Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NI NA HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NI NA HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Lê Hải Trung Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Tác giả luận văn Võ Thị Ni Na MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài .1 Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1 Sai phân hàm số biến thực 1.1.2 Các khái niệm phương trình sai phân 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT 15 2.1 CẤU TRÚC CƠ BẢN 15 2.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT 17 2.3 ĐIỂM CÂN BẰNG 22 2.4 NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 32 2.4.1 Phương pháp Euler 32 2.4.2 Sơ đồ phi tiêu chuẩn 37 2.5 TIÊU CHUẨN CHO SỰ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG38 2.6 ĐIỂM ĐỊNH KỲ VÀ CHU KỲ 46 2.7 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ PHÂN NHÁNH 53 2.7.1 Điểm cân 53 2.7.2 Chu kỳ 55 2.7.3 Chu kỳ 22 56 2.7.4 Sơ đồ phân nhánh 58 2.8 LƯU VỰC HẤP DẪN VÀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC 59 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu Tên bảng bảng Trang 2.1 Tổng xác định 19 2.2 Giá trị Dn 21 2.3 Xấp xỉ Euler cho h  0.2 h  0.1 34 2.4 Bảng Feigenbaum 58 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Số hiệu Tên hình vẽ hình vẽ Trang 2.1 Điểm bất động f ( x)  x3 23 2.2 Điểm bất động f ( x)  x  x  23 2.3 Điểm cân đồ Lều 25 2.4 x* ổn định 25 2.5 Điểm x* không ổn định 26 2.6 x* ổn định tiệm cận 26 2.7 Tập hút toàn cục x* , ổn định lim x(n)  x* với n x(0) 27 2.8 Sơ đồ bước cầu thang với   2.5 28 2.9 Ổn định tiệm cận cân giá 30 2.10 Ổn định cân giá 31 2.11 Điểm cân giá không ổn định 31 2.12 Sơ đồ (n, x(n)) 33 2.13 Với a  0, tất nghiệm x0  hội tụ tới x2*  35 2.14 Với a  0, tất nghiệm x0  hội tụ tới x1*  35 2.15   36 2.16    37 2.17  2.57 37 2.18    ha,      38 2.19 Phương pháp Newton 41 2.20 Không ổn định f ''( x* )  (Nửa ổn định từ bên trái) 41 2.21 Không ổn định f ''( x* )  (Nửa ổn định từ bên phải) 42 2.22 Không ổn định f '( x* )  1, f ''( x* )  0, f '''( x* )  42 2.23 Ổn định tiệm cận f '( x* )  1, f ''( x* )  0, f '''( x* )  43 2.24 Sơ đồ bước cầu thang cho x(n  1)  x (n)  3x(n) 45 2.25 Đồ thị f với điểm bất động f ( x)  3.43x(1 x) 47 2.26 x0 vào chu kỳ f ( x)  3.43x(1 x) 47 2.27 x  0.445 2.28 Điểm bất động T 49 2.29 x*  0.8 không ổn định T 49 2.30 Điểm bất động T 50 2.31    1: điểm bất động ổn định tiệm cận 54 2.32 2.33 ổn định tiệm cận liên quan đến f   1: điểm bất động không ổn định, x* điểm bất động ổn định tiệm cận   : x* điểm bất động không ổn định 48 54 55 2.34 Sơ đồ phân nhánh phần {F } 57 2.35 Sơ đồ phân nhánh phần F 57 2.36 Lưu vực hấp dẫn W s (0)  (1,1) W s (4)  [  2, 1)  (1, 4] 59 2.37 Sơ đồ mạng nhện W s (1)  (0, ), W s (1)  (,0) 63 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thời gian gần đây, lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Cơng cụ lý thuyết điều khiển toán học dùng mơ hình phương pháp tốn học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Rất nhiều toán thực tiễn lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… mơ tả phương trình tốn học điều khiển túy cần đến cơng cụ tốn học tinh vi, tìm lời giải Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập tới vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực học mơ tả phương trình sai phân với thời gian liên tục rời rạc Nội dung đưa tốn cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân Trong lý thuyết điều khiển nhiều vấn đề ngành khoa học khác, việc giải phương trình sai phân có ý nghĩa lớn mơ hình động lực dẫn đến phương trình sai phân hay nhiều hàm số Thông thường gọi biến độc lập n hàm số y1 , y , , y k thơng qua việc giải phương trình sai phân thu ta tìm quan hệ y1 (n), y (n), , y k (n) từ tìm tính chất hệ động lực khảo sát Vì vậy, để tìm hiểu ứng dụng tốn học, cụ thể ứng dụng phương trình sai phân việc mơ tả, biểu diễn nghiên cứu hệ động lực học gợi ý giáo viên hướng dẫn nên tơi chọn đề tài « Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc » làm đề tài luận văn thạc sĩ 51 f '( x(0)) f '( x(1)), , f '( x(k 1))  (ii) Chu kỳ k O(b) không ổn định nếu: f '( x(0)) f '( x(1)), , f '( x(k 1))  Ví dụ 2.11 Xét đồ Q( x)  x  0.85 xác định đoạn  2, 2 Tìm chu kỳ xác định ổn định Lời giải Nhận thấy Q ( x)  ( x  0.85)2  0.85 Các điểm chu kỳ tìm cách giải phương trình: Q ( x )  x, hay x4 1.7x2  x  0.1275  (2.32) Phương trình có nghiệm, hai số điểm bất động đồ Q( x) Hai điểm bất động nghiệm phương trình: x2  x  0.85  (2.33) Để loại bỏ điểm cố định Q( x) từ (2.32), cho vế trái (2.32) vế trái (2.33) ta phương trình hồnh độ giao điểm: x2  x  0.15  (2.34) Các điểm chu kỳ thu cách giải (2.34), ta được: a 1  0.4 1  0.4 , b 2 Để kiểm tra ổn định chu trình {a,b} ta áp dụng định lý 2.4 Ta có: Q '(a )Q '(b)  (1  0.4)(1  0.4)  0.6  Vì theo định lý 2.4, phần (i) chu kỳ ổn định tiệm cận Carvalho đưa phương pháp để tìm điểm định kì phương trình Phương pháp dựa bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1 Bổ đề Carvalho 52 Nếu k số nguyên dương x(n) dãy định kì chu kỳ k Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) Nếu k lẻ, k  m  k 1 thì: m jn jn  x(n)  c0   c j cos( ) + d j sin( k k j 1   ) ,  với n  (ii) Nếu k chẵn, k  2m thì: m 1 jn jn  x(n)  c0  (1)n cm   c j cos( ) + d j sin( k k j 1   ) ,  với n  Ví dụ 2.12 Xét phương trình: x(n 1)  x(n)exp(r(1  x(n)), (2.35) mơ tả dân số vùng có xu hướng tăng theo hàm mũ mật độ thấp có xu hướng giảm mạnh mật độ cao Số lượng   exp(r(1 x(n)) gọi tỷ lệ sinh, phụ thuộc vào mật độ dân số Các điểm bất động khơng tầm thường phương trình x*  Khi đó, f '(1)   r Vì x*  tiệm cận ổn định  r  Tại r  , x*  ổn định gây tiệm cận ổn định với chu kỳ Theo bổ đề 2.1 thì: x(n)  a  (1) n b Thay vào (2.35), ta được: a  (1)n b  (a  (1)n b) exp r (1  a  (1)n b) Khi n  n  1, ta có: a  (1)n b  (a  (1)n b) exp r (1  a  (1)n b) Vì vậy: a  b2  (a  b2 ) exp 2r (1  a) 53 Do a2  b2 cho ta nghiệm tầm thường a  Nghiệm chu kỳ có dạng: x(n)   (1)n b Thay vào (2.35), ta được:  (1)n b  (1  (1)n b) exp ((1)n1 rb) Lấy y  (1) n 1 b Khi đó:  y  (1  y) ery , r  1 y  ln    g(y) y  1 y  Phương trình g đạt giá trị nhỏ với g (0)  Vì vậy, với r  2, g( y)  r khơng có điểm định kì dự đốn trước Tuy nhiên, với r  xác định giá trị tương ứng  yr hệ số tương ứng (1) n b Phân tích sâu cho thấy đồ trải qua phân nhánh tương tự đồ logistic 2.7 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ PHÂN NHÁNH Bây trở lại với ví dụ quan trọng chương này, phương trình sai phân logistic: x(n 1)   x(n)[1 x(n)] (2.36) Đặt F ( x )   x (1  x ), x  [0,1],  >0 (2.37) 2.7.1 Điểm cân Để tìm điểm cân (điểm bất động F ) (2.36), ta tìm lời giải cho phương trình: F ( x* )  x* Khi đó, ta điểm cố định x*  x*  (  1) /  Tiếp theo, ta kiểm tra ổn định điểm cân trường hợp 54 Trường hợp Xét điểm cân x*  (Hình 2.31 2.32) Khi F ''(0)   , theo định lý 2.1 2.2 ta thấy rằng: (i) điểm bất động ổn định tiệm cận với    (ii) điểm bất động không ổn định với   Hình 2.31    1: điểm bất động ổn định tiệm cận Hình 2.32   1: điểm bất động không ổn định, x* điểm bất động ổn định tiệm cận Cần ý trường hợp   , ta có F1 '(0)  F ''(0)  2  Áp dụng định lý 2.2, ta kết luận x*  không ổn định Trường hợp Xét điểm cân x*  (   1) /  ,   (Hình 2.32 2.33) Để x*  (0,1]   1, đó: 55 F '((   1) /  )    Sử dụng định lý 2.1 2.3 có kết luận sau đây: (i) x* điểm bất động ổn định tiệm cận với    (Hình 2.32) (ii) x* điểm bất động khơng ổn định với   (Hình 2.33) Hình 2.33   : x* điểm bất động khơng ổn định 2.7.2 Chu kỳ Để tìm chu kỳ ta tìm lời giải cho phương trình F ( x)  x (hay giải phương trình x2   x1 (1  x1 ), x1   x2 (1  x2 ),  x(1  x)[1   x(1  x)]  x  (2.38) Để xóa bỏ cân điểm x*    , ta phân tích (2.38) phép  toán x( x  ( 1) / ) để có phương trình bậc hai:  x   (  1) x+   Giải phương trình ta thu chu kỳ 2: x (0)  [(1   )  (   3)(   1) ] /  , x (1)  [(1   )  (   3)(   1) ] /  (2.39) Rõ ràng, khơng có điểm định kỳ chu kỳ với    chu kỳ   Để tham khảo, ta cho 0  Sau ta tìm hiểu ổn định chu kỳ {x(0), x(1)}   56 Theo định lý 2.4, chu kỳ ổn định tiệm cận F ' ( x (0)) F ' ( x (1))  1, hay 1   (1  x(0))(1  x(1))  (2.40) Thay giá trị x(0), x(1) từ (2.39) vào (2.40), ta được:      3.44949 Kết luận: Chu kỳ hấp dẫn    3.44949 Điều xảy    ? Trong trường hợp này: [F2 ( x(0))]'  F' ( x(0)) F' ( x(1))  1 (2.41) Do đó, sử dụng định lý 2.3, phần (i) để kết luận chu kỳ hấp dẫn Để tham khảo sau ta đặt 1   Tuy nhiên, 2-chu kỳ trở nên không ổn định   1   2.7.3 Chu kỳ 22 Để tìm chu kỳ 4, ta giải phương trình F4 ( x)  x Việc tính tốn trở nên khó khăn hơn, ta phải nhờ đến máy tính để làm việc Nó có chu kỳ    hấp dẫn với     3.544090 Chu kỳ 22 trở nên không ổn định   2  3.544090 Khi   2 , chu kỳ 22 phân nhánh thành chu kỳ 23 Chu kỳ 23 hấp dẫn với 3    4 , với 4 Q trình phân đơi nhánh tiếp tục vô thời hạn vậy, ta thu chuỗi {n }n0 với n phân nhánh chu kỳ 2n1 đến chu kỳ 2n (Hình 2.34, 2.35) 57 Bảng 2.4 cho ta số kết đáng kinh ngạc Từ bảng 2.4, có nhận xét sau đây: (i) Các dãy {n } dường hội tụ đến   3.57 (ii) Thương (n  n1 ) / (n1  n ) dường hội tụ tới   4.6692016 Số gọi số Feigenbaum sau nhà vật lý Mitchell Feigenbaum tìm Trong thực tế, Feigenbaum tìm nhiều thế: số  phổ dụng độc lập với tập điểm đồ f  Hình 2.34 Sơ đồ phân nhánh phần {F } Hình 2.35 Sơ đồ phân nhánh phần F 58 Bảng 2.4 Bảng Feigenbaum n n  n   n 1 n  n1 n1  n 3.449499… 0.449499 3.544090… 0.094591… 4.752027… 3.564407… 0.020313… 4.656673… 3.568759… 0.004352… 4.667509… 3.569692… 0.00093219… 4.668576… 3.569891… 0.00019964… 4.669354… 2.7.4 Sơ đồ phân nhánh Quy ước trục ngang biểu diễn cho đại lượng , trục dọc biểu diễn cho trình lặp Fn ( x) Với điểm bất động x0 , sơ đồ phân nhánh biểu diễn giá trị Fn ( x0 ) Sơ đồ phân nhánh thu với trợ giúp máy tính cho x0  , số gia 1 với  [0,4] vẽ tất điểm ( , Fn ( )) với 200  n  500 500 Một lẽ tự nhiên, ta xem xét trường hợp    Một cách rõ ràng từ hình 2.35 thấy với     4, ta thu lượng lớn cửa sổ nhỏ mà nơi đó, tập hấp dẫn ổn định