Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ 20 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường có đáp án là tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán hữu ích dành cho các bạn học sinh lớp 10, thông qua việc luyện tập với đề thi sẽ giúp các em làm quen với các dạng câu hỏi và rút kinh nghiệm trong quá trình làm bài thi. Mỗi đề thi kèm theo đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc ôn tập cũng như rèn luyện kỹ năng giải đề. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.
BỘ 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 10 CẤP TRƯỜNG CÓ ĐÁP ÁN MỤC LỤC Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS&THPT Trí Đức, HCM Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Cẩm Xuyên Đề thi học sinh giỏi môn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2) Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Lưu Hồng, Hà Nội Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Huệ, Quảng Nam Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Trần Nguyên Hãn, Hải Phòng Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Yên Phong 2, Bắc Ninh Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Chuyên Bắc Ninh 10 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Diễn Châu 2, Nghệ An 11 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 năm 2020-2021 - Trường THPT chun KHTN Hà Nội 12 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2020-2021 - Trường THPT Đan Phượng, Hà Nội 13 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Liễn Sơn, Vĩnh Phúc 14 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 - Trường THPT Thu Xà, Quảng Ngãi 15 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT chuyên DH ĐB Bắc Bộ 16 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội 17 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội 18 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh 19 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh Hóa 20 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT thị xã Quảng Trị KIỂM TRA CHỌN HSG VÒNG TRƯỜNG SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN – KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: a ( x 3) x x x x x x 3x x y y b 4 x x 4 x 1 y Câu 2: (5,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 1 , B 2; 3 C 2; 1 a Tìm tọa độ điểm F để FA FB 3FC b Xác định vị trí M để MA MB MC nhỏ , biết M m, m 1 điểm di động c Tìm tọa độ điểm D để ABDC hình thang có hai đáy AC, BD diện tích hình thang Câu 3: (3,0 điểm) a Tìm giá trị lớn P yz x zx y xyz xy z b Cho ba số thực dương x,y,z thỏa xyz xy yz zx Chứng minh x 3x 1 y y 1 z 3z 1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho bảng vng kích thước 100x100 mà ô điền ký tự A, B, C, D cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, cịn hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh nằm cạnh bảng bốn ô vuông đơn vị bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C, D “bảng tốt” a Hỏi cách điền trên, có cách điền mà bảng ô vuông 1x4, 4x1 2x2 có chứa đủ ký tự A, B, C, D? b Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho ln có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt Câu 5: (3,0 điểm) Minh Khôi dùng đồ chơi xếp thành tháp 1,2,3,… có hình dạng tn theo quy luật hình vẽ: Với số nguyên dương n, gọi f n số đồ chơi cần có để xếp thành tháp n Ví dụ: f 1 3,f 2 10,f 3 21, a Viết cơng thức tính f n 1 theo f n n b Viết cơng thức tính f n theo n c Biết Minh Khơi có 5000 đồ chơi, có chiều dài 10cm Minh Khơi muốn dùng (không thiết dùng hết thanh) để xếp thành tháp lớn (tháp phải có hình dạng tn theo qui luật hình vẽ Hỏi tháp lớn mà Minh Khơi xếp có chiều cao ? HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên học sinh: …………………….…….…………………….… Lớp:……… ……… ĐÁP ÁN KT HSG VÒNG TRƯỜNG SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN – KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU a Điều kiện x ĐIỂM Phương trình (1) ( x 3)( x 1) x( x 1) x x 0,5 đ x 3 x x 2x2 6x 1 x 1 x 1 1 x( x 3) 2 x 1 1 x 1 0,5*3 đ ĐIỂM TỔNG ( x 3) x( x 3) 1 (2) x x 1 x( x 3) x 0; x (Thỏa mãn điều kiện) 0,5 đ Với điều kiên x ta có 1 1 1 x 1 1 x Dấu " " 1 x 1 x 1 x 1 1 x 0,5 đ 6,0 điểm khơng xảy nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x x b Phương trình thứ ( x 3x 3x 1) x y y x 1 x 1 y y Đặt a x ta a a y y a y a ay y a y 0,5đx3 y 3y Vì a ay y a 0; a, y 2 2 Ta y x thay vào pt thứ hai ta x x x ĐK: x x 2 x 2 x 2x x x 2x x2 y 3 2 x 2 x 3 0,5đx2 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y 2;3 0,5 đ 1 x x x FA FB 3FC 1 y y 1 y a x y 0,5 đx2 7 Vậy F 0; 5 0,5 đ b MA 3MB MC CA 3MB 0,5 đ CA 1;0 , MB 2 m;2 m 0,5 đ 169 13 CA 3MB 18 m 6 2 Dấu “=” xảy m 1 7 Vậy M ; 6 6 0,5 đ 0,5 đ 5,0 điểm 0,5 đ c Gọi D x; y x 6.1 x BD AC BD AC y 6.0 y Vậy D 4;3 0,5 đ 0,5 a P xác định x 1,y 4,z Ta có P y4 x 1 z9 x y z 0,5 đ Áp dụng Bđt Cơsi ta có: x 1 x 1 x 1 x 2 y4 z9 Max P= y4 y 4 y 11 z 9 z 1 P 12 z 0,5đ 11 , đạt x=2, y=8, z=18 12 0,5đ b Ta có 3xyz xy yz zx 1 3 x y z 0,5 đ 3,0 điểm x y z Đặt a , b , c a b c Ta có x 3x 1 a 3 1 a a3 b c a3 b c VT 2 y y 1 b 3 1 b b3 a c 2 z 3z 1 c 3 1 c c3 a b 2 4 0,5đ b c b c 3a b3 a c a c 3b c3 a b a b 3c , , 2 8 a c 8 a b 8 1 a b c 4 a) Không tính tổng qt, giả sử cột điền A,B,C,D Khi đó, thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vng 2x2 chứa sẵn A,B,C Do đó, ta điền tiếp cột theo thứ tự C, D, A, B Cứ thế, ta điền tiếp cho cột 3,4 0,5đ 1,0 đ 1,0 đ 3,0 điểm Tuy nhiên, ta thấy hàng khơng thỏa mãn chứa hai loại ký tự Vậy nên khơng có cách điền thỏa mãn điều kiện nêu 0,5đ b) Giả sử phản chứng cặp cột tùy ý có 25 cặp ô ký tự Cố định cột 1, xét 99 cột lại Gọi T số (a,b) cột a có thứ b từ xuống ký tự Theo giả sử T 99.25 0,5 đ Mặt khác, theo giả thiết T=100.24 (tính theo hàng) Suy 100.24 > 99.25, điều vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề f n 1 f n 2n 2n f n 4n 0,5đx2 3,0 (3,0 điểm) f n 2n2 n f 50 5050,f 49 4851 0,5x2đ 0,5đ suy tháp lớn mà Minh Khơi xếp tháp 49 tháp 0,5 đ có chiều cao 490cm Đáp án hướng dẫn chấm điểm gồm có 03 trang Học sinh giải cách khác đúng, hợp lí logic cho điểm tối đa Quý thầy cô xem lại đáp án thống trước chấm ! điểm TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN TỔ: TOÁN – TIN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 LỚP 10 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Giải phương trình sau: a) x x b) c) x x x x2 x Bài Cho hàm số y x mx ( m tham số) a) Lập bảng biến thiên hàm số cho m 4 b) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y x hai điểm phân biệt nằm phía trục hồnh y Bài Cho hàm số y f x ax bx c có đồ thị hình vẽ bên a) Nêu khoảng đồng biến nghịch biến hàm số cho b) Tìm giá trị nguyên tham số m để phương trình f x m f x m có nghiệm phân biệt Bài Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC M , N hai điểm thuộc hai cạnh AB, CD cho O x -1 AB 6BM , DC 3DN a) Tính độ dài vectơ AB AD theo a b) Chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng Bài a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2;1 , B 1;2 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA MB đạt giá trị nhỏ b) Cho tam giác ABC cạnh trị lớn biểu thức MA MB MC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc (O) Tìm giá Bài Cho hàm số y ax bx c có đồ thị hình vẽ Chứng minh phương trình 1 c x b x a có hai nghiệm phân biệt y O x Bài Với x 0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x 1 1 x x 1 x HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu, CBCT không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………………………………….Số báo danh:……………………………… NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI HSG TỐN NHĨM TỐN VD – VDC a) Ta gọi E ( x; y ) , EA = ( −2 − x; −2 − y ) ,EB = ( − x; − y ) ,EC = ( − x; − y ) −2 − x − x + ( − x ) = x = nên EA + EB + EC =0 ⇔ ⇔ y = y y y − − + − + − = ( ) Vậy E (2;3) Ta có: PA + PB + PC= PE= PE Nên PA + PB + PC đạt giá trị nhỏ P hình chiếu E lên trục hồnh Vậy P ( 2; ) b) Gọi M ( a;b ) D(c; d ) Diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích tam giác MBC nên S ∆MBC = S ∆MAB 1 ⇔ MH BC = MK DA 2 ⇔ MH BC = MK AD ⇔ 4BC MK = AD MH Mà ABCD hình thang nên Do MK AD = MH BC AD BC = BC AD Suy AD = BC ⇒ AD = BC ⇒ AD = BC AD =(c + 2; d + 2) c = 12 ⇒ = (7; −1) d = −4 BC Vậy D (12;−4 ) Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình x + mx + x − m =x + ( m tham số) a) Giải phương trình với m = −3 b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC x + ≥ Ta có phương trình cho ⇔ 2 x + mx + x − m = ( x + 1) ĐỀ THI HSG TỐN NHĨM TỐN VD – VDC x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ( *) 2 − + + + + = x x m x m ( ) ( ) 2 x + ( m − 1) x − m − =0 x ≥ −1 a) Với m = −3 (*) ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = x ≥ −1 x = x = ⇔ ⇒ x = 1± 1± x= 2 ± Vậy tập nghiệm phương trình S = 1; x ≥ −1 b) Ta có (*) ⇔ x = x + ( m + 1) x + m + = (**) Xét phương trình (**) : x + ( m + 1) x + m + = Có ∆= ( m + 1) − ( m + 1= ) ( m + 1)( m − ) Phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (**) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác −1 ≤ x1 < x2 ∆= ( m + 1)( m − ) > m +1 − x1 + x2 = 2.1 + ( m + 1) + m + ≠ ) (với ⇔ x x = m +1 ( x1 + 1) + ( x2 + 1) > x +1 x +1 ≥ ( ) ( ) ( m + 1)( m − ) > m ∈ ( −∞; − 1) ∪ ( 7; + ∞ ) 2m + ≠ m +1 m ≠ −2 ⇔ − ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; − ) ∪ ( −2; − 1) +2>0 m < m +1 m +1 2 ≥ ( ld ) − +2≥0 2 Vậy m ∈ ( −∞; − ) ∪ ( −2; − 1) Câu 4: Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M , N cạnh BC , CA cho BM = a , CN = 2a a Tìm giá trị tích vơ hướng AM ⋅ BC theo a b Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN ( ) = 3a ⋅ 3a ⋅ cos120° + a ⋅ 3a ⋅ cos 0° = − a + 3a = − a2 2 b Ta có AM ⋅ PN = AB + BM AN − AP = AB + BC AN − AP 1 1 1 = AB ⋅ AN − AB ⋅ AP + BC ⋅ AN − BC ⋅ AP = 3a ⋅ a ⋅ − 3a ⋅ x + ⋅ 3a ⋅ a ⋅ − ⋅ 3a ⋅ x − 3 3 2 ( )( ) ( NHĨM TỐN VD – VDC a Ta có AM ⋅ BC = AB + BM ⋅ BC = AB ⋅ BC + BM ⋅ BC ) 5 =2a − ax =a 2a − x 2 Theo đề, AM ⊥ PN nên AM ⋅ PN = ⇔ a 2a − x = ⇔ x = a Câu 5: Cho hàm số f ( x ) = x − x + + m ( m tham số) Tìm m để giá trị lớn hàm số cho đoạn −2; đạt giá trị nhỏ Lời giải Xét hàm số g ( x ) = x − x + + m đoạn −2; Ta có g ( x ) = (x − 2) + m + ( Do −2 ≤ x ≤ ⇒ ≤ x ≤ ⇒ −2 ≤ x − ≤ ⇒ ≤ x − ( ) ) ≤9 Suy m + ≤ x − + m + ≤ 10 + m hay m + ≤ g ( x ) ≤ m + 10, ∀x ∈ −2; Suy g ( x ) ∈ [ m + 1; m + 10] , ∀x ∈ −2; Trường hợp 1: ≤ m + ⇔ m ≥ −1 , suy max f ( x = ) m + 10 −2; m ≥ −10 Trường hợp 2: m + < ≤ m + 10 ⇔ ⇔ −10 ≤ m < −1 , m < −1 suy max f= ( x ) max {m + 10; −m − 1} −2; Nếu m + 10 > −m − ⇔ m > − 11 11 , suy max f ( x = m + 10 m ∈ − ; −1 ) −2; Nếu m + 10 < −m − ⇔ m < − 11 11 , suy max f ( x ) =−m − m ∈ −10; − −2; 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Trường hợp 3: m + 10 < ⇔ m < −10 , suy max f ( x ) =−m − ĐỀ THI HSG TOÁN −2; NHĨM TỐN VD – VDC 11 −m − 1, m < − Tóm= lại h ( m ) max f ( x) = −2; m + 10, m ≥ − 11 Suy đồ thị hàm số h ( m ) Vậy: Giá trị lớn hàm số cho đoạn −2; đạt giá trị nhỏ 11 m = − max f ( x ) = −2; 2 HẾT https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HSG CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: Tốn, Lớp 10 Ngày thi: 22 tháng năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang Câu I (4 điểm) Cho hàm số: y x2 m 1 x m2 4m (1) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x hai điểm phân biệt A, B cho A B nằm hai phía trục tung Câu II (4 điểm) Giải phương trình: x x x x 7x y 2x y Giải hệ phương trình: x y x y Câu III (4 điểm) x5 1 1 x Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: x xy 10 y m2 5m x y Giải bất phương trình: Câu IV (6 điểm) 1 Cho hình vng ABCD; E, F, I điểm xác định BE BC , CF CD , BI BF Chứng minh A, E, I thẳng hàng góc AIC 900 Tam giác ABC có cạnh AB , AC BAC 1200 Tính diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng B có M 2;1 trung điểm cạnh huyền AC, điểm B 0; 3 Tìm tọa độ điểm C biết điểm A thuộc đường thẳng d : x y điểm C có hồnh độ dương Câu V (2 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 y z xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 y z 54 P y z x xy yz zx HẾT - SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HSG CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: Tốn, Lớp 10 Ngày thi: 22 tháng năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang Câu I (4.0) Ý Nội dung Điểm 2,00 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị Khi m 1, hàm số cho trở thành: y x2 x 0,25 Tập xác định: D=R Ta có b 2a 1 4a x 0,25 0,50 y 1 Hàm số nghịch biến khoảng ; ;đồng biến 2; Đồ thị hàm số parabol có bề lõm quay lên tọa độ đỉnh I 2; 1 0,50 Đồ thị: Đồ thị cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 0,50 Tìm giá trị m 2,00 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) đường thẳng y x là: x m 1 x m2 4m x 0,5 x 2m 3 x m 4m (2) II (4.0) Để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng hai điểm phân biệt A, B hai phía trục tung phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt trái dấu 0,50 m2 4m 5 m 0, Vậy điều kiện cần tìm 5 m 0,50 Giải phương trình: x x x x Đặt x x t , ta có phương trình: t 2t t t 2 Đối chiếu điều kiện ta có t Với t ta có: x 2 x x x x 16 x x 16 x x 2 Như phương trình có nghiệm x 7x y 2x y Giải hệ phương trình: x y x y u x y Đặt v x y u v2 x 7 x y u Ta có 2 2 x y v y 2u 7v Thay vào hệ phương trình, ta được: u v u v 1 2 u v 2u 7v 2 v 1 3u 8v 5v Thay (1) vào (2) ta có: v 7 v 8v 5v v 5v 14 v Như vậy: u x nên nghiệm hệ phương trình cho v y 2,00 0,5 0,5 0,5 0,50 2,00 0,50 0,50 0,50 0,50 III (4.0) 1 Giải bất phương trình: x5 1 1 x 2,00 x5 x x 1 1 0 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x x Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm 5; 1 (1; ) 0,5 0,5 0,5 0,50 Tìm tất giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm x xy 10 y m2 5m x y 2,00 ( x y)2 y m2 5m BPT ( x y) y 0,50 t y m2 5m 8, (1) Đặt t x y ta có hệ trở thành: (2) t y Trong hệ trục tọa độ Oty ta có: + Miền nghiệm bpt(1) miền biên đường tròn tâm O, bán kính r m2 5m + Nghiệm bpt(2) nửa mặt phẳng không chứa O chia đường thẳng t y Từ để hệ cho có nghiệm : R d (O / ) m2 5m m2 5m m 2, m KL : m 2, m IV (4.0) 0,50 0,50 0,50 1 Cho hình vng ABCD; E, F, I điểm xác định BE BC , CF CD , BI BF Chứng minh A, E, I thẳng hàng góc 2,00 AIC 900 Đặt AB u; AD v , ta có: AE AB BE u v 2 Từ BI BF AI AB AF AB AI AB AD DF AB 5 Hay: 2 AI u v u u AI u v 5 5 Như AI AE nên ba điểm A, E, I thẳng hàng 0,5 0,5 Ta có: 6 CI AI AC u v u v u v AI u v 5 5 5 B A 0,50 E C D I F Do ABCD hình vuông nên: u v ; u.v Bởi vậy: 6 16 6 AI CI u v u v u v u.v 5 5 25 5 0,50 Suy AIC 900 2 Tam giác ABC có cạnh AB , AC BAC 1200 Tính diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác ABC là: S 1 3 AB AC sin BAC 2.3.sin1200 2 2,00 1,00 Ta có: BC AB AC AB AC.cos BAC 22 32 2.2.3.cos1200 19 BC 19 Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BC 19 57 R 2sin BAC 2sin120 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có M 2;1 trung điểm cạnh huyền AC, điểm B 0; 3 Tìm tọa độ điểm C biết điểm A thuộc đường thẳng 1,00 2,00 d : x y điểm C có hồnh độ dương Ta có MB 2 3 1 2 20 Vì tam giác ABC vng B M trung điểm AC nên: MA MB 20 Do A thuộc đường thẳng d : x y nên A 1 3t;1 2t , vậy: MA2 3t 1 2t 13t 6t 2 0,50 0,50 Do đó: MA 20 13t 6t 20 13t 6t 19 t t 19 13 *Với t A 2;3 M trung điểm AC nên suy C 6; 1 (thỏa mãn) 0,50 0,50 *Với t 19 70 25 18 51 A ; M trung điểm AC nên suy C ; (không 13 13 13 13 13 thỏa mãn) Như vậy: C 6; 1 V (4.0) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 y z xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 y z 54 P y z x xy yz zx 2,00 Từ giả thiết x, y, z số dương x2 y z xy yz zx ta có: 0.5 x y z xy yz zx xy yz zx x y z x y z xy yz zx x y z x y z Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: x3 x3 y3 y3 y y x x y , z z y y 2z y2 y2 z2 z2 x3 y z z3 z3 x y z x x z z x Nên y z x2 x2 x2 Từ đó: P x yz 54 x y z x y z x y z 27 81 2 2 2 x y z x y z 0.5 0.5 9 9 2 Dấu đẳng thức xảy x y z Vậy P x y z 0.5 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KỲ THI CHỌN HSG VĂN HĨA LỚP 10, 11 Khóa thi ngày 12 tháng năm 2020 Mơn thi: Tốn 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2 điểm): Cho hàm số y x x có đồ thị ( P) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng dm : y x m cắt đồ thị ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 x1 x2 Câu (4 điểm): a Giải bất phương trình: ( x 3x) x 3x x x3 y xy xy y b Giải hệ phương trình: 2 ( x y ) xy Câu (4 điểm): Cho phương trình: x x 20 x x m , (1), (với m tham số) a Giải phương trình (1) m b Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu (4 điểm): 2sin 3cos a Cho cot , tính giá trị biểu thức: P cos3 4sin b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB x y Biết phương trình đường thẳng BD x y 14 đường thẳng AC qua điểm M (2;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm E thỏa mãn BE 3.EC IA Gọi I giao điểm AC GE , tính tỉ số IC Câu (2 điểm): Cho tam giác ABC có chu vi 20, góc BAC 600 , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu vng góc A, B, C lên BC, CA, AB M điểm nằm tam giác ABC thỏa mãn ABM BCM CAM Tính cot bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 Câu (2 điểm): Cho x, y,z 2019;2020 Tìm giá trị lớn biểu thức: 2019.2020 xy 2019.2020 yz 2019.2020 zx f ( x, y, z ) ( x y) z ( y z) x ( z x) y -HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu MTCT (đối với mơn Tốn) Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………… ĐÁP ÁN THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 – MƠN TỐN Câu Lời giải Điểm Phương trình hồnh độ giao điểm (P) dm: x m x x x2 5x m (*) dm cắt đồ thị ( P) hai điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt x1 , x2 1) 2đ 25 12 4m m Mà 2.a) 2đ 2.b) 2đ 13 Khi x1 x2 x x m 1 x1 x2 x1 x2 2m m thỏa mãn x1 x2 Giải bất phương trình: ( x 3x) x 3x (**) Điều kiện: x 3x x x + x x nghiệm + x x : (**) x2 3x x x , thỏa mãn Vậy (**) có nghiệm là: x x x x 2 x x y xy xy y Giải hệ phương trình: 2 ( x y ) xy xy( x y ) xy x y x2 y a Đặt ta có hệ pt: 2 xy b ( x y ) xy b a ab a b b a 2 2 a b a(1 a ) a a a a 2a b a a a 2 a b b a a a b a x y x x 1 + b y xy y a 2 x y 2 x 1 + b 3 y xy 3 Vậy nghiệm hệ : (1 ; 1) ; (0 ; -1) ; (-1 ; 3) ; (1 ; 0) ; (-1; 0) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ x x 20 x x : đk: x 4;5 t2 Đặt x x t 20 x x 2 t 1(l ) t 9 t 2t Pttt: t t 3a) 2đ 0,5đ 0,5đ a x y x + b y 1 xy Khi m = ta có pt: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3b) 2đ x 4 + t x x 20 x x x t 9 ; t 3;3 Đặt x x t 20 x x t2 m t 2t 2m Pttt: t Xét f (t ) t 2t; t 3;3 f (t ) f (3) 3;max f (t ) f (3 2) 18 9 3 2 2sin 3cos 2(1 cot x) 3cot x(1 cot x) 70 P cos3 4sin cot x 31 Vậy pt có nghiệm khi: 2m 18 m 4a) 2đ nên tọa độ B nghiệm hệ: 21 x x y 21 13 B ; 5 x y 14 y 13 2 Gọi nAC (a; b);(a b 0) VTPT AC, Do 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B AB BD ta có: cos(nAC ; nAB cos(nBD ; nAB 2a b 0,5đ a b2 a b 7a 8ab b b a + a= -b: Chọn a = 1; b = -1 AC: x – y – = A AB AC nên tọa độ A nghiệm hệ: x y x A 3;2 x y y I DB AC nên tọa độ I nghiệm hệ: x x y 14 I ; 2 2 x y 1 y 2 4b) 2đ 0,5đ 0,5đ 14 12 Do I trung điểm AC BD nên C 4;3 ;D ; 5 5 + a = -b/7 (loại) AC//BD 0,5đ 0,5đ 0,5đ A G I B M 5) 2đ C E Gọi M trung điểm BC đặt AI k AC 1 GI AI AG k AC (AB AC) k AC AB 3 1 GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB 6 Do G, I, N thẳng hàng nên ta có: 1 k k AI AC IA 5 5 IC 6 0,5đ 0,5đ 0,5đ A A C1 c b B1 M B B a 6) 2đ 0,5đ C A1 C Ta có: S bc.sin 600 pr 10 bc 40 2 2 a b c 2bc.cos600 a (b c)2 3bc a (10 a)2 120 a b c 13 b b bc 40 c c 0,5đ AB BM AM BC CM BM cot ABM BCM CAM 4.S ABM 4.SCBM CA2 AM CM AB BC CA2 23 4.SCMA 4.S ABC 20 0,5đ Ta có B1BA C1CA 900 A 300 B1A1C1 B1A1 A C1A1 A B1BA C1CA 600 Tam giác CC1B1 nội tiếp đường tròn đường kính BC nên ta có: B1C1 BC BC 1 B1C1 sin 30 sin C1CA 0,5đ Mà R1 B1C1 2sin 60 0,5đ 2019.2020 xy 2020 2019 x y 4(2019.2020 xy)2 ( x y)2 (2020 2019) Ta c/m: x, y 2019;2020 ln có: (2.2019.2020 2xy ( x y)(2020 2019))(2.2019.2020 2xy ( x y)(2020 2019)) 2020(2.2019 x y) x(2019 y) y(2019 x) 2019(2.2020 x y) x(2020 y) y(2020 x) (đúng) 2019.2020 xy 2020 2019 2z 2.2019 x yz Dấu « = » xảy x = y = z = 2019 Áp dụng ta có : 2019.2020 xy 2019.2020 yz 2019.2020 zx f ( x, y, z ) ( x y) z ( y z) x ( z x) y 1 2.2019 2.2019 2.2019 4038 Vậy max f ( x, y, z ) ; x y z 2019 4038 Vậy 7) 2đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... Xuyên Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 202 0 -202 1 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2) Đề thi học sinh giỏi môn Tốn lớp 10 cấp trường năm 202 0 -202 1 có đáp án - Trường. ..MỤC LỤC Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 202 0 -202 1 có đáp án - Trường THCS&THPT Trí Đức, HCM Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 202 0 -202 1 có đáp án - Trường THPT... Hà Nội Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 202 0 -202 1 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Huệ, Quảng Nam Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 cấp trường năm 202 0 -202 1 có đáp án - Trường