De va dap an HSG 7

Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt các điểm M và N sao cho BM = CN.[r]

Đề thi học sinh giỏi Mơn tốn Lớp 7 Thời gian làm 120 phút

Bài (2 điểm)

a/ Tìm x biết: 1 1 7 4,7 6x 9x15x  b/ Tính nhanh: 2: 1:

9 149

Bài (2 điểm)

a/ Tìm x,y, z biết: x = 4y =

125 z

x + y + z = 2029

b/ Cho đơn thức M = xy2z3; N = yz2t3; P = zt2x3; Q = tx2y3 Chứng tỏ với

giá trị biến làm đơn thức có giá trị khác dấu đơn thức cịn lại có giá trị khác dấu

Bài (2 điểm)

a/ Tìm số nguyên n để biểu thức P =

7 n n



 có giá trị lớn

b/ Chứng tỏ rằng: 3 3

1 1 1

3 5 7  2009 12 Bài (4 điểm)

Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA CA lấy điểm M N cho BM = CN Gọi I giao điểm MC BN

a/ Chứng minh rằng: MI = NI

b/ Tia phân giác AMCcắt AI AN thứ tự O K Chứng minh MO >

2 MC

c/ BO cắt AN Q Chứng minh OKQ cân

================Hết================

Bài Nội dung Điểm

1

(2®) a 1 4, 15 x

 

  

 

  0.25

 47 47

90x10 0.25

 47 47: 10 90

x 0.25

 x = 0.25

b

=2: 1:

9 149 0.25

=2.14 5.7

9 9 0.25

=4.7 5.7

9 9 0.25

= 9

 



 

  = 0.25

2

(2®) a Tõ gi¶ thiÕt suy 4x  y z500 0.25 Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 9

4 500 500

x z x y z

y    

  

  0.25

=2029

505



= 2020

505 = 0.25

Từ suy x = 16; y = 4; z = 2009 0.25

b M.N.P.Q = xy2z3.yz2t3 zt2x3 tx2y3= x6y6z6t6 0 với x,y,z,t. 0.25 Giả sử giá trị biến làm cho đơn thức

có giá trị khác dấu, khơng tính tổng quát giả sử đơn thức

M vµ N Ta cã MN < 0.25

 xyzt 0  MNPQ 0  MNPQ > 0.25

 PQ < hay P vµ Q cã giá trị khác dấu

Vy vi giỏ tr ca biến làm đơn thức có giá trị khác

dấu đơn thức cịn lại có giá trị khác dấu 0.25

3

(2®) a P = 1+n9 7 0.25

Khi n < P < 1; n = P khơng xác định; n > P >1 ú

tìm giá trị lớn cđa P ta chØ xÐt trêng hỵp n >7 0.25 Khi n > 7, P có giá trị lớn

7

n có giá trị lớn n - có giá trị nhỏ n nhỏ

0.25 n số nguyên lớn nên n =

Vậy với số nguyên n = P có giá trị lín nhÊt 0.25

b

Chứng minh đợc với số ngun n >2 ta ln có

   

3

1

1

n  n n n

Từ suy 13 13 13 3 5 7  2009 <

1 1

2.3.43.4.5 2008.2009.2010 0.25

=1 1 1 1

2 2.3 3.4 3.4 4.5 2008.2009 2009.2010

 

     

 

 =

1 1

2 2.3 2009.2010

 



 

  0.25

<1 =

1

12 VËy 3 3

1 1 1

3 5 7  2009 12 0.25

4

(4®)

a C/m đợc AMC = ANB 0.5

Suy MBI = NCI (gcg)

MI = NI 0.5

b C/m đợc AMI =ANI 0.25

AI phân giác MAC

CO phân gi¸c cđa ACM 0.25

DƠ thÊy ACMAMC

 OCMOMC  MO > OC 0.25 Mµ MO + OC > CM

Nªn 2.MO > MC  MO >

2 MC

0.25

c Gọi giao điểm CO với AM P.Chứng minh đợc ABO = ACO 0.25

Suy ABQ = ACP nªn APCAQB 0.25

Tính đợc MOC = 120O 0.5

 POM = 60O APCPMO + 60O 0.25

Cã OKQ PMO + 60O 0.25

 APCOKQ 0.25

 AQBOKQ hay KQO OKQ

 Tam gi¸c OKQ cân O 0.25

Tổng 10.0

L u ý:

- Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa.

- NÕu học sinh không vẽ hình chấm nửa số điểm phần làm hình, học sinh vẽ hình sai không chấm điểm hình.

- Bi làm không chặt chẽ, không đủ sở phầnnào trừ nửa số điểm phần đó. - Tuỳ theo làm học sinh giám khảo chia nhỏ ý biểu điểm.

================HÕt================ Q

P

O

K

I M

A

B C