( ) 25 10 ( 40 2 2              y x x y xy x x x

Max D = 40 x5;y154 Ví dụ 3: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

2 2

    

 x xy y x y

E

b Tìm giá trị lớn biểu thức 10 2      

 x xy y x y

F

Giải

a Biểu thức E xác định với x thuộc tập số thực R

2 2

2 2

    

 x xy y x y

E ) 4 ( ) 2

( 2

        

 x y x y xy x x

E

( 1)2 ( 2)2 3

      

 x y x

0 3    

 x y

Min E = -3  x2 y 3

b Biểu thức F xác định với x thuộc tập số thực R ) 4 ( ) 2 (

18 2

        

 x y xy x y y y

F

18 ( 1)2 ( 2)2 18

     

 x y y

0 18   

 x y

F y 20 Max F = 18 x3 v y 2

Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a Ax2  x

b 4 11

 

 x x

B

c 2 20 53



 x

x

2 Tìm giá trị lớn biểu thức:

a D 5 8x x2

  

b

  

 x x

E

c F 1 x x2

  

3 Với giá trị x, y biểu thức sau đạt giá trị nhỏ

a 10 12

   

 x xy y x

G

b 3 2009

     

x xy x y x y xy x

M

c C x2 xy y2 3x 3y

    

4 Tìm giá trị lớn biểu thức

a 2 2 2 15

     

 x y xy x y

A

b B = 1 6y 5y2 12xy 9x2

 

 

§3 BIỂU THỨC CĨ DẠNG PHÂN THỨC

1 Phân thức có tử số số, mẫu số tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ

1

2

A

x x



 

Giải

2

1

2 ( 1)

A

x x x

 

   

Ta có 2

(x1)  0 (x1)  4

( 11)2 414   

x

  (x11)2 4 41

Vậy A 41 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn

9 4

7

  

x x B

Giải

) (

7

4

7

2

     

x x

x B

Ta có (2 1)2 (2 1)2 8

    

 x

8 ) (

2   



x

Vậy max B87 

x

2 Phân thức có mẫu số bình phươngcủa nhị thức Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 ) (     x x x C Giải Biểu thức C có giá trị xác định với x 1

2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( ) (                      x x x x x x x x x x x x x x C

Vì 43

) ( ) ( 2      C x x 

C x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn ( 1)2   x x D Giải Biểu thức D có giá trị xác định với x 1

2

2 ( 1)

1 1 ) ( 1 ) (           x x x x x x D

Đặt y

x1

1 ) ( ) 4 ( )

( 2

2             

y y y y y y y

D

4 

D

2 1       x x y

Vậy max D41 x = 3 Các phân thức khác

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức

1 2     x x x M

Ta có 1 ( 1) 0

2

x  x  x   nên biểu thức M có giá trị xác định với x R

 Tìm giá trị lớn M

1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2                  x x x x x x x x x x x x M Vì 2

( 1)

x x

x

  

  nên

) ( 2       x x x M

Vậy max M = x =

 Tìm giá trị nhỏ M

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2                 x x x x x x x x x x x x M

Min

3 

M x = -1

Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

a 6 5 9

2 x x

P

  

b

1

6

2

 

  

x x

x x Q

c

1

1

2

 

  

x x

x x S

2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a

5 4

3

  

x x K

b

12

14 2

 

  

x x

x x E

c 2

4 ) (

1 

 

x x F

§4 BIỂU THỨC CĨ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y =

a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A2x2  y

b Tìm giá trị lớn biểu thức Bxy1 Giải

Do 3xy1 y1 3x ta có

a 

  

 

           

16 17 ) ( ) 2 ( ) (

2x2 x x2 x x2 x x

A

) 178

4 (

2

 

 x nên

8 17  

A

Vậy A 178

4  

x ;

4 13 

y

b )

3 ( 3

)

( 2

        

x x x x x x

B

)2

6 ( 12 13 36 13 ) (

3    

  

 

  

 x x

Nên B1213 max

12 13 

B

6 

x

2 

y

Bài tập

1 Cho x, y hai số thoả mãn điều kiện:

4

2 2

 

 y

x x

2 Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện 2

 y

x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất x + y

3 Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ P x3 y3

 

Chủ đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

I Phương trình bậc cao phương trình có dạng: f(x) = f(x) đa thức bậc n (n2) x

II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao. 1 Phương pháp đưa phương trình tích. Ví dụ 1: Giải phương trình:

   

x x x

x

Giải

 

0 ) )( )( (

0 ) ( ) ( ) (

0 ) 3

)( (

0

2

2

2

2

   



    



    



    

x x

x

x x

x x

x x x x

x x x x

* x 20 x2 * x30 x3 * x2 0 x2 1 0

   

Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 19 106 120

   

 x x x

x

    ) )( )( )( ( ) 20 )( )( ( ) ( 20 ) ( ) ( ) ( ) 60 20 ( ) ( ) ( ) ( ) 60 23 )( ( ) ( 60 ) ( 23 ) ( ) ( ) 120 60 ( ) 46 23 ( ) ( ) ( 120 106 19 2 2 3 2 3 4                                                          x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 * 4 * 3 * 2 *                  x x x x x x x x

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 12 15

   

 x x x

x Giải     ) 3 )( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 ( ) 15 ( ) 10 ( ) ( ) 15 21 16 )( ( ) ( 15 ) ( 21 ) ( 16 ) ( ( 15 15 21 21 16 16 4 15 12 2 2 3 2 3 4                                                    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Vì )

2 3 ( 3

2x2 x  x2  x

2

3

2( )

2

x

    với x

Nên: x10 x1

Hoặc: 2x50 x2,5

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5 Ví dụ 4: Giải phương trình: x4 2x32x2 4x 80

2

2 *

2

2 *

    

   

x x

x x

* x2  2x40 (vô nghiệm)

Vì 2

2 ( 1) x  x  x  

Vậy phương trình có hai nghiệm: x 2; x 2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: (x1)(x2)(x4)(x5)40 Giải

   

2

( 1)( 2)( 4)( 5) 40

( 1)( 5) ( 2)( 4) 40

( 5)( 8) 40

x x x x

x x x x

x x x x

    

     

      

Đặt: x26x5t ta có

0 ) )( (

0 40

0 40 ) (

2

   

   

  

t t

t t t t

+ Nếu t = x26x55

2 6 0 ( 6) 0

x x x x

       x0 x = -6

+ Nếu t = -8 x26x58  x2 6x130

Phương trình vơ nghiệm x2 6x 13 (x 3)2 4 0

      với x

Vậy: Phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x = -6 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 6)4 ( 8)4 16

  

 x

x

Giải

16 ) ( )

( 4

  

 x

x

Đặt: x – = y, phương trình chở thành:

7

16 ) ( ) (

2

4

   

   

y y

y y

Đặt:

 z

y ta có:

0 ) )( (

0

   

  

z z

z z

 Nếu z10 z1 thoả mãn điều kiện z0

Với z = ta có y 1 * y1 x 71 x8 * y1 x 71 x6

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6, x =

Ví dụ 3: Giải phương trình: ( 3 4)3 (2 5 3)3 (3 2 1)3       

 x x x x x

x

Giải

Đặt

 

x x

u

2

 

 x x

v

1

  

v x x

u

Phương trình có dạng: u3 v3 (u v)3   

0 ) (

0 3

0 )

3 (

0 ) (

2

3 2

3 3

3

3

  

 

 

      

    

v u uv

uv v u

v uv v u u v u

v u v u

0 

 u v 0 uv0

4

  

 x x 2x2  5x30 3x2  2x 10

+

   x

x

 (x1)(x4)0  x1 x 4

+ 2

   x

x

 (2x 3)(x1)0

2 

 x x =

+ 2

   x

x

 (3x1)(x1)0

3  

 x x =

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: ;

2 ; ;

1   

 x x x

x

Ví dụ 4: Giải phương trình: ( 1)3 ( 2)3 (2 1)3    

 x x

x

Giải

3

3 ( 2) (2 1)

)

(x  x  x

Đặt: x + = y; x – = z; – 2x = t Thì y + z + t = 0; z + t = - y

yzt t z y t z zt t z y zt t z t z y t z y t z y t z y t z y t z y t z y ) ( 3 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 2 3 3 2 3                                

Vậy yzt =  (x1)(x 2)(1 2x)0

* x10 x1

* x 20 x2

* 1 2x0 x21

Vậy phương trình cho có ba nghiệm:

3 ; ;

1  



 x x

x

3 Các phương pháp khác Ví dụ 1: Giải phương trình:

8 30 11 20 12 2 2           

 x x x x x x x

x Giải ) )( ( 30 11 ) )( ( 20 ) )( ( 12 ) )( ( 2 2                     x x x x x x x x x x x x x x x x

ĐKXĐ: x 6,x 5,x 4,x 3,x2 Phương trình biến đổi dạng:

8 5 4 3 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( (                                   x x x x x x x x x x x x x x x x x x ) )( 10 ( 20         x x x x

* x100 x10 (Thoả mãn ĐKXĐ)

* x 20 x2 (Thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2, x = - 10 Ví dụ 2: Giải phương trình

94 99 95 99 96 99 97 99 98 99 99

99 2 2

2                

 x x x x x x x x x x x

Giải Cộng vào hai vế phương trình (- 3), ta có

0 ) 94 95 96 97 98 99 )( 100 99 ( 94 100 99 95 100 99 96 100 99 97 100 99 98 100 99 99 100 99 ) 94 99 ) 95 99 ( ) 96 99 ( ) 97 99 ( ) 98 99 ( ) 99 99 ( 2 2 2 2 2 2                                                   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Vì:

94 95 96 97 98 99     

 đó:

0 ) 100 )( ( 100 99      

 x x x

x 100 100 * 1 *          x x x x

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = - 100 Bài tập Giải phương trình

Bài 1: a) x4 x26x 80

b) ( 1)2 4(2 1)

 

 x

x

c) ( 1)3 (2 3)3 27

   

 x x

x

Bài 2: a) ( )2 2( ) 24

  

 x x x

x

b) ( 2)( 3) 12

   

x x x

x

c) ( 1)2 3( 1)

   

x x x

x

Bài 3: a) x(x1)(x 1)(x2)24

b) (x 4)(x 5)(x 6)(x 7)1680

c) (12 7)2(3 2)(2 1)

  

 x x

x

d) (2 1)( 1)2(2 3) 18

  

 x x

x

Bài 4: a) ( 9)2 15( 10)

   



 x x x

x

b) ( 1)2 ( 1) 2

   

 x x x

x

c) ( 9)2 12

 

 x

x

Bài 5: a) ( 1)4 ( 3)4 82

  

 x

b) ( 1)4 ( 2)4

  

 x

x

c) ( 2,5)4 ( 1,5)4

 



 x

x

Bài 6: a) ( 1)3 ( 2)3 (2 1)3    

 x x

x

b) (x 7)4 (x 8)4 (15 2x)4     

Bài 7: a) x4  3x34x2  3x10

b) 38

   

 x x x

x

c) 3 2

    

 x x x x

x

d) 36

   

 x x x

x

Chủ đề 3 BẤT ĐẲNG THỨC

I Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa:

a nhỏ b, ký kiệu a b , a b 0

a lớn b, ký hiệu a b , a b 0

a nhỏ b, ký hiệu ab, a b0

2 Tính chất

1 a b  b a

2 a b b c ,   a c

3 a b  a c b c  

a b  a c b c  

a c b   a b c 

4 a c b d ,   a b c d  

a b c d ,   a c b d  

5 a b c ,  0 ac bc

a b c ,  0 ac bc

6 a b 0,c d  0 ac bd

7 a b an bn

   

a b an bn

   với n lẻ

a b an bn

   với n chẵn

3 Một số bất đẳng thức thông dụng a Bất đẳng thức Cô si

Nếu a, b số khơng âm ab ab

2 Dấu xảy a = b

b Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a b ab Dấu xảy a.b ≥ II Một số phương pháp bản

- Sử dụng định nghĩa

- Sử dụng phép biến đổi tương đương - Sử dụng tính chất bất đẳng thức III Một số ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức a2b2c2 abacbc

Giải

bc ac ab c b

a2 2 2   (1)

) (

2 ) (

) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2                  c bc b c ac a b ab a bc ac ab c b a ) ( ) ( )

( 2

     

 a b a c b c (2)

Bất dẳng thức (2) bất đẳng thức Mặt khác phép biến đổi tương đương Vây bất đẳng thức (1) bất đẳng thức xảy dấu a = b = c

Ví dụ 2: Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a + b = chứng minh a4 b4 a3 b3    Giải

Từ a4b4a3b3

0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 ) )( ( ) ( 2 2 2 3 3 3 4 3 4 3 4                                          b b a b a b ab a b a b a b a b a b b a a ab b a b a b ab b a a b a b a b a b a

Dấu xảy a = b =

Ví dụ 3: Chứng minh với số thực a, b khác khơng ta ln có bất đẳng thức sau:

) ( 2 2 a b b a a b b a     Giải ) ( ) ( 2 2        a b b a a b b a ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2                             b a ab b a ab b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a ) ( )

( 2

         

 a b b a b (*)

Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức ban đầu Ví dụ 4: Cho abc1 chứng minh

3 2   b c

Giải Đặt a x

3

, b y

3

, c z

3

Do abc1 nên xyz0 ta có:

2 2 )2

3 ( ) ( )

( x y z

c b

a        

3

1

) (

3

3

2

2

2 2

2 2

2

2

    

      

        

z y x

z y x z y x

z z y

y x

x

Dấu xảy  xyz0

3     a b c

Ví dụ 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng:xyxyz

Giải Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: xy)2 xy

2 (

xy y

x )

(   

Ta có: (xy)z2 4(xy)z

z y x y x

z y x

2

) ( ) ( 16

) ( 4

   

  

(nhân vế với x+y) Mà (x y)2 4xy

 

xyz z

y

x ) 16

(

4

 



Nên 16(xy)16xyz

xyz y

x 



Bài tập: Bài tập 1: Cho a, b hai số dương Chứng minh:

a) (a b)(a3 b3) 2(a4 b4)

   

b) (a b)(a4 b4) (a2 b2)(a3 b3)

 

  

Bài tập 2: a) Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh rằng:

8 ) )( )(

b) Cho a, b số không âm Chứng minh rằng:

) )(

(a ab  ab

Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = chứng minh:

a) 2 21

 b

a b)

8 4

 b

a

Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng Chứng minh: 1119

c b a

Bài tập 5: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:

1 a b c

a b b c a c

   

  

Chủ đề 4 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG BÀI

TỐN HÌNH HỌC

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Trong hình học có nhiều tốn u cầu tìm giá trị lớn hay nhỏ đại lượng hình học độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích hình Các tốn gọi tốn “cực trị hình học”

2 Đường lối chung để giải tốn cực trị hình học

Cách 1: Chỉ hình chứng minh hình có đại lượng cần tìm cực trị lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình khác

Người ta thường dùng cách chứng minh hình dạng hình có cực trị nói rõ đầu

Cách 2: Thay điều kiện đại lượng cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí đại lượng hình học để đạt cực trị Người ta thường dùng cách đầu cho dạng: “Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị toán”

Dạng 1: Vận dụng quan hệ đường xiên đường vng góc, quan hệ đường xiên hình chiếu

 Kiến thức cần nhớ

Ta có:

d H d C

d b d A d AH

 

  

,

, ,

a ABAH

Dấu “=” xảy  BH

b ABAC  BH HC d

H C

B

K H

M C

B

A

 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A M điểm chuyển động cạnh BC Vẽ AC

ME AB

MD ,  (DAB;EAC)

Xác định vị trí đểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ Giải

Vẽ AH BC(HBC)

H cố định AH khơng đổi

Tứ giác AEMD có A E D 90o

  

  

Nên AEMD hình chữ nhật

AM

DE



Mà AM AH

Vậy DE nhỏ  M H

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Qua đỉnh A tam giác dựng đường thẳng d cắt BC cho tổng khoảng cách từ B từ C đến d có giá trị nhỏ

Giải: Gọi M giao điểm d BC

vẽ BH d,CK d (H,K d)

SMAB + SMAC = SABC

AM S CK BH

S AM CK AM BH

ABC

ABC

2

 

 

BH + CK nhỏ

AM SABC

 nhỏ

 AM lớn

+ Nếu ABAC AM AC

Vậy BH + CK nhỏ M C

+ Nếu AC ≤ AB AM ≤ AB suy BH + CK nhỏ M B

Dạng 2: Vận dụng bất đẳng thức tam giác quy tắc điểm

 Kiến thức cần nhớ

1 Tam giác ABC có

 AB AC BC AB AC

M H

D

E

C B

d

M N

B' B

A' A

B

D C

A

G F E

Q

P

N M

 ABC ACB   ACAB

2 Với ba điểm A, B, C ta ln có ABACCB dấu “=” xảy

khi C điểm thuộc đoạn AB * Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai điểm A B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d, hai điểm M, N thuộc d khoảng cách MN không đổi Xác định vị trí hai điểm M, N để tổng độ dài S = AM + MN + NB nhỏ

Giải: Dựng hình bình hành BNMB’

a MN

BB 

 ' (không đổi)

'

MB

NB ; B’ cố định

Gọi A’ điểm đối xứng A qua đường thẳng d ta có AM = A’M ; A’ cố định Xét ba điểm A’; M; B’ ta có:

' ' '

'M MB A B

A  

Do S = AM + MN + MB’ = A’M + MN + MB’

(A’M + MB’) + MN  A’B’ + a

(MN = a không đổi)

Vậy: S = AM + MN + NB có giá trị nhỏ M thuộc đoạn A’B’ hay M giao điểm d A’B’

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, gọi M, N, P, Q điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA (Tứ giác MNPQ gọi tứ giác nội tiếp hình vng)

Tìm điều kiện điểm M, N, P, Q để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Giải

Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng MQ, MP, NP

AMQ

 vng A có AE trung tuyến nên

AE MQ MQ

AE

2

 



Tương tự NP = 2GC M

tam giác MPQ; MNP nên:

PQ E

2

F vàFG MN 

F 2E PQ

 MN 2FG

Do chu vi tứ giác MNPQ P = MN + NP + PQ + MQ

 P = 2FG + 2GC + 2EF + 2AE = 2(AE + EF + FG + GC)  2AC (không đổi)Dấu

“=” xảy  A, E, F, G, C thẳng hàng  MN//AC//PQ MQ//DB//NP đó

MNPQ hình chữ nhật AM = AQ = CN = CP Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức đại số

 Kiến thức cần nhớ

- Bất đẳng thức Cơ-si: Nếu x0;y 0 xy2 xy ; dấu đẳng thức xảy x = y

- Nếu x0;y 0 mà x + y số xy đạt giá trị lớn x = y - Nếu x0;y0 mà x.y số x + y đạt giá trị nhỏ x = y - Nếu x > 0; y > xy yx 2 Dấu xảy : x = y.

 Các ví dụ

Ví dụ 1: Trong tất tam giác vng có diện tích S cho trước, chứng minh tam giác vng cân có chu vi nhỏ

Giải

Gọi a, b hai cạnh góc vng tam giác ( a, b >0) cạnh huyền tam giác

2 b a 

Chu vi tam giác vuông là: C a b a2 b2

   

Diện tích tam giác vng S ab

2 

Ta có: ab2 ab (Theo bất đẳng thức Cô si) hay ab2 2S (1)

Mặt khác a2 b2 2ab

  (Theo bất đẳng thức Cô si)

 a2 b2 2ab a2 b2 2.2S

     (2)

Cộng (1) (2) theo vế ta được: S

S b

a b

a 2 2     

Vậy C 2 2S 2 S

Chu vi tam giác nhỏ 2S 2 S a = b  ABC cân

Xác định vị trí điểm A để tích AA’.HA’ đạt giá trị lớn Giải

Xét A'BH A'AC có:

   

BA'H AA'C; A'BH A'AC 

(Cùng phụ với góc C) Do A'BH ~ A'AC

C B.A' A' A'.HA' A'

' '

'

 



 A

A B A C A HA

Ta có: A'B A'C = A'B(BC – A'B) = A'B BC – A'B2

= 2 ' . '

4

4 A BBC A B

BC BC

 



= ' ' )

4 (

2

2

B A BC B A BC BC

 



=

4 )

' (

2

2 BC

B A BC BC

 



Vậy

4 A'.HA'

2

BC

A  (không đổi)

Dấu “=” xảy BC A'B

2 

  A' trung điểm BC

 A thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC

Bài tập

1 Cho tam giác nhọn ABC điểm M tam giác Xác định vị trí M cho MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị nhỏ

2 Cho tam giác ABC, M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN Xác định vị trí M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ Cho tam giác nhọn ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c M điểm nằm tam giác Đặt MA = x, MB = y, MC = z

Xác định vị trí điểm M để tổng ax + by + cz đạt giá trị nhỏ Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF

Xác định dạng tam giác ABC để tam giác DEF có diện tích lớn

5 Trong tứ giác nội tiếp hình chữ nhật cho trước Tìm tứ giác có tổng bình phương cạnh nhỏ

B'

A' H

C B

Chú ý : Các chủ đề dựng hình thước com pa, phương pháp diện tích