Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

Trang |

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020

MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút

Câu ( 5,0 điểm)

1 Tìm tất các điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số ycosxsin x Tìm m để phương trình 2x4 4x2  1 2m0 có nghiệm phân biệt

Câu ( 5,0 điểm)

1 Chứng minh C20201 2C20202   1010C202010101010.22019. Tìm tất cặp số thực  x y; thỏa mãn xy 4

 2   

20 8

x y   x y xy

Câu 3. ( 6,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC. khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a.

2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ).I Gọi M D E, , trung điểm , , ;

BC IB IC F G, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACE. Chứng minh AM vng góc FG.

Câu (2,0 điểm)

Cho dãy số  xn xác định x1  2 xn1 2xn, n 1. Chứng minh dãy số  xn có giới hạn tìm giới hạn

Câu (2,0 điểm)

Xét số thực dương a b c, , có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2 18

.

b c c a a b abc

P

a b c ab bc ca

  

   

 

Trang |

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.1 Tìm tất các điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số ycosxsin x

' sin cos y   x x;

2 4 ' 0

3

2 4

x k

y

x k

 

 

    

  

  

 '' sin cos

y  x x; '' 2 2 0; '' 3 2 2 0

4 4

y   k    y   k  

   

Vậy điểm cực đại hàm số là: 3 2 4

x  k  ; Các điểm cực tiểu hàm số là: 2 4

x   k  Câu 2.Tìm m để phương trình 2x4 4x2  1 2m0 có nghiệm phân biệt

4

2x 4x  1 2m 0 2x 4x  1 2m

Cách 1: Xét hàm số f x( )2x4 4x2 1 có BBT hàm số f x( ) f x( )

Số nghiệm phương trình số giao điểm cửa đồ thị hàm số f x( ) đường thẳng ym Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt 2m1 hay 1.

2 m

Cách 2: (HS 10,11) 2x4 4x2  1 2m (1) Đặt  

, 0

t x t  PTTT: 2t2   4t 1 2m (2)

Trang | Biện luận trường hợp số nghiệm (2) (1) Từ kết luận 1.

2 m

Cách 3: Nhận thấy x0là nghiệm (1) x0 nghiệm pt (1) Do nghiệm 0

i

x  số nghiệm phương trình (1) số chẵn Vậy đk cần để pt có nghiệm pt (1) có nghiệm 0

x  , vào tìm 1. 2

m Giải phương trình 1 2

m kết luận

Câu 2.1 Chứng minh C20201 2C20202   1010C202010101010.22019.

Cách 1: Ta có:

  11

! ( 1)!

! ! ( 1)!( )!

k k

n n

n n

k C k n nC

k n k k n k

  

  

  

1

2020 2019

2

2020 2019 1010 1009 2020 2019

2020

2 2020

1010 2020 .

C C

C C

C C

 



 1009

2019 2019 2019

2020

VT  C C  C

Xét C20190 C12019  C20191009C20191010  C20192019 22019 Mà Cnk Cnn k nên

 1009 2019

2019 2019 2019

2 C C   C 2

Vậy VT 2020C20190 C20191   C201910091010.22019

Cách 2:

Xét (1x)2020 C20200 xC20201 x C2 20202   x2020C20202020 Suy được:

2019 2019 2020

2020 2020 2020

2020(1x) C 2xC   2020x C

1 1010 1011 2020 2019

2020 2 2020 1010 2020 1011 2020 2020 2020 2020.2

C  C   C  C   C 

Ta có:

 !  ! !

( 1) ( 1)

! ! ( 1)!( )! ( 1)!( 1)!

k n k

n n

n n n

k C k n k n k C

k n k k n k n k k

 

       

Trang | Do đó:

1 2020

2020 2020

2 2019

2020 2020 1010 1011 2020 2020

2020

2 2019

1010 1011

C C

C C

C C

 



Vậy: C20201 2C20202   1010C20201010 1010.22019

Câu 2.2.Tìm tất cặp số thực  x y; thỏa mãn xy 4

 2   

20 8

x y   x y xy

Đặt

; ( 4 )

S  x y Pxy S  P Từ giả thiết ta có: S2 4PS P(  8) 200

( 8) 4 20 0

S S P  P  Xét pt theo S  (P8)2  4( 4P20)P2 16 Điều kiện phương trình có nghiệm P 4 Kết hợp điều kiện giả thiết ta có P4,P 4

4 2

P   S (loại); P    4 S 6, x y, nghiệm pt

6 4 0 X  X  

Vậy cặp x y; :  3 13; 3  13 ,  3 13; 3  13

Câu 3.1 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC. khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a.

