chuyen de 2010

TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC. Một biểu thức có thể có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất[r]

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên đề

I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

Tính chất:

1 Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a>b => a + c > b + c

2 Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: a>b, c>0 => ac>bc

3 Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức:

a>b, c<0 => ac<bc Định nghĩa:

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Ví dụ 1: Tìm giá trị x, cho:

a, Biểu thức A = 2x - có giá trị dương b, Biểu thức B = - 2x có giá trị âm

Giải:

Với A>0

Với x>4 B<0

1 , 2 1 0

2

a x    x 

, 8 4

b  x    x   x  x 

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Chú ý:

Ta gọi nghiệm nhị thức 2x - x = nghiệm nhị thức - 2x

Đối với nhị thức bậc , nghiệm nhị thức Người ta chứng minh được:

- Với nhị thức dấu với hệ số a - Với nhị thức trái dấu với hệ số a

1 2 x 

 0

ax b a 

b a 

b x

a  

b x

a  

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Giải: Biến đổi B thành tích:

Cách 1:

B>0 thừa số x x - dấu Chú ý x - < x nên B>0 xảy khi:

- Số nhỏ dương (khi số lớn dương) - Hoặc số lớn âm (khi số nhỏ âm) B>0  x - > x<0

 x>3 x<0

 3

B x x 

Ví dụ 2: Khi biểu thức có giá trị dương?B x2 3x

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Giải:

A<0 thừa số x - x + trái dấu

Chú ý x - < x + nên A<0 xảy x - < x + >

Giải x - < x < 1, giải x + > x > -3 Vậy -3 < x <1 A<0

Dạng 2: Biểu thức đưa dạng tích

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Cách 2:

Chú ý x = x = làm cho thừa số x x - 0, ta xét ba khoảng giá trị x:

a, Với x < hai thừa số âm, B > b, Với < x < hai thừa số trái dấu, B < c, Với x > hai thừa số dương, B >

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Có thể viết kết bên bảng xét dấu:

x 0 3

x - 0 + +

x - 3 - - 0 +

II KHI NÀO MỘT BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ DƯƠNG HOẶC GIÁ TRỊ ÂM

Giải:

A<0 x + x - trái dấu

Lại có x + > x - nên A<0 xảy x + > x - < Giải x + > x> -3; giải x - < x < Vậy -3<x<1 A<0

Dạng 3: Biểu thức có dạng thương

Ví dụ 1: Tìm giá trị x để biểu thức có giá trị âm

3 1

x A

x  

III KHI NÀO A > B HOẶC A < B

Công việc tìm giá trị biến để biểu thức A - B có giá trị âm giá trị dương

Ví dụ 1:

Cho biểu thức Tìm giá trị x để A > 15 8

x A

x  

 Giải:

Biến đổi

Do A>1 suy nên x + <0 hay x < -8 Vậy với x < -8 A >

5 8 3 3

1

8 8 8

x x

A

x x x

  

   

  

3

0 8

III KHI NÀO A > B HOẶC A < B

Ví dụ 2: Với giá trị x 3 1 1 (1)5 4 x   2 x 

Giải:

Xét hiệu hai vế:

Ta có nên suy x > 24 Vậy với x > 24 xảy bất đẳng thức (1)

3 1 1

1 5 6

4 x 2 x 4 x

   

    

   

   

1

6 x  

1

III KHI NÀO A > B HOẶC A < B

Ví dụ 3:

Với giá trị x a + x > a - x ? a + x < a - x ? Giải:

Xét hiệu hai vế:

Như vậy, x > , Nếu x < ,

 a x   a x  2x

 a x   a x    a x   a x 

III KHI NÀO A > B HOẶC A < B

Ví dụ 4:

So sánh a, số lớn hơn?a2

Giải:

Xét hiệu Chú ý a = a = 1, làm cho thừa số a (a - 1)

Ta xét trường hợp:

a, Nếu a < a a - âm, nên

b, Nếu a > 0; a - < 0, nên

c, Nếu a>1 a a - dương, nên

d, Cịn a = a =

 

2 1

a  a a a 

2 0

a  a  a2  a

2 0

a  a  a2  a

2 0

a a  a2  a

2

III KHI NÀO A > B HOẶC A < B

Ví dụ 5: Chứng minh hai số dương:

a, Số lớn có bình phương lớn

b, Số có bình phương lớn số lớn

Giải:

a, Cho x > y > Cần chứng minh

Nhân hai vế x > y với số dương x (1) Nhân hai vế x > y với số dương y (2) Từ (1) (2) suy

b, Cho x > 0, y > Cần chứng minh x > y

Giả sử x > y theo câu a ta có , trái với giả thiết Giả sử x = y , trái với giả thiết

Vậy x > y

2

x  y

2

x  xy

2

xy  y

2

x  y

2

x  y

2

x  y

2

IV TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Một biểu thức có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Chẳng hạn xét biểu thức :

- Có giá trị dương , có giá trị x=0 Như có giá trị nhỏ x=0

- Biểu thức khơng có giá trị lớn Giả sử có giá trị lớn m m số đối

-Giả sử , ta chứng tỏ tồn giá trị mà

Ta chọn Mà nên , trái với điều giả sử m giá trị lớn biểu thức

2

x

0

x 

2

x

2 x

2

x

1

x x2 x1

1 0

x  x3 x32  m

3 0

IV TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

- Muốn tìm GTNN biểu thức f(x), ta phải thực hai yêu cầu: Chứng tỏ (m số) với x Rồi dấu “=” xảy

- Muốn tìm GTLN biểu thức f(x), ta cần chứng tỏ (m số) với x. Rồi dấu “=”

xảy

Nếu chứng minh yêu cầu thứ chưa đủ để kết luận GTNN GTLN biểu thức.Chẳng hạn có Muốn xảy đấu đẳng thức phải có , điều khơng xảy với x

Như ta có số khơng phải GTNN biểu thức GTNN biểu thức x=0

 

f x m

 

f x m

x2 32 0

  x2  3

2 3 3

x  

 x2 32 0

   x2 32

IV TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Ta lấy ví dụ khác:

Xét biểu thức Ta có dấu đẳng thức không xảy GTNN biểu thức x = (*)

Để chứng tỏ (m số) ta thường dùng đến bất đẳng thức

Để chứng tỏ (m số) ta thường dùng đến bất đẳng thức:

 2

2 2

x  x x2   x 22 0

 

f x m

2 0; 0

x  x 

 

f x m

2 0; 0

x x

IV TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Giải:

Với x ta có suy GTNN A -5 x = -3

Chú ý: Có biểu thức khơng có GTNN lẫn GTLN, chẳng hạn

Tuy nhiên xét giá trị biến tập hợp hẹp hơn, biểu thức lại có GTNN GTLN, chẳng hạn, xét biểu thức x + khơng có GTNN, biểu thức có GTNN với x =

 x 32 0 2 x 32 0 2 x32  5

5 ;

A x B

x

 

;

x R x Q  x Z

x N

Ví dụ 1:

IV TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Ví dụ 2: Với giá trị nguyên x biểu thức có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị

14 x D x    Giải: Biến đổi

D lớn lớn Xét x > (1)

Xét x < , phân số có tử mẫu dương, tử khơng đổi nên có GTLN 4- x=1 tức x=3 Khi (2) So sánh (1) (2), ta thấy lớn 10

Vậy GTLN D 11 x =

4 10 10

1 4 x D x x        10  x

10

0 4 x 

10

0

4  x 

10 4 x

10

10

4 x 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tìm x, cho:

   

  2   

,

,

,

a x

b x x

c x x x

 

  

   

 

2 3

,

9

,

x x d x e x     Giải:

, 3

a  x     x    x    x  x  

     

 

1;

1

, 2

2

2

x x

x

b x x x x

x x                              1; 2 1 0 1 2 2 0 2 x x x x x x x                        

1 0 1

2

2 0 2

1

1; 2 1; 2

x x

x

x x

x

x x x x

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 

2 3

, 0

9 x x d x  

 ln có với x

=> Biểu thức cho nhỏ (x - 3) (x - 9) trái dấu Lại có

Vậy

2 0

x 

3

3;

x x x x        

3

9

x x x x x                 (1)

Có ln dương với Do (1) nhỏ x - x - trái dấu, có , đó:

1

4

1; 1;

x x

x x x

x x x x

                       

 x  22

 x  1  x  4

  2   

, 2 1 4 0

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 2:

Tìm giá trị x để:

, 2

a x  x b a x a,   c x,  x2

, 2 2 0 0 0

a x  x  x  x    x   x 

, 0

b a x a   x a a   x 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 3:

Tìm giá trị x để:

5

, 1

3 x a x    3

, 1

4 x b x   

5 3 2 3 2 2 2

, 1 1 1 1 1 0

3 3 3 3 3 3

x x x

a

x x x x x x

                     3 0 3 3 x x x          

3 4 1 1 1

, 1 1 1 1 0 4

4 4 4 4

x x

b x x

x x x x

    

             

   

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 4: Tìm số nguyên a cho:

 a2 1  a2 4  a2 7  a2 10 0

    

Giải:

Tích số số âm nên phải có số âm Ta có:

Xét hai trường hợp:

1, Có số âm, ba số dương

(do )

2 -10; - 7; - 4; -1

a a a a

2 -10 - - -12 2

a  a  a  a

2

2

2

2

2

10 10

7

10

4

1

a a a a a a a a a                               9 a

2, Có ba số âm, số dương:

(*)

Do nên không tồn số a thỏa mãn (*) Vậy

2

2

2

2

2

1

10 10

7

4

a a

a a

a

a a

a a

    

 

  

 

   

 

  

 

    

 

a Z

3

a 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

      2 2

,

,

,

a A x x b B x

c C x y

  

 

   

Giải:

Có với x;

Dấu xảy x = Vậy có GTNN x =

=> GTNN B 25 x =

4

, 3 2

a x  x 

2

3x 0 x

 x4 3x2  0 x

   

4 3 2

x x x

    

4 3 2

x  x 

 2

, 5 0

b B  x   x

4 0