- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS CẨM LÝ ĐỀ THI HSG LỚP
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Bài 1: ( điểm)
a Chứng tỏ tổng sau khôngm chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n # )
b Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B = 17 2 + − = + + + + n n n n n n
c Tìm chữ số x ,y cho: C = x1995y chia hết cho 55 Bài (2 điểm )
a Tính tổng: M =
1400 10 260 10 140 10 56
10 + + + +
b Cho S =
14 13 12 11 10 + + +
+ Chứng minh : 1< S < Câu Cho số 18, 24, 72
a) Tìm tập hợp tất ước chung số b) Tìm BCNN số
Câu Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD; AC
ĐÁP ÁN Câu
a.(1 điểm)
Ta có 405n = ….5 ( 0,25 điểm)
2405 = 2404 = (….6 ).2 = ….2 ( 0,25 điểm)
m2 số phương nên có chữ số tận khác Vậy A có chữ số tận khác khơng A 10 b ( 1điểm)
B = 2 26 4 2 3 17 5 9 2 2 3 17 2 5 2 9 2 + + = + − + + + = + − + + + + + n n n n n n n n n n n n
( 0,25 điểm)
B = 18 18 ) ( 26 + + = + + + = + + n n n n n
(0,25 điểm )
Để B số tự nhiên
2 18
+
n số tự nhiên
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | + n + 2= <=> n=
+ n + 2= <=> n= + n + 2= <=> n= + n + 2= <=> n= + n + 2= 18 <=> n= 16
Vậy n 0;1;4;7;16 B N (0,25điểm ) c (1 điểm)
Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = (0,25 điểm) Do C =x1995y 55 <=>
11 C C ( ) ( )1
(0.25 điểm)
(1) => y = y =
+, y= : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = (0,25 điểm) +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 ) 11 => x = (0,25 điểm) Câu a( 1điểm) M = 1400 10 260 10 140 10 56
10+ + + +
= 28 25 13 10 10 7
5 + + + +
(0,25 điểm) = − + − + − + + − 28 25 13 10 10 7
( 0, 25 điểm)
= 14 28 28 = =
− ( 0,5 điểm) b (1 điểm)
S = 15 15 15 15 15 14 13 12 11 10
3 + + + + + + + +
=> S > 15 15=
(1) ( 0,5điểm) S=
10 10 10 10 10 14 13 12 11 10 + + + + + + +
+ => S <
10 20 10 15
=
(2) ( 0,5 điểm) Từ (1) (2) => < S <
Câu (2đ)
a) Tìm Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) cho 0,5đ
ƯC (18; 24; 72) = 1; 2; 3; 6
b) Ta có 72 B(18) ; 72 B(24) BCNN (18;24;72) = 72 Câu (2đ)
O D B A C x
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Lâp luân B nằm A D
Theo gt OD < OA D nằm O A (0,5đ) Mà OD + DA = OA + DA =5 DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA DB +BA = (2) (0,25đ) Lấy (1) – (2): AC – DB = (3) (0,25đ) theo đề : AC = 2BD thay (3)
Ta có 2BD – BD = BD = (0,25đ)
AC = 2BD AC = cm Đề số
Bài : Tìm x biết
a ) x + (x+1) +(x+2) + +(x +30) = 620 b) +4 +6 +8 + +2x = 210
Bài : a) chứng tỏ số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết cho b) cho A =( 17n +1 )(17n +2 ) 3 với nN
Bài 3: Cho S = 1+3+32 +33+ +348 +349 a ) chứng tỏ S chia hết cho
b) Tìm chữ số tận S
c) Chứng tỏ S =
2 350−
Bài 4: Lấy tờ giấy cắt thành mảnh Lấy mảnh cắt thành mảnh khác Cứ tiếp tục nhiều lần
a) Hỏi sau cắt số mảnh ,có thể tất 75 mảnh giấy nhỏ không ? b) Giả sử cuối đếm 121 mảnh giấy nhỏ Hỏi cắt tất mảnh giấy ? Bài ( điểm )
Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a
b) Xác định điểm M tia Ox cho OM =
2
(a+b) ĐÁP ÁN Bài :
a) 31x + 620
30 ) 30
( + =
31x=620−31.15=155 x= 155 :31 =
b) 210
) 2
( x+ x =
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy x= 14
Bài :
a) gọi số tự nhiên liên tiếp x ,x+1, x+2 ( x N)
Nếu x = 3k ( thoả mãn ) Nếu x= 3k +1 x+2 =3k+1+2 =(3k +3 )3
Nếu x = 3k +2 x +1 = 3k+1 +2 = (3k +3 ) 3 Vậy số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho
b )Nhận thấy 17n , 17n +1 , 17n + số tự nhiên liên tiếp mà 17n không chia hết cho ,Nên số lại số phải 3
Do : A =( 17n +1 )(17n +2 ) 3 Bài 3:
a )Ta có : S = (1+3)+(32+33)+ +(348+349) = 4+32(1+3)+ + 348(1+4) 4
b ) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+ +(344+345+346+347) +348 +349 Các tổng số hạng chia hết cho 10 ,do tận
Mặt khác 338 + 349 = 34.12 + 348 = + = Vậy S có tận
c ) S = 1+3+32 +33+ +348 +349 3S = +3+32 +33+ +348 +349+ 350
s s−
3 = 350 – 2S = 350 –
Suy S =
2 350−
Bài :
a) Khi ta cắt tờ giấy thành mảnh số mảnh giấy tăng thêm Cắt nhiều lần tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k tờ giấy đem cắt ) Ban đầu có 1tờ giấy ,Vậy tổng số mảnh giấy 5k +
Số chia dư : khơng thể có tất 75 mảnh giấy nhỏ ( 755) b) Ta có 5k +1 = 121 k=24 Vậy ta cắt tất 24 mảnh giấy Bài ( điểm )
a) (1 điểm )Vì OB < OA ( b<a) nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm A Do đó: OB + OA = OA
Từ suy ra: AB = a – b
b)(1 điểm )Vì M nằm tia Ox
OM = 1(a b) a b 2b a b b a b
2 2
+ + − −
+ = = = + = OB + OA OB OB AB
2
2 = +
−
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Đề số
Câu (2 điểm) Tính a/ A =
1 2 3 . . . 98 99 100 101
1 2 3 . . . 98 99 100 101
+ − + + − +
− + + + + + +
+
b/ B =
423134 846267
. 423133
423133 846267
. 423134
+ − Câu (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng: 1028 + chia hết cho 72
b/ Cho A = + + 22 + 23 + + 22001 + 22002 B = 22003 So sánh A B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số nguyên tố Câu 3: (2điểm)
Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Câu (2,5 điểm)
a, Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì
b, Vậy với n tia chung gốc Có góc hình vẽ ĐÁP ÁN
Câu 1:
a/ A = 101 51
51 . 101 =
(1 điểm)
b/ B = 1
423134 846267
. 423133
423133 846267
846267 .
423133 =
+ −
+
(1 điểm)
Câu 2:
a/ Vì 1028 + có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho Lại có 1028 + có chữ số tận 008 nên chia hết cho
Vậy 1028 + chia hết cho 72 (1/2 điểm) b/ Có 2A = + 22 + 23 + + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – => A = B – Vậy A < B (1/2 điểm) c/ Xét phép chia p cho ta they p có dạng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + (k N; k > 0) + Nếu p = 5k p nguyên tố nên k = => p =
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Câu 3:
Từ 1; 2; ………; n có n số hạng Suy +2 +…+ n =
2 ) (n+ n
Mà theo ta có +2 +3+… +n = aaa
Suy
2 ) (n+ n
= aaa = a 111 = a 3.37
Suy ra: n(n + 1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n + Chia hết cho 37 Vì số
2 ) (n+ n
có chữ số Suy n+1 < 74 n = 37 n + = 37
+) Với n = 37 703
38 37
= ( loại) +) Với n + = 37 666
2 37 36
= ( thoả mãn) Vậy n =36 a = Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666 Câu :
a) (1,5điểm)
Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.6 góc Nhưng góc tính lần có tất 15
2
= góc b) (1điểm) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có n(
2
−
n
) (góc)
Đề số Bài (3điểm)
a Tính nhanh: A = 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
+ + +
+ + +
b Chứng minh : Với kN* ta ln có : k k( +1)(k+ − −2) (k 1) (k k+ =1) 3.k k( +1) áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 + + + +n n.( +1)
Bài (3điểm)
a.Chứng minh : (ab cd+ +eg)11 : abcdeg 11 b.Cho A = 2+ 2+23+ + 60 Chứng minh : A ; ; 15 Bài (2điểm) Chứng minh : 12 13 14
2 +2 +2 + +2n <
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC
b Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng
ĐÁP ÁN Bài
a 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
+ + +
+ + + =
( )
( )
1.5.6 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 1.3.5 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5
+ + +
= =
+ + +
b.Biến đổi :
( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1)
k k+ k+ − k− k k+ =k k+ k+ − k− = k k+ áp dụng tính :
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 1.2 1.2.3 0.1.2 2.3 2.3.4 1.2.3 3.4 3.4.5 2.3.4
3.n n n n n n n n
= −
= −
= −
+ = + + − − +
Cộng lại ta có : ( 1)( 2) ( 1)( 2)
n n n
S =n n+ n+ =S + +
Bài
a) Tách sau : abcdeg 10000= ab+100cd+eg=(9999ab+99cd) (+ ab cd+ +eg) Do 9999 11 ; 99 11(9999ab+99cd)11
Mà : (ab cd+ +eg)11 (theo ra) nên : abcdeg 11
b) Biến đổi :
*A =(2+22) (+ 23+24) (+ 23+24)+ + (259+260)=2 2( + )+2 23( + )+ + 259(1 2+ )
= ( 59) 2+2 + +
*A = (2+22+23) (+ 24+25+26)+ + (258+259+260) =
=2 2( + +22)+2 24( + +22)+ + 258( + +22) = 2( +24+ + 258) *A = ( 4) ( 8) ( 57 58 59 60)
2+2 +2 +2 + +2 +2 +2 + + +2 +2 +2 =
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài Ta có :
( )
2
1 1
1
n n n− = n− −n Áp dụng : 2
1 1 1 1
1 ; ; ;
2 −2 −2 n n−1−n
12 13 14
2 +2 +2 + +2n < 1
n
−
Bài
a) Xét hai trường hợp :
*TH 1: C thuộc tia đối tia BA
Hai tia BA, BC hai tia đối B nằm A C
AC = AB + BC = 12 cm *TH : C thuộc tia BA
C nằm A B (Vì BA > BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = cm b)
- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm
- Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm là: 10100:2=5050 giao điểm
Đề số
Bài 1: ( điểm )
Tính
2
39 33 21
0, 415 :
65 600
21 :
15 17 54 75
7 18, 25 13 16 36 102
+ −
+
− + −
Bài 2: ( điểm ) Tìm hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện: a + 2b = 48 (a,b) + [a,b] = 114
Bài 3: Hình học ( điểm )
1 Cho điểm A,B,C thẳng hàng AB + BC =AC Điểm nằm hai điểm lại? Tại sao? Cho góc aOb tia 0c nằm hai tia Oa Ob Od tia đối tia Oc Chứng minh rằng: a) Tia Od không nằm hai tia Oa Ob
b) Tia Ob không nằm hai tia Oa Od Bài 4: ( điểm ) Tính tỷ số
B A
biết
ĐÁP ÁN Bài
57 23
11 43 23
3 43 19
5 31 19
7 57
10
7 41 10
9 41
6 31
4 + + + = + + +
= B
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 2:
A 12 18 24 30 36 42
B 21 18 15 12
(a,b) 12
[a,b] 42 36 90 24 90 36 42
(a,b) + [a,b] 129 114 273 84 114 114 129 Vậy a = 12; b = 18 a = 36 ; b =
Bài 4:
Đề số
Câu 1: (6 điểm) Thực tính dãy
3
3 21 21 54 18
17 13 :
67 56 45 5.22 44.65 65.72 29 :100 (29 : 0, 47)
− + +
−
Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên thoả mãn: - Tổng BSCNN ƯSCLN số 174 - Tổng số nhỏ trung bình cộng số 57
Câu : (4 điểm) Cho điểm A, B, C, D, E khơng có điểm thẳng hàng
- Có đoạn thẳng mà đoạn thẳng nối điểm cho.Kể tên đạon thẳng - Có thể dựng đường thẳng không qua điểm điểm cho mà cắt đoạn thẳng đoạn thẳng nói khơng? Giải thích sao:
Câu : (5 điểm)
Lúc giờ, người xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km /h Lát sau người thứ từ A đến B với vận tốc 20km /h Tính hai người gặp B Người thứ nửa quãng đường AB tăng vận tốc lên thành 24km /h Vì người gặp cách B km.Hỏi người gặp lúc giờ?
( )
6;12;18;24;30;36;42
48 48 ; 3 , , ; 144 ; 48 = + = + a a b a a a b a b a a b
a
2 5 57 31 57 23 11 43 23 43 19 31 19 57 31 57 50 41 50 41 35 31 = = − = + + + = − = + + + = B A B A B A 28 24 , : 75 54 21 16 12 13 12 30 96 , : 75 54
21 = + =
− +
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 ĐÁP ÁN
Bài 1: =
36
Bài 2: (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114 b ; [a,b] 174 (a,b) a Mà 3a + b = 114 3a < 114 a < 38
a 12 15 18 21 24 27 30 33 36 b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15 (a,b) 6 6 6 [a,b] 105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36 Tổng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42 Bài 4:
Hiệu vận tốc nửa quãng đường đầu : 20 - 12 = (km/h) Hiệu vận tốc nửa quãng đường sau : 24 - 12 = 12 (km/h)
Hiệu vận tốc nửa quãng đường đầu theo dự định 2/3hiệu vận tốc quãng đường sau Chỉ xét nửa quãng đường sau thời gian xe II đuổi kịp xe I thực tế 2/3thời gian xe hai đuổi kịp xe I theo dự định
Thời gian hai xe đuổi kịp sớm : 4: 12 =
3
h = 20 '
Thời gian hai xe đuổi kịp theo dự định: 20 = 60 ' = 1h
Thoì gian xe hai cần để đuổi kịp xe quãng đường : = 2h Quãng đường xe I trước là: 16 : =
3
h = 1h 20'
Thời gian hai xe gặp theo dự định: h + 1h 20' +2h = 11h 20' Do hai xe thực tế gặp sớm dự định 20'
Hai xe gặp lúc 11h 20' - 20' = 11h
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -