Đang tải... (xem toàn văn)
Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình ...1. Các bài toán này [r]
(1)
Chủ đề 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I Tóm tắt lý thuyết
1 Trên tập xác định biểu thức f(x,y, )
a Số A gọi giá trị lớn f(x,y, ) nếu f x y( , , )A có (x0; y0; )
cho f x y( , , )0 A
Ký hiệu Max f A
b Số B gọi giá trị nhỏ f(x,y, ) nếu f x y( , , )B có (x0; y0; )
cho f x y( , , )0 B
Ký hiệu Min f B
2 Cách tìm giá trị lớn hay nhỏ biểu thức đại số - Tìm tập xác định biểu thức
- Trên tập xác định biểu thức, chứng minh f x y( , , )A hoặc
( , , ) f x y B
- Chỉ số (x0; y0 ) cho f x y( , , )0 A f x y( , , )0 B - Kết luận: Max f A x = x0 ; y = y0
Min f B x = x0 ; y = y0 3 Các kiến thức thường dùng
+
x , x R Tổng quát f x( )2k 0 với x
Từ xuy ra: f x( )2k m m , x R
M f x( )2k M, x R
+ x 0,xR
+ x x, xR Dấu x ≥
+ |x| ≥ -x, xR Dấu x ≤
+ xy x y
Dấu xảy xy0 + x y x y
Dấu xảy xy0và |x| ≥ |y| II Các dạng tập thường gặp
§1 ĐA THỨC BẬC NHẤT CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ
(2)
b B8 5x 3
Giải a Biểu thức A xác định với x thuộc tập số R
Ta có 7x 0
Nên A0 A0 7x 50
x75
Vậy A = x75
b Biểu thức B xác định với x thuộc tập số R
Ta có: 8 5x 0 8 5x 33 Nên B =
x
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức
1
5
x
D
Giải Biểu thức D xác định với xR
Ta có 2x 0 Nên 5 2x15 Vậy max D = 5,
2
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2009
2008
x x
C
Giải Biểu thức C xác định với xR
Áp dụng bất đẳng thức xy x y Dấu xảy xy0 ta Cx 2008 x 2009
x 2008 2009 x x 20082009 x Nên C 1
Vậy C = (x – 2008)(2009 – x)
Tức 2008x2009
Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a M 51 4x 1
b N x1 x
c Px x5
2 Tìm giá trị lớn biểu thức a C 12 3x
b 21 3 x
D
3 Tìm giá trị nhỏ
a E x a x b với a b b Fx x 3 x 4 x
c 2 12
x x x x
M
§2 ĐA THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
x x
(3)
b Tìm giá trị lớn biểu thức
3 2
x x
B
Giải
a Biểu thức A xác định với x thuộc tập số thực R
Ta có:
x x
A 3( 2 )
x x 3(x1)2 55
Do ( 1)2
x với x, nên A5
1
1
5
x x
A Vậy A = -5 x =
b Biểu thức B xác định với x thuộc tập số thực R
Ta có
x x
B 2 ) ( 3 13 13 ) ( ) 9 ( x x x x
Do )
3
(
x với x nên
5 13 B 3 13 x B
Ví dụ 2: Với giá trị x, y biểu thức sau đây:
a 12 4
x xy y x
C đạt giá trị nhỏ nhất
b D 15 10x 10x2 24xy 16y2
đạt giá trị lớn
Giải
a Biểu thức C xác định với x thuộc tập số thực R
4 12
5 2
x xy y x
C
(( 24)2 (42) (43 )2 120 ) 2 y x x y xy x x x 0
x
C Và 2x 3y0
x2
y
Vậy C = x = y34
b D 15 10x 10x2 24xy 16y2
40 ) ( ) ( 40 ) 16 24 ( ) 25 10 ( 40 2 2 y x x y xy x x x
Max D = 40 x5;y154 Ví dụ 3: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
2 2
x xy y x y
E
b Tìm giá trị lớn biểu thức 10 2
x xy y x y
F
Giải
a Biểu thức E xác định với x thuộc tập số thực R
2 2
2 2
x xy y x y
E ) 4 ( ) 2
( 2
x y x y xy x x
E
( 1)2 ( 2)2 3
x y x
0 3
x y
(4)
Min E = -3 x2 y 3
b Biểu thức F xác định với x thuộc tập số thực R ) 4 ( ) 2 (
18 2
x y xy x y y y
F
18 ( 1)2 ( 2)2 18
x y y
0 18
x y
F y 20 Max F = 18 x3 v y 2
Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a Ax2 x
b 4 11
x x
B
c 2 20 53
x
x
2 Tìm giá trị lớn biểu thức:
a D 5 8x x2
b
x x
E
c F 1 x x2
3 Với giá trị x, y biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
a 10 12
x xy y x
G
b 3 2009
x xy x y x y xy x
M
c C x2 xy y2 3x 3y
4 Tìm giá trị lớn biểu thức
a 2 2 2 15
x y xy x y
A
b B = 1 6y 5y2 12xy 9x2
§3 BIỂU THỨC CĨ DẠNG PHÂN THỨC
1 Phân thức có tử số số, mẫu số tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ
1
2
A
x x
Giải
2
1
2 ( 1)
A
x x x
Ta có 2
(x1) 0 (x1) 4
( 11)2 414
x
(x11)2 4 41
Vậy A 41 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn
9 4
7
x x B
Giải
) (
7
4
7
2
x x
x B
Ta có (2 1)2 (2 1)2 8
x
(5)8 ) (
2
x
Vậy max B87
x
2 Phân thức có mẫu số bình phươngcủa nhị thức Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 ) ( x x x C Giải Biểu thức C có giá trị xác định với x 1
2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( ) ( x x x x x x x x x x x x x x C
Vì 43
) ( ) ( 2 C x x
C x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn ( 1)2 x x D Giải Biểu thức D có giá trị xác định với x 1
2
2 ( 1)
1 1 ) ( 1 ) ( x x x x x x D
Đặt y
x1
1 ) ( ) 4 ( )
( 2
2
y y y y y y y
D
4
D
2 1 x x y
Vậy max D41 x = 3 Các phân thức khác
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
1 2 x x x M
Ta có 1 ( 1) 0
2
x x x nên biểu thức M có giá trị xác định với x R
Tìm giá trị lớn M
1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x M Vì 2
( 1)
x x
x
nên
) ( 2 x x x M
Vậy max M = x =
Tìm giá trị nhỏ M
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x M
(6)Min
3
M x = -1
Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a 6 5 9
2 x x
P
b
1
6
2
x x
x x Q
c
1
1
2
x x
x x S
2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a
5 4
3
x x K
b
12
14 2
x x
x x E
c 2
4 ) (
1
x x F
§4 BIỂU THỨC CĨ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y =
a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A2x2 y
b Tìm giá trị lớn biểu thức Bxy1 Giải
Do 3xy1 y1 3x ta có
a
16 17 ) ( ) 2 ( ) (
2x2 x x2 x x2 x x
A
) 178
4 (
2
x nên
8 17
A
Vậy A 178
4
x ;
4 13
y
b )
3 ( 3
)
( 2
x x x x x x
B
)2
6 ( 12 13 36 13 ) (
3
x x
Nên B1213 max
12 13
B
6
x
2
y
Bài tập
1 Cho x, y hai số thoả mãn điều kiện:
4
2 2
y
x x
(7)
2 Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện 2
y
x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất x + y
3 Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ P x3 y3
Chủ đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
I Phương trình bậc cao phương trình có dạng: f(x) = f(x) đa thức bậc n (n2) x
II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao. 1 Phương pháp đưa phương trình tích. Ví dụ 1: Giải phương trình:
x x x
x
Giải
0 ) )( )( (
0 ) ( ) ( ) (
0 ) 3
)( (
0
2
2
2
2
x x
x
x x
x x
x x x x
x x x x
* x 20 x2 * x30 x3 * x2 0 x2 1 0
Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 19 106 120
x x x
x
(8) ) )( )( )( ( ) 20 )( )( ( ) ( 20 ) ( ) ( ) ( ) 60 20 ( ) ( ) ( ) ( ) 60 23 )( ( ) ( 60 ) ( 23 ) ( ) ( ) 120 60 ( ) 46 23 ( ) ( ) ( 120 106 19 2 2 3 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 * 4 * 3 * 2 * x x x x x x x x
Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 12 15
x x x
x Giải ) 3 )( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 ( ) 15 ( ) 10 ( ) ( ) 15 21 16 )( ( ) ( 15 ) ( 21 ) ( 16 ) ( ( 15 15 21 21 16 16 4 15 12 2 2 3 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Vì )
2 3 ( 3
2x2 x x2 x
2
3
2( )
2
x
với x
Nên: x10 x1
Hoặc: 2x50 x2,5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5 Ví dụ 4: Giải phương trình: x4 2x32x2 4x 80
(9)
2
2 *
2
2 *
x x
x x
* x2 2x40 (vô nghiệm)
Vì 2
2 ( 1) x x x
Vậy phương trình có hai nghiệm: x 2; x 2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: (x1)(x2)(x4)(x5)40 Giải
2
( 1)( 2)( 4)( 5) 40
( 1)( 5) ( 2)( 4) 40
( 5)( 8) 40
x x x x
x x x x
x x x x
Đặt: x26x5t ta có
0 ) )( (
0 40
0 40 ) (
2
t t
t t t t
+ Nếu t = x26x55
2 6 0 ( 6) 0
x x x x
x0 x = -6
+ Nếu t = -8 x26x58 x2 6x130
Phương trình vơ nghiệm x2 6x 13 (x 3)2 4 0
với x
Vậy: Phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x = -6 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 6)4 ( 8)4 16
x
x
Giải
16 ) ( )
( 4
x
x
Đặt: x – = y, phương trình chở thành:
7
16 ) ( ) (
2
4
y y
y y
Đặt:
z
y ta có:
0 ) )( (
0
z z
z z
Nếu z10 z1 thoả mãn điều kiện z0
(10)
Với z = ta có y 1 * y1 x 71 x8 * y1 x 71 x6
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6, x =
Ví dụ 3: Giải phương trình: ( 3 4)3 (2 5 3)3 (3 2 1)3
x x x x x
x
Giải
Đặt
x x
u
2
x x
v
1
v x x
u
Phương trình có dạng: u3 v3 (u v)3
0 ) (
0 3
0 )
3 (
0 ) (
2
3 2
3 3
3
3
v u uv
uv v u
v uv v u u v u
v u v u
0
u v 0 uv0
4
x x 2x2 5x30 3x2 2x 10
+
x
x
(x1)(x4)0 x1 x 4
+ 2
x
x
(2x 3)(x1)0
2
x x =
+ 2
x
x
(3x1)(x1)0
3
x x =
Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: ;
2 ; ;
1
x x x
x
Ví dụ 4: Giải phương trình: ( 1)3 ( 2)3 (2 1)3
x x
x
Giải
3
3 ( 2) (2 1)
)
(x x x
Đặt: x + = y; x – = z; – 2x = t Thì y + z + t = 0; z + t = - y
(11)yzt t z y t z zt t z y zt t z t z y t z y t z y t z y t z y t z y t z y ) ( 3 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 2 3 3 2 3
Vậy yzt = (x1)(x 2)(1 2x)0
* x10 x1
* x 20 x2
* 1 2x0 x21
Vậy phương trình cho có ba nghiệm:
3 ; ;
1
x x
x
3 Các phương pháp khác Ví dụ 1: Giải phương trình:
8 30 11 20 12 2 2
x x x x x x x
x Giải ) )( ( 30 11 ) )( ( 20 ) )( ( 12 ) )( ( 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x
ĐKXĐ: x 6,x 5,x 4,x 3,x2 Phương trình biến đổi dạng:
8 5 4 3 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x ) )( 10 ( 20 x x x x
* x100 x10 (Thoả mãn ĐKXĐ)
* x 20 x2 (Thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2, x = - 10 Ví dụ 2: Giải phương trình
94 99 95 99 96 99 97 99 98 99 99
99 2 2
2
x x x x x x x x x x x
(12)
Giải Cộng vào hai vế phương trình (- 3), ta có
0 ) 94 95 96 97 98 99 )( 100 99 ( 94 100 99 95 100 99 96 100 99 97 100 99 98 100 99 99 100 99 ) 94 99 ) 95 99 ( ) 96 99 ( ) 97 99 ( ) 98 99 ( ) 99 99 ( 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Vì:
94 95 96 97 98 99
đó:
0 ) 100 )( ( 100 99
x x x
x 100 100 * 1 * x x x x
Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = - 100 Bài tập Giải phương trình
Bài 1: a) x4 x26x 80
b) ( 1)2 4(2 1)
x
x
c) ( 1)3 (2 3)3 27
x x
x
Bài 2: a) ( )2 2( ) 24
x x x
x
b) ( 2)( 3) 12
x x x
x
c) ( 1)2 3( 1)
x x x
x
Bài 3: a) x(x1)(x 1)(x2)24
b) (x 4)(x 5)(x 6)(x 7)1680
c) (12 7)2(3 2)(2 1)
x x
x
d) (2 1)( 1)2(2 3) 18
x x
x
Bài 4: a) ( 9)2 15( 10)
x x x
x
b) ( 1)2 ( 1) 2
x x x
x
c) ( 9)2 12
x
x
Bài 5: a) ( 1)4 ( 3)4 82
x
(13)
b) ( 1)4 ( 2)4
x
x
c) ( 2,5)4 ( 1,5)4
x
x
Bài 6: a) ( 1)3 ( 2)3 (2 1)3
x x
x
b) (x 7)4 (x 8)4 (15 2x)4
Bài 7: a) x4 3x34x2 3x10
b) 38
x x x
x
c) 3 2
x x x x
x
d) 36
x x x
x
Chủ đề 3 BẤT ĐẲNG THỨC
I Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa:
a nhỏ b, ký kiệu a b , a b 0
a lớn b, ký hiệu a b , a b 0
a nhỏ b, ký hiệu ab, a b0
(14)
2 Tính chất
1 a b b a
2 a b b c , a c
3 a b a c b c
a b a c b c
a c b a b c
4 a c b d , a b c d
a b c d , a c b d
5 a b c , 0 ac bc
a b c , 0 ac bc
6 a b 0,c d 0 ac bd
7 a b an bn
a b an bn
với n lẻ
a b an bn
với n chẵn
3 Một số bất đẳng thức thông dụng a Bất đẳng thức Cô si
Nếu a, b số khơng âm ab ab
2 Dấu xảy a = b
b Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a b ab Dấu xảy a.b ≥ II Một số phương pháp bản
- Sử dụng định nghĩa
- Sử dụng phép biến đổi tương đương - Sử dụng tính chất bất đẳng thức III Một số ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức a2b2c2 abacbc
Giải
bc ac ab c b
a2 2 2 (1)
) (
2 ) (
(15)) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 c bc b c ac a b ab a bc ac ab c b a ) ( ) ( )
( 2
a b a c b c (2)
Bất dẳng thức (2) bất đẳng thức Mặt khác phép biến đổi tương đương Vây bất đẳng thức (1) bất đẳng thức xảy dấu a = b = c
Ví dụ 2: Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a + b = chứng minh a4 b4 a3 b3 Giải
Từ a4b4a3b3
0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 ) )( ( ) ( 2 2 2 3 3 3 4 3 4 3 4 b b a b a b ab a b a b a b a b a b b a a ab b a b a b ab b a a b a b a b a b a
Dấu xảy a = b =
Ví dụ 3: Chứng minh với số thực a, b khác khơng ta ln có bất đẳng thức sau:
) ( 2 2 a b b a a b b a Giải ) ( ) ( 2 2 a b b a a b b a ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 b a ab b a ab b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a ) ( )
( 2
a b b a b (*)
Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức ban đầu Ví dụ 4: Cho abc1 chứng minh
3 2 b c
(16)
Giải Đặt a x
3
, b y
3
, c z
3
Do abc1 nên xyz0 ta có:
2 2 )2
3 ( ) ( )
( x y z
c b
a
3
1
) (
3
3
2
2
2 2
2 2
2
2
z y x
z y x z y x
z z y
y x
x
Dấu xảy xyz0
3 a b c
Ví dụ 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng:xyxyz
