Đang tải... (xem toàn văn)
4) Chöùng minh: toång caùc laäp phöông cuûa 3 soá töï nhieân lieân tieáp thì chia heát cho 9..[r]
(1)3 - HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ
3.I- Bình phương tổng:
a(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2a
Ví dụ: Viết biểu thức sau dạng tổng:
a) (2x + 3)2 b) (3xy + 5y2)2 c) [2x + (-3)]2
= (…)2+ 2.2x.3+ …2 = … + …… + … = … + …… + …
= … = … = …
3.II- Bình phương hiệu:
a(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2a
Ví dụ: Viết biểu thức sau dạng tổng:
a) (2x – 3)2 b) (xy2 – 3y)2
= (….)2 – 2.2x.3 + ….2 = …
= … = …
3.III- Hiệu hai bình phương:
aA2 – B2 = (A + B)(A – B)a
Ví dụ: Viết biểu thức sau dạng tổng:
a) (2x + 4)(2x – 4) c) (x2y – 1
2 y
3)( x2y +
2 y
3)
= (….)2 – ….2 = … – ….
= … = …
b) (3x + y)(3x – y) = … = …
AÙp dụng :
Ví dụ 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức:
a) (x + 1)2 + 3(x – 5)(x + 5) – (2x – 1)2
b) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
c) (3x – 2y)2 – (3x + 2y)2 taïi 1;
6
(2)Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: (x – 2)2 – (x – 3)(x – 1)
Ví dụ 3: Tìm x biết:
5(2x – 3)2 – 5(x + 1)2 – 15(x + 4)(x – 4) = -10 Ví dụ 4: Áp dụng đẳng thức để tính nhẩm:
a) 152 b) 252 c) 49.51
3.IV- Lập phương tổng:
a(A + B)3 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3a
Ví dụ: Viết biểu thức sau dạng tổng:
a) (3x + 2)3 b) (x + 1
2 y)
3
= (….)3 + 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 + … = …
= … = …
3.V- Lập phương hiệu:
a(A – B)3 = A3– 3.A2.B + 3.A.B2 – B3a
Ví dụ: Viết biểu thức sau dạng tổng:
a) (2x – 3)3 b) (
2 x – 3y
2)3
= … = …
= … = …
= …
3.VI- Tổng hai lập phương:
aA3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B + B2)a
Ví dụ:
a) Tính: (6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2)
(6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2)
= (6x + 2y)[(….)2 – 6x.2y + (….)2]
= (….)3 + (….)3
(3)b) Biến đổi đa thức x3 + 23 thành tích hai đa thức:
x3 + 23
= (x + 2)(x2 – x.2 + 22)
= (x + 2)(x2 – 2x + 4)
3.VII- Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = (A – B)(A2 + A.B + B2)a
Ví dụ:
a) Tính giá trị của: A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) với x = 2; y=3
A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
= … = … = …
Khi x = 2; y = A = … A = …
b) Biến đổi đa thức 8x3 – 27 thành tích hai đa thức:
8x3 – 27 = (….)3 – ….3 = …
= …
7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ
1 Bình phương tổng:(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2
2 Bình phương hiệu:(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2
3 Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B)
4 Lập phương tổng:(A+ B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3
5 Lập phương hiệu:(A – B)3 = A3– 3A2B + 3AB2 –
B3
6 Tổng hai lập phương: A3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B +
(4)7 Hiệu hai lập phương: A – B = (A – B)(A + A.B + B2)
3.VIII- Bài tập tự luyện:
Phaàn I
(nhằm nắm vững đẳng thức)
Bài 1: Sử dụng cặp biểu thức sau để viết đẳng thức đáng nhớ:
