Dưới vi phân của hàm lipshitz trong không gian banach

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN MỘNG KHANG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LIPSCHITZ TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN MỘNG KHANG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LIPSCHITZ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Đà Nẵng - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tôi, kết luận văn tổng hợp từ tài liệu có nguồn gốc rõ ràng hướng dẫn PGS TS Huỳnh Thế Phùng Vì tơi xin khẳng định đề tài luận văn: Dưới vi phân hàm Lipschitz không gian Banach khơng có trùng lặp với đề tài luận văn Đà Nẵng, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Mộng Khang LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp cao học giải tích K32 nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập Tác giả Nguyễn Mộng Khang MỤC LỤC Mở đầu .1 Chương Dưới vi phân hàm lồi 1.1 Hàm lồi 1.2 Dưới vi phân 1.3 Các phép toán vi phân 1.4 Hàm tựa 1.5 Nón tiếp xúc Nón pháp Chương Gradient suy rộng 11 2.1 Định nghĩa tính chất 11 2.2 Quan hệ với khái niệm đạo hàm 21 2.3 Các phép tính Gradient suy rộng 27 2.4 Nón tiếp xúc Nón pháp 39 Kết luận kiến nghị 46 Tài liệu tham khảo 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phát triển vượt bậc toán học ứng dụng, nhiều toán thực tế liên quan đến lý thuyết tối ưu, hệ phương trình địi hỏi cơng cụ giải tích khơng trơn mà cơng cụ giải tích cổ điển giải tích lồi khơng đáp ứng Gradient suy rộng, hay Dưới vi phân theo nghĩa Clarke, công cụ mạnh để xấp xỉ hàm Lipschitz mà dùng rộng rãi gần bốn thập kỷ qua Đây khái niệm mở rộng thực đạo hàm thông thường (trong trường hợp trơn) vi phân hàm lồi (trong trường hợp lồi) Ngoài cơng cụ dễ dùng tính toán được, đặc biệt trường hợp hữu hạn chiều Với xuất công cụ này, khái niệm hình học nón tiếp xúc, nón pháp tuyến mở rộng Ngoài điều kiện cực trị cho tốn tối ưu khơng trơn thiết lập Qua việc nghiên cứu khái niệm Dưới vi phân hàm Lipschitz ứng dụng nó, em hy vọng rằng, ngồi việc rèn luyện thêm kỹ toán, em tự trang bị cho cơng cụ thay cho khái niệm vi phân cổ điển vi phân hàm lồi để giải nhiều toán thực tế ngày phức tạp Vì vậy, đồng ý hướng dẫn PGS Huỳnh Thế Phùng, em chọn đề tài “Dưới vi phân hàm Lipshitz không gian Banach” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu + Mục tiêu: Nghiên cứu lý thuyết vi phân Clarke cho hàm Lipschitz Từ tiến hành nghiên cứu ứng dụng chúng khảo sát khái niệm hình học tốn tối ưu + Nội dung: Trình bày khái niệm đạo hàm theo hướng suy rộng hàm Lipschitz, vi phân Clarke, tính chất quy tắc tính tốn, mối quan hệ với khái niệm vi phân có đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet, vi phân hàm lồi Khảo sát nón tiếp xúc nón pháp sử dụng vi phân hàm khoảng cách Ứng dụng tối ưu hóa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Giải tích khơng trơn khơng gian Banach, phép tính xấp xỉ khơng gian Banach Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Tham khảo số báo đăng tạp chí khoa học Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ phép tính vi phân xấp xỉ khơng gian Banach Bổ sung ví dụ, hình ảnh chứng minh chi tiết Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Dưới vi phân hàm lồi Trong chương này, luận văn trình bày số định nghĩa định lý giải tích hàm có liên quan đến luận văn Trình bày số kiến thức giải tích lồi, mà chủ yếu nhắc lại khái niệm hàm lồi vi phân hàm lồi kết quan trọng lĩnh vực Chương 2: Gradient suy rộng Trong chương này, luận văn đưa khái niệm gradient suy rộng tính chất đạo hàm CHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI Chương chủ yếu nhắc lại khái niệm vi phân hàm lồi số kết quan trọng mà sử dụng chương sau xây dựng vi phân cho hàm Lipschitz vi phân xấp xỉ không gian Banach Ta giả thiết X không gian Banach trường số thực f : X → R hàm nhận giá trị thực mở rộng Giả thiết chủ yếu sử dụng f lồi, thường Nội dung chương viết dựa tài liệu [1], [2] 1.1 Hàm lồi Cho hàm f : X → R = [−∞, +∞], ta kí hiệu epi f dom f đồ thị miền hữu hiệu hàm f ; Tức epi f : = {(x, γ) ∈ X × R|γ ≥ f (x)} ; dom f : = {x ∈ X|f (x) < +∞} f gọi thường dom f = ∅ f −1 (−∞) = ∅ f gọi lồi epi f tập lồi X × R gọi lõm −f lồi Với số thực α, ta nói tập mức hàm f tương ứng với mức α tập hợp sau: C(f ; α) := {x ∈ X|f (x) ≤ α} Mệnh đề 1.1 Nếu f lồi dom f lồi Mệnh đề 1.2 Nếu f lồi C(f ; α) lồi với α ∈ R Chứng minh Với x, y ∈ C(f ; α) ta có (x, α), (y, α) ∈ epi f Vì vậy, λ ∈ (0, 1) (λx + (1 − λ)y, α) = λ(x, α) + (1 − λ)(y, α) ∈ epi f Từ đó, λx + (1 − λ)y ∈ C(f ; α), nên C(f ; α) lồi Tuy nhiên, điều ngược lại mệnh đề khơng đúng, chẳng hạn 39 Theo Ví dụ 2.7 ∂ C g(F (x)) =    γ ∈ Rn+ | γi = 1, i∈I(x) Với γ ∈ ∂ C g(F (x)) ta có γj = j∈J(x) n    γi fi (x), fγ (x) = γ, F (x) = i=1 n ∂ C fγ (x) ⊂ i=1 γi ξi : ξi ∈ ∂ C fi (x) (2.45) Vì γ∈∂ C g(F (x)) ∂ C fγ (x) ⊂    i∈I(x) γi ξi : γi ≥ 0, = co i∈I(x) γi = 1, ξi ∈ ∂ C fi (x) ∂ C fi (x) i∈I(x)    Vì tập lồi compact yếu* nên, theo Định lí 2.5, ta nhận (2.44) Nếu fi quy x (2.45) ta nhận dấu đẳng thức Ngoài ý hàm g lồi nên quy Áp dụng Định lí 2.6 ta suy f quy (2.44) xảy dấu đẳng thức 2.4 Nón tiếp xúc Nón pháp 2.4.1 Các định nghĩa Trong 1.5 sử dụng hàm khoảng cách để biểu diễn nón tiếp xúc nón pháp tập hợp (các mệnh đề 1.15 1.17) Trong mục với hàm khoảng cách thay sử dụng đạo hàm hay đạo hàm theo hướng hàm lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng Cho S tập đóng khác rỗng không gian Banach X s ∈ S Ta gọi nón tiếp xúc, theo nghĩa Clarke, S s tập hợp sau TSC (s) := {v ∈ X| doS (s; v) = 0} , vec tơ v ∈ TSC (s) gọi hướng tiếp xúc theo nghĩa Clarke S s 40 Chú ý rằng, dS ≥ dS (s) = nên doS (s; v) ≥ với v ∈ X Vì ta định nghĩa TSC (s) tập hợp vec-tơ v cho doS (s; v) ≤ 0: TSC (s) := {v ∈ X| doS (s; v) ≤ 0} , (2.46) NSC (s) := x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ 0; ∀v ∈ TSC (s) (2.47) Từ công thức ta thấy TSC (s) nón lồi đóng khác rỗng (vì chứa gốc) Một cách tự nhiên, ta gọi tập hợp sau nón pháp theo nghĩa Clarke S s: Như vậy, NSC (s) nón cực TSC (s) nên lồi đóng yếu* 2.4.2 Đặc trưng hình học nón tiếp xúc Định lí 2.26 Cho s ∈ S Lúc đó, v ∈ TSC (s) ⇔ S X ∀ti → 0+, ∃vi → v : ∀xi → s, xi + ti vi ∈ S; ∀i Chứng minh (⇒) Giả sử v ∈ TSC (s), tức doS (s; v) = Cho dãy tuỳ ý S xi → s, ti → 0+ ta có dS (xi + ti v) = lim i→∞ ti Gọi yi ∈ S điểm cho xi + ti v − yi < dS (xi + ti v) + tii Đặt dS (xi +ti v) i vi = yi −x + 1i → 0, ti Lúc xi + ti vi ∈ S v − vi < ti nên vi → v (⇐) Giả sử yi → s ti → 0+ cho dS (yi + ti v) − dS (yi ) doS (s; v) = lim i→∞ ti S Chọn xi ∈ S cho dS (yi ) + tii > xi − yi Lúc xi → s, nên tồn vi → v cho xi + ti vi ∈ S với i Do dS Lipschitz với số ta có ti dS (yi +ti v) ≤ dS (xi +ti vi )+ xi − yi +ti v − vi ≤ dS (yi )+ +ti v − vi i o C Suy dS (s; v) = hay v ∈ TS (s) Ví dụ 2.8 Cho tập hợp S = (x, y) ∈ R2 |x ≥ y ≥ 41 cần xác định tập TSC (0, 0), NSC (0, 0) Trước hết ta cần biểu diễn hàm khoảng cách đến tập S Dễ thấy 0, x ≥ y ≥ 0, dS (x; y) = −x, y ≤ x < 0, −y, x ≤ y < Suy ∂ C dS (0, 0) = co {(0, 0), (−1, 0), (0, −1)} doS ((0, 0); (u, v)) = max {0, −u, −v} Do TSC (0, 0) = (u, v) ∈ R2 |max {0, −u, −v} = = R2+ ⇒ NSC (0, 0) = R2− Chú ý rằng, theo định nghĩa 1.5, TS (0, 0) = S NS (0, 0) = {(0, 0)} Như TS (x0 ) rộng TSC (x0 ) NS (x0 ) hẹp NSC (x0 ) Chẳng hạn, tập hợp vừa xét, (0, −1) ∈ TS (0, 0) (0, −1) ∈ / TSC (0, 0) Sử dụng Định lí 2.26 ta kiểm tra (0, −1) ∈ / TSC (0, 0) Thật S vậy, xét dãy (− n1 , 0) → (0, 0) tn = n1 → 0+ Nếu (0, −1) ∈ TSC (0, 0) tồn dãy (un , ) → (0, −1) mà (− n1 , 0) + tn (un , ) ∈ S , tức −1 + un , ≥ 0, ∀n max n n Nhưng un → → −1 nên với n đủ lớn ta phải có −1 + un < < 0, mâu thuẫn Vậy (0, −1) ∈ / TSC (0, 0) 2.4.3 Quan hệ với gradient suy rộng hàm khoảng cách Mệnh đề 2.27 TSC (s) = v ∈ X| x∗ , v ≤ 0; ∀x∗ ∈ NSC (s) ∗ NSC (s) = λ∂ C dS (s) (2.48) (2.49) λ≥0 Chứng minh Vì NSC (s) nón cực TSC (s), mà TSC (s) nón lồi đóng nên nón cực NSC (s) Vậy ta có (2.48) Gọi vế phải (2.49) tập hợp K Với x∗ ∈ ∂ C dS (s) ta có ∀v ∈ TSC (s), x∗ , v ≤ doS (s; v) = ⇒ x∗ ∈ NSC (s) Vậy ∂ C dS (s) ⊂ NSC (s) Mà K nón lồi đóng yếu* sinh ∂ C dS (s) nên /K K ⊂ NSC (s) Để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta lấy tùy ý x∗0 ∈ / NSC (s) Theo Định lí tách mạnh, tồn v ∈ X chứng minh x∗0 ∈ 42 cho x∗0 , v > = sup x∗ , v ≥ x∗ ∈K sup x∗ ∈∂ C dS (s) x∗ , v = doS (s; v) Vậy v ∈ TSC (s) x∗0 ∈ / NSC (s) Mệnh đề chứng minh Như vậy, tính ∂ C dS (s) tính TSC (s) đến NSC (s) cơng thức (2.46) (2.47) Hoặc tính NSC (s) trước đến TSC (s) (2.49) (2.48) Ví dụ 2.9 Xét tập S cho Ví dụ 2.8 Ta tính ∂ C dS (0, 0) = co {(0, 0), (−1, 0), (0, −1)} Do đó, theo (2.49), NSC (0, 0) = R2− , lại (2.48) ta TSC (0, 0) = R2+ Qua Ví dụ 2.8 ta thấy TSC (s) nói chung khác TS (s) Tuy S tập lồi khái niệm tiếp xúc trùng Điều thể 2.4.4 Trường hợp tập lồi Mệnh đề 2.28 Nếu S tập lồi, TSC (s) = TS (s), NSC (s) = NS (s) Chứng minh Vì S lồi nên dS lồi, doS (s; v) = d′S (s; v) Từ Mệnh đề 1.17 ta có TSC (s) = v ∈ X| d′S (s; v) = = TS (s) Suy NSC (s) = NS (s) 2.4.5 Cực trị có điều kiện Mệnh đề 2.15 cho điều kiện cần tối ưu không điều kiện hàm Lipschitz Trong mục này, sử dụng kĩ thuật phạt hàm khoảng cách, thiết lập điều kiện cần tối ưu cho toán cực trị 43 có điều kiện Cho S tập khác rỗng X f hàm xác định S Ta kí hiệu f (x) → inf, P(S; f ) : x∈S tốn tìm cực tiểu hàm f tập S Một điểm s ∈ S gọi nghiệm P(S; f ) f (s) ≤ f (s′ ); ∀s′ ∈ S Nếu S tập mở nghiệm P(S; f ) cực tiểu địa phương f nên thêm giả thiết f Lipschitz thì, theo Mệnh đề 2.15, ta có ∈ ∂ C f (s) Tuy nhiên điều khơng cịn S không mở hay, cụ thể hơn, nghiệm s điểm biên S Bổ đề 2.4 Giả sử f hàm Lipschitz với số K tập mở U chứa S Lúc đó, với L > K , hai toán P(S; f ) P(U ; g), với g(x) := f (x) + L dS (x), có tập nghiệm Chứng minh Giả sử s nghiệm P(S; f ) Với x ∈ U ta gọi (sn ) dãy S cho sn − x → dS (x) Ta có g(s) = f (s) ≤ f (sn ) ≤ f (x) + K sn − x ≤ f (x) + L sn − x ; ∀n Cho n → ∞ vế phải hội tụ g(x) Vậy g(s) ≤ g(x) với x ∈ U , nên s nghiệm P(U ; g) / S dS (x) > Ngược lại, lấy x nghiệm P(U ; g) Nếu x ∈ tồn s ∈ S cho K x − s < dS (x) L Nhưng lúc đó, g(s) = f (s) ≤ f (x) + K x − s < f (x) + L dS (x) = g(x), 44 mâu thuẫn với cách chọn x Vậy x ∈ S Lúc đó, f (x) = g(x) ≤ g(s′ ) = f (s′ ); ∀s′ ∈ S Vậy x nghiệm P(S; f ) Mệnh đề 2.29 Nếu s nghiệm toán P(S; f ) f Lipschitz địa phương s ∈ ∂ C f (s) + NSC (s) Chứng minh Vì f Lipschitz địa phương s nên tồn δ > K > cho f Lipschitz với số K B(s; 2δ) Lấy L = K + s nghiệm hàm g(x) = f (x) + L dS (x) B(s; δ) Theo mệnh đề 2.13, 2.15 2.27 ta có ∈ ∂ C g(s) ⊂ ∂ C f (s) + L∂ C dS (s) ⊂ ∂ C f (s) + NSC (s) 2.4.6 Quan hệ nón tiếp xúc đồ thị đạo hàm suy rộng Bây cho f : X → R hàm Lipschitz địa phương x ∈ X Lúc (x, f (x)) ∈ S := epi f ⊂ X × R nón tiếp xúc TSC (x, f (x)) có quan hệ mật thiết với hàm g(v) := f o (x; v) Cũng vậy, NSC (x, f (x)) có quan hệ mật thiết với ∂ C f (x) Lưu ý TSC (x, f (x)) ⊂ X × R cịn NSC (x, f (x)) ⊂ X ∗ × R Định lí 2.30 Với f , S g nói trên, ta có a) TSC (x, f (x)) = epi g b) x∗ ∈ ∂ C f (x) ⇔ (x∗ , −1) ∈ NSC (x, f (x)) Chứng minh Sử dụng Định lí 2.26, (v, γ) ∈ TSC (x, f (x)) S ∀(yi , βi ) → (x, f (x)), ∀ti → 0+, ∃(vi , γi ) → (v, γ) : (yi +ti vi , βi +ti γi ) ∈ S ⇔ ∀yi → x, ∀ti → 0+, ∃(vi , γi ) → (v, γ) : f (yi + ti vi ) ≤ f (yi ) + ti γi f (y + tv) − f (y) ≤ γ ⇔ (v, γ) ∈ epi g ⇔ g(v) = f o (x; v) = limsup t y→x t→0+ Vậy ta có a) 45 Mặt khác, x∗ ∈ ∂ C f (x) x∗ , v ≤ f o (x; v) = g(v) với v ∈ X , tức x∗ , v − β ≤ với (v, β) ∈ epi g = TSC (x, f (x)), hay (x∗ , −1), (v, β) ≤ 0; ∀(v, β) ∈ TSC (x, f (x)) Tức (x∗ , −1) ∈ NSC (x, f (x)) Vậy ta có b) 46 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: - Luận văn tổng hợp nhiều tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ vi phân hàm Lipschitz không gian Banach - Luận văn bổ sung ví dụ, chứng minh cách đầy đủ chi tiết cho mệnh đề, định lý - Trang bị cho cơng cụ thay cho khái niệm vi phân cổ điển để giải nhiều toán thực tế ngày phức tạp Đề tài làm sở cho việc nghiên cứu điều kiện cực trị tốn tối ưu khơng gian Banach 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Brezis H (2002), Giải tích hàm - lí thuyết ứng dụng, ĐHQG Tp.HCM [2] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nxb Giáo dục Tiếng Anh [3] Clarke F.H (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadenphia, PA [4] Cartan H (1971), Differential Calculus, Hermann, Paris [5] Aubin J.P., Frankowska H (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston [6] Rockafellar R.T (1970), Convex Analysis, Princeton University Press [7] Rockafellar R.T & Wets R.J-B (1998), Variational Analysis, Springer-Verlag, 1998 ... đạo hàm 3 CHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI Chương chủ yếu nhắc lại khái niệm vi phân hàm lồi số kết quan trọng mà sử dụng chương sau xây dựng vi phân cho hàm Lipschitz vi phân xấp xỉ không gian Banach. .. Thế Phùng, em chọn đề tài ? ?Dưới vi phân hàm Lipshitz không gian Banach? ?? cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu + Mục tiêu: Nghiên cứu lý thuyết vi phân Clarke cho hàm Lipschitz Từ tiến hành... khái niệm đạo hàm theo hướng suy rộng hàm Lipschitz, vi phân Clarke, tính chất quy tắc tính tốn, mối quan hệ với khái niệm vi phân có đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet, vi phân hàm lồi Khảo sát