Các cửa sổ lớn xuất chủ yếu khoảng M  3.828427 , tập thu hút có chu kỳ Thật vậy, với số k nguyên dương ta thu tập thu hút Tuy nhiên, cửa sổ q nhỏ để nhìn thấy chúng Giống trường hợp     , chu trình ổn định phân nhánh thành 2n chu trình k , bên cửa sổ hỗn độn 59 2.8 LƯU VỰC HẤP DẪN VÀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC Đây cách người ta thường gọi điểm bất động ổn định tiệm cận chu kỳ hấp dẫn Trong trường hợp này, tất điểm lân cận có xu hướng hấp dẫn Các thiết lập tối đa để M hấp dẫn gọi lưu vực hấp dẫn M Phân tích áp dụng cho tất chu kỳ khoảng Định nghĩa 2.8 Cho x* điểm bất động đồ f Khi đó, lưu vực hấp dẫn (hoặc thiết lập ổn định) W s ( x* ) x* định nghĩa là:  W s ( x* )  x :lim f n ( x)  x*} n  Nói cách khác, W s ( x* ) bao gồm tất điểm phía trước tiệm cận x* Ta thấy rằng, x* điểm bất động hấp dẫn W s ( x* ) có khoảng mở xung quanh x* Khoảng tối đa W s ( x* ) chứa x* gọi lưu vực hấp dẫn kí hiệu B s ( x* ) Ví dụ 2.13 Biểu đồ f ( x)  x2 có điểm bất động hấp dẫn x*  Lưu vực hấp dẫn W s (0)  (1,1) Lưu ý điểm bất động không ổn định -1 điểm bất động cuối tiến đến sau lần lặp Hình 2.36 Lưu vực hấp dẫn W s (0)  (1,1) W s (4)  [  2, 1)  (1, 4] 60 Ví dụ 2.14 Xét biểu đồ g : [  2,4]  [  2,4] cho công thức:  x g ( x)   3 x    x  1,  x  Bản đồ g có điểm bất động x1*  0, x2*  1, x3*  Lưu vực hấp dẫn x1*  W s (0)  (1,1) Trong đó, lưu vực hấp dẫn x3*  W s (4)  [  2, 1)  (1, 4] Hơn nữa, lưu vực hấp dẫn x1*  B(0)  W s (0)  (1,1), B(4)  (1,4] Ghi Quan sát ví dụ trước, lưu vực hấp dẫn điểm bất động x1*  x3*  rời Điều tính đơn trị giới hạn dãy Nói cách khác, f n ( x)  L1 lim f n ( x)  L2 dĩ nhiên L1  L2 lim n  n  Điều đáng ý việc tìm kiếm lưu vực hấp dẫn điểm bất động nhiệm vụ khó khăn Nhưng khó khăn cung cấp chứng, cách chứng minh khắc khe logic Phương pháp hiệu để xác định lưu vực hấp dẫn là dùng hàm Liapunov, tìm hiểu chương tài liệu [11] Tuy nhiên, nội dung không nằm khuôn khổ nghiên cứu luận văn Trong phần phát triển số tính chất topo lưu vực hấp dẫn Từ lúc trở đi, biểu đồ giả định liên tục Phần trình bày định nghĩa, khái niệm quan trọng tính bất biến Định nghĩa 2.9 Một tập hợp M bất biến dương theo biểu đồ f f (M)  M hay với x  M , ta có O( x)  M Rõ ràng quỹ đạo điểm bất biến Tiếp theo ta thấy lưu vực hấp dẫn điểm bất động hấp dẫn bất biến mở 61 Định lý 2.6 Cho f : I  I , I  [a, b] đồ liên tục x*  [a, b] điểm bất động f Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) Lưu vực hấp dẫn B( x* ) khoảng chứa x* , khoảng mở (c, d) hay có dạng [a,c)  (d , b] B( x* ) bất biến (ii) W s ( x* ) bất biến W s ( x* ) hợp hai khoảng mở [a,c)  (d , b] Chứng minh: (i) Chúng ta biết B( x* ) khoảng lớn W s ( x* ) chứa x* Giả sử B( x* )  [c, d ), c  a Cho  nhỏ,   0, tồn m Z cho: f m (c)  ( x*   , x*   )  (c,d) Khi đó, f m liên tục    cho x0  (c   , c   ) thì: f m ( x0 )  ( x*   , x*   )  B( x* ), với x0  B( x* ) (c   , d)  W s ( x* ) Vì vậy, B( x* )  [c, a) Tương tự ta thấy W s ( x* )  (c,d ] d  b Sau ta chứng minh bất biến B ( x* ) * r * Giả sử tồn y  B(x ) cho f ( y) B(x ) với r  Z  Khi đó, B( x* ) khoảng f r ( B ( x* )) khoảng (Theo định lý giá trị trung bình) Hơn nữa, f r ( B ( x* )) phải chứa x* f r ( x* )  x* Vì f r ( B( x* ))  B( x* )  f r ( B( x* ))  B( x* ) khoảng nằm W s ( x* ) (ii) Chứng minh tương tự Đối với đồ logistic, F ( x)   x(1  x)    Khi đó, lưu vực hấp dẫn W s ( x* )  (0,1) với điểm bất động x*   1  Còn trường hợp đồ s * Ricker Rp ( x)  xe px ,  p  Khi đó, lưu vực hấp dẫn W (x )  (0, ), với 62 x*  p Ở đây, ta ý nghiên cứu đồ logistic Chú ý F' ( x )     x   1 2  x  21 Vì vậy, F' ( x)  với x   21 , 21  Khi x*    1     1 2  , 21   Ta F  21   F  21   12 [ (  1)(2  1) ]  1 2 hay      x  1, Chú ý    3,  1)  12 (  1)( < 21 Khi  21 , 21   W s ( x* ) 2 Nếu z   0, 21  F' (z)  Theo định lý giá trị trung bình ta có F ( z )  F (0) z 0  F' ( ), với    z Khi đó: F (z)  F (0)  F (z)   z, với   Với r  Z  Fr ( z)   r z  21 Fr 1 ( z)  21 Tuy nhiên, F tăng s * 0, 21  Fr ( z)  F ( 21)  ( 21)(1 21)  1 ( 41)  x* Do đó, z W (x ) Mặt khác, F ( 21 ,1)  (0, x* ) ( 21 ,1)  W s (x* ) Điều cho thấy Ws (x*)  (0,1) Bổ đề 2.2 Đối với đồ logistic F (x)  x(1 x),    Khi đó: W s ( x* )  (0,1) với x *   1  Ví dụ 2.15 Xét phương trình f ( x)   x Khi đó, x*  điểm bất động Chu kỳ 1,1 với f (1)  1, f (1)  1 Sơ đồ mạng nhện (Hình 2.37) cho ta W s (1)  (0, ), W s (1)  (,0) 63 Hình 2.37 Sơ đồ mạng nhện W s (1)  (0, ), W s (1)  (,0) 64 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Luận văn trình bày sơ lược phương trình sai phân bậc nhất, khái niệm phương trình sai phân Luận văn tìm hiểu điểm cân hệ động lực học, cách tìm điểm cân nêu phương pháp để xét tính ổn định điểm Luận văn cho ta số kiến thức sở phương trình logistic phân nhánh Ngồi ra, luận văn cung cấp số kiến thức lưu vực hấp dẫn ổn định toàn cục Những kết luận văn dựa sở giáo trình An Introduction to Difference Equations, Third Edition, New York, USA, Saber N Elaydi (2005) Vì thời gian lực thân có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế, em mong nhận góp ý thầy cô bạn TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Lê Đình Định (2011), Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [3] Đinh Văn Phong (2009), Mô số điều khiển hệ học, NXB giáo dục [4] Đinh Văn Phong (2006), Phương pháp số học, NXB Khoa học kỹ thuật [5] Đỗ Sanh (2008), Cơ học giải tích, NXB Bách Khoa Hà Nội [6] Ngô Văn Thanh (2009), Ứng dụng phương pháp tích số, Viện Vật lý [7] Lê Đình Thịnh (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [8] Lê Đình Thịnh-Lê Đình Định (2004), Phương pháp sai phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Bùi Minh Trí (2003), Mơ hình tốn kinh tế, NXB Bách Khoa Hà Nội TIẾNG ANH [10] Jeffrey R Chasnov (2009), Introduction to Differential Equations, California, 94105, USA [11] Saber N Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Third Edition, New York, USA [12] Li, T.Y., and J.A Yorke (1975), Period Three Implies Chaos, Mathematical Association of America ... CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1 Sai phân hàm số biến thực 1.1.2 Các khái niệm phương trình sai phân 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI. .. hình động lực học dạng phương trình sai phân bậc 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mơ hình động lực học mơ tả phương trình sai phân bậc biến, giải số phương trình sai phân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương. .. phương trình sai phân bậc Chương Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc Trong chương 2, luận văn giới thiệu điểm cân hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, sơ đồ mạng nhện nghiệm số phương