Sau khi kÊy ra ë thïng thø nh¸t mét lîng dÇu gÊp ba lîng dÇu lÊy ra ë thïng thø hai, th× lîng dÇu cßn l¹i trong thïng thø hai gÊp ®«i lîng dÇu cßn l¹i trong thïng thø nhÊt.. NÕu ch¶y r[r]
(1)Chủ đề I: rút gọn biu thc Ph
ơng pháp:
- Phõn tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ (Nếu tốn cha cho ĐKXĐ) - Rút gọn phân thức(nếu đợc)
- Thực phép biến đổi đồng nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia
+ Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dng
+ Phân tích thành nhân tư – rót gän
Chú ý: - Trong tốn rút gọn thờng có câu thuộc loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị ngun; tìm giá trị nhỏ ,lớn nhất…Do ta phải áp dụng phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho loại
Bài Tập (Mỗi tập em tự tìm TXĐ)
Bµi 1: Cho biĨu thøc : a a a a a a A 1
a/ Rót gän A
b/ TÝnh A a3 2
Bµi 2: Cho biĨu thøc : 2 2 a a a a B
a/ Rút gọn B
b/ Tính giá trị a B =
2 Bµi 3: Cho biÓu thøc :
x x x C 2
a/ Rót gän C
b/ Tinh C x4
Bµi 4: Cho biĨu thøc :
4 : 2 x x x D
Chứng tỏ biểu thức D không phụ thuộc vào biến x
Bµi 5: Cho biĨu thøc : : 2
x x x x x x E
a/ Rót gän E
b/ Tìm giá trị x để E nhận giá trị nguyờn Ch ii:
Phơng trình bậc hai ẩn
- -A CáCH GIảI PHƯƠNG TRìNH BậC HAI (KHUYếT):
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2 + bx = 0
+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , giải phơng trình tích Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax2 + c = 0
+ Phơng pháp:
(2)- Hoặc
m x m x
m x m x m x m x m x
0 0
) )( ( 2
Bµi tËp lun tËp Giải phương trình bậc hai khuyết sau:
a) 7x2 - 5x = ; b) 3x2 +9x = ; c) 5x2 – 20x = 0 d) -3x2 + 15 = ; e) 3x2 - = ; f) 3x2 + = 0 b CáCH GIảI PHƯƠNG TRìNH BậC HAI (ĐầY Đủ):
Cách giải ph ơng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = ( a 0) b»ng c«ng thøc nghiƯm: 1 công thức nghiệm: Phơng trình: ax2 + bx + c = 0
* NÕu > ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = -b - 2a
; x
2 = -b + 2a
* NÕu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b 2a
* NÕu < phơng trình vô nghiệm
Bài tập lun tËp Dùng cơng thức nghiệm tổng qt để giải phương trình
sau:
Bµi 1:
1.a) 2x2 - 7x + = ; b) y2 – 8y + 16 = ; c) 6x2 + x - = 0 d) 6x2 + x + = ; e) 4x2 + 4x +1 = ; f) -3x2 + 2x +8 = 0 Bµi 2:
a/ (x + 2)2 - 3x - = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + = (x - 1)(x - 2) c/ 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) – 15 d/ x2 + 7x - = x(x - 1) - 1 Bµi 3:
a, 2x2 – 2
2x + = b, 2x2 – (1-2 2)x - = c,
3x
2 - 2x - 2
3 = Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = ( a 0) bng P2 c bit:
1 Nếu phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = thì phơng trình cã mét
nghiÖm: x 1 = vµ
a c x2
2 Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã a - b + c = thì phơng trình có
nghiệm: x 1 = - vµ
a c x2
Bài tập luyện tập Giải phơng trình sau phơng pháp đặc biệt:
a) 7x2 - 9x + = ; b) 23x2 – 9x – 32 = ; c) x2 – 39x – 40 = ; d) 24x2 – 29x + = ; c CáCH GIảI PHƯƠNG TRìNH đ a ph ơng trình BậC HAI :
Cách giải phơng trình trùng ph ơng: ax4 bx2c0
+ Đặt x2 = t §K: t 0
+ Thay vào ta đợc phơng trình bậc hai Giải phơng trình ta đợc giá trị t
+ Thay giá trị t vào phơng trình x2 t tÝnh x
