Đang tải... (xem toàn văn)
Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi biÓu thøc cÇn chøng minh vÒ d¹ng tæng.. Ph¬ng ph¸p sö dông ®ång d thøc.[r]
(1)chuyên đề bồi dỡng hs giỏi du hiu chia ht
A Mở đầu
1 Lý chọn đề tài
Số học môn học lâu đời hấp dẫn tốn học
Vậy số học gì? Số học khoa học số, số học ngời ta nghiên cứu tính chất đơn giản số quy tắc tính tốn chơng trình THCS số học chiếm lợng lớn số học phép chia hết vành số nguyên thực thu hút giáo viên học sinh, có lẽ khơng vấn đề lý thuyết phép chia có giá trị thực tiễn mà qua rèn cho học sinh t sáng tạo tốn học Càng học em đợc hút lợng tập vô sáng tạo phong phú
Cái khó dùng phép chia hết vành số nguyên học sinh vấn đề nhận diện vận dụng lý thuyết để phơng pháp giải toán, ngành Giáo dục thi đua giảng dạy theo phơng pháp đổi mới, luật Giáo dục Việt Nam Nghị đại hội Đảng lần thứ nhấn mạnh: “Dạy cho học sinh phơng pháp tự nghiên cứu” với tình hình cịn nhiều giáo viên cha thực quan tâm mức đến việc rèn luyện lực tự học cho học sinh
Xuất phát từ vấn đề nên thúc đẩy Tôi viết
Rèn luyện kỹ giải toán chia hết vành số nguyên 2 Nội dung đề ti gm
Phần I: Tóm tắt lý thuyết
Phần II: Các phơng pháp giải toán chia hết Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết
2 Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
3 Phơng pháp sử dụng xét tập hợp số d phÐp chia
4 Phơng pháp sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng Phơng pháp quy nạp toán học
7 Phơng pháp sử dụng đồng d thức Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đ Phơng pháp phản chứng
Trong phơng pháp có ví dụ điển hình tập tơng tự Vẫn biết khái niệm số học đợc nhiều tác giả đề cập đến nhiều khía cạnh khác Do khơng thể có sáng tạo hồn toàn đề tài mà đề tài dừng lại mức độ định Với nội dung cách trình bày đề tài khơng tránh khỏi hạn chế thân, mong đợc Thầy giáo đồng nghiệp góp ý để nội dung đề tài ngày đợc hoàn thiện hn
B - Nội dung Phần I: Tóm tắt lý thuyết
I Định nghĩa phép chia
Cho số nguyên a b b ta ln tìm đợc hai số ngun q r cho:
a = bq + r Víi r b
Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thơng, r số d Khi a chia cho b xẩy b số d
r {0; 1; 2; …; b}
(2)VËy: a b Cã số nguyên q cho a = bq II Các tÝnh chÊt
1 Víi a a a
2 NÕu a b vµ b c a c Víi a a
4 NÕu a, b > vµ a b ; b a a = b NÕu a b vµ c bÊt kú ac b NÕu a b (a) (b) Víi a a (1)
8 NÕu a b vµ c b a c b NÕu a b vµ cb a c b
10 NÕu a + b c vµ a c b c 11 NÕu a b vµ n > an bn 12 NÕu ac b vµ (a, b) =1 c b
13 NÕu a b, c b vµ m, n bÊt kú am + cn b 14 NÕu a b vµ c d ac bd
15 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n! III Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt
Gäi N = anan1 a1a0
1 DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} + N a0 a0{0; 5}
+ N (hc 25) a1a0 (hc 25) + N (hc 125) a2a1a0 (hc 125)
2 DÊu hiƯu chia hÕt cho vµ 9
+ N (hc 9) a0+a1+…+an (hc 9)
3 Mét sè dÊu hiƯu kh¸c
+ N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11
+ N 101 [(a1a0 +a5a4 +…) - (a3a2+a7a6 +…)]101
+ N (hc 13) [(a2a1a0 + a8a7a6 +…) - [(a5a4a3 + a11a10a9 +…) 11 (hc 13)
+ N 37 (a2a1a0 + a5a4a3 +…) 37 + N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19 IV §ång d thøc
a Định nghĩa: Cho m số nguyên dơng Nếu hai số nguyên a b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo modun m
Ký hiÖu: a b (modun)
VËy: a b (modun) a - b m b C¸c tÝnh chÊt
1 Víi a a a (modun)
2 NÕu a b (modun) b a (modun)
3 NÕu a b (modun), b c (modun) a c (modun)
4 NÕu a b (modun) vµ c d (modun) a+c b+d (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) ac bd (modun) NÕu a b (modun), d Uc (a, b) vµ (d, m) =1
d b d a
(modun)
7 NÕu a b (modun), d > vµ d Uc (a, b, m)
d b d a
(modun
d m
) V Một số nh lý
1 Định lý Euler
Nếu m số nguyên dơng (m) số số nguyên dơng nhỏ m nguyên tố víi m, (a, m) =
(3)Công thức tính (m)
Phân tích m thừa sè nguyªn tè m = p11 p22 … p
k
k
víi pi p; i N* Th× (m) = m(1 -
`
1
p )(1 -
1
p ) … (1 - pk
1
)
2 Định lý Fermat
Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 (modp) 3 Định lý Wilson
Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + (modp)
phần II: phơng pháp giải toán chia hết 1 Phơng pháp 1: Sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt
VÝ dơ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Gi¶i
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b 45 a56b
XÐt a56b b {0 ; 5}
NÕu b = ta cã sè a56b a + + +
a + 11 a =
NÕu b = ta cã sè a56b a + + +
a + 16 a = VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560
a = vµ b = ta cã sè 2560
Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho
Gi¶i
Gọi số cho a
Ta cã: a vµ 5a chia cho cïng cã sè d 5a - a 4a mµ (4 ; 9) =
a (§pcm)
VÝ dơ 3: CMR sè
1 sè
81
111
111 81
Gi¶i
Ta thÊy: 111111111 Cã
1 sè
81
111
111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1)
Mµ tỉng 1072 + 1063 + … + 109 + có tổng chữ số 9 1072 + 1063 + … + 109 +
VËy:
1 sè
81
111
111 81 (Đpcm)
Bài tập tơng tự
Bài 1: Tìm chữ số x, y cho
a 34x5y vµ
b 2x78 17
Bµi 2: Cho sè N = dcba CMR
a N (a + 2b)
b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 víi b ch½n c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29
(4)Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao?
Bµi 5: Tỉng cđa 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ số
1 sè
100
11
11
2 sè
100
22
22 lµ tÝch cđa sè tự nhiên liên tiếp.
Hớng dẫn - Đáp số
Bµi 1: a x = vµ y = x = vµ y =
b 2x78= 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bµi 2: a N4 ab4 10b + a4 8b + (2b + a) 4
a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16
(992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n
c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca29
mµ (1000, 29) =1 dbca29
(d + 3c + 9b + 27a) 29
Bµi 3: Gäi ab số có chữ số
Theo bµi ta cã:
ab= 10a + b = 2ab (1)
ab2 b {0; 2; 4; 6; 8}
thay vµo (1) a = 3; b =
Bµi 4: Cã 1980 = 22.32.5.11
Vì chữ số tận cđa a lµ 80 vµ A
Tổng số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558 A
279 - 279 = 11 A 11
Bµi 5: Tỉng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho
Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46
Bµi 6: Cã
1 sè
100
11
11
2 sè
100
22
22 =
1 sè
100
11
11
0 sè
99
02
100
Mµ
0 sè
99
02
100 =
3 sè 99 34 33 sè 100 11
11
2 sè
100
22
22 =
3 sè
100
33
33
3 sè
99
34
33 (Đpcm)
2 Phơng pháp 2: Sử dơng tÝnh chÊt chia hÕt
* Chó ý: Trong n số nguyên liên tiếp có sè chia hÕt cho n CMR: Gäi n lµ sè nguyªn liªn tiÕp
m + 1; m + 2; … m + n víi m Z, n N*
Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; … n - 1}
* NÕu tồn số d 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1,n
m + i n
* NÕu kh«ng tån số d số nguyên dÃy chia hết cho n phải có Ýt nhÊt sè d trïng
Gi¶ sư: r qjn j m n j i; 1 r nqi i m
(5)mµ i - j< n i - j = i = j m + i = m + j
Vậy n số có số số chia hết cho n…
VÝ dơ 1: CMR: a TÝch cđa số nguyên liên tiếp chia hết cho b TÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho
Gi¶i
a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn Số chẵn chia hết cho
VËy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho
Tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho nªn tÝch cđa sè nguyªn liên tiếp chia hết cho
b Trong sơ ngun liên tiếp bao giơ có số chia hết cho Tích số chia hết cho mà (1; 3) =
Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho
VÝ dơ 2: CMR: Tỉng lËp phơng số nguyên liên tiếp chia hết cho
Giải
Gọi số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) (CM VÝ dô 1)
3(n - 1)n (n + 1) mµ
9 18
9 )1 (9
n n
A (§PCM)
VÝ dô 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 víi n ch½n, n4
Gi¶i
Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Với k nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k
Mµ (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24
16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24)
VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n 4
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1)
b n5 - 5n3 + 4n 120 Víi n N
Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Víi n Z
Bµi 3: CMR: Với n lẻ a n2 + 4n + 8 b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512
Bµi 4: Víi p lµ sè nguyªn tè p > CMR : p2 - 24
Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tự nhiên liên tiếp có số có tổng ch÷ sè chia hÕt cho 27
Híng dÉn - Đáp số
Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)
b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4)
(6)Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24
Bµi 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) 8 b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
= (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48
c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1)
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Víi n = 2k + n2 + vµ n4 + số chẵn (n2 + 1)2 2 n4 + 2 n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21)
VËy n12 - n8 - n4 + 512
Bµi 4: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) p số nguyªn tè p > 3 p ta cã: (p - 1) (p + 1)
và p = 3k + p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1)
VËy p2 - 24
Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1)
trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999
có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2)
Có tổng chữ số lần lợt là: s; s + ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM)
* Chó ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 C¸c sè (2) nằm dÃy (1)
3 Phơng pháp 3: xÐt tËp hỵp sè d phÐp chia
VÝ dơ 1: CMR: Víi n N
Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho
Gi¶i
Ta thÊy thõa sè n vµ 7n + lµ sè ch½n Víi n N A(n) Ta chøng minh A(n)
Lấy n chia cho ta đợc n = 3k + (k N) Với r {0; 1; 2}
Víi r = n = 3k n A(n)
Víi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Víi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) víi n mµ (2, 3) =
VËy A(n) víi n N
VÝ dơ 2: CMR: NÕu n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N
Giải
Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r +
= 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1
ta thÊy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13
(7)víi r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + 1
VËy víi n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N
Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n - 7
Gi¶i
LÊy n chia cho ta cã n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k ta cã
2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M 7 víi r =1 n = 3k + ta cã:
2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + 1 mµ 23k - 2n - chia cho d 1
víi r = n = 3k + ta cã : 2n - = 23k + 2 - = 4(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d 3 VËy 23k - n = 3k (k N)
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Víi n Z
Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5
n
Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 n2 - 24 Víi n Z
Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 7
Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn 55
Híng dẫn - Đáp số
Bài 1: + A(n)
+ LÊy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n)
r = 1, n2 + A(n) 5 r = 2; n2 + A(n) 5 A(n) A(n) 30
Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - 30 đủ
Bµi 3: V× (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Víi r {1}
r = 1 n2 - 24
Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k N) Víi r {0; 1; 2}
Ta cã: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1 Làm tơng tự VD3
Bµi 5: Cã 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn
Khi m th× (m, 5) = m4 - 5
(V× m5 - m (m4 - 1) m4 - 5)
n2 ni5 VËy mn 5
4 Phơng pháp 4: sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử
Giả sử chứng minh an k
Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k
VÝ dô 1: CMR: 36n - 26n 35 Víi n N
Gi¶i
Ta cã 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M 35 VËy 36n - 26n 35 Víi n N
(8)Giải
Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chøng minh
A 17 vµ A 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n ch½n)
A 17 (1)
ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) cã 20n - = (20 - 1)p = 19p 19
cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n ch½n) A 19 (2)
Tõ (1) vµ (2) A 232
VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Víi n >1
Gi¶i
Víi n = nn - n2 + n - = vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1
nn - n2 + n - 1 (n - 1)2
với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2
VËy A (n - 1)2 (ĐPCM)
Bài tập tơng tù
Bµi 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2 7 b mn(m4 - n4) 30
Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 víi n ch½n n N, n 2
Bµi 3: Cho a vµ b lµ sè chÝnh phơng lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192
Bµi 4: CMR: Víi p số nguyên tố p > p4 - 240
Bµi 5: Cho sè nguyên dơng a, b, c thoả mÃn a2 = b2 + c2 CMR: abc 60
Híng dÉn - Đáp số
Bài 1: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n 7
b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30
Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k N) cã 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64 A(n) 8
Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N)
Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 vµ
Bµi 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc
Nu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia hết cho d 1 a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M 3
Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia d b2 + c2 chia d 2; 3.
a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M 5 Nếu a, b, c số lẻ b2 c2 chia hết cho d 1. b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2
Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn
NÕu C số chẵn M
Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2 a số lẻ b2 = (a - c) (a + b)
2 2
2
(9)
2 b
ch½n b m VËy M = abc 3.4.5 = 60
5 Phơng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng
Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k
VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n víi n z.
Gi¶i
Ta cã n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
= n(n + 1) (n - 1) + 12n V× n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp n(n + 1) (n - 1) vµ 12n
VËy n3 + 11n 6
VÝ dơ 2: Cho a, b z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121
Giải
Có 11 số nguyên tố mµ (16a +17b) (17a +16b) 11
11 16b 17a
11 17b 16a
(1)
Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) Tõ (1) vµ (2)
11 16b 17a
11 17b 16a
VËy (16a +17b) (17a +16b) 121
VÝ dơ 3: T×m n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n
Gi¶i
Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n
(2)n 30
(1)3 1) -n(n 6n30
6n - n2
Tõ (1) n = 3k hc n = 3k + (k N) Tõ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} VËy tõ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay c¸c giá trị n vào P ta có
n {1; 3; 10; 30} thoả mÃn
Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) 6n
Bµi tËp tơng tự
Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23
Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24
Bµi 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 59 b 2n + 14 5
Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + 1
Hớng dẫn - Đáp số
Bµi 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23
Bµi 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
(10)Bµi 3: a 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 = 5n(25 + 26) + 8 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 9 2n - + 15
= (81n - 1) + 15 = 80m + 15
Bµi 4: Cã n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + 1 NÕu n + = n = -8 (tho¶ m·n)
NÕu n + n + 8 n2 + 1 8 0 7 n 8 0 9 n 8 1 n 8 n 8 1 -n 8 n 2 2 n n n n n n Víi Víi Víi Víi
n {-2; 0; 2} thư l¹i VËy n {-8; 0; 2}
6 Phơng pháp 6: Dùng quy nạp toán học Giả sử CM A(n) P víi n a (1)
Bớc 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n) P
Bớc 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k) P với k a Ta CM (1) với n = k + tức phải CM A(k+1) P Bớc 3: Kết luận A(n) P với n a
VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 225 víi n N*
Gi¶i
Với n = A(n) = 225 225 n =
Gi¶ sư n = k nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 225 Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225
mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp) 225m 225
VËy A(n) 225
VÝ dô 2: CMR: víi n N* vµ n lµ sè tù nhiên lẻ ta có 1 2
n
n
m
Gi¶i
Víi n = m2 - = (m + 1)(m - 1) (v× m + 1; m - số chẵn liên tiếp nên tÝch cđa chóng chia hÕt cho 8)
Gi¶ sư víi n = k ta cã 2k 1 2k2
m ta ph¶i chøng minh
3
2 1 2
k
k
m
ThËt vËy 1 2 2
k
k
m m2k 12k2.q (qz)
2
q
m k k
cã m k m k k q k q k q 1
1 2 2
2
= 2 3(2 1 ) 2 3 k
k
k q q
VËy 12 2
n
n
m với n
Bài tập tơng tự
Bµi 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 víi n 1
Bµi 2: CMR: 42n+2 - 15
Bài 3: CMR số đợc thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dơng
(11)Bài 1: Tơng tự ví dụ
Bài 2: Tơng tự ví dụ
Bài 3: Ta cần CM
sốa
n
a aa
3
3n (1) Víi n = ta cã aa a 111a3
Giả sử (1) với n = k tức
sèa
k
a aa
3
3k
Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh
a sè k a
aa 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k
Cã
k k k k a a a a a a a aa 3 3 a sè k k k a a a aa a aa 3
2 .10
10
2.3
3 10 10
k k k
k
a
aa
7 Phơng pháp 7: sử dụng đồng d thức
Giải toán dựa vào đồng d thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat
VÝ dơ 1: CMR: 22225555 + 55552222 7
Gi¶i
Cã 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222
= - 42222 (43333 - 1) = -42222 43 1111 1
V× 43 = 64 (mod 7) 43 1111 1 0
(mod 7)
22225555 + 55552222 (mod 7) VËy 22225555 + 55552222 7
VÝ dô 2: CMR: 324 334 22
n
n
víi n N
Gi¶i
Theo định lý Fermat ta có: 310 (mod 11) 210 (mod 11)
Ta t×m d phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10 Cã 24n+1 = 2.16n (mod 10)
24n+1 = 10q + (q N) Cã 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) Ta cã: 324 334 5 310 2 210 3
n q k
n
= 32.310q + 23.210k + 5 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mµ (2, 11) =
VËy 324 334 22
n
n
víi n N
VÝ dô 3: CMR: 224 7 11
n
víi n N
Gi¶i
Ta cã: 24 (mod) 24n+1 (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N)
224 210
q
n
Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11)
7
7
224 10
q
n
(12)VËy 224 7 11
n
với n N (ĐPCM)
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR 226 319
n
víi n N
Bµi 2: CMR víi n ta cã 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 38
Bµi 3: Cho sè p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 42p
Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hết cho p.
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: Làm tơng tự nh VD3
Bài 2: Ta thÊy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 2
MỈt kh¸c 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) V× 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19)
25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19)
Bµi 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lẻ)
DƠ dµng CM A vµ A A NÕu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p NÕu p (p, 7) =
Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2)
= 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lỴ)
A = 7k - - - = 7k - 14
VËy A mµ A p, (p, 7) = A 7p Mµ (7, 6) = 1; A
A 42p
Bài 4: Nếu P = 22 - = 2 Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 (mod p)
2m(p-1) (mod p) (m N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp
A p m = kq -
Nh p > p có dạng 2n - n đó N = (kp - 1)(p - 1), k N u chia ht cho p
8 Phơng pháp 8: sử dụng nguyên lý Đirichlet
Nếu đem n + thỏ nhốt vào n lồng có nhÊt lång chøa tõ trë lªn
VÝ dơ 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiÖu chia hÕt cho n Gi¶i
Lấy n + số nguyên cho chia cho n đợc n + số d nhận số sau: 0; 1; 2; …; n -
cã Ýt nhÊt sè d cã cïng sè d chia cho n Gi¶ sư = nq1 + r r < n
aj = nq2 + r a1; q2 N aj - aj = n(q1 - q2) n
VËy n +1 sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiÖu chia hÕt cho n
Nếu khơng có tổng tổng chia hết cho n nh số d chia tổng cho n ta đợc n số d 1; 2; …; n -
VËy theo nguyên lý Đirichlet tồn tỉng mµ chi cho n cã cïng sè d (theo VD1) hiƯu cïadr tỉng nµy chia hÕt cho n (ĐPCM)
Bài tập tơng tự
(13)Bài 2: CMR: Tồn bội số 1993 chØ chøa toµn sè
Bµi 3: CMR: Víi 17 số nguyên tồn tỉng sè chia hÕt cho
Bµi 4: Có hay không số có dạng
19931993 … 1993000 … 00 1994
Híng dÉn - Đáp số
Bài 1: Xét dÃy số 17, 172, , 1725 (tơng tự VD2)
Bài 2: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn số là:
11 111
…
1 sè 1994
11
111
Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d theo nguyên lý Đirichlet có số có sè d
Giả sử
ai = 1993q + r r < 1993 aj = 1993k + r i > j; q, k N aj - aj = 1993(q - k)
) ( 1993
00 11
111 q k
0 sè i sè 1994 j -i
) ( 1993 10
11
111 j q k
1 sè 1994 j -i
mµ (10j, 1993) = 1
1 sè 1994
11
111 1993 (ĐPCM)
Bài 3: Xét dÃy số gồm 17 số nguyên a1, a2, , a17
Chia số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số có số chia cho có số d tổng chúng chia hết cho
NÕu 17 số số có sè d chia cho tån t¹i sè cã sè d kh¸c tỉng c¸c sè d lµ: + + + + = 10 10
VËy tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho
Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, … a1994 =
1993 sè 1994
1993
1993
®em chia cho 1994 cã 1994 sè d thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyên lý Đirichlet có số hạng cã cïng sè d
Gi¶ sư: = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993)
aj - aj 1994 i < j 1994 1993 1993.10ni1993
1993 sè i -j
9 Phơng pháp 9: phơng pháp phản chứng Để CM A(n) p (hc A(n) p )
+ Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p ) + CM giả sử sai
+ KÕt ln: A(n) p (hc A(n) p )
VÝ dô 1: CMR n2 + 3n + 121 víi n N
(14) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11
Vì 11 sè nguyªn tè 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Tõ (1) vµ (2) 11 121 v« lý
VËy n2 + 3n + 121
VÝ dô 2: CMR n2 - n víi n N*
Giải
Xét tập hợp số tự nhiên N*
Gi¶ sư n 1, n N* cho n2 - n
Gọi d ớc số chung nhỏ khác n d (p) theo định lý Format ta có 2d-1 (mod d) m < d
ta chøng minh m\n
Gi¶ sư n = mq + r (0 r < m)
Theo gi¶ sö n2 - n nmq+r - n
2r(nmq - 1) + (2r - 1) n 2r - d v× r < m mµ m N, m nhá nhÊt kh¸c cã tÝnh chÊt (1)
r = m\n mµ m < d cịng cã tÝnh chất (1) nên điều giả sử sai Vậy n2 - n víi n N*
Bài tập tơng tự
Bài 1: Có tồn n N cho n2 + n + 49 không?
Bài 2: CMR: n2 + n + víi n N*
Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 với n N
Hớng dẫn - Đáp sè
Bài 1: Giả sử tồn n N để n2 + n + 49 4n2 + 4n + 49
(2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 7
Vì số nguyên tè 2n + (2n + 1)2 49 (2) Tõ (1); (2) 49 vô lý
Bài 2: Giả sử tồn n2 + n + víi n (n + 2)(n - 1) + (1)
vì số nguyên tố
3
3
n n
(n + 2)(n - 1) (2) Tõ (1) (2) vô lý
Bi 3: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172
(2n - 1) 17
(15)Tài liệu tham khảo
1 Sè häc Ngun Vị Thanh
2 To¸n chän lọc cấp II Lê Hải Châu
3 400 toán chọn lọc Vũ Dơng Thuỵ Trơng Công Thành Nguyễn Ngọc Đạm
4 Chuyờn s hc Võ Đại Mau
5 Bài tập số học đại số - Tủ sách ĐHSP – Nhà xuất GD 1985
6 Thực hành giaỉ toán cấp II – Trung tâm nghiên cứu đào tạo bồi dỡng giáo viên
7 250 toán số học đại số – Võ Đại Mau – Lê Tất Hùng – Vũ Thị Nhàn Các đề vơ định tốn nớc – Nhà xuất Hải phịng
9 255 bµi toán số học chọn lọc Sở GD Hà Tây 1993
10 Chuyên đề bồi dỡng giỏi toán - Đinh Vũ Nhân – Võ Thị Nơng – Hong Chỳng
11 Số học bà chúa toán häc – Hoµng Chóng
(16)Néi dung Trang
A Mở đầu
B Nội dung
Phần I: Tóm tắt lý thuyết
Phần II: Các phơng pháp giải toán chia hết
1 Phơng pháp sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt
2 Ph¬ng ph¸p sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt
3 Phơng pháp sử dụng xét tập hợp số d phép chia
4 Phơng pháp sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử 10
5 Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dng tng 11
6 Phơng pháp quy nạp toán häc 13
7 Phơng pháp sử dụng đồng d thc 14
8 Phơng pháp sử dụng nguyên lý § 16