Giải Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: xy)2 xy
2 (
xy y
x )
(
Ta có: (xy)z2 4(xy)z
z y x y x
z y x
2
) ( ) ( 16
) ( 4
(nhân vế với x+y) Mà (x y)2 4xy
xyz z
y
x ) 16
(
4
Nên 16(xy)16xyz
xyz y
x
Bài tập: Bài tập 1: Cho a, b hai số dương Chứng minh:
a) (a b)(a3 b3) 2(a4 b4)
b) (a b)(a4 b4) (a2 b2)(a3 b3)
Bài tập 2: a) Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh rằng:
8 ) )( )(
(17)
b) Cho a, b số không âm Chứng minh rằng:
) )(
(a ab ab
Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = chứng minh:
a) 2 21
b
a b)
8 4
b
a
Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng Chứng minh: 1119
c b a
Bài tập 5: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:
1 a b c
a b b c a c
Chủ đề 4 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG BÀI
TỐN HÌNH HỌC
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Trong hình học có nhiều tốn u cầu tìm giá trị lớn hay nhỏ đại lượng hình học độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích hình Các tốn gọi tốn “cực trị hình học”
2 Đường lối chung để giải tốn cực trị hình học
Cách 1: Chỉ hình chứng minh hình có đại lượng cần tìm cực trị lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình khác
Người ta thường dùng cách chứng minh hình dạng hình có cực trị nói rõ đầu
Cách 2: Thay điều kiện đại lượng cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí đại lượng hình học để đạt cực trị Người ta thường dùng cách đầu cho dạng: “Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị toán”
(18)
Dạng 1: Vận dụng quan hệ đường xiên đường vng góc, quan hệ đường xiên hình chiếu
Kiến thức cần nhớ
Ta có:
d H d C
d b d A d AH
,
, ,
a ABAH
Dấu “=” xảy BH
b ABAC BH HC d
H C
B
(19)K H
M C
B
A
Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A M điểm chuyển động cạnh BC Vẽ AC
ME AB
MD , (DAB;EAC)
Xác định vị trí đểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ Giải
Vẽ AH BC(HBC)
H cố định AH khơng đổi
Tứ giác AEMD có A E D 90o
Nên AEMD hình chữ nhật
AM
DE
Mà AM AH
Vậy DE nhỏ M H
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Qua đỉnh A tam giác dựng đường thẳng d cắt BC cho tổng khoảng cách từ B từ C đến d có giá trị nhỏ
Giải: Gọi M giao điểm d BC
vẽ BH d,CK d (H,K d)
SMAB + SMAC = SABC
AM S CK BH
S AM CK AM BH
ABC
ABC
2
BH + CK nhỏ
AM SABC
nhỏ
AM lớn
+ Nếu ABAC AM AC
Vậy BH + CK nhỏ M C
+ Nếu AC ≤ AB AM ≤ AB suy BH + CK nhỏ M B
Dạng 2: Vận dụng bất đẳng thức tam giác quy tắc điểm
Kiến thức cần nhớ
1 Tam giác ABC có
AB AC BC AB AC
M H
D
E
C B
(20)d
M N
B' B
A' A
B
D C
A
G F E
Q
P
N M
ABC ACB ACAB
2 Với ba điểm A, B, C ta ln có ABACCB dấu “=” xảy
khi C điểm thuộc đoạn AB * Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d, hai điểm M, N thuộc d khoảng cách MN không đổi Xác định vị trí hai điểm M, N để tổng độ dài S = AM + MN + NB nhỏ
Giải: Dựng hình bình hành BNMB’
a MN
BB
' (không đổi)
'
MB
NB ; B’ cố định
Gọi A’ điểm đối xứng A qua đường thẳng d ta có AM = A’M ; A’ cố định Xét ba điểm A’; M; B’ ta có:
' ' '
'M MB A B
A
Do S = AM + MN + MB’ = A’M + MN + MB’
(A’M + MB’) + MN A’B’ + a
(MN = a không đổi)
Vậy: S = AM + MN + NB có giá trị nhỏ M thuộc đoạn A’B’ hay M giao điểm d A’B’
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, gọi M, N, P, Q điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA (Tứ giác MNPQ gọi tứ giác nội tiếp hình vng)
Tìm điều kiện điểm M, N, P, Q để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Giải
Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng MQ, MP, NP
AMQ
vng A có AE trung tuyến nên
AE MQ MQ
AE
2
Tương tự NP = 2GC M
(21)
tam giác MPQ; MNP nên:
PQ E
2
F vàFG MN
F 2E PQ
MN 2FG
Do chu vi tứ giác MNPQ P = MN + NP + PQ + MQ
P = 2FG + 2GC + 2EF + 2AE = 2(AE + EF + FG + GC) 2AC (không đổi)Dấu
“=” xảy A, E, F, G, C thẳng hàng MN//AC//PQ MQ//DB//NP đó
MNPQ hình chữ nhật AM = AQ = CN = CP Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức đại số
Kiến thức cần nhớ
- Bất đẳng thức Cơ-si: Nếu x0;y 0 xy2 xy ; dấu đẳng thức xảy x = y
- Nếu x0;y 0 mà x + y số xy đạt giá trị lớn x = y - Nếu x0;y0 mà x.y số x + y đạt giá trị nhỏ x = y - Nếu x > 0; y > xy yx 2 Dấu xảy : x = y.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong tất tam giác vng có diện tích S cho trước, chứng minh tam giác vng cân có chu vi nhỏ
Giải
Gọi a, b hai cạnh góc vng tam giác ( a, b >0) cạnh huyền tam giác
2 b a
Chu vi tam giác vuông là: C a b a2 b2
Diện tích tam giác vng S ab
2
Ta có: ab2 ab (Theo bất đẳng thức Cô si) hay ab2 2S (1)
Mặt khác a2 b2 2ab
(Theo bất đẳng thức Cô si)
a2 b2 2ab a2 b2 2.2S
(2)
Cộng (1) (2) theo vế ta được: S
S b
a b
a 2 2
Vậy C 2 2S 2 S
Chu vi tam giác nhỏ 2S 2 S a = b ABC cân
(22)
Xác định vị trí điểm A để tích AA’.HA’ đạt giá trị lớn Giải
Xét A'BH A'AC có:
BA'H AA'C; A'BH A'AC
(Cùng phụ với góc C) Do A'BH ~ A'AC
C B.A' A' A'.HA' A'
' '
'
A
A B A C A HA
Ta có: A'B A'C = A'B(BC – A'B) = A'B BC – A'B2
= 2 ' . '
4
4 A BBC A B
BC BC
= ' ' )
4 (
2
2
B A BC B A BC BC
=
4 )
' (
2
2 BC
B A BC BC
Vậy
4 A'.HA'
2
BC
A (không đổi)
Dấu “=” xảy BC A'B
2
A' trung điểm BC
A thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC
Bài tập
1 Cho tam giác nhọn ABC điểm M tam giác Xác định vị trí M cho MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị nhỏ
2 Cho tam giác ABC, M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN Xác định vị trí M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ Cho tam giác nhọn ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c M điểm nằm tam giác Đặt MA = x, MB = y, MC = z
Xác định vị trí điểm M để tổng ax + by + cz đạt giá trị nhỏ Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF
Xác định dạng tam giác ABC để tam giác DEF có diện tích lớn
5 Trong tứ giác nội tiếp hình chữ nhật cho trước Tìm tứ giác có tổng bình phương cạnh nhỏ
B'
A' H
C B
(23)
Chú ý : Các chủ đề dựng hình thước com pa, phương pháp diện tích