Phương pháp newton raphson và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ N NG LÊ THỊ THI PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA H C Đà N ng, N m 2016 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ N NG LÊ THỊ THI PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA H C Ng ời h ớng d n khoa h c: TS LÊ HẢI TRUNG Đà N ng, N m 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Lê Thị Thi MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 KHÁI NIỆM CÁC LOẠI SAI SỐ 1.2 PHÂN LOẠI SAI SỐ 1.3 SAI SỐ TÍNH TỐN 1.4 XẤP XỈ BAN ĐẦU 1.5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG 1.6 PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 1.7 PHƯƠNG PHÁP DI CUNG 11 1.8 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 14 1.9 SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP 15 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHSON TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG 18 2.1 XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP 18 2.2 CÁC BƯỚC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 22 2.3 GIẢI HỆ PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP N – R 23 CHƯƠNG MATHEMATICA CHO PHƯƠNG PHÁP NEWTONRAPHSON 27 3.1 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MATHEMATICA 27 3.2 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 27 3.3 ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 33 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (B n sao) BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ∆ Số gia 0(x, ε) Lân cận x với bán kính ε Chuẩn vector MỞ ĐẦU Phương trình f (x) = thường gặp nhiều thực tế (như thiên văn học, mơ tả mơ hình kinh tế, phương trình chuyển động, phương trình dao động sóng ) nhìn chung phương trình phức tạp Có thể chúng khơng có cơng thức biểu diễn nghiệm thông qua hệ số phương trình giống lớp phương trình bậc nhất, bậc hai hay không áp dụng kỹ thuật Đại số đặt ẩn phụ, phân tích thành tích, để đưa phương trình bậc nhất, bậc hai quen thuộc có cơng thức biểu diễn nghiệm Mặt khác, thực tế hệ số phương trình biết gần đúng, mà việc tìm nghiệm phương trình ngồi tính cấp thiết thực ý nghĩa nặt Tốn học đa phần khó thực Xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn mà thực tế có số phương pháp giải gần phương trình trở thành kinh điển sử dụng rộng rãi như: Phương pháp Newton- Raphson giải gần phương trình phi tuyến, phương pháp Euler phương pháp Runge- Kutta giải gần phương trình vi phân, phương pháp chia đơi, phương pháp lặp đơn, phương pháp dây cung Thực tế rõ, để tìm nghiệm gần phương trình trước hết ta xét tính chất nghiệm phương trình (phương trình có nghiệm hay khơng có nghiệm, có nghiệm khoảng chứa nghiệm có) Tiếp theo ta tiến hành thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ đến giá trị nghiệm gần với độ xác cho trước Một số phương pháp để giải gần phương trình: Phương pháp chia đôi, phương pháp lặp, phương pháp dây cung phương pháp Newton- Raphson Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng sử dụng số trường hợp cụ thể Mục tiêu nghiên cứu đề tài: • Luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp Newton- Raphson tìm nghiệm gần phương trình f (x) = với sai số cho trước • Dùng phần mềm Mathematica để ứng dụng cho phương pháp NewtonRaphson Trong luận văn sử dụng kiến thức lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm biến thực, Giải tích số, Đại số tuyến tính với đối tượng nghiên cứu Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm gần phương trình phạm vi nghiên cứu: giải tốn tìm nghiệm gần (nghiệm số) phương trình f (x) = tập số thực Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên, giáo viên đối tượng quan tâm đến việc tìm nghiệm gần phương trình CHƯƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Khái niệm loại sai số Giả sử x số gần x∗ (x∗ số ), ∆ = |x − x∗ | gọi sai số thực x Vì khơng xác định ∆ nên ta xét đến hai loại sai số sau • Sai số tuyệt đối: Giả sử ∃∆x > đủ bé cho |x − x∗| ≤ ∆x Khi ∆x gọi sai số tuyệt đối x • Sai số tương đối: δx = ∆x |x| 1.2 Phân loại sai số Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có loại sau: • Sai số giả thiết: xuất việc giả thiết toán đạt số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp tốn • Sai số số liệu ban đầu: xuất việc đo đạc cung cấp giá trị đầu vào khơng xác • Sai số phương pháp: xuất việc giải toán theo phương pháp gần • Sai số tính tốn: xuất làm trịn số q trình tính tốn, q trình tính nhiều sai số tích lũy lớn 1.3 Sai số tính tốn Giả sử dùng n số gần xi (i = 1, n) để tính đại lượng y , với y = f (xi) = f (x1, x2, , xi) Trong f hàm khả vi liên tục theo đối số xi, sai số y xác định theo cơng thức sau: • Sai số tuyệt đối: ∆y = n i=1 • Sai số tương đối: δy = n i=1 δf ∆xi δxi δ ln f ∆xi δxi Ta xét hai trường hợp hàm f • Trường hợp Hàm f có dạng tổng: y = f (xi) = ±x1 ± x2 ± ± xn ∂f = 1∀i Từ ta suy được: Với ∂xi n ∆y = ∆xi i=1 • Trường hợp Hàm f có dạng tích: x1x2 xk xk+1 xn x1 x2 xm ln f = ln xm+1 xn y = f (xi) = = (ln x1 + ln x2 + + ln xm ) − (ln xm+1 + + ln xn) ∂ ln f Với = |x1i | ;∀i ∂xi n n ∆xi Suy ra: δy = = δxi |x | i i=1 i=1 Vậy: n δy = δxi i=1 • Trường hợp Hàm f có dạng lũy thừa y = f (x) = xα (α > 0), α ∂ ln f ∆x = Suy δy = α = αδx ln y = ln f = α ln x ∂x |x| |x| 1.4 Xấp xỉ ban đầu Thơng thường q trình tìm nghiệm r phương trình f (x) = (với f (x) hàm thực biến x) chia làm hai phần Đầu tiên phần xấp xỉ ban đầu nghiệm (thường gọi nghiệm xấp xỉ) Tiếp theo tinh chế nghiệm xấp xỉ để có nghiệm xấp xỉ có độ xác mong muốn Việc tìm xấp xỉ ban đầu x0 cho nghiệm r phương trình f (x) = thường dự đốn dựa thơng tin hàm f có được, cách vẽ đồ thị tìm điểm x0 cho f (x0) ≈ Ngồi ra, ta tìm x0 dựa vào định lý Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f : [a, b] → R Nếu f liên tục (a, b), liên tục phải điểm a liên tục trái điểm b ta nói f liên tục [a, b] Định lý 1.1 Nếu hàm f liên tục đoạn [a, b] bị chặn đoạn Chứng minh Giả sử f liên tục [a, b] không bị chặn đoạn Khi với n ∈ N ∗ cho |f (xn)| > n Dãy {xn }k dãy bị chặn, theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass chứa dãy {xnk }k hội tụ đến x0 Vì a ≤ xnk ≤ b, với k , nên cho k → ∞ ta suy a ≤ x0 ≤ b Do f liên tục x0 ta có f (xnk ) → f (x0), từ |f (xnk )| → |f (x0)| (k → ∞) Mặt khác |f (xnk )| ≥ nk , |f (xnk )| → +∞(k → ∞), ta đến mâu thuẫn Suy ra, điều giả sử sai Vậy hàm f phải bị chặn Định lý 1.2 [Định lý Bolzano- Cauchy thứ nhất] Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục đoạn [a, b] f (a)f (b) < Khi tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = 33 3.3 Ứng dụng giải số dạng phương trình khác Để thuận lợi cho việc giải phương trình khác ta tùy chọn cài đặt lại thuật toán Newton- Raphson cho phù hợp Dựa chương trình cài đặt thuật toán Newton- Raphson ta vào giải chi tiết số ví dụ cụ thể Ví dụ 3.2 Giải phương trình 3ex − 4cos(x) = Sử dụng giá trị ban đầu p0 = 1.0 • Bước Nhập hàm f (x) = 3ex − 4cos(x) với giá trị khởi đầu p0 = 1; n = • Bước Vẽ đồ thị hàm số để xác định khoảng phân ly nghiệm 34 • Bước Tính tốn Mathematica 35 Ví dụ 3.3 Giải phương trình − 20x + 25x2 = Sử dụng giá trị ban đầu p0 = 1.0 • Bước Nhập hàm f (x) = − 20x + 25x2 với giá trị khởi đầu p0 = 1.‘; n = 25 • Bước Vẽ đồ thị hàm số để xác định khoảng phân ly nghiệm • Bước Tính tốn Mathematica 36 37 Dựa kết thuật toán ta nhận thấy ví dụ 3.3 nhanh hội tụ ví dụ 3.2 Ví dụ 3.4 Giải phương trình arctan(x) = Sử dụng giá trị ban đầu p0 = 1.35 • Bước Nhập hàm f (x) = arctan(x) với giá trị khởi đầu p0 = 1.35; n = • Bước Vẽ đồ thị hàm số để xác định khoảng phân ly nghiệm 38 • Bước Tính tốn Mathematica 39 Ví dụ 3.5 Giải phương trình x3 − x + = Sử dụng giá trị ban đầu p0 = 0.0 Bước Nhập hàm f (x) = x3 − x + với giá trị khởi đầu p0 = 0, n = 16 Bước Vẽ đồ thị hàm số để xác định khoảng phân ly nghiệm 40 Bước Tính tốn Mathematica 41 Với giá trị khởi đầu p0 = 0.0 giải ví dụ khơng hội tụ Ta lấy ví dụ phân kỳ vơ cực Ví dụ 3.6 Giải phương trình xex = Sử dụng giá trị ban đầu p0 = 2.0 • Bước Nhập hàm f (x) = xex với giá trị khởi đầu p0 = 2.0; n = 16 42 • Bước Vẽ đồ thị hàm số để xác định khoảng phân ly nghiệm • Bước Tính tốn Mathematica 43 Ví dụ 3.7 Ta xét lại ví dụ khơng hội tụ ta thay đổi giá trị ban đầu Giải phương trình arctan(x) = Sử dụng giá trị ban đầu p0 = 1.4 • Bước Nhập hàm f (x) = arctan(x) với giá trị khởi đầu p0 = 1.4; n = 10 • Bước Vẽ đồ thị hàm số để xác định khoảng phân ly nghiệm 44 • Bước Tính tốn Mathematica 45 46 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu nghiên cứu bao quát phương pháp giải gần phương trình sử dụng rộng rãi như: Phương pháp Newton- Raphson giải gần phương trình phi tuyến, phương pháp Euler phương pháp Runge- Kutta giải gần phương trình vi phân, phương pháp chia đơi, phương pháp lặp đơn, phương pháp dây cung Tiếp theo số kiến thức chuẩn bị giúp ích cho việc chứng minh giải thích số vấn đề liên quan đến thuật toán Newton- Raphson nêu chương Cuối phần nội dung, luận văn trình bày thuật tốn, ứng dụng cơng cụ lập trình Mathematica để giải số phương trình ví dụ trường số thực Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên, giáo viên đối tượng quan tâm đến việc tìm nghiệm gần phương trình Mặc dù tơi cố gắng để hồn thành luận văn khơng thể tránh có thiếu sót, mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc 47 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Autar Kaw (2009), Newton-raphson Method of solving Nonlinear Equations, General Engineering [4] Jeffrey R Chasnov (2012), Các phương pháp tối ưu hóa, The Hongkong university of science and Technology [5] Shen Kangshen, John N Crossley and Anthony W.-C Lun (1999), The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, Oxford: Oxford University Press, p 358 [6] Richard Bellman (1966), A Newton-Raphson Method for the Solution of System of Equation, Technion-Israel Institute of Technology and Northwestern University [7] Morris Kline(1972), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Vol 1, Oxford University Press ... trước Một số phương pháp để giải gần phương trình: Phương pháp chia đơi, phương pháp lặp, phương pháp dây cung phương pháp Newton- Raphson Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng sử dụng số trường... nghiệm gần phương trình như: phương pháp chia đơi, phương pháp dây cung, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton- Rapson (phương pháp tiếp tuyến) 9 1.6 Phương pháp chia đôi Ý tưởng phương pháp Trên... với nghiệm phương trình Một phương pháp phương pháp Newton- Raphson (hay gọi phương pháp tiếp tuyến), Isac Newton (1643- 1727) Joseph Raphson (1648- 1715) tìm Ý tưởng phương pháp thay phương trình