1) 2x vaø 2) vaø – 4x 3) 3x vaø 13 y 4) (x + 1) vaø (x – 1)
Baøi 2: Tính:
1) (x + 1)2 8) (2x2 – 3xy3)2 15)
3
1x 2y 2y + x1
2 5
2) (2x + 5)2 9)(0,2x – 2y)2 16) (x + 2)3
3) (3x + 2y)2 10) 2
3 y
x y 17)
3 x+
3
4)
2 3x+ y4
2 11) (x + 3)(x – 3) 18)
3x y
5)
2
2
2x + 12) (2x – 3y)(2x+3y) 19) (4x2 – 5y3)3 6)
2
1 x y
2 13) (5y+4x)(4x – 5y) 20)
3 5x y
7)
2
4x
3 14)
1
3
2 x y
x+ y
Bài 3: Điền vào chổ trống để đẳng thức:
1) x2 + 4x + … = (… + 2)2 7) x2 – … =(… + 1)(… – …)
2) … + 4x + = (2x + …)2 8) … –… = (… + 3)( x – …)
3) 16x2 + … + 9y2 = (… + 3y)2 9) 16x2–… =(… – 5y)(…+…)
4) x2 + … + … =
3
2
(5)5) x2 – 8xy + … = ( … – … )2 11)…–16y6= (…–…)(3x2+…)
6) … – 103 xy2 + … =
2
x 12) x3+ … + … + = ( x )…
13) … … … + 27 = (x + …)316) x3– …=(x – 2)(…+ …+ …)
14) 8x3– …+ 6x – …= (… – 1)317)…+27=(2x+…)(… …+…)
15) x3–… + … – … =
3
- 18)64x
6+…=( .)(…–…+9y2) Bài 4: Viết đa thức sau thành dạng tích:
1) x2 – 7) x3 – 13) x2 + 2xy + y2
2) x2– y2 8) 64x3 –
27 14) x
2 – 6xy + 9y2
3) 25x2 – 9y2 9) – 27y3 + x3 15) x3 + 3x2 + 3x +1
4) 9x4– 16y6 10) x2 + 4x + 16) 8x3 – 12x2 + 6x – 1
5) – 9x2 + 16y4 11) x2 – 6x + 17) – 4x2 – 4x – 1
6) 94 x2 – 25
16 y
2 12) x2 – 10x + 25 18) – 4x2 + 6xy – 9
4 y
2
Phaàn II
Các dạng tập có sử dụng đẳng thức A – BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1: Tính nhanh
1) 1012 3) 47.53 5) (31,8)2 – 31,8 21,8 +
(21,8)2
2) 1992 4) 29,9 30,1 6) 342 + 68.66 + 662
7) 742+ 242 – 48.74
Dạng 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức
1) Tính giá trị biểu thức sau:
a) x2 + 4x + với x = 98
b) x3 + 3x2 + 3x + với x = 99
(6)2) Rút gọn: a) (x + y) + (x – y) b) (a + b)2 – (a – b)2
c) (x + y)2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
d) (2x + 5)2 – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5)2
e) (2x + 1)2 + 2(4x2 – 1) + (2x – 1)2
f) (x + y+ z)2 – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y)2
h) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3
g) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) Dạng 3: Tìm x biết
1) (x – 5)2 – x(x – 6) = 4) (x + 6)(x – 6) – x(x – 4) =
4
2) (x – 7)2 – x(x – 9) = 14 5) (x + 3)2 – (x – 2)(x+ 2) = –
5
3) (x – 5)(x + 5) – x(x – 10) = 6) (x – 3)2 – x(x
– 2) = –
Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến:
1) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)
2) (2x – 1)2 – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2
3) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)
4) (x – 2)2 – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3)
5) (x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
1) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2 5)(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad–
bc)2
2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 6) (a – b)2 = (b – a)2
3) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 7) (– a – b)2 = (a + b)2
(7)Lưu ý: (a – b)2 = (b – a)2
Tổng quát: (a – b)n = (b – a)n với n số mũ chẵn (a – b)3 = – (b – a)3
Tổng quát: (a – b)n = – (b – a)n với n số mũ lẻ
B – BÀI TẬP NÂNG CAO:
Dạng 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức 1) Rút gọn:
a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2)
b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x3 – 3x(x + 1)(x – 1)
c) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) – 64x6 2) Cho x – y = Tính giá trị biểu thức sau:
A = x(x+ 2)+ y(y – 2) – 2xy
B=x3– 3xy(x – y) – y3– x2+2xy– y2 3) Cho x + 2y = Tính giá trị biểu thức sau:
C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y
4) Cho a + b = ab = không tính a, b tính: a) a2 + b2 b) a3 + b3 c) a4 + b4 d) a5 + b5
5) Cho x + y = x2+ y2= Tính giá trị biểu thức x3+
y3
6) Cho x – y = x2+ y2=15 Tính giá trị biểu thức
x3+y3
7) a + b + c = vaø a2 + b2 + c2 =
Tính giá trị biểu thức: M = a4 + b4 + c4 Dạng 3: Tìm x biết
1) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x + 7)(x – 7) =
2) (x + 2)2 – x2 + = 0
3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) =
(8)5) 25x – = 6) (x + 2)2 – = 0
7) (x + 2)2 = (2x – 1)2
8) (x2– 2)2 + 4(x –1)2 – 4(x2– 2)(x –1) = 0 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
1) Chứng minh đẳng thức:
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
b) (a+b+c)2+(b+c – a)2+ (c+a – b)2+ (a+b – c)2= 4(a2 + b2 +
c2)
2) Cho x2– y2– z2= cmr:(5x – 3y+4z)(5x - 3y- 4z)=(3x –
5y)2
3) Cho a2– b2= 4c2 cmr:(5a – 3b+8c)(5a – 3b – 8c) = (3a –
5b)2
4) Cho a + b + c = 2p cmr: 2bc + b2 + c2 – a2= 4p(p – a) 5) Cho a + b + c = abc vaø 1 1a b c+ + = cmr: 2
1 + + = 2
a b c
Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A = x2 – 2x + h) H = x2 – 2x + y2 – 4y + 7
b) B = x2+ x + i) I = x2 – 4x + y2 – 8y + 6
c) C = 4x2 + 4x + 11 j) J = (2x – 1)2 + (x + 2)2
d) D = 2x2 – 8x + k) K = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3
e) E = 2x2 + 3x + l) L = 2x2+ 2y2 + 2xy + 2y – 2x +
2008
f) F = x2 – 3x + m) M = x2 – xy + y2 – 2x – 2y
g) G=(x – 3)(x+5)+4 n) N = x2 + xy + y2 – 3x – 3y 2) Tìm giá trị lớn biểu thức:
(9)c) C = – 9x2 + 24x – 18 3) Cho M = ax2 + bx + c
a) Tìm giá trị nhỏ M a > b) Tìm giá trị lớn M a <
4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) b) B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
c) C = (x2 + x + 1)2
5) Tìm giá trị nhỏ nhất(nếu có) giá trị lớn nhất(nếu có) biểu thức sau:
2 4 5
A
x
3
4x 4
B
x
1
2x 12 7
C
x
1
3x 5 9
D
x
2 6x
Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương 1) Chứng minh rằng:
a) Nếu a2 + b2 + c2 + = 2(a + b + c) a = b = c = 1
b) Neáu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c
c) Neáu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) a = b = c
2) Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2– 2a+b2+ 4b + 4c2– 4c + =
0
Dạng 8: Áp dụng vào số học
1)Tìm số dư n2 chia cho 5, biết n chia dư 2.
2)Tìm số dư n2 chia cho 3, biết n không chia heát cho
3
3) Biết số tự nhiên a chia cho dư 1, số tự nhiên b chia cho dư Chứng minh tổng bình phương hai số a b chia hết cho
(10)Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với biến số
Chứng minh với x, y:
1) x2 + x + > 4) x2 + xy + y2 + > 0
2) – 4x2 – 4x – < 0 5) x2+ 5y2+ 2x – 4xy – 10y + 14 > 0