+ Đối chiếu với ĐK để kết luận nhiệm phơng trình
ac b2
(3)
Cách giải phơng trình chứa ẩn mẫu: + Tìm ĐKXĐ
+ Quy đồng ; khử mẫu; bỏ ngoặc; thu gọn + Chuyển hạng tử qua vế tráI - đổi dấu + Giải phơng trình bậc hai
+ Đối chiếu với ĐKXĐ để kết luận nghiệm
Cách giải phơng trình bậc cao:
+ Chuyn hạng tử qua vế trái - đổi dấu + Phân tích đa thức VT thành nhân tử + Giải phơng trình tích A(x).B(x).C(x) =
Bµi tËp lun tập: Giải phơng trình sau:
Bài 1: a)
x
x b) 4
x x Bµi 2: x x x a ) ) )( ( )
x x
x x x
b Bµi 3: ) 3 2
x x
x
a )5 x x
x b
d.GIảI Và BIệN LUậN PHƯƠNG TRìNH BậC HAI
1 Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 Ph ơng pháp:
+ LËp biÓu thøc (cã cha tham sè) + Thu gon biÓu thøc
+ Giải bất phơng trình
2.Vớ d: Cho phng trỡnh: x2 + 2x – 2m = (1) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Giải: m m m c b
a 1; 2; ) 4.1.( )
(
Phơng trình (1) có hai ngiƯm ph©n biƯt
2 8
0
m m m
2 Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình có nghiệm kép: 1 Ph ơng pháp:
+ LËp biÓu thøc (cã cha tham sè) + Thu gon biÓu thức
+ Giải phơng trình
2.VÝ dơ:Cho phương trình: x2 + 2x – k = (1)
Tìm giá trị kđể phơng trình có nghiệm kép ? Giải: (a 1;b 2;c k) 22 4.1.( k) 4k
Phơng trình (1) cã hai ngiƯm ph©n biƯt 0 44k0 4k 4 m1
3 Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình vơ nghiệm : 1 Ph ơng pháp:
+ LËp biÓu thøc (cã cha tham sè) + Thu gon biĨu thøc
+ Gi¶i bÊt phơngtrình
+ Vớ d: Cho phng trnh: x2 + 2x +n = (1) Tìm giá trị n để phơng trình vơ nghiệm? Giải: (a 1;b 2;c n) 22 4.1.n 4n
Phơng trình (1) có hai ngiƯm ph©n biƯt 0 4 4n0 4n4 n1
Bài tập luyện tập
Bi 1 Cho phơng tr×nh: x2 + 2x + m + =
a/ Giải phương trình với m = -6
(4)a/ Giải phương trình với m = -
b/Với giá trị m thỡ phng trỡnh cú nghim Bi 3:Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m - =
a/ Giải phương trình với m = -
b/Với giá trị m phương trình có nghiệm Bi 4:Cho phơng trình: mx2 (2m 1)x + m + =
a/ Giải phương trình với m = -
b/Với giá trị cảu m phương trình có nghiệm kép Bài5 :Cho phơng trình: mx2 2(m+2)x + m-1 =
a/ Giải phương trình với m = -
b/Với giá trị m phương trình có hai nghim phõn bit Bi 6:Cho phơng trình: x2 + (2k+1)x + k2 + 2k + =
a/ Giải phương trình với k = -
b/Với giá trị k phương trình vơ nghiệm
4.Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho
tr
íc T×m nghiƯm thø 2
ương pháp:Ph
Ta thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm giá trị tham số
Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình dựng định lý Vi ột
(tơng hai nghiệm tích hai nghim) tỡm nghim th hai
Định lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0)
Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 – 5x + m – = (1) a/ Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 = b/ Tìm nghiêm cịn lại
Gi¶i:
a/ Tìm giá trị m để ph ơng trình có nghiệm x = 1
Thay x1 = vào phơng trình (1) ta đợc: 12 5m 40 4m 40 m8 Vậy với m = Thì phơng trình (1) có nghiệm x1 =
b/Tìm nghiệm cịn lại:
Cách 1:Thay m = vµo PT (1) ta cã: x2-5x+8-4=0 x2 -5x +4 = x
1 =1; x2 = VËy nghiƯm thø hai cđa Pt (1) lµ x =
Cách 2: Theo hệ thức Vi ét ta có: x1.x2 = a c
1 2
x x2 4 Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + = 0 a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị m phơng trình có mét nghiƯm x = -
Bµi 2 : Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = T×m nghiƯm lại
Bài 3 : Biết phơng tr×nh : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = -1 T×m nghiệm lại
Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - =
x1 + x2 = - a b
(5)Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại 5 chứng minh ph ơng trình ln ln có nghiệm :
Ph ơng pháp:
- Lập biểu thøc
- Chứng minh 0với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức về dạng: = (AB)2 m với m0
VÝ dơ: Cho ph¬ng tr×nh ( 2)
m x m
x
Chøng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
Giải:
Ta cã: a 1;b(m 2);cm ( 2)2 4.1.( 5) ( 4) 20
m m m m m
24 2 .4 42
m m m m (m 4)2 80
Vì với giá trị m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bµi tËp lun tËp
Bài 1. Cho phương trình: 2x2 – mx + m – = 0
Chứng minh phương trình có nghiệm với m
Bµi 2:
Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – = 1/Giải phương trình k =
2/Chứng minh phương trình ln có nghiệm với k Bµi 3:
Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – = Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với m
6.LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Khi biÕt hai nghiƯm x1;x2
Ví dụ : Cho x1 3; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm
Gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1
5 S x x P x x
Vậy x x1; 2là nghiệm phương trình có dạng: x2 Sx P 0 x2 5x 6
Bµi tËp ln tËp:
Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm: 1/ x1 = vµ x2 = -3 2/ x1 = 36 vµ x2 = -104
-Chủ đề III
t
ơng quan đồ thị yaxb đồ thị ' 2( ' 0)
ax a
(6)I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số ya'x2(a'0);
hay không thuộc đồ thị:
Hệ số a đợc tính theo cơng thức: 2
x y a
Để vẽ đồ thị hàm số ' 2( ' 0) ax a
y ta lËp b¶ng (thêng cho xby giá trị tuỳ ý)
im A(x0; y0) thuc đồ thị hàm số y = f(x) y = f(x0)
Ví dụ :
a/Tìm hệ số a hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số ca nú i qua im A(2;4) b/ Đồ thị hàm số có qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) kh«ng?
Giải:
a/ Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: = a.22 a =
b/ Vì a =1 nên ta có hµm sè y x2
+ Thay x = vào hàm số ta đợc Y = 32 = = Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2
+ Thay x = vào hàm số ta đợc Y = 32 = Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2
II/QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG (d): y = ax + b
và PA RA BOL(P): y = a’ x 2 (a 0):’
1.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P). Bước 1: LËp phương trình:
a’x2 = ax + b a’x2- ax – b = (1)
Bước 2: Giải phơng trình (1) để ttìm nghiệm x1;x2 lần lợt thay vào hàm số (p) (d) để tìm y1và y2
+ x1và x2 gọi hoành độ giao điểm + y1và y2 gọi tung độ giao điểm
+ Cặp số (x1;y1);(x2;y2) toạ độ giao điểm A B (p) (d)
VÝ dơ: Cho hµm sè (p):y 2x2
đờng thẳng (d): y 3x5 Tìm toạ độ giao im ca (P) v (d)
Giải: Vì (P) cắt (d) nên ta có: 2x2 3x5 2x2 3x 50
Ta cã:a + b + c = => x1 = 1; x2 =
2
(là hoành độ giao điểm) Thay x1 = vào (p) ta đợc: y1 = 12 = =>A(1;1)
Thay
2
x vào (p) ta đợc:
4 25
5
2
y => B
4 25 ; 2.Tìm điều kiện để (d) (P) c¾t; tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (1) ta cã: a'x2 ax b ( a)2 4a'.b
a) (d) (P) cắt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0 b) (d) (P) tiếp xúc với phương trình (1) có nghiệm kép 0 c) (d) (P) khơng giao phương trình (1) vô nghiệm 0
Chú ý: Nếu tốn tìm đợc điều kiện tham số để (d) (P) cắt ; tiếp xúc; không cắt Thì cần thay giá trị tham số vào biểu thức để tìm nghiêm phơng trình thay nghiệm vào (p)để tìm y
VÝ dô: Cho (p): y x2
đờng thẳng (d): y2xm a/ Tìm m để (p) tiếp xúc với (d)
(7)Gi¶i:Ta cã: 4 4 ) ( ) ( 2
2 2
2 m m m m x x m x x
a/ (p) vµ (d) tiÕp xóc 0 4m 40 m1
b/ Khi m = 0thay m = vào phơng trình x2 2x m20 ta đợc: 2 2
x x x
x
Vì 0nên
1 ) ( x x
Thay x = 1vào (p) ta có: y = 12 = 1. Vậy toạ độ tiếp điểm (1;1) 3.
Chứng minh (d) (P) cắt;tiếp xúc; không cắt với giá trị tham số : Ph ơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: a’x2 = ax + b có :
+ 0với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức về dạng: = (AB)2 m với m0 đờng thẳng ln cắt pa bol
+0 với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức về dạng: = (AB)2 đờng thẳng cắt pa bol (AB)2> tiếp xúc với pa bol (A B)2
=
+ 0 với giá trị tham số đờng thẳng tiếp xúc với pa bol
+0 với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức về dạng: = AB2 m với m0 đờng thẳng khơng cắt pa bol
bµi tËp lun tËp:
Bài cho parabol (p): y = 2x2 1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm (p) với đờng thẳng y = 2x +1 Bài : Cho (P):
2 x
y đờng thẳng (d): y = 2x + m Tìm m để (p) tiếp xúc với (d)
2 Tìm toạ độ tiếp điểm Bài : Cho (P) y x2
đờng thẳng (d) y = x + k Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
2 Tìm toạ độ tiếp điểm Bài : Cho (P)
4 x
y vµ (d): y = x + m
1 Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm m =
Bµi : Cho hµm sè (P): y x2
vµ hµm sè(d): y = 2x + m
1.Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) m =
Bµi 6: : Cho hµm sè (P):
4
x
y đờng thẳng (d): y mx 2m1 Vẽ (P)
2 Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm Bài : Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng (d1) y = -2(x+1)
1 §iĨm A cã thc (d1) không ? Vì ?
2 Tỡm a để hàm số (P): y a.x2
®i qua A
(8)Dạng IV
Giải toán cách lập ph ơng trình.
I, LÝ thut cÇn nhí:
* Bíc 1: + Lập PT hệ phơng trình;
- Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn
- Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lợng biết - Lập PT.hoặc HPT
* Bớc 2: Giải PT HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
bµi tËp lun tËp:
1) Tốn chuyển động:
Bài 1. Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B
Bài 2: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi từ B A ngời đ-ờng khác dài km, với vận tốc 12km/h nên thời gian thời gian đI 20 phút Tính quóng ng AB?
Bài 3 Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km , ngợc chiều gặp sau 40 phút.Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h (có vận tốc dòng nớc) vận tốc dòng nớc km/h
2) Toán thêm bít mét l ỵng
Bài 4: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít Sau kấy thùng thứ nhát lợng dầu gấp ba lợng dầu lấy thùng thứ hai, lợng dầu cịn lại thùng thứ hai gấp đơi lợng dầu cịn lại thùng thứ Hỏi lấy lít dầu mi thựng?
3) Toán phần trăm:
Bi 5. Hai trờng A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi trờng có HS lớp dự thi vào lớp 10
4)Toán làm chung làm riêng:
Bi 6. Hai vịi nớc chảy vào bể khơng có nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ cần thời gian vịi thứ hai Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
Bài 7 Hai tổ làm chung cơng việc hồn thành sau 15 tổ làm giờ, tổ hai làm đợc 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hồn thnh bao lõu
4)Các dạng toán khác:
Bài 12 Một ruộng có chu vi 200m tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75 m2 Tính diện tích ruộng đó.
Bài 13 Một phịng họp có 360 ghế đợc xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhng số ngời đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có bao nhiêu
(9)
I/ Nhắc lại số định lí liên quan đến đ ờng trịn:
1.Trong tam giác vng trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh 2 Tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền
3 Nếu tam giác có cạnh đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác tamgiác vng
4a.Trong đờng trịn,đờng kính vng góc với dây đi qua trung điểm dây
b Trong đờng trịn, đờng kính đờng kính đi qua trung điểm dây vng góc với dây
c.Trong đờng trịn,đờng kính vng góc với dây đi qua trung điểm dây đi qua điểm cung.
d.Trong đờng trịn,đờng kính đi qua trung điểm dây đi qua điểm giữa cung thì vng góc với dây
e.Trong đờng trịn,đờng kính đi qua điểm cung và vng góc với dây qua trung điểm dây ấy.
5.Trong đờng tròn:
a/ Hai dây cách tâm b/ Hai dây cách tâm c/ Dây lớn dâyđó gần tâm d/ Dây gần tâm dây lớn
6 Nếu đờng thẳng mà vng góc đầu mút bán kính đờng thẳng
tiếp tuyến đờng tròn
7 Nếu hai tiếp tuyến đờng trịn cắt điểm thì: a/Điểm cách hai tiếp tuyến
b/Tia kẻ từ diểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
c/Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm
d/ Tia kẻ từ tâm qua điểm trục đối xứng dây nối hai tiếp điểm
8 Nếu hai đờng tròn cắt đờng nối tâm đờng trung trực dây chung
9 Trong đơng tròn hai cung chắn hai dây song song
10. Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: a/ Hai cung căng hai dây
b/ Hai dây căng hai cung c/ Cung lớn căng dây lớn
d/ Dây lớn căng cung lớn
11 Hai cung chắn hai dây song song
12.+ Gãc néi tiÕp cã sè ®o: a/ Bằng nửa số đo cung bị chắn b/ Bằng nửa số đo góc tâm
+ Cỏc gúc ni tiếp chắn cung hay cung +Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng
+ C¸c gãc néi tiÕp b»ng chắn cung
13.Góc tạo tiếp tuyến dây cung:
* Góc tạo tiếp tuyến dây cung có số đo nửa số đo cung bị chắn
* Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
14.Gúc cú nh đờng trịn có số đo nửa tổng số đo hai cung bị chắn
15.Góc có đỉnh ngồi đờng trịn có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
16.Tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp 1800.
17.Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 tứ giác nội tiếp đờng trịn.
18. Tứ giác có đỉnh nằm đờng trịn tứ giác đóp nội tiếp
bµi tËp lun tËp:
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O)
(10)1/Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp
2/Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn 3/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng trịn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE
1 Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh DE tiếp tuyến đờng trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N
1 Chøng minh AC + BD = CD Chøng minh COD = 900. Chøng minh OC // BM
4 Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính CD Chứng minh MN AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng trịn bàng tiếp góc
A , O trung điểm IK
1. Chng minh B, C, I, K nằm đờng tròn
2. Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
3. Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2. Chøng minh OAHB hình thoi
4 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
Bi 6 Cho tam giỏc ABC vng A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E
1 Chøng minh tam giác BEC cân
2 Gi I l hỡnh chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH)
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P
cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M
1 Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành
Bài 8 Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác néi tiÕp 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF tam giác cân
4) Chứng minh : Tứ giác AKFH h×nh thoi
Bài 9 Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E)
1 Chøng minh ABD = DFB
(11)(12)2 Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn