[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
GIA LAI Năm học 2009 - 2010
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TỐN
( ĐỀ CHÍNH THỨC )
Câu 1: (2,5 điểm) Ta có
21975=22.987 1+ =22.987.2=4987.2 0,5
đ
= +(3 1)987.2=(3k+1 2) =6k+2, k∈ * Suy
1975
2 chia cho dư (1) 0,5
đ
Ta có
52010 =52.1005=251005 0,5
đ
(24 1+ )1005 =(3.8 1+ )1005=3m+1, m∈ * Suy
52010 chia cho dư (2) 0,5
đ
(2)21975+52010 chia hết cho
3 0,5
đ
Câu 2: (2,5 điểm)
Ta có
xy+ (1+x2)(1+y2)=1
( )( )
( )2
2
1 1
xy x y
⇒ + + + = 0,5 đ
⇒ x y2 2+ +(1 x2)(1+y2)+2xy (1+x2)(1+y2) =1 2 2 2 ( 2)( 2)
1 1
x y x y x y xy x y
⇒ + + + + + + + =
2 2 2 ( 2)( 2)
2 1
x y x y x y xy x y
⇒ + + + + + + =
2( 2) (2 2) ( 2)( 2)
1 1
x y y x xy x y
⇒ + + + + + + =
đ
( )
2
0
1
x y y x
⇒ + + + = 0,5
(3)2
1
x y y x
⇒ + + + = 0,5
đ
Câu : (3 điểm)
Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau
1 2(a b) ab
a b
+
+ ≤ (1) (nêu được) 0,5
đ
Thật vậy, ta có
( ) ( )
2
2
1 1 a b
ab
a b ab
a b a b
+
⇔ ≤
+
+ ≤ +
2
a ab b a b
⇔ + + ≤ + ⇔
a− ab +b≥
2
1
0
a b
− ≥
⇔ (hiển
nhiên) đ Tương tự (1), ta có
1 2(b c) bc
b c
+
+ ≤ (2)
1 2(c a) ca
c a
+
(4)1 2(a b) 2(b c) 2(c a)
ab bc ca
a b c
+ +
+ + +
+ + ≤ 0,5
đ
hay
1 a b b c c a
ab bc ca
a b c
+ +
+ + +
+ + ≤
hay
2 a b b c c a
a b c ab bc ca
+ + +
+ + ≤ + +
đ
Câu 4: ( 3,5 điểm) a) Ta có
( ) (2 ) 2
' m m m 3m
∆ = − − − = − + 0,5 đ
2
3
0
2
m
= − + >
, ∀ ∈m 0,5
đ
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 0,5
đ
b) Ta có
1,2 m m 3m
x = − ± − +
Do đó, với m nguyên, nghiệm x1 x2 số nguyên
tồn số tự nhiên k thỏa mãn
2 ' k
∆ = 0,5 đ Hơn
2 2
' k m 3m k 4m 12m 16 4k
(5)
( )2 ( )( )
2m 4k 2m 2k 2m 2k
⇔ − − = − ⇔ − + − − = − 0,5 đ Vì
(2m− +3 2k) (− 2m− −3 2k)=4k≥0, nên
2m− +3 2k≥2m− −3 2k Ngoài
− =7 7.( ) ( )− =1 −7 Vậy có hai trường hợp
2m− +3 2k=7 ; 2m− −3 2k= −1
2m− +3 2k=1 ; 2m− −3 2k = −7 0,5
đ
Do m=3 ; k=2 m=0 ; k=2
Vậy m=3 m=0 0,5
đ
Câu 5: (4 điểm)
y 8
6
4
2
(d) (p)
(6)x
a) Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình 1
4x =mx+ hay
2 4 4 0
x − mx− = 0,5
đ
Ta có
4
' 4m + >
∆ = 0,5
đ
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Do (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B 0,5 đ
b) Xét đường thẳng (d): y=mx+1 (m∈ )
Với x=0 y=1, nên (d) ln cắt trục Oy điểm M 0;1( ) Gọi diện tích tam giác AOB S Ta có
S = S∆OAM +S∆OBM Giả sử A x y( 1; 1) B(x y2; 2)
Ta có
1 1
2
OAM OM x x
S∆ = = ,
2 2
2
OBM OM x x
S∆ = =
(7)1.( 1 2)
2 x x
S = + 0,5
đ
Vì x1 x2 nghiệm phương trình x2−4mx− =4 0 , nên theo hệ thức Vi-ét
ta có x1+ =x2 4m
1
x x = − 0,5 đ Do
( )2 ( 2 )
1
1 2
1
4 x x x x x x
S = + = + +
(( 2)2 2 2 )
1
4 x x x x x x
= + − +
1( ) ( )
4 16m 16 m +
= + =
Suy
2 m
S = + 0,5
đ
Hơn
( ) 2 1 m
m + ≥ + ,
vì
( )
2 2
1 2
2
m
m + ≥ + ⇔ m + ≥m + m+
( )2
2 1
m m m
⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ (hiển
nhiên) 0,5 đ Do
( )
2
1
2
2 m m m
S = + ≥ + = + (đpcm) 0,5
đ
(8)N
P
I M
C
B A
Ta có
PIB=IAB+IBA (góc ngồi tam giác)
45 IBA
= +
45 IBC
= + (1) 1,5
đ
Mặt khác
PNB=CNM (hai góc đối đỉnh) 1( )
180
2 ACB
(9)( )
90 90
2 ACB
= + −
1( ) 90
2 ABC
= + (hai góc phụ nhau)
45
2 ABC
= +
45 IBC
= + (2) 1,5
đ
Từ (1) (2) suy PIB =PNB
Do điểm P, N, I, B nằm đường tròn 0,5
đ
Hơn nữa, INB vng nên
IB đường kính đường trịn
này 0,5 đ
Suy IPB vuông 0,5
đ
HẾT