Ứng dụng lý thuyết đồ thị trong giải toán phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ LÊ BÌNH LONG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ LÊ BÌNH LONG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Cao Văn Ni tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo đồng nghiệp trường THPT chuyên Lê Thánh Tông, Quảng Nam tạo điều kiện, giúp đỡ động viên em q trình học tập LÊ BÌNH LONG LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Cao Văn Nuôi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn LÊ BÌNH LONG MỤC LỤC Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn Chương ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ đồ thị vơ hướng 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu 1.1.4 Dùng ma trận để biểu diễn đồ thị 1.1.5 Đồ thị con, đồ thị thành phần, đồ thị sinh 1.2 CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 1.2.1 Bậc đỉnh đồ thị 1.2.2 Đường 1.2.3 Liên thông 1.2.4 Chu trình đồ thị 10 1.2.5 Chỉ số ổn định 14 1.2.6 Sắc số 15 1.3 MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐƠN VÔ HƯỚNG 17 1.3.1 Đồ thị đầy đủ 17 1.3.2 Đồ thị 20 1.3.3 Đồ thị lưỡng phân 20 1.3.4 Cây bụi 21 1.3.5 Đồ thị phẳng 23 Chương ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG 25 2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ 25 2.1.1 Định nghĩa đồ thị có hướng 25 2.1.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc 25 2.1.3 Dây chuyền - liên thông 25 2.2 MỘT SỐ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG ĐẶC BIỆT 27 2.2.1 Đồ thị phản chu trình 27 2.2.2 Turnier 28 Chương ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 33 3.1 DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU SANG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ 33 3.1.1 Dấu hiệu 33 3.1.2 Phương pháp chuyển đổi mô hình 33 3.2 ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ 34 3.3 ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH 38 3.4 TƠ MÀU ĐỒ THỊ 43 3.5 ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI 54 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, tốn Tổ hợp ln có mặt đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, đề thi Olympic khu vực Quốc tế Một cơng cụ mạnh để giải tốn Tổ hợp Lý thuyết đồ thị Hiện nay, Lý thuyết đồ thị Bộ giáo dục quy định chuyên đề phải dạy chuyên sâu học sinh chun Tốn bậc trung học phổ thơng, nội dung quy định kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia Tài liệu Lý thuyết đồ thị số tác giả quan tâm biên soạn song trọng vào phương pháp đồ thị hóa tốn Với mong muốn có tài liệu tương đối đầy đủ Lý thuyết đồ thị để giảng dạy cho học sinh chuyên Toán, với hướng dẫn Thầy giáo Cao Văn Nuôi, chọn đề tài : « Ứng dụng Lý thuyết đồ thị giải Tốn phổ thơng » cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống kiến thức Lý thuyết đồ thị dùng chương trình Tốn phổ thông - Xây dựng phương pháp vận dụng Lý thuyết đồ thị giải Tốn phổ thơng - Nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ để phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung Lý thuyết đồ thị sử dụng kỳ thi học sinh giỏi quốc gia: tính chất đồ thị vơ hướng có hướng, tính chất đường chu trình Euler, đường chu trình Hamilton, định lý Turan; vận dụng tính chất đồ thị, tơ màu đồ thị, tốn tổ hợp giải Lý thuyết đồ thị - Ngoài ra, luận văn đề cập đến số tốn đồ thị túy có sử dụng kiến thức đồ thị Phương pháp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp tài liệu để tìm hiểu vấn đề liên quan đến đề tài - Sưu tầm đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia, khu vực quốc tế có liên quan đến Lý thuyết đồ thị - Hệ thống hóa lý thuyết đề thi thu thập Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tài liệu tham khảo dành cho học sinh chuyên Toán, sinh viên giáo viên giảng dạy Toán quan tâm đến Lý thuyết đồ thị Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương Chương 1: Tác giả trình bày kiến thức đồ thị vô hướng Chương 2: Tác giả trình bày kiến thức đồ thị có hướng Chương 3: Tác giả trình bày số dấu hiệu sử dụng phương pháp đồ thị cách chuyển từ toán ban đầu sang tốn đồ thị, ví dụ minh họa áp dụng giải số đề thi CHƯƠNG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 1.1.1 Định nghĩa 1.1 Một đồ thị vô hướng (hữu hạn) tập hợp hữu hạn điểm (gọi đỉnh đồ thị) với tập hợp đoạn đường cong hay thẳng (gọi cạnh đồ thị) có đầu mút đỉnh đồ thị Đồ thị thường ký hiệu G=(V;E) với V tập đỉnh E tập cạnh đồ thị Các đỉnh đồ thị thường ký hiệu chữ A, B, C, đánh số thứ tự 1, 2, 3, Cạnh nối hai đỉnh A, B ký hiệu AB BA Nếu có nhiều cạnh nối hai điểm ta gọi cạnh cạnh kép hay cạnh song song Nếu hai đầu mút cạnh trùng ta gọi cạnh khuyên Hai đỉnh A, B gọi kề chúng nối cạnh Một đỉnh khơng đầu mút cạnh gọi đỉnh cô lập Một đồ thị vô hướng khơng có khun khơng có cạnh kép gọi đồ thị đơn 1.1.2 Ví dụ đồ thị vơ hướng Hình 1.1 cho đồ thị vơ hướng có đỉnh A, B, C, D cạnh AB, BC, CD, DA Đồ thị biểu diễn cách khác Hình 1.1: đồ thị vơ hướng 67 cho Ta gọi tứ giác tứ giác Hãy tìm số nguyên dương n nhỏ có tính chất: Có thể tơ màu n nút cho với ∀i, k ∈ {1, 2, , 8} i = k, ký hiệu S(i, k) số tứ giác nhận Ai , Ak làm đỉnh đồng thời có giao điểm hai đường chéo nút tơ màu tất giá trị S(i, k) Giải Để tiện ký hiệu, ta thay đỉnh Ai i Ta xây dựng đồ thị lưỡng phân có tập đỉnh A tập đỉnh B, cạnh nối đỉnh A với đỉnh B, đó: A tập hợp tất tứ giác có đỉnh thuộc {1, 2, , 8} mà giao điểm đường chéo tơ màu B tập cặp đỉnh (i, k) với ∀i, k ∈ {1, 2, , 8} i = k Một đỉnh A nối với đỉnh B tứ giác tương ứng nhận i k làm đỉnh Giả sử tồn cách tô màu n đỉnh thỏa mãn yêu cầu đề Đặt S(i, k) = x Theo giả thiết đề ta có số phần tử A n số phần tử B C82 = 28 Như từ đỉnh A có C42 = cạnh xuất phát (lấy đỉnh tứ giác thuộc A tương ứng với cặp đỉnh thuộc B), suy đỉnh A có số bậc Các đỉnh B có số bậc x Theo giả thiết số cạnh đồ thị lưỡng phân tính theo tổng số cạnh xuất phát từ đỉnh B |B| x = 28x, tính theo tổng số cạnh xuất phát từ đỉnh A tổng số cạnh n.C42 = 6n Từ suy đẳng thức 6n = 28x, n phải chia hết cho 14, nên phải có n≥ 14 Bây ta chứng minh n = 14 giá trị nhỏ cần tìm, tức cách tô 14 giao điểm thỏa mãn yêu cầu tốn (xem hình 3.17) Thật vậy, xét đường chéo (nối cặp đỉnh đối diện) bát giác lồi cho, có đường chéo nối cặp đỉnh (1,5), (2, 6), (3, 7), (4, 8) (đường nét đậm) Tô màu giao điểm đường chéo (có giao điểm giả thiết khơng có đường chéo cắt điểm) giao điểm đường chéo tạo dựng tứ giác sinh cặp cạnh không kề (nét liền mảnh) với đường chéo cách đỉnh Cụ thể: cạnh (1,8) với đường chéo (2,7) (3,6) sinh giao điểm, cạnh (7, 6) với đường chéo (8, 5) (1, 4) sinh giao điểm, cạnh (4, 5) với đường chéo (3, 6) (2, 7) sinh giao điểm, cạnh (2, 3) với đường chéo (8, 5) (1, 4) sinh giao điểm Dễ kiểm tra cách tô 14 giao điểm thỏa mãn yêu cầu đề (giá trị S(i,k) lúc 3) Vậy giá trị nhỏ n cần tìm n = 14 68 Hình 3.17: Nhận xét Với tốn cực trị tổ hợp (tìm giá trị nhỏ n), thơng thường giải theo hai bước: Bước 1: Đánh giá n≥ n0 Bước 2: Xây dựng cấu hình tương ứng với n = n0 thỏa mãn yêu cầu toán 69 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu, trang web Toán nhận hướng dẫn tận tình Thầy giáo T.S Cao Văn Ni, tơi hồn thành đề tài Luận văn "Ứng dụng lý thuyết đồ thị giải Toán phổ thông" giải vấn đề sau: Hệ thống khái niệm, tính chất lý thuyết đồ thị Đưa số dấu hiệu nhận biết tốn giải phương pháp đồ thị, cách thức chuyển đổi toán ban đầu toán đồ thị Xét số dạng toán thường gặp đồ thị Tốn phổ thơng như: tính chất đồ thị, đường đi, chu trình, tơ màu đỉnh cạnh đồ thị; áp dụng để giải số toán từ kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic nước Tuy nhiên luận văn tập trung khai thác phần kiến thức lý thuyết đồ thị vận dụng vào số dạng Toán phổ thơng, cịn nhiều vấn đề cần tiếp tục tìm hiểu tốn ghép cặp, đồ thị có trọng số Với tìm hiểu được, tác giả hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân cơng tác giảng dạy sau hy vọng luận văn nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến chủ đề vận dụng lý thuyết đồ thị giải Tốn phổ thơng Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn cịn có thiếu sót Vì thế, tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hồn thiện 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Quốc Chiến (2007), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Đại học Đà Nẵng [2] Hoàng Chúng (1997), Đại cương Tốn học hữu hạn, NXB Giáo Dục [3] Hồng Chúng (1996), Graph giải Tốn phổ thơng, NXB Giáo Dục [4] Trần Nam Dũng (chủ biên) (2013), Các phương pháp giải Toán qua kỳ thi Olympic, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [5] Phan thị Hà Dương (2014), "Đồ thị: tính chẵn lẻ chu trình Euler", tạp chí thơng tin Tốn học - viện Toán học, tập 18 (số 2), trang 21-25 trang 15-20 [6] Nguyễn Minh Giang (2008), Rèn luyện kỹ vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán cho học sinh chuyên Tin, luận văn thạc sỹ khoa học lý luận phương pháp giảng dạy Toán, Đại học Thái Nguyên [7] Trần Minh Hiền (năm 2014),"Định lý Turan", Tạp chí thơng tin Tốn học viện Toán học, tập 18 (số 4), trang 26-29 trang 27-29 [8] Vũ Đình Hịa (2004), Một số kiến thức Graph hữu hạn, NXB Giáo Dục [9] Nguyễn Sinh Nguyên (2006), Tuyển tập dự tuyển Olympic Toán quốc tế 1991 -2001, NXB Giáo Dục [10] Nguyễn Văn Nho (2013), Tuyển tập Olympic Toán học nước Châu Á - Thái Bình Dương, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [11] Nguyễn Văn Nho (2013), Tuyển tập Olympic Tốn học nước Đơng Âu, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [12] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2012), Tài liệu chun Tốn hình học 12, NXB Giáo Dục [13] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2012), Tài liệu chun Tốn tập hình học 12, NXB Giáo Dục [14] Đặng Huy Ruận (2002), Bảy phương pháp giải toán logic, NXB Khoa học kỹ thuật [15] Đặng Huy Ruận (2000), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật 71 [16] Nguyễn Thanh Sơn (2011), Bài tốn tơ màu ứng dụng, luận văn thạc sỹ khoa học phương pháp Toán sơ cấp, Đại học Đà Nẵng [17] Nguyễn Thị Minh Thương (2015), Lý thuyết đồ thị với toán phổ thơng, luận văn thạc sỹ khoa học phương pháp Tốn sơ cấp, Đại học KHTN Đại học QG Hà Nội ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SỸ KHĨA: K30 NGÀNH: Phương pháp Tốn sơ cấp MÃ SỐ: 60 46 01 13 Thông tin chung: - Tên đề tài: Ứng dụng lý thuyết đồ thị giải Tốn phổ thơng - Học viên thực hiện: Lê Bình Long - Giáo viên hướng dẫn: TS Cao Văn Ni - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 05/2016 đến 01/2017 Mục tiêu: Trình bày ứng dụng lý thuyết đồ thị chương trình Tốn cấp trung học phổ thơng Tính sáng tạo: - Cập nhật toán kỳ thi gần - Xây dựng tốn trình bày lại lời giải toán phù hợp với thực tế giảng dạy Tóm tắt kết nghiên cứu: - Xác định dấu hiệu nhận biết tốn giải phương pháp đồ thị - Xây dựng phương pháp chuyển đổi toán ban đầu thành toán lý thuyết đồ thị - Áp dụng để giải số toán đề thi học sinh giỏi Tên sản phẩm: Ứng dụng lý thuyết đồ thị giải Tốn phổ thơng Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Có tính ứng dụng cao giảng dạy mơn Tốn bậc học phổ thơng Hình ảnh, sơ đồ minh họa chính: Xác nhận giáo viên hướng dẫn Cao Văn Nuôi Ngày 07 tháng 03 năm 2017 Người thực đề tài (Ký, họ tên) Lê Bình Long INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1.General information: - Project title: Applications of Graph Theory in Solving Highschool Mathematics - Code number: 60 46 01 13 - Name of student: Le Binh Long - Supervisor: Cao Van Nuoi, PhD - Implementing Institution: University of Education – The University of Danang - Duration: from 05/2016 to 02/2017 Objective(s): To present the applications of Graph Theory in Highschool Mathematics Creativeness and innovativeness: - Update the problem in some latest exams - Create new mathematics problems and solve them to suit the reality of teaching and learning Research results: - Identify the criterion to recognize a problem that can be solved by means of Graph - Construct the method of converting the original problems into the problems of Graph Theory - Apply to solve some problems in mathematics competitions for gifted students Products: Applications of Graph Theory in Solving High School Mathematics Effects, transfer alternatives of research results and applicability: Applicable highly in teaching mathematics in hight school , Supervior s confirmation (sign, full name) Cao Van Nuoi dd 07mm yy 2017 (date) Student Le Binh Long ... 1.3.2 Đồ thị Định nghĩa 1.16 Một đồ thị đơn vô hướng G gọi đồ thị bậc t đỉnh đồ thị G có bậc t Nhận xét Đồ thị đầy đủ Kn đồ thị bậc (n − 1) Định lý 1.19 [12] Số đỉnh đồ thị bậc lẻ số chẵn Chứng... gọi đồng phôi với đồ thị G G có từ G cách thêm đỉnh (bậc 2) đặt cạnh G Ở ta xem đồ thị đồng phơi với Ví dụ Đồ thị hình 1.23a đồng phơi với đồ thị hình 1.23b Đồ thị hình 1.24a đồng phơi với đồ thị. .. gọi đồ thị Euler Định lý 1.13 (định lý Euler) [5] Một đồ thị vô hướng, liên thông đồ thị nửa Euler có nhiều hai đỉnh bậc lẻ Một đồ thị vô hướng, liên thông đồ thị Euler đỉnh có bậc chẵn Chứng