*Thể tích:

3

3 . 24 a V 

*Khoảng cách SB AC:

Cách 1: Dựng Dđối xứng với C qua I

( , ) ( ,( )) ( ,( )) 2

d SB AC d AC SBD  d I SBD  HK ACBD hình thoi, nên IB ID IS, , đơi vng góc

2 2 2

1 1 1 1 28 21

.

3 7

a d d  SI  SB  SD  a  

Cách 2: *Kẻ đt BDsong song với AC

Trang | 3

4 a

HI  ;

2 a SI 

2 2

2 2 2

1 1 1 . 3 21

28 7

IH SI a a

IK d

IK  IH SI   IH SI   

Câu 3.2.Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ).I Gọi M D E, , trung điểm , , ;

BC IB IC F G, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACE. Chứng minh AM vng góc FG.

Gọi Hlà giao điểm thứ MDvà đường tròn qua A B D, ,

Gọi Klà giao điểm thứ MEvà đường tròn qua A C E, ,

Ta có:

1

AHM  B

2

AKM  CEDM nên A H K, , thẳng hàng

Tam giác MDEvà MKHđồng dạng (Vì MEDMHK) Suy raME MK MD MH , hay M nằm trục đẳng phương hai đường tròn tâm F G,

Suy AM FG (Trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm)

Câu

Cho dãy số  xn xác định x1  2 xn1 2xn, n 1. Chứng minh dãy số  xn có giới hạn tìm giới hạn

Trang | 2

x  ,x2  2 2 , x3  2 2 2 ,như x3 x1 nên từ (*) ta suy x2n1 dãy giảm Cùng với tính bị chặn nên tồn lim 2n 1 .

nx  a

Từ x3   x1 x4 x2 Tương tự tồn lim 2n .

nx b

Từ hệ thức truy hồi giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:

2 1

1 2

a b a

b b a              

Do lim 2n 1 lim 2n 1

nx  nx  nên nlimxn 1.

Cách 2: 1 1 2 1 1

2 1 n n n n x x x x          1 1 1 2 1 n n n x x x      

Do 0 2, 1 1 1 (0;1)

2 1 2 2 1

n

n

x n q

x

       

   

2

1 1 1. 1. 1.

n

n n n

x x q x  q x q

        

1

lim xn   1 0 limxn  1 limxn 1 Cách 3: 0xn  2, n 1.

Đặt xn 2 cosn, n 0; Ta có 1 ; 1 cos

4 x

 

  

1 2 2cos 2(1 cos ) 2sin 2cos

2 2 2

n n

n n n n

x  x            

 

1

1

2 2 3 2 3

n

n n n

                      1 1 1 .

2 3 2 6

n n n                            1

2cos lim 1.

3 2 6

n

n n

x      x

       

 

 

Câu

Trang |

2 2 2 18

.

b c c a a b abc

P

a b c ab bc ca

  

   

 

HD:P 2b c 1 2c a 1 2a b 1 18abc 3.

a b c ab bc ca

  

       

 

3 3 3 18

3

b c a abc

a b c ab bc ca

  

    

 

1 1 1 18 1 1 1 18

3 3 3

1 1 1 1 1 1

b c a

a b c a b c a b c

a b c a b c

   

             

       

1 1 1 18 3

1 1 1 a b c

a b c

 

    

    (1)

Ta có: 1 1 1 9 3

a   b c a b c  (2) Đặt t 1 1 1 3

a b c

    Xét hàm f t( ) 3t 18 t

  [3;)

Ta có: f t( ) 15  f(3) (3)

Vậy minP15 đạt đẳng thức (1), (2), (3) xảy

1 1 1

3

b c a

a b c

a b c

a b c

   



    



  



Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia