chuyên đề 3 toán 9 ôn vào 10

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Ứng dụng hệ thức Vi-ét: 2 Xét phương trình bậc hai: ax  bx  c   * ,  a �0  ,   b  4ac b � S  x1  x2   � � a Gọi S , P là tổng và tích của hai nghiệm x1 , x2 Hệ thức Viét: � �P  x x  c � a Điều kiện PT  * có hai nghiệm trái dấu Điều kiện PT  * có hai nghiệm phân biệt cùng dấu PT  * có hai nghiệm phân biệt dương PT  * có hai nghiệm phân biệt âm   Điều kiện  Điều kiện  � P0   � �� �P  0 � � � �S  �P  � 0 � � � �S  �P  �  Các hệ thức thường gặp:  x12  x22   x12  x1.x2  x2   x1.x2   x1  x2   x1.x2  S  P  x1  x2  �  x1  x2   x1 x2  � S  P  x2  x1  �  x1  x2   x1 x2  � S  P  x12  x22   x1  x2   x1  x2   � x1  x2   x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2  �  S S  3P   x1  x2   3x1.x2 � � �   x14  x2   x12    x2    x12  x2   x12 x2  �  x12 x22  x1  x2   x1 x2 � � � 2 2   S  2P   2P  1 x1  x2 S    x1 x2 x1 x2 P  x1  x2   x1 x2  �S S  4P  x1  x2   x1 x2 1 x2  x1 S  4P   � � x1 x2 x1 x2 x1 x2 P     x1  x2  x1 x2 x12  x2  x1  x2   x1  x2     � x2 x1 x1 x2 x1 x2  x1  x2   x1 x2 x1 x2 S S  4P � P x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2  �  x1  x2   x1.x2 � � �     2  �  x1  x2   x1 x2 �  � S  4P � S  P�  x1  x2   x1.x2 � � � � �   x14  x24   x12    x2    x12  x22   x12  x2   � S  2P  S S  4P  II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1: Cho phương trình  2m  1 x  2mx   Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng  1;0  Lời giải   phương trình trở thành  x   � x  � 1;0  10 m Xét 2m  � đó ta có: 2  '  m   2m  1  m  2m    m  1 �0 mọi m Suy phương trình có nghiệm với mọi m Ta thấy nghiệm x  không thuộc khoảng  1;0  Xét 2m   � m  m  m 1  Với m � phương trình cịn có nghiệm là x  2m  2m  Phương trình có nghiệm khoảng  1;0  suy � � 2m 1  0 � � 1 � �0 � �2m  � �2m  �m0 2m  � � 2m   2m   � � Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng  1;0  và m  Câu 2: 2 Cho phương trình x   2m  1 x  m   ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình cho thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 a)    2m  1   m  1   4m Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt � m  �x1  x2  2m  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1 x2  m  Theo đề bài: b) Phương trình hai nghiệm � m   x1  x2   x1  3x2 �  x1  x2   x1 x2  x1  3x2 �  2m  1   m  1  x1  x2 � x1  x2   4m � m 1 x  � x  x  m  �1 �1 �� Ta có hệ phương trình: � �x1  x2   4m �x  3(m  1) �2 m  3(m  1) � �  m2  2 �  m  1   m  1 � m2   � m  �1 Kết hợp với điều kiện � m  �1 là các giá trị cần tìm Câu 3: Tìm m để phương trình x  x  3m   ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 3 thỏa mãn x1  x2  3x1 x2  75 Lời giải    4.1  3m  1  29  12m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ��0 m 29 12 �x1  x2  5 Áp dụng hệ thức Vi-ét � �x1 x2  3m  3 Ta có: x1  x2  3x1 x2  75 �  x1  x2   x x  2   x1 x2  x1 x2  75 �  x1  x2   25  x1 x2   3x1 x2  75 � 25  x1  x2    x1  x2  x1 x2  3x1 x2  75 � x1  x2  Kết hợp x1  x2  5 suy x1  1; x2  4 Thay vào x1 x2  3m  suy m  5 là giá trị cần tìm Cho phương trình x  10mx  9m  ( m là tham số) Vậy m  Câu 4: a) Giải phương trình cho với m  b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện x1  x2  Lời giải m  a) Với phương trình cho trở thành x  10 x   x1  � Ta có a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là � x2  � b)  '   5m   1.9m  25m2  9m Điều kiện phương trình cho có hai nghiệm phân biệt là  '  � 25m  9m  (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � � �x2  m 10 x2  10m �x1  x2  10m � �x2  m � � � � � �x1  m � �x1  m , (*) � m  �x1  x2  � �x1  x2 �x x  9m �x x  9m � �m  9m  9m  �1 �1 � �� � � m 1 �� Câu 5: Cho phương trình x  2(m  1) x  m2  m   ( m là tham số) a) Giải phương trình cho với m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 1  4 x1 x2 Lời giải a) Với m  , phương trình cho trở thành: x  x    '  ; x1,2  � Vậy với m  nghiệm của phương trình cho là x1,2  � b)  '  m  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt �   � m   � m  2 �x1  x2  2(m  1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1 x2  m  m  Do đó: 1 x x 2(m  1)  4� 4� 4 x1 x2 x1 x2 m  m 1 Câu 6: m 1 � � � m  m  �0 m  m  �0 � � � �� �� � � m m   2(m  m  1) � �2m  m   � � 3� 1;  �là các giá trị cần tìm Kết hợp với điều kiện � m �� � Cho phương trình x  (2m  1) x  m   ( m là tham số) Khơng giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  11 Lời giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   �  2m  1  4.2  m  1  � 4m  12m   �  2m  3   m Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có: 2m � � x1  x2   � m � � � x1.x2  � 3x1  4x2  11 � � � 13- 4m � � x1  � 7m � � x2  26-8m � 7m � 13- 4m 4  11 � 26-8m � 13- 4m 7m 4  11 Giải phương trình 26-8m m  2 � Ta � m  4,125 � Câu 7: m  2 � Vậy � là các giá trị cần tìm m  4,125 � Cho phương trình x  2(m  1) x  m   ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm cho nghiệm này ba lần nghiệm Lời giải a) Phương trình cho có nghiệm và  ' �0 ��   m  1 � � �  m  3 �0 � 2m  �0 ۣ m Vậy m �2 là các giá trị cần tìm b) Với m  phương trình cho có hai nghiệm Gọi nghiệm của phương trình cho là a nghiệm là 3a Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a  3a  2m  � � �a.3a  m  Câu 8: m 1 �m  � �a � 3� � m  �2 � � m  6m  15  � m  3 �2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy � m  3 �2 là các giá trị cần tìm 2 Cho phương trình x  mx  m  4m   ( m là tham số) 2 a) Giải phương trình cho với m  1 1 b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2 x1 x2 Lời giải a) Với m  1 phương trình trở thành x  x   � x2  x   2 �x  1  10 � � �1 �x2  1  10 b) Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt   �1 � �  m   � m2  4m  1� � 8m   � m  �2 � Để phương trình có nghiệm khác � m  4m  �0 � m �4  � � �1 m2 �4  � �x1  x2  1 Ta có   x1  x2 �  x1  x2   x1 x2  1  � � x1 x2 �x1 x2   Câu 9: m0 � 2m  � � ��2 �� m  4  19 m  8m   � � m  4  19 � m0 � Kết hợp với điều kiện ta � m  4  19 � m0 � Vậy � là các giá trị cần tìm m  4  19 � Tìm tất các số tự nhiên m để phương trình x  m x  m   ( m là tham số) có nghiệm nguyên Lời giải    m   4.1  m  1  m  4m  Phương trình có nghiệm nguyên   m  4m  là số chính phương m0 � Nếu �   (loại) m 1 � Nếu m     22 (nhận) Nếu m �3 2m  m    � 2m  4m   �    2m  4m        m  � m  2m     m �  m  1     m  2  không là số chính phương Vậy m  là giá trị cần tìm Câu 10: Cho phương trình x  2(m  1) x  m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm của phương trình cho mà không phụ thuộc vào m 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x1  x2 (với x1 , x2 là nghiệm của phương trình cho) Lời giải � 3� a)   �   m  1 � m  �  , m � �  m  3  m  3m   � � 2� Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt �x1  x2  2(m  1) �x1  x2  2m  �� b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � x1 x2  2m  �x1 x2  m  � ' 2 � x1  x2  x1 x2   không phụ thuộc vào m c) P  x12  x22   x1  x2   x1 x2   m  1   m  3 2 � 15 15 � � 2m  � � , m 2� 4 � 15 5 Do đó Pmin  và dấu "  " xảy 2m   � m  4 15 Vậy Pmin  với m  4 Câu 11: Cho phương trình x  mx  m   ( m là tham số) a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 Tính giá trị của biểu thức M  đó tìm m để M  2 b) Tìm giá trị của m để biểu thức P  x1  x2  đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải �x1  x2  m a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1 x2  m  x12  x22  Từ x12 x2  x1 x22 x12  x22   x1  x2   x1 x2  m   m  1    Ta có M  x1 x2  x1 x22 x1 x2  x1  x2   m  1 m m  2m   m  1   m  m  1 m  m  1 � m0 � � �  m  1  � m m   � ��m   � �m    Để M  � � � m0 m  m  1 m0 � � � � m 1  � � b) Ta có P  x12  x22    x1  x2   x1 x2   m   m  1   m  2m    m  1 �0 , m Do đó Pmin  và dấu "  " xảy m   � m  Vậy Pmin  với m  Câu 12: Cho phương trình x   2m   x  2m  ( m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 � Lời giải Điều kiện PT có nghiệm không âm x1 , x2 là �  ' �0 m  �0 � � � �۳ 2(m 1) �x1  x2 �0 �� �x x �0 � 2m �0 �1 � m �x1  x2   m  1 Theo hệ thức Vi-ét: � �x1 x2  2m Ta có x1  x2 � � x1  x2  x1 x2 �2 � 2m   2m �2 � m  (thoả mãn) Vậy m  là giá trị cần tìm Câu 13: Cho phương trình x   m  1 x  m  ( m là tham số) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương 2 trình cho Tìm giá trị của m để A  x1 x2  x1 x2  2007 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó Lời giải Ta có   [-(m+1)]2  4m  m  2m   ( m  1)  m 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt � m �x1  x2  m  Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1 x2  m 2 Ta có A  x1 x2  x1 x2  2007  x1 x2  x1  x2   2007 1  m  m  1  2007  m  m  2007  m  2.m   2006  4 � � 8027 8027 , m  �m  � � � 2� 1 Dấu "  " xảy m   � m  2 8027 Vậy Amin  với m   Câu 14: Cho phương trình x  2mx  2m   ( m là tham số) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương 2 trình cho Tìm giá trị của m để A  x1 x2  x1 x2 đạt giá trị lớn nhất Lời giải Ta có    2m   4.1  2m  1  4m  8m    m  1 2  m 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt � m �x1  x2  2m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1 x2  2m  2 Ta có A  x1 x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2  �2 �  m  m  1  2007   2m  1  2m   4m  2m  4 � m  m� � � 1 1� �2 � 1� 1  4 � m  2.m   � 4 � m  � � , m 16 16 � � � 4� 4 1 Dấu "  " xảy m   � m  4 1 Vậy Am ax  với m  4 Câu 15: Cho phương trình x   m  1 x  2m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Lời giải 2  m  1 � a) Ta có   � � � 4.1  2m    4m  12m  22   2m   2.2m.3   13   2m    13  , m 2 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m �x1  x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có � (I) �x1 x2  2m  �x1   �  x1  1  x2  1  � x1 x2   x1  x2    (II) Theo giả thiết x1   x2 � � �x2   Thay (I) vào (II) ta có:  2m     2m     � 0.m   , với mọi m Vậy với mọi m phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Câu 16: Cho phương trình x  mx  m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m x  x22  4 b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn x1  x2  Lời giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với mọi giá trị m   m  4.(m  2)  m  4m   (m  2)    , m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với mọi m b) Vì a  b  c   m  m   1 �0 , m nên phương trình có nghiệm x1 , x2 �1 , m Phương trình x  mx  m   � x   mx  m x12  x22  mx1  m mx2  m m ( x1  1)( x2  1)  �  �  � m  � m  �2 Ta có x1  x2  x1  x2  ( x1  1)( x2  1) Vậy m  �2 là các giá trị cần tìm Câu 17: Cho phương trình x  mx   (1) ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1): Tính giá trị của biểu thức: P  x12  x1  x22  x2   x1 x2 Lời giải a) Ta có a.c   1  1  , với m nên phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu với mọi m � �x1  mx1  b) Ta có � x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) �x2  mx2  x12  x1  x22  x2  mx1   x1  mx2   x2  P     Do đó x1 x2 x1 x2 x  m  1 x2  m  1     m  1   m  1  x1 , x2 �0 x1 x2 Vậy P  Câu 18: Cho phương trình x   2m  1 x  m    1 ( m là tham số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình  1 có nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình  1 thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 Lời giải   2m  1 � a)   � � � 4.1  m  1  4m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt   � 4m   � m  �x1  x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có � �x1 x2  m  2 Ta có  x1  x2   x1  3x2 �  x1  x2   x1 x2  x1  x2  x2 �  2m  1   m  1  2m   x2 � 6m   x2  � x2  3m  m 1 m  3m   m  � m   � m  �1 Do đó (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) 2 Vậy m  �1 là các giá trị cần tìm Câu 19: Tìm m để phương trình x  x  2m   ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Suy x1  2 2 thỏa mãn điều kiện x2 ( x1  1)  x1 ( x2  1)  Lời giải    2   4.1  2m  1  8m Phương trình có hai nghiệm phân biệt   � 8m  � m  �x1  x2  Theo hệ thức Vi-ét, ta có � (I) �x1 x2  2m  Ta có x22 ( x12  1)  x12 ( x22  1)  �  x1 x2   ( x12  x22 )  �  x1 x2   � ( x1  x2 )2  x1 x2 � � � (II) Thay (I) vào (II) ta có: 2(2m  1)  �   2m  1 � � � � 2m  3m   � m � � � m2 � So với điều kiện có nghiệm m  Vậy m  là giá trị cần tìm Câu 20: Xác định giá trị m phương trình x  x  m  để  là nghiệm của phương trình Với m vừa tìm được, phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Lời giải Do  là nghiệm của phương trình nên thỏa:   3   8 4  m  � m  13  � m  13 Thay m  13 vào phương trình ta phương trình: x  x  13   *  '   4   1.13  � x1   Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt là: � x2   � � Vậy x   là giá trị cần tìm Câu 21: Cho phương trình x   2m  1 x  m  m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m    13  4.36 25   5    13     13   t1  9; t  4 2 Với t1 =  x2 =  x  3   Với t2 =  x2 =4  x  2 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3 Cách 2: x  13 x  36  � ( x  12 x  36)  x  � ( x  6)  x  � ( x   x )( x   x)  � x2   x  � �2 x 6 x  � Giải phương trình : x2 –6 –x = ta nghiệm: x=-2; x= Giải phương trình : x2 – +x = ta nghiệm x= 2; x= -3 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1=-3; x2= -2; x3=2; x4 = Bài 2: Giải phương trình: x  x   (2) Giải:  Cách 1: Đặt t = x2  t 0 phương trình (2) có dạng :    5  4.6 1   1    5     5   t1  3; t  2 2 Với t1 =  x2 =  x   Với t2 =  t2-5t +6 = Ta cú: x2 =2  x  Vậy phương trình (2) có nghiệm: x1= Cách 2: x  x   � x – x – x   0   ; x2= - ; x3= ; x4 = - �  x – x    3x    � x2  x2 – 2  3 x2 – 2  �  x –   x – 3  � x2 –  � �2 x –30 � Giải phương trình : x2 –2= ta nghiệm: x= ; x=- Giải phương trình : x2 –3= ta nghiệm x= ; x= - Vậy phương trình (2) có nghiệm: x1= ; x2=- ; x3= ; x4= - Bài 3: Giải phương trình: x –10 x     Giải: Đặt x  t  �0 � x  t , phương trình (3) có dạng t  10t    3’ Giải phương trình (3’) , có a  b  c   10   0 � t1  1, t   9  Với t = t1 = x2 =  x1 = ; x2 = -  Với t = t2 = x2 =  x3 = ; x4 = -3 III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình sau: 1).x  x –  0  2).x  x   3).5 x  x –  0  4).x – x   0  5).2 x – 3x –  0  6).x  10 x  24  PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỚI A) PHƯƠNG TRÌNH CĨ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỚI I) TĨM TẮT LÍ THÚT 1) Dạng có  A  B  A B   A 0   B 0  A B  A B     A   A B    A  B 2) Các dạng khác - Ta thường xét dấu các biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối khoảng Giải phương trình khoảng đó - Có thể đặt ẩn phụ II) MỘT SỐ BÀI MẪU Bài 1: Giải phương trình: x  x  1 Giải x  x  1  x  1  x 1  x 0     x  (1  x )    x 1    x 1     x  1  x    x 0  x 1     x 1  x  2    x    x  x 1  x 0  Vậy x=1; x= Bài2 :Giải phương trình x  x  x    1 Giải: + Xét dấu Từ đó ta có trường hợp: x �0 �  Trường hợp 1: � ta có:  x �2 � 3� Hai giá trị này đều không thuộc khoảng xét nên trường hợp này phương trình vơ nghiệm  Trường hợp 2:  x �1 ta có 1 � 1  Ta thấy x  thỏa mãn (1) �  x  x   � x  x   � x  2  Trường hợp 3: x > ta có (1) � x  x   � x  x   � x  1 � 29 1  29 Ta thấy x  thỏa mãn 2 � 1  x � Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm � � 1  29 x � � 2 Bài 3: Giải phương trình: x   x  x  (1) � x  x   � x  x   � x  Giải x   x  5x   x  x  5x     x   x  x   x 1    x 3 Vậy: x= 1; x= Bài 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ Giải (|x|+ 1)2 = 4|x|+ Đặt t= |x| với t 0 PT: (t+ 1)2 = 4t + t   t  2t  0   t  (loai ) Với t= |x|=  x 4 Vậy x= 4; x= – Bài 5: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0 Giải |x – 2x +m|+x=0  x  x  m  x   x 0    x  x  m x  x 0    x  3x  m 0 (1)    x  x  m 0 ( 2) Ta có  9  4m  1  4m Biện luận  4m   4m  x 2 + m> 0: Vô nghiệm + m 0 x  3 III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1) x   x   ( x  � 1) 2 7) x   x  x  ( x  2) x   x   ( x  ; ) 2 x2  x ( x  � ) 8) x 2 ) 3) x   x   (PTVN) 4) x   x  ( x  3;  ) 9) 10) 6) x   x 1 (x=0; – 1; 1)  2x  x  3x  x  x2   x  x ( x  2) 5 (x   23 ; ) 23  (x=5) 11) x  x  2 x  ( x  � 21) Bài 2: Giải các phương trình sau 1 � 17 ; ) 2)   x  ( x  �1;3;5) ( x  1;  ;  � 2) 6) x  3x   x  ( x  � 21) 3) x  x   x  ( x  0; 5) 7) x  x  12  x  x  ( x  5; � 7) 1) x  x   x  x ( x   4) x   x ( x  1; 5) x  x  x  1  17 ; ) Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau 1) 3x  m  x  2) x  x  x  m   m 0 Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – B) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC I) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: 2 Bài 1: Tìm m để phương trình: x  x  m x   m   1 có nghiệm Giải:Đặt t  x  �0 ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2) Phương trình (1) có nghiệm và (2) có ít nhất nghiệm t �0  Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0 � P  � m   � m  �1  Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm t1   t2 � P  � m   � 1  m   Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm �2 3 �m � � � � 3m  �0  �0 � �� m 1 �2 � t1 , t2  � �P  � � m   � �� �1 m  m  1 � �S  � � m0 � � � m0 � � Đáp số: 1 �m � Bài 2: Cho phương trình : x  x  m  x  a) Giải phương trình với m=0 b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải: Đặt t = x – 1, phương trình cho trở thành t  m   t (*) � 3 t �0 � x � t �0 t �0 � � �1  � � � �2 � � �� � a) Với m = ta có �2 �t � 1 t   �t t �t   t � � � x � � � b) Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt và phương trình (*) có nghiệm phân biệt t �0 t �0 � � (*) � �2 � �2 Phương trình (*) có nghiệm phân biệt và t  m   �t t �t  m   � � phương trình t2 – t + m – = và t2 + t + m – = có hai nghiệm khơng âm phân biệt Nhưng phương trình t2 + t + m – = có hai nghiệm khơng âm (vì S= –1 � ( x  3)( x  1)  X � �x  � x    X 02 + Nếu X0 < � ( x  3)( x  1)  X � Vậy với m �4 phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm Bài 2: Giải phương trình  x   x  (3  x)(6  x)  Hướng dẫn: Đặt X   x   x Đưa về phương trình:X2 – 2X – = Bài 3: Giải phương trình x   x  �x   y � 1 � Hướng dẫn: Đặt y  x  � y   x � � Đáp số: x=1; x  �y   x  2x  4 Bài 4: Giải bất phương trình x  2x x t2 � � Hướng dẫn: Đặt t  x  Bất phương trình trở thành 2t  5t   � � t x � � x  � t  � � Trường hợp 1: � 0 x  � Trường hợp 2: t  Bất phương trình vơ nghiệm Bài 5: Giải phương trình – (4  x)(2  x) = x2 – 2x – (1) 3 (4  x)(2  x) (t 0)  t 0 (1) trở thành: – 4t = – t    t 4 * Tuy nhiên, số trường hợp, sau đặt ẩn phụ t, phương trình cịn lại ẩn x cũ, ta coi x tham số phương trình coi x ẩn thứ (cùng với t) hệ phương trình Cụ thể: + Nếu phương trình (ẩn t, tham số x) có biệt thức  phương (  = g ( x ) , g(x) đa thức, thường có bậc 1) giải t theo x; phương trình phương trình đẳng cấp (của x t) đặt x = ty Bài 6: Giải phương trình (4x – 1) x  = x + 2x + (1) Hướng dẫn: Đặt t = Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  1) (1) trở thành (4x – 1)t = t + 2x –  = (4 x  3) (chính phương)  x 1  (4 x  1) (4x  3)   t=    x  2x  Bài 7: Giải phương trình x – 3x + = x 3x  (1) Hướng dẫn: Đặt t = 3x  (t  0) (1) trở thành t + xt – x =  3x   x  x 3x    3x   x  Cách 2: phương trình đẳng cấp  đặt x = ty: 2 t + y t – y t =  t (1 + y – y ) = Bài 8: Giải phương trình 2(1 – x) x  x  = x – 2x – + Nếu phương trình khơng phải đẳng cấp  khơng phương coi t x ẩn hệ phương trình Bài 9: Giải phương trình  Cách 1:  = x (chính phương)  t = x + x  = (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  0)  x  t 5 Ta có hệ phương trình   t  x  Trừ hai phương trình của hệ cho được: (t + x)( x – t + 1) =  x   x  t  x      t x   x  x  Bài 10: Giải phương trình x + 4x = x  (1) Hướng dẫn:  x  4x  t  khó khăn  Nếu đặt t = x  (t  0) ta hệ   t  x   Ta dự kiến đặt x  = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:  x  4x at  b Ta có hệ phương trình:  2  a t  2abt  x   b  a 1   a 1  2ab 4   hệ này đối xứng   b 2  a 1  b 6  b  Như vậy ta đặt t + = x  (t  – 2)  x  4x  t  3  17 5  13 Khi đó có hệ pt đối xứng:  (ĐS x  ; )  t  t  x  2 Bài 11: Giải phương trình 4x  x + 7x = (x > 0) 28 Hướng dẫn: 4x  Dự đoán đặt = at + b ta tìm a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng Như vậy 28 4x  đặt t + = 28 Bài 12: Giải phương trình x x + = (1) x x Hướng dẫn: x x 1  Đặt t = = (t > 0) t x x  t – 3t + = (1) trở thành: t + = t Bài 13: Giải phương trình x  +  x + ( x  1)(4  x ) = (1) Hướng dẫn: t2  Đặt t = x  +  x  ( x  1)(4  x ) = t2  = Bài 14: Giải phương trình x  x +  x (1  x ) = + Hướng dẫn: Đặt x  x = t (t  0) (1) trở thành: t + (1) trở thành: t + t2  = + (1)  t2  = + – t (dạng căn)   0    t  (3   t ) Bài 15: Giải phương trình x  x + x  x  = + (1) Hướng dẫn:  u  x  x Đặt   v  x  x  (1) trở thành: u + v = +  u  v 3  Ta có hệ phương trình   v  u 7 Bài 16: Giải phương trình 3(2 + x  ) = 2x + x  Hướng dẫn:  u 3  x  Đặt   v  x  IV) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1:Giải các phương trình 27583 1 1 2) x  x   kq : x   17; x   21 2 2 1 3) x  x   x   kq : x  11 4) x    x  x  kq : x  ; x  5) x   x   x   kq : x  1)3 x  34  x   kq : x  6) x    x  x  x   kq : x  7) x   x   kq : x  8) x   x   x   x  kq : x  9) x    x   x Bài 2: giải các phương trình 1) x   x  2) 3x  x   x  0 x=0 (x=6) (x   ) 47 24 3) 14 (x  ) ( x 5 )  x  x  2 x  4) x  5) x  7 (x  x  x  2 x  x2 x2 4)   4 Bài 3: Giải các phương trình sau 1)   15 ) ( x 2 ) ( x  0�x  x    x  3x  2) x   3x   x  0 3) 3x   x  1 ( x 9 ) 4) x   x  x  ( x 1 ) 5) 3 x + 3) x +  32 ) ( x 0 ) 4) (x=1;x=-4) x  – 4 x  x  = – x  = (2  x ) + x=2 ; ( x  (7  x ) – (x=2) (x  x  x 1  x  6) x  3  x  Bài 4: Giải các phương trình 1) (x + 5)(2 – x) = x  3x 2) 11 ) 3 (x=2) 1  29 ) 2 (2  x )(7  x ) = ptvn 5) x  x   x  x   3x  3x  19 (x=1;x=-2) 6) x  3x   x  x  3 (x=1;x=2) 7)  x  x2  8) x  x   2 x  x  1 ( x  1; x   x  x 1 ( x  1 � 5) 2 7 ) 9) x  26  x  x 26  x 11 (x=1;x=5) 10) x   x 2  3x  x (x=2;x=0; x  11) 2  14 ) 3 3x   x  4 x   x  x  (x=2) 12)  x  1 x  2 x  x  ( x  ) Bài 5: Giải các phương trình 1) ( x  5)(2  x) 3 x  x (x  1�x  4) 2) x    x  ( x  1)(  x ) 5 (x  0�x  3) 3) x   x  x  0 (x  1�x   2) (x  1�x  2�x  10) 4)  x 1  x 5) x    x  ( x  2)(5  x) 4 6) x   x  2 x  12  x  16 3 ) (x=5) (x  7) x  3x   x  x  3 (x=1;x=2) 8) 3x   x  4 x   x  x  (x=2) V ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 1) MỘT SỐ BÀI MẪU Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  x    x và áp dụng để giải phương trình: x    x  x  x  11 Giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2(a  b ) �(a  b) ta có: 2( x  4� x)  x x  2 y Do đó y lớn nhất và khi: 2 x    x � x  Mặt khác x  x  11  ( x  3)  �2.x nên: � � x2  4 x  x    x  x  x  11 � � � x3 �x  x  11  Bài 2: Giải phương trình = x (1) x + x Giải MXĐ: x > 1 x x x x x x x  Có x = x x  x (2)  x > (BĐT Côsi)  x = Vậy (1)  dấu “=” (2) xảy  x = x Bài 3: Giải phương trình (1) x  +  x = x – 6x + 11 Giải * Cách  VT(1)  (12 + 12 )(x – + – x) = (BĐT Bunhiacopxki)  VT  VP(1) = ( x  3) +    x 4 x  VT (1) 2      x = Vậy (1)    VP(1) 2  x  0  * Cách Đặt A  x    x A 2 2 (x 2)(4 x) A 2 (x 2) (4 x) A (BĐT Côsi)  VT  với  x  Dấu xảy và x – = – x  x = Mặt khác VP = x  6x  11  (x  3)2  �2 , dấu xảy và x = � �x 2  4x  � x3 Suy phương trình cho tương đương với hệ � �x  6x  11  Vậy x = là nghiệm nhất của phương trình Bài 4: Giải phương trình (1) 3x  x  + x  3x  = x  + 3x  5x  Giải Viết 3x  5x   2( x  2) 3x  x  = x  3x  = x   3( x  2)  x  0   x = Vậy (1)   x  0  3x  5x  0  Bài 5: Giải phương trình (1) 3x  6x   5x  10x  14   2x  x Giải (1) � 3(x  1)   5(x  1)    (x  1) � VT(1)  5, VP(1) 5, x VT(1)  � (1) � � � x   � x  1 VP(1)  � Vậy x = -1 là nghiệm nhất của phương trình VI NHIỀU CĂN BẬC LẺ: * Nâng lũy thừa: A + B = C  A + B + 3 AB ( A + B ) = C  A + B + 3 AB C = C (Bước này không tương đương)  3 ABC = C – A – B  27ABC = (C  A  B) Bài Giải phương trình (1) x  + x  = 3x  Giải: (1) � 2x   x   3 (2x  1) x   3 2x  (x  1)  3x  � 3x   3 (2x  1)(x  1) � 3 (2x  1)(x  1)    2x   x   3x   2x   x   � (2x  1)(x  1) 3x   � (2x  1)(x  1)(3x  1)  � 6x  7x  x  (loai) � � � �x � x  (nhan) � Bài Giải phương trình (1) x  + x  = 2x  Giải (1)  x – + x – + 3 x  x  ( x  +  2x – + 3 ( x  1)( x  2) x  = 2x – � � x 1 �  � x2 � x  (loai ) � � Vậy x= 1; x=2 x  ) = 2x – * Đặt ẩn phụ: Bài Giải phương trình (1) 10  x + x  = Giải Đặt u = 10  x v= x  u  v 3 Ta có hệ  (ĐS x= 9; x= 2)  u  v 9 VII PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ * Cách 1: Làm lần 1: đặt ẩn phụ Làm lần 2: nâng lũy thừa * Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ Các Bài: Bài Giải phương trình x  – x = (1) Hướng dẫn +Cách 1: Đặt t = x (t  0) (1) trở thành t  = t +  t + = t + t + 3t +  (t – 1)( t + 3t + 6) = (ĐS x=1)  u 3 x   u  v 1 +Cách 2: Đặt  có hệ   v  x  u  v 7 Bài Giải phương trình x  – x = (1) Hướng dẫn + Cách 1: Đặt t = x , (1) trở thành: t  = t +  u  x   u  v 1 + Cách 2: Đặt  có hệ   v 3 x  u  v 3 (ĐS x  1; x  2) ... 13x  36  (1) Giải:  Cách 1: Đặt t = x t 0 phương trình (1) có dạng : t2-13t +36 = Ta cú    13? ??  4 .36 25   5    13? ??     13? ??   t1  ? ?9; t  4 2 Với t1 =  x2 =  x  ? ?3. .. x12  x22  13  x1 x2 �  x1  x2   x1 x2  13  x1 x2  �  x1  x2   3x1 x2  13  2 ��   m  2 � � �  m  1  13  �  m     m  1  13  2 � m  4m   3m   13  � m  m...  2m   3? ?? � a � m x  � x  x  m x  m �1 � �2 �� ��  4 Giải hệ: � �x1  3x2  �x1  3x2  �x  3m �1 3m Thay   vào  3? ?? , ta được:  2m  � 3m  8m    *  '   4   3. 4 ' 