Tính chất fréchet urysohn trên không gian cầu trường được

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ THỊ TUYẾT NHU TÍNH CHẤT FRÉCHET-URYSOHN TRÊN KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Võ Thị Tuyết Nhu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 1.3 Phần tập hợp, T1 -không gian T2 -không gian 13 1.4 Tập hợp compact ánh xạ liên tục 18 1.5 Không gian khơng gian tích 21 CHƯƠNG Tính chất Fréchet-Urysohn khơng gian cầu trường 25 2.1 Không gian cầu trường 25 2.2 Tính chất Fréchet-Urysohn Fréchet-Urysohn mạnh 31 2.3 Tính chất Fréchet-Urysohn khơng gian cầu trường 36 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nhóm topo G Birkhoff đưa vào năm 1936 [1] Sau đó, nhiều tác giả giới giới thiệu nhiều khái niệm suy rộng thu kết mở rộng số kết nhóm topo ([1], [2], [4], [5], [6], [7]) Đặc biệt, vào năm 1996, A S Gulko giới thiệu khái niệm không gian cầu trường (rectifiable space), chứng minh nhóm topo không gian cầu trường được, không gian cầu trường suy rộng nhóm topo Hơn nữa, tác giả đưa ví dụ nhằm mở rộng không tầm thường ([4]) Gần đây, số tác giả nghiên cứu tính chất compact tính chất Fréchet-Urysohn, tính chất Fréchet-Urysohn mạnh khơng gian cầu trường thu nhiều kết thú vị ([7], [8]) Hơn nữa, [7] tác giả đặt toán sau Bài toán ([7], Question 7.2) Mỗi khơng gian cầu trường quy có khơng gian hồn tồn quy hay khơng? Bài toán ([7], Question 7.8) Giả sử K tập compact F tập đóng khơng gian cầu trường G Khi đó, KF có tập đóng G hay khơng? Hai toán thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương giới quan tâm đến mở Nhờ lý với định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tơi định chọn đề tài: “Tính chất FréchetUrysohn không gian cầu trường được” làm đề tài luận văn thạc sỹ 2 Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu mối quan hệ khơng gian: Không gian FréchetUrysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ • Tìm hiểu số tính chất khơng gian cầu trường Tìm hiểu tính chất Fréchet-Urysohn tính chất Fréchet-Urysohn mạnh khơng gian cầu trường • Tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho Định lí 2.1 [9] Đối tượng nghiên cứu Tính chất Fréchet-Urysohn tính chất Fréchet-Urysohn mạnh khơng gian cầu trường Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ tính chất Fréchet-Urysohn FréchetUrysohn mạnh không gian cầu trường Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Bằng cách thu thập báo liên quan với đề tài tác giả trước nhằm tìm phép chứng minh chi tiết cho Định lí 2.1 [9] Tổng quan cấu trúc luận văn Trong luận văn này, chứng minh chi tiết mối liên hệ không gian Fréchet-Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh chi tiết mối liên hệ tính chất Fréchet-Urysohn với tính chất FréchetUrysohn mạnh không gian cầu trường Nội dung luận văn trình bày hai chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, Tài liệu tham khảo Trong chương thứ nhất, trình bày kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Trong chương thứ hai, chúng tơi trình bày mối quan hệ không gian Fréchet-Urysohn, Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh chi tiết mối quan hệ tính chất Fréchet-Urysohn tính chât Fréchet-Urysohn mạnh không gian cầu trường CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo kiến thức topo, nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Sau ký hiệu chúng tơi sử dụng tồn luận văn N = {1, 2, }, ω = N ∪ {0} 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, 1) τ gọi topo X 2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo 3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở 4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 Đối với không gian topo X , khẳng định sau 1) ∅, X tập hợp mở; 2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; 3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Ví dụ 1.1.3 Giả sử X tập hợp, τ1 họ gồm tất tập X τ2 = {∅, X} Khi đó, τ1 , τ2 topo X Lúc này, ta nói τ1 topo rời rạc τ2 topo thô X Ví dụ 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric τ = {A ⊂ X : A tập mở (X, d)} Khi đó, τ topo X ta nói τ topo sinh metric d Đặc biệt, X = R metric d khoảng cách thông thường R, nghĩa d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R, ta nói τ topo thơng thường R Định nghĩa 1.1.5 Giả sử A tập khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.6 Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh (1) Giả sử X = {a, b, c} τ = ∅, X, {a}, {b, c} Khi đó, τ topo X {a, b} lân cận a {a, b} ∈ / τ (2) Giả sử U tập hợp mở x ∈ U Khi đó, ta lấy V = U , V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x X Bổ đề 1.1.7 Đối với không gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương 1) U tập hợp mở; 2) U lân cận điểm thuộc nó; 3) Với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U mở x ∈ U Khi đó, ta chọn V = U ∈ τ , x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x (2) =⇒ (3) Giả sử U lân cận điểm thuộc x ∈ U Khi đó, U lân cận x Như vậy, ta chọn Vx = U , Vx lân cận x x ∈ Vx ⊂ U (3) =⇒ (1) Giả sử với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Khi đó, Vx lân cận x nên tồn Wx ∈ τ cho x ∈ Wx ⊂ Vx Hơn nữa, ta có {x} ⊂ U= x∈U kéo theo U = Vx ⊂ U , Wx ⊂ x∈U x∈U Wx Theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy U ∈ τ x∈U Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (X, τ ) không gian topo B ⊂ τ Ta nói B sở (X, τ ) (hay sở τ ) phần tử τ hợp phần tử B Nhận xét 1.1.9 Giả sử (X, τ ) không gian topo B ⊂ τ Khi đó, 1) Nếu B sở τ , phần tử B tập hợp mở X , tập hợp mở X khơng thuộc B 2) B sở không gian topo (X, τ ) với U ∈ τ với x ∈ U , tồn V ∈ B cho x ∈ V ⊂ U Chứng minh (1) Bởi B ⊂ τ nên phần tử B tập hợp mở Bây giờ, giả sử X = {a, b, c}, τ topo rời rạc, nghĩa τ họ gồm tất tập X ta đặt B = {a}, {b}, {c} Khi đó, (X, τ ) không gian topo B sở X tồn tập mở X mà X ∈ / B (2) Điều kiện cần Giả sử B sở X , U ∈ τ x ∈ U Khi đó, tồn {Bα }α∈Λ ⊂ B cho {Bα : α ∈ Λ} U= Bởi x ∈ U nên tồn α ∈ Λ cho x ∈ Bα Như vậy, tồn V = Bα ∈ B cho x ∈ V ⊂ U Điều kiện đủ Giả sử với U ∈ τ với x ∈ U , tồn V ∈ B cho x ∈ V ⊂ U W ∈ τ Khi đó, với x ∈ W , tồn Vx ∈ B cho x ∈ Vx ⊂ W Do đó, Vx ⊂ W {x} ⊂ W = x∈W x∈W Như vậy, W hợp phần tử B 39 {xn } dãy hội tụ đến x X • Nếu x ∈ X \ {x} , X khơng gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {an } ⊂ X \ {x} hội tụ đến x X Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt B = q(x, X), Bn = q(x, An ), bn = q(x, an ) Khi đó, q(x, ) phép đồng phôi X tập compact G nên theo Bổ đề 1.4.6 ta suy B tập compact G Hơn nữa, khẳng định sau thỏa mãn Khẳng định Với n ∈ N, ta có e ∈ q(x, An ) ⊂ B n ⊂ B Thật vậy, giả sử n ∈ N Khi đó, ∈ Ai với i ∈ N {Ai }i∈N dãy giảm nên {xi : i ≥ n} ⊂ An (2.1) Bây giờ, giả sử U lân cận x Khi đó, {ai } dãy hội tụ đến x nên tồn k ∈ N cho {x} ∪ {ai : i ≥ k} ⊂ U (2.2) Từ (2.1) (2.2) ta suy U ∩ An = ∅ Như vậy, theo Định lí 1.2.6, x ∈ An Hơn nữa, q(x, ) liên tục {ai } dãy hội tụ đến x nên áp dụng Bổ đề 2.3.3 ta suy dãy {q(x, )} hội tụ đến q(x, x) ∈ q(x, An ) Lại e = q(x, x) nên e ∈ q(x, An ) Từ tính liên tục q(a, ) Định lí 1.4.5 ta suy q(x, An ) ⊂ q(x, An ) 40 Bởi B đóng nên theo Định lí 1.2.5(3) ta suy B = B Hơn nữa, An ⊂ X nên Bn ⊂ B Như vậy, e ∈ q(x, An ) ⊂ q(x, An ) = Bn ⊂ B = B Khẳng định Với n ∈ N, ta có bn ∈ B \ {e} Thật vậy, giả sử ngược lại tồn n0 ∈ N cho bn0 = e, kéo theo e = q(x, an0 ) Mặt khác, e = q(x, x) q(x, ) song ánh nên an0 = x Điều mâu thuẫn với an ∈ X \ {x} với n ∈ N Khẳng định Dãy {bn } hội tụ đến e Thật vậy, dãy {an } hội tụ đến x q(x, ) liên tục nên sử dụng Bổ đề 2.3.3 ta suy dãy {q(x, an )} hội tụ đến q(x, x) = e Khẳng định Với n ∈ N, tồn lân cận Vn e G cho Vn ∩ bn Vn = ∅ Thật vậy, giả sử n ∈ N Khi đó, G khơng gian Hausdorff bn = e nên tồn lân cận mở U bn V e cho U ∩ V = ∅ Mặt khác, p(bn , ) liên tục p(bn , e) = bn nên tồn lân cận mở W e cho p(bn , W ) ⊂ V Như vậy, ta đặt Vn = V ∩ W, Vn lân cận e thỏa mãn Vn ∩ bn Vn = ∅ 41 Tiếp theo, với n ∈ N, ta đặt Cn = bn (Bn ∩ Vn ) (2.3) Khi đó, theo khẳng định ta suy e ∈ Bn Hơn nữa, Vn lân cận mở e nên theo Bổ đề 1.2.7 ta thu e ∈ Bn ∩ Vn ⊂ Bn ∩ Vn Điều suy b n ∈ bn B n ∩ V n = C n Hơn nữa, V n ∩ C n ⊂ V n ∩ bn V n = ∅ nên ta suy e ∈ / Cn Bây giờ, ta đặt C = ∪{Cn : n ∈ N}, S = {e} ∪ {bn : n ∈ N} (2.4) Khi đó, áp dụng khẳng định 1, (2.3) (2.4) ta suy Cn = bn (Bn ∩ Vn ) ⊂ bn Bn ⊂ SB Điều suy bn Bn ⊂ SB C⊂ n∈N Tiếp theo, ta chứng minh SB khơng gian đóng FréchetUrysohn G Thật vậy, nhờ Bổ đề 2.3.2 ta suy S compact Mặt khác, B compact nên sử dụng Định lí 1.5.4, S × B tập compact Hơn nữa, p liên tục nên nên sử dụng Bổ đề 1.4.6, SB tập compact Nhờ Bổ đề 1.4.3, SB tập đóng Ngồi ra, theo giả thiết ta suy SB Fréchet-Urysohn 42 Bởi bn ∈ Cn dãy {bn } hội tụ đến e nên e ∈ C Thật vậy, giả sử ngược lại e ∈ / C Khi đó, tồn lân cận U e cho U ∩ C = ∅ Mặt khác, dãy {bn } hội tụ đến e nên tồn m ∈ N cho bn ∈ U với n ≥ m Hơn nữa, U mở nên U lân cận bn với n ≥ m Lại bn ∈ Cn với n ∈ N nên ta suy U ∩ Cn = ∅ với n ≥ m Như vậy, U ∩ C = ∅ dẫn đến mâu thuẫn Bởi C ⊂ SB SB đóng nên với n ∈ N, ta có e ∈ C ⊂ SB = SB Bởi tính Fréchet-Urysohn SB ta suy tồn dãy L = {ck : k ∈ N} ⊂ C hội tụ đến e Mặt khác, e∈ / Cn với n ∈ N nên ta suy tập hợp sau vô hạn {n ∈ N : L ∩ Cn = ∅} Như vậy, ta đặt {n ∈ N : L ∩ Cn = ∅} = {ni : i ∈ N} Do đó, với n ∈ N, tồn kn ∈ N cho cn ∈ Ckn Hơn nữa, Ckn ⊂ bkn Bkn = p bkn , q(x, Akn ) 43 nên ta suy tồn xn ∈ Akn cho cn = p bkn , q(x, xn ) Do đó, ta có q(x, xn ) = q bkn , p bkn , q(x, x) = q(bkn , cn ) Bởi dãy {bn } {cn } hội tụ đến e q liên tục nên ta suy dãy {q(x, xn )} hội tụ đến e Cuối cùng, xn = q x, q(x, xn ) với n ∈ N nên {xn } dãy hội tụ đến x Điều chứng tỏ X không gian Fréchet-Urysohn mạnh 44 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: 1) Tìm hiểu chứng minh chi tiết số tính chất khơng gian cầu trường 2) Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất khơng gian Fréchet-Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh mối quan hệ không gian: Không gian Fréchet-Urysohn, không gian Fréchet-Urysohn mạnh, không gian dãy, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ khơng gian metric 3) Trình bày chứng minh chi tiết Định lí 2.1 [9] rằng, G không gian Hausdorff cầu trường cho tập compact G Fréchet-Urysohn, tập compact G Fréchet-Urysohn mạnh Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu kết tương tự Định lí 2.3.4 cách thay tính chất compact Định lí 2.3.4 tính chất compact đếm compact theo dãy 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] A V Arhangel’skii, M Tkachenko (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press, World Sci [2] A V Arhangel’skii (2009), A study of remainders of topological groups, Fund Math 203, 165-178 [3] R Engel King, General Topology, Warszawa 1977 [4] A S Gul’ko (1996), Rectifiable spaces, Topology Appl 68, 107-112 [5] F C Lin, C Liu and S Lin (2012), A note on rectifiable spaces, Topology Appl 159, 2090-2101 [6] F C Lin (2014), Pseudocompact rectifiable spaces, Topology Appl 164, 215-228 [7] F C Lin and R Shen (2011), On rectifiable spaces and paratopological groups, Topology Appl 158, 597-610 [8] Z Jing, H Wei (2015), Connected and sequentially compact rectifiable spaces, Adv Math 44, 614-620 [9] J Zhang, W He (2015), Connected and sequentially compact rectifiable spaces, Adv Math (China), 44(4), 615-619 ... vậy, X khơng gian Fréchet- Urysohn 2.3 Tính chất Fréchet- Urysohn không gian cầu trường Mục dành cho việc trình bày tính chất Fréchet- Urysohn tính chất Fréchet- Urysohn mạnh không gian cầu trường G... khơng gian compact 25 CHƯƠNG TÍNH CHẤT FRÉCHET -URYSOHN TRÊN KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC Trong chương chúng tơi nghiên cứu số tính chất không gian cầu trường được, không gian Fréchet- Urysohn, không. .. tiết số tính chất khơng gian Fréchet- Urysohn, khơng gian Fréchet- Urysohn mạnh mối quan hệ không gian: Không gian Fréchet- Urysohn, không gian Fréchet- Urysohn mạnh, không gian dãy, không gian thỏa