GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC NGÀNH KỸTHUẬT VÀ CÔNG NGHỆ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VŨ THỊ HỒNG THANH (CHỦ BIÊN) ĐINH HUY HOÀNG, TRẦN VĂN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI, NGUYỄN VĂN ĐỨC, NGUYỄN HUY CHIÊU, TRẦN ĐỨC THÀNH, NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG, ĐẬU HỒNG QN GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH (DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC NGÀNH KỸ THUẬT VÀ CÔNG NGHỆ) VINH - 2018 MỤC LỤC Thông tin học phần Mở đầu Chương 1 Số thực giới hạn dãy số Số thực 1.1 Tập hợp số thực 1.2 Tập hợp số thực mở rộng 1.3 Tập bị chặn, cận trên, cận Giới hạn dãy số 2.1 Các khái niệm tính chất dãy số hội tụ 2.2 Điều kiện hội tụ dãy đơn điệu, số e 10 2.3 Tiêu chuẩn Cauchy 12 2.4 Giới hạn vô hạn 16 Câu hỏi thảo luận 17 Chương Giới hạn hàm số hàm số liên tục 20 Hàm số giới hạn hàm số 21 1.1 Các khái niệm hàm số 21 1.2 Một số loại hàm số đặc biệt 24 1.3 Các hàm số sơ cấp hàm số sơ cấp 25 1.4 Định nghĩa giới hạn hàm số 30 1.5 Các phép tính định lý giới hạn hàm 33 1.6 Các dạng vô định, đại lượng vô bé đại lượng vô lớn 37 Hàm số liên tục 40 Giáo trình Giải tích 2.1 Các khái niệm tính chất hàm số liên tục 40 2.2 Tính liên tục hàm sơ cấp 42 2.3 Các định lý hàm số liên tục đoạn 42 2.4 Hàm số liên tục 43 ( )v(x) Giới hạn dạng lim u(x) 44 2.5 x→a Câu hỏi thảo luận 47 Chương 3 50 Đạo hàm hàm biến 51 1.1 Các định nghĩa tính chất 51 1.2 Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái 52 1.3 Ý nghĩa hình học học đạo hàm 54 1.4 Các quy tắc tính đạo hàm 55 1.5 Bảng đạo hàm số hàm số sơ cấp 56 Vi phân hàm biến 57 2.1 Hàm khả vi vi phân hàm biến 57 2.2 Các quy tắc lấy vi phân tính bất biến vi phân cấp 58 2.3 Các định lý hàm khả vi 59 2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần 61 Đạo hàm vi phân cấp cao 62 3.1 Định nghĩa đạo hàm vi phân cấp cao 62 3.2 Công thức Newton-Leibniz 63 3.3 Tính khơng bất biến vi phân cấp cao 64 3.4 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi 65 Một số ứng dụng phép tính vi phân 68 4.1 Quy tắc L′ Hospital 69 4.2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 72 Chương Phép tính vi phân hàm biến Tích phân hàm biến 89 Nguyên hàm tích phân không xác định 90 1.1 Định nghĩa tính chất 90 4 1.2 Phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần 93 1.3 Tích phân hàm hữu tỷ 97 1.4 Tích phân số hàm vơ tỷ 102 1.5 Tích phân hàm lượng giác 105 Tích phân xác định 107 2.1 Định nghĩa tính chất tích phân xác định 107 2.2 Tính tích phân phần, đổi biến số 109 Ứng dụng tích phân xác định 113 3.1 Tính độ dài cung 113 3.2 Tính diện tích hình phẳng 119 3.3 Tính thể tích vật thể 122 3.4 Thể tích vật thể trịn xoay 124 3.5 Tính diện tích xung quanh mặt trịn xoay 125 3.6 Một số ứng dụng vật lý 127 Tích phân suy rộng 129 4.1 Tích phân suy rộng loại I 4.2 Tích phân suy rộng loại II 136 Chương Giáo trình Giải tích Chuỗi số chuỗi hàm 129 144 Chuỗi số 145 1.1 Các khái niệm 145 1.2 Một số tính chất chuỗi hội tụ 146 1.3 Chuỗi số dương dấu hiệu hội tụ 147 1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý 151 Chuỗi hàm 154 2.1 Các khái niệm tính chất 154 2.2 Sự hội tụ dấu hiệu hội tụ 155 Chuỗi luỹ thừa 158 3.1 Khái niệm tính chất chuỗi luỹ thừa 158 3.2 Các tính chất tổng chuỗi luỹ thừa 160 3.3 4 4.1 Chuỗi lượng giác 165 4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier 166 4.3 Khai triển Fourier hàm chẵn, hàm lẻ hàm 167 Giới hạn, tính liên tục vi phân hàm nhiều biến 178 Không gian Rn 179 1.1 Cấu trúc tuyến tính khoảng cách Rn 179 1.2 Định nghĩa tính chất dãy hội tụ Rn 180 Giới hạn hàm nhiều biến 182 2.1 Các khái niệm tính chất 182 2.2 Giới hạn lặp, giới hạn kép mối liên hệ chúng 185 Tính liên tục hàm nhiều biến 187 3.1 Các khái niệm tính chất hàm liên tục 187 3.2 Tính liên tục theo biến mối liên hệ với tính liên tục 188 Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến 188 4.1 Đạo hàm riêng, tính khả vi vi phân hàm nhiều biến 188 4.2 Đạo hàm hàm hợp tính bất biến vi phân 194 4.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 195 Cực trị không điều kiện cực trị có điều kiện 197 5.1 Cực trị không điều kiện 197 5.2 Cực trị có điều kiện 199 Chương Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 162 Chuỗi Fourier 165 Chương Giáo trình Giải tích Tích phân bội 205 Tích phân hai lớp 206 1.1 Định nghĩa tính chất tích phân hai lớp 206 1.2 Đưa tích phân hai lớp tích phân lặp 208 1.3 Đổi biến tích phân hai lớp 212 Tích phân ba lớp 219 2.1 Định nghĩa tính chất cở tích phân ba lớp 219 2.2 Cách tính tích phân ba lớp 221 2.3 Đổi biến tích phân ba lớp 225 Ứng dụng tích phân bội 231 3.1 Tính diện tích miền phẳng 231 3.2 Tính thể tích vật thể 232 3.3 Tính diện tích mặt cong 234 3.4 Tính khối lượng tìm tọa độ trọng tâm vật thể 235 Chương Giáo trình Giải tích Phương trình vi phân 240 Các khái niệm phương trình vi phân 241 1.1 Khái niệm phương trình vi phân 241 1.2 Nghiệm Bài toán Cauchy 242 Phương trình vi phân cấp 243 2.1 Các khái niệm kết 243 2.2 Phương trình có biến số phân ly 246 2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp 247 2.4 Phương trình tuyến tính 251 2.5 Phương trình Bernoulli 253 2.6 Phương trình vi phân tồn phần thừa số tích phân 254 2.7 Phương trình Lagrange phương trình Clairaut 258 Phương trình vi phân cấp hai 260 3.1 Mở đầu phương trình vi phân cấp hai 260 3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 262 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 266 Hệ phương trình vi phân cấp 271 4.1 Các khái niệm 271 4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 273 THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN Đây học phần thuộc nhóm kiến thức sở cho sinh viên khối ngành Kỹ thuật - Cơng nghệ, giảng dạy học kỳ năm thứ Nếu sinh viên học học phần Đại số tuyến tính, việc tiếp thu nhiều kiến thức học phần tốt Giảng viên dạy học phần 75 tiết lớp, gồm 60 tiết lý thuyết 15 tiết tập, sinh viên tự học 150 tiết Thi trắc nghiệm kỳ lần thi tự luận vào cuối kỳ Học phần cung cấp kiến thức sở Toán Giải tích giúp cho sinh viên có cơng cụ để tiếp thu các học phần chuyên ngành thuộc ngành Kỹ thuật - Cơng nghệ Thơng qua đó, rèn luyện cho sinh viên tính cẩn thận, xác, tỉ mỉ sáng tạo, đồng thời, giúp sinh viên rèn luyện làm quen với số kỹ hợp tác làm việc nhóm, tổ chức nhóm làm việc, chuẩn bị thuyết trình báo cáo kết làm việc nhóm trước tập thể MỞ ĐẦU Bài giảng dùng cho sinh viên ngành kỹ thuật cơng nghệ, biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích chương trình đào tạo đại học hệ qui theo chương trình tiếp cận CDIO Trường Đại học Vinh, ban hành năm 2017 Vì đặc thù ngành học kỹ thuật, cơng nghệ thời lượng hạn chế nên cố gắng hình thành khái niệm, giới thiệu tính chất bản, không sâu vào vấn đề nặng lý thuyết mà tập trung vào kết ứng dụng Bên cạnh đó, tài liệu để người có nhu cầu nghiên cứu tìm đọc Nội dung tập giảng lý thuyết giới hạn, liên tục, phép tính vi phân, phép tính tích phân hàm biến số lý thuyết chuỗi, hàm nhiều biến, tính liên tục tính khả vi hàm nhiều biến, tích phân bội đại cương phương trình vi phân Một số vấn đề đó, sinh viên làm quen chương trình phổ thơng, giảng dạy giảng viên trình bày lướt qua việc tính đạo hàm, khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tìm ngun hàm, cách tính tích phân xác định, Trong giáo trình này, chúng tơi trình bày đầy đủ vấn đề mức độ chi tiết Bài giảng trước sinh viên lên lớp nghe giảng khoảng 90 tiết Bây giờ, đào tạo theo chương trình tiếp cận CDIO, để phát huy khả tự học, sinh viên lên lớp nghe giảng 75 tiết, phần lại phải tự nghiên cứu nhà Để tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc, sau định nghĩa, định lý chúng tơi đưa nhiều ví dụ minh hoạ, sau chương có đưa vấn đề thảo luận hệ thống tập Đây lần biên soạn giảng theo chương trình tiếp cận CDIO, chúng tơi có nhiêu cố gắng cịn có sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý, phê bình người đọc CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I.1 GIỚI THIỆU Để nghiên cứu khái niệm giải tích (như hội tụ, liên tục, phép tính vi phân, phép tính tích phân, ) địi hỏi người học phải nắm vững khái niệm số thực, dãy số, hội tụ dãy số tính chất chúng Vì vậy, chương trình bày đại cương số thực, dãy số, hội tụ dãy số tính chất chúng I.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Giới thiệu cấu trúc tập số thực, trình bày khái niệm tính chất giới hạn dãy số I.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG Giới thiệu cấu trúc tập số thực, nắm khái niệm phân biệt maximum với suprimum, minimum với infimum biết cách tìm inf, sup số tập hợp, điều kiện tồn sup, inf Phát biểu khái niệm loại dãy: dãy hội tụ, dãy con, dãy đơn điệu, dãy bị chặn Phát biểu tính chất dãy số hội tụ biết vận dụng để tính giới hạn dãy số Trình bày điều kiện hội tụ dãy đơn điệu biết vận dụng để xét tồn giới hạn dãy số Trình bày mối liên hệ dãy hội tụ dãy bị chặn Trình bày định nghĩa dãy có giới hạn ±∞ mối quan hệ dãy có giới hạn ±∞ với dãy bị chặn Biết cách tìm giới hạn số dãy số Giáo trình Giải tích I.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG Số thực 1.1 Tập hợp số thực Vì thời lượng không cho phép, không sâu nghiên cứu việc xây dựng tập số thực tính chất Chúng ta cơng nhận tồn tập số thực nhận biết tập số thực qua mô tả sau Như thường lệ, ta ký hiệu Tập số tự nhiên {0, 1, 2, } ký hiệu N Tập số tự nhiên dương {1, 2, } ký hiệu N∗ Tập số nguyên { , −2, −1, 0, 1, 2, } ký hiệu Z Các số −1, −2, −3, −4, gọi số nguyên âm {m } m Tập số hữu tỷ : m ∈ Z, n ∈ N∗ ký hiệu Q Hai số hữu tỷ , n n r m r gọi viết = ms = nr Người ta chứng minh s n s số hữu tỷ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn Các số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vô tỷ Tập hợp gồm số hữu tỷ số vô tỷ gọi tập số thực (nói gọn tập số thực) ký hiệu R Các phép toán, thứ tự (các bất đẳng thức) tập số thực; khái niệm tính chất giá trị tuyệt đối giới thiệu chương trình tốn phổ thơng, khơng trình bày lại, muốn tìm hiểu đầy đủ vấn đề việc xây dựng tập số thực tính chất bạn đọc tìm đọc tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương Sau trình bày số tính chất tập số thực cần dùng sau Trên tập số thực R ta trang bị phép toán cộng nhân thỏa mãn tính chất kết hợp, giao hốn, phân phối phép nhân với phép cộng, phép cộng có phần tử không mà cộng với số thực x nó, phép nhân có phần tử đơn vị mà nhân với số thực x nó, số thực có phần tử đối số thực khác có phần tử nghịch đảo Mỗi số thực x ∈ R đặt tương ứng với số thực khơng âm |x| 263 Giáo trình Giải tích 3.2.4 Ví dụ 1) Các hàm eαx , eβx với α ̸= β độc lập tuyến tính R 2) Các hàm sin αx cos αx độc lập tuyến tính R 3.2.5 Định nghĩa Một hệ hai nghiệm y1 (x), y2 (x) phương trình (8.29) độc lập tuyến tính (a, b) gọi hệ nghiệm sở phương trình 3.2.6 Định lý Cho y1 (x) y2 (x), với x ∈ (a, b) nghiệm phương trình (8.29) Khi đó, 1) y1 (x), y2 (x) độc lập tuyến tính (a, b) y1 (x) y2 (x) y1′ (x) y2′ (x) ̸= 0, với x ∈ (a, b) 2) Nếu y1 (x), y2 (x) hệ nghiệm sở (8.29) nghiệm tổng quát phương trình y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), với C1 , C2 số tùy ý Chứng minh 1) Điều kiện cần Giả sử y1 (x), y2 (x) nghiệm độc lập tuyến tính (a, b) Đặt A(x) = [ ] y1 (x) y2 (x) y1′ (x) y2′ (x) Ta chứng minh det A(x) ̸= với x ∈ (a, b) Giả sử tồn x0 ∈ (a, b) cho det A(x0 ) = Khi hệ phương trình  α1 y1 (x0 ) + α2 y2 (x0 ) = α y ′ (x ) + α y ′ (x ) = 1 2 có nghiệm khơng tầm thường, tức tồn α1 , α2 không đồng thời không nghiệm hệ Theo Định lý 3.2.2 ta có y(x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) nghiệm phương trình (8.29) thoả mãn điều kiện đầu y(x0 ) = y ′ (x0 ) = Bởi y = nghiệm (tầm thường) (8.29) nên theo định lý tồn nghiệm ta có y(x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) = 0, với x ∈ (a, b) Điều mâu thuẫn với độc lập tuyến tính y1 (x), y2 (x) (a, b) Do det A(x) ̸= với x ∈ (a, b) 264 Giáo trình Giải tích Điều kiện đủ Giả sử det A(x) ̸= với x ∈ (a, b) Nếu y1 (x) y2 (x) phụ thuộc tuyến tính tồn C cho y1 (x) = Cy2 (x) với x ∈ (a, b) Khi y1 (x) y2 (x) det A(x) = y1′ (x) y2′ (x) = y1 (x) Cy1 (x) y1′ (x) Cy1′ (x) =0 với x ∈ (a, b) Mâu thuẫn với det A(x) ̸= với x ∈ (a, b) 2) Nếu y1 (x) y2 (x), x ∈ (a, b) hệ nghiệm sở (8.29) từ khẳng định a) Định lý 3.2.6 ta suy det A(x) = y1 (x) y2 (x) y1′ (x) y2′ (x) ̸= với x ∈ (a, b) Theo Định lý 3.2.2 y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) nghiệm (8.29) với số C1 , C2 Giả sử u(x) nghiệm tùy ý (8.29), ta cần tồn C10 , C20 cho u(x) = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) Thật vậy, lấy x0 ∈ (a, b), đặt u(x0 ) = u0 u′ (x0 ) = u′0 Khi đó, từ det A(x0 ) ̸= suy hệ phương trình tuyến tính  C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) = u0 C y ′ (x ) + C y ′ (x ) = u′ 1 2 0 có nghiệm C10 , C20 Do nghiệm y(x) = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) thỏa mãn điều kiện đầu y(x0 ) = u0 y ′ (x0 ) = u′0 Theo định lý tồn nghiệm y(x) = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) phải trùng với nghiệm u(x), tức u(x) = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) Định lý sau mơ tả cấu trúc nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng y ′′ + p(x)y ′ + q(x) = f (x) 3.2.7 Định lý Nghiệm tổng quát phương trình (8.28) tổng nghiệm riêng với nghiệm tổng quát phương trình (8.29) 265 Giáo trình Giải tích Chứng minh Giả sử y ∗ nghiệm riêng (8.28) y = C1 y1 + C2 y2 nghiệm tổng quát (8.29), y1 , y2 hệ nghiệm sở (8.29) Đặt y = y + y∗ Khi dễ dàng kiểm tra y nghiệm phương trình (8.28) Ta cịn phải chứng minh y nghiệm tổng quát Thật vậy, giả sử y0 nghiệm tùy ý phương trình khơng (8.28) Khi đó, y ∗ y0 nghiệm phương trình (8.28) nên ta có y0′′ + p(x)y0′ + q(x)y0 = f (x) y ∗ ′′ + p(x)y ∗ ′ + q(x)y ∗ = f (x) suy (y0 − y ∗ )′′ + p(x)(y0 − y ∗ )′ + q(x)(y0 − y ∗ ) = Như y0 − y ∗ nghiệm phương trình (8.29) Do tồn C10 , C20 cho y0 − y ∗ = C10 y1 + C20 y2 Ta nhận y0 = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) + y ∗ Do đó, y = y + y ∗ nghiệm tổng quát (8.29) Ta dễ dàng chứng minh định lý sau 3.2.8 Định lý Nếu y1 (x), y2 (x), x ∈ (a, b) nghiệm riêng tương ứng hai phương trình y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f1 (x) y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f2 (x) y = y1 + y2 nghiệm riêng phương trình y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f1 (x) + f2 (x) 266 3.3 Giáo trình Giải tích Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 3.3.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số có dạng y ′′ + py ′ + qy = f (x) (8.30) p, q số thực, f (x) hàm liên tục (a, b) 3.3.2 Cách giải Phương trình (8.30) trường hợp riêng (8.28), kết nghiệm biết Đối với phương trình việc tìm nghiệm tổng quát đơn giản hơn, mà trình bày sau Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát phương trình y ′′ + py ′ + qy = (8.31) Người ta chứng minh phương trình (8.31) ln có nghiệm có dạng y = ekx với k số phức Chúng ta tìm nghiệm có dạng Ta có y ′ = kekx , y ′′ = k ekx Thay vào (8.31) ta nhận phương trình k + pk + q = 0, (8.32) gọi phương trình đặc trưng phương trình (8.31) Khi xẫy trường hợp sau 1) Nếu ∆ = p2 − 4q > phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k1 ̸= k2 Khi phương trình có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính y1 = ek1 x y2 = ek2 x Theo Định lý 3.2.6 ta có nghiệm tổng quát (8.31) y = C1 ek1 x + C2 ek2 x 2) Nếu ∆ = p2 − 4q = phương trình đặc trưng có nghiệm bội (thực) −p k0 = Khi phương trình có nghiệm riêng y1 = ek0 x Nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với y1 ∫ ∫ − pdx ∫ −px e e y2 (x) = y1 (x) dx = y1 (x) dx = xy1 (x) y1 (x) e−px Nghiệm tổng quát (8.31) y = C1 ek0 x + C2 xek0 x 267 Giáo trình Giải tích 3) Nếu ∆ = p2 − 4q < phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức k1,2 = α ± iβ, với α = −p √ β = |∆| Khi phương trình có hai nghiệm ( ) y1∗ = e(α+iβ)x = eαx cos βx + i sin βx) ( ) y2∗ = e(α+iβ)x = eαx cos βx − i sin βx) (áp dụng công thức Euler) Theo Định lý 3.2.2 ta có y1 = (y1∗ + y2∗ ) = eαx cos βx ∗ (y1 − y2∗ ) = eαx sin βx 2i nghiệm, độc lập tuyến tính (8.31) Vì nghiệm tổng qt (8.31) ( ) αx y = e C1 cos βx + C2 sin βx y2 = Từ nghiệm tổng quát y (8.31), để tìm nghiệm tổng qt phương trình khơng (8.30) ta dùng phương pháp biến thiên hàng số Lagrange 3.3.3 Ví dụ Giải phương trình 1) y ′′ − 5y ′ + 6y = 2) y ′′ − 6y ′ + 9y = 3) y ′′ − 2y ′ + 5y = Giải 1) Phương trình đặc trưng k − 5k + = có nghiệm k1 = 2, k2 = Suy nghiệm tổng quát y = C1 e2x + C2 e3x 2) Phương trình đặc trưng k − 6k + = có nghiệm kép k0 = Suy nghiệm tổng quát y = C1 e3x + C2 xe3x 3) Phương trình đặc trưng ( k − 2k + = có )nghiệm phức k1,2 = ± 2i Suy nghiệm tổng quát y = ex C1 cos 2x + C2 sin 2x 3.3.4 Ví dụ Giải phương trình y ′′ − 4y ′ + 3y = e2x 268 Giáo trình Giải tích Giải Phương trình đặc trưng k − 4k + = có hai nghiệm thực k1 = k2 = Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e3x Để tìm nghiệm tổng quát phương trình khơng ban đầu ta dùng phương pháp biến thiên số Lagrange Nghiệm tổng quát y ′′ − 4y ′ + 3y = e2x có dạng y = C1 (x)ex + C2 (x)e3x , với C1 (x), C2 (x) thoả mãn hệ  C ′ (x)ex + C ′ (x)e3x C ′ (x)ex + 3C ′ (x)e3x Giải hệ ta nhận C1′ (x) ex =− , C1 (x) = − ex C2′ (x) = e−x =0 =e 2x Suy + C1 , C2 (x) = − e−x + C2 với C1 , C2 số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát y ′′ − 4y ′ + 3y = e2x ( y= − ) ( e−x ) + C1 ex + − + C2 e3x = C1 ex + C2 e3x − e2x 2 ex 3.3.5 Phương pháp hệ số bất định Trong mục trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình vi phân cấp hai khơng hệ số số phương pháp hệ số bất định Phương pháp cho phép giảm bớt phép tính tích phân so với phương pháp biến thiên số Lagrange Tuy nhiên, phương pháp áp dụng cho trường hợp đặc biệt hàm f (x) Xét phương trình y ′′ + py ′ + qy = f (x) với p, q số thực f (x) hàm số liên tục (a, b) 1) Nếu f (x) = eαx Pn (x), với Pn (x) đa thức bậc n x Khi nghiệm riêng phương trình có dạng sau: (a) y = eαx Qn (x), α nghiệm phương trình đặc trưng; (b) y = xeαx Qn (x), α nghiệm đơn phương trình đặc trưng; (c) y = x2 eαx Qn (x), α nghiệm kép phương trình đặc trưng; Qn (x) đa thức bậc n x Việc tìm nghiệm riêng dẫn tới tìm hệ số Qn (x) phương pháp hệ số bất định 269 Giáo trình Giải tích ( ) 2) Nếu f (x) = eαx Pn1 (x) cos βx + Pn2 (x) sin βx , với Pn1 (x), Pn2 (x) đa thức bậc n1 , n2 tương ứng x Khi nghiệm riêng phương trình có dạng sau: ( ) (a) y = eαx Qn (x) cos βx + Rn (x) sin βx , α + iβ nghiệm phương trình đặc trưng; ( ) αx (b) y = xe Qn (x) cos βx + Rn (x) sin βx , α + iβ nghiệm phương trình đặc trưng; n = max{n1 , n2 } Qn (x), Rn (x) đa thức bậc n x Việc tìm nghiệm riêng dẫn tới tìm hệ số Qn (x), Rn (x) phương pháp hệ số bất định 3.3.6 Ví dụ Giải phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = 2xex Giải Phương trình đặc trưng k − 3k + = có nghiệm k1 = 1, k2 = Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e2x Từ f (x) = 2xex ta thấy α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng n = Suy nghiệm riêng phương trình khơng có dạng y = x(ax + b)ex Ta có ( ) ( ) y ′ = ax2 + (2a + b)x + b ex , y ′′ = ax2 + (4a + b)x + 2b + 2a ex Thay vào phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = 2xex ta nhận ( ) ( ) ax2 + (4a + b)x + 2b + 2a ex − ax2 + (2a + b)x + b ex +2(ax2 + bx)ex = 2xex với x ∈ R Rút gọn ta thu −2ax + 2a − b = 2x với x ∈ R Suy  −2a =2 2a − b = Giải hệ ta nhận a = −1, b = −2 Vậy nghiệm riêng phương trình y ∗ = −x(x + 2)ex Nghiệm tổng quát y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e2x − x(x + 2)ex , (C1 , C2 ∈ R) 270 Giáo trình Giải tích 3.3.7 Ví dụ Giải phương trình y ′′ + y ′ − 2y = emx , (m tham số thực) Giải Phương trình đặc trưng k + k − = có nghiệm k1 = 1, k2 = −2 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−2x Để tìm nghiệm riêng phương trình ban đầu ta xét trường hợp sau: 1) Nếu m ̸= m ̸= −2 nghiệm riêng có dạng y = aemx Ta có y ′ = amemx , y ′′ = am2 emx Thay vào phương trình y ′′ + y ′ − 2y = emx ta nhận a(m2 + m − 2)emx = emx Suy a = , hay nghiệm riêng phương trình ban đầu m2 + m − y∗ = emx m2 + m − Vậy nghiệm tổng quát ∗ −2x x y = y + y = C1 e + C2 e + emx m2 + m − , (C1 , C2 ∈ R) 2) Nếu m = nghiệm riêng có dạng y = axex Tính đạo hàm thay vào phương trình y ′′ + y ′ − 2y = ex ta nhận a = 13 Vậy nghiệm tổng quát ∗ x −2x y = y + y = C1 e + C2 e + ex , (C1 , C2 ∈ R) 3) Nếu m = −2 nghiệm riêng có dạng y = axe−2x Tính đạo hàm thay −1 vào phương trình y ′′ + y ′ − 2y = e−2x ta nhận a = Vậy nghiệm tổng quát x.e−2x , (C1 , C2 ∈ R) y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e−2x − Bạn đọc tham khảo thêm tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương 271 Giáo trình Giải tích Hệ phương trình vi phân cấp 4.1 Các khái niệm 4.1.1 Định nghĩa Ta gọi hệ phương trình   dy1    = f1 (x, y1 , y2 , , yn )   dx      dy2 = f2 (x, y1 , y2 , , yn ) dx          dy   n = fn (x, y1 , y2 , , yn ) dx (8.33) hệ phương trình vi phân cấp chuẩn tắc, x biến độc lập, yk (x) hàm chưa biết cần tìm fk (x, y1 , , yn ) hàm cho trước xác định Ω ⊂ Rn+1 , k = 1, 2, n Bài tốn tìm nghiệm phương trình (8.33) thoả mãn điều kiện y1 (x0 ) = y10 , , yn (x0 ) = yn0 (8.34) gọi toán Cauchy, với (y10 , , yn0 ) điểm không gian n chiều Điều kiện (8.34) gọi điều kiện đầu 4.1.2 Định lý Nếu hàm f1 , f2 , , fn liên tục với đạo hàm riêng cấp n+1 chúng miền Ω chứa điểm (x0 , y10 , , yn0 ) thuộc khơng gian ( R ) lân cận điểm x0 R tồn nghiệm y1 (x), , yn (x) hệ (8.33) thỏa mãn điều kiện đầu (8.34) 4.1.3 Định nghĩa Nghiệm tổng quát hệ phương trình (8.33) n hàm yi (x) = ϕi (x, C1 , , Cn ), i = 1, , n với C1 , C2 , , Cn số tùy ý thảo mãn tính chất sau: 1) Các hàm yi thỏa mãn đẳng thức (8.33) với giá trị C1 , , Cn 2) Với điểm (x0 , y10 , , yn0 ) ∈ Rn+1 mà điều kiện tồn nghiệm hệ thỏa mãn tồn C10 , , Cn0 cho hàm yi = ϕi (x, C10 , , Cn0 ), i = 1, , n 272 Giáo trình Giải tích thỏa mãn điều kiện đầu: yi (x0 ) = yi0 với i = 1, , n Nghiệm riêng hệ (8.33) nghiệm có cho số Ci nghiệm tổng quát giá trị cụ thể 4.1.4 Liên hệ phương trình cấp cao hệ phương trình chuẩn tắc Xét phương trình vi phân cấp n giải đạo hàm cấp n ( ) y (n) = f x, y, y ′ , , y (n−1) (8.35) Đặt y = y1 , y ′ = y2 , ,y (n−1) = yn Khi đó, ta đưa (8.35) hệ phương trình sau mà gọi hệ phương trình chuẩn tắc   dy1    = y2   dx      dy2 = y3 dx          dyn   = f (x, y1 , y2 , , yn ) dx (8.36) Ngược lại từ hệ phương trình chuẩn tắc ta đưa phương trình vi phân cấp cao cách khử hàm số hệ Để đơn giản ta trình bày   dy    = f (x, y1 , y2 ) dx  dy    = g(x, y1 , y2 ) dx Đạo hàm hai vế phương trình thứ (8.37) ta cho hệ có hai ẩn hàm: (8.37) y1′′ = fx′ + fy′ y1′ + fy′ y2′ Thay y1′ , y2′ từ hệ (8.37) vào phương trình vừa nhận ta có y1′′ = F (x, y1 , y2 ) Tiếp tục rút y2 từ phương trình dy1 dx (8.38) = f (x, y1 , y2 ) ta có y2 = h(x, y1 , y1′ ) Thay y2 vừa nhận vào (8.38) ta có y1′′ = Φ(x, y1 , y1′ ) (8.39) 273 Giáo trình Giải tích phương trình vi phân cấp hai hàm y1 Nếu y1 , y2 nghiệm hệ y1 , y2 phải nghiệm (8.39) Bài tốn giải hệ phương trình quy giải phương trình Bạn đọc tham khảo thêm tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương 4.1.5 Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân   dx    =y dt  dy    = x dt (8.40) Đạo hàm hai vế phương trình dx dt =y theo t ta nhận x′′ = y ′ = x Ta nhận phương trình vi phân cấp hai x′′ − x = Phương trình có nghiệm tổng qt x = C1 et + C2 e−t Từ suy y = x′ = C1 et − C2 e−t 4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số Trong mục ta xét trường hợp đơn giản hệ phương trình vi phân 4.2.1 Định nghĩa Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số hệ có dạng   dy1    = a11 y1 + a12 y2 + + a1n yn   dx      dy2 = a21 y1 + a22 y2 + + a2n yn (8.41) , dx          dy   n = an1 y1 + an2 y2 + + ann yn dx 274 Giáo trình Giải tích aij số cho trước, i = 1, , n; j = 1, , n Hệ viết dạng ma trận y ′ = Ay (8.42)  y1 (x)   y1′ (x)   a11 a12 a1n      ′    a21 a22 a2n   y2 (x)   y2 (x)  ′       , A= , y = y=          ′ an1 a12 ann yn (x) yn (x) 4.2.2 Phương pháp khử Phương pháp thực trường hợp tổng quát, đưa hệ phương trình phương trình vi phân bậc n Trong trường hợp ta thu phương trình vi phân tuyến tính hệ số Ta đến với ví dụ minh họa sau Bạn đọc tham khảo thêm tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương 4.2.3 Ví dụ Giải hệ phương trình  y ′ = y1 + y2 y ′ = 4y + y 2 Lấy đạo hàm phương trình thứ hệ theo x ta có y1′′ = y ′1 + y2′ = y1′ + (4y1 + y2 ) = y1′ + 4y1 + y1′ − y1 = 2y1′ + 3y1 Ta thu phương trình y1′′ − 2y1′ − 3y1 = Nghiệm tổng quát phương trình y1 = C1 e−x + C2 e3x Suy y2 = y1′ − y1 = −C1 e−x + 3C2 e3x − C1 e−x − C2 e3x = −2C1 e−x + 2C2 e3x CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 275 Giáo trình Giải tích Câu hỏi thảo luận 1) Phương pháp giải phương trình vi phân cấp đặc biệt 2) Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 3) Giải hệ phương trình tuyến tính hệ số Bài tập chương Bài Giải phương trình vi phân sau a) (1 + ex )yy ′ = ex , thoả mãn y(0) = b) y ′ + sin(x + y) = sin(x − y) c) y ′ sin x = y ln y d) y ′ = + x−y e) xy ′ − y = y Bài Giải phương trình vi phân sau 1) xydx + (x + 1)dy 2) (x2 − 1)y ′ + 2xy = với y(0) = √ 3) y ′ = 4x + 2y − Bài Giải phương trình vi phân sau 1) 2x3 y ′ = y(2x2 − y ) 2) y + x2 y ′ = xyy ′ y+x x+3 x+3 √ 4) 2xy ′ + y = y x − x2 y 3) (y ′ + 1) ln y+x = Bài Giải phương trình vi phân sau 1) xy ′ − 2y = 2x4 2) (2x + 1)y ′ = 4x + 2y 3) x(y ′ − y) = ex 4) (2x2 y ln y − x)y ′ = y 276 Bài Giải phương trình vi phân sau 1) e−y dx − (2y + xe−y )dy = 2) (1 + y sin 2x)dx − 2y cos2 xdy = 3) (x2 + y + x)dx + ydy = 4) (x2 + ln y)ydx = xdy Bài Giải phương trình vi phân sau 1) y = 3xy ′ − 7y ′3 2) xy ′ − y = ln y ′ 3) y ′3 = 3(xy ′ − y) 4) xy ′ (y ′ + 2) = y Bài Giải phương trình vi phân sau 1) y ′2 + 2yy ′′ = 2) y ′′ + y ′2 = 2e−y 3) xyy ′′ − xy ′2 = yy ′ 4) y ′′2 ′ ′′ −yy = ( y )2 x Bài Giải phương trình vi phân sau 1) y ′′ + 4y ′ + 3y = 2) y ′′ − 4y ′ + 5y = 3) y ′′ + 4y = Bài Giải phương trình vi phân sau 1) y ′′ − 2y ′ − 3y = e4x 2) y ′′ + y ′ − 2y = 3xex 3) y ′′ − 4y ′ + 8y = e2x + sin 2x 4) y ′′ + 3y ′ − 4y = e−4x + xe−x Bài 10 Giải phương trình vi phân sau 1) x2 y ′′ − xy ′ + 2y = x ln x Giáo trình Giải tích 277 Giáo trình Giải tích 2) (2x + 1)2 y ′′ − 4(2x + 1)y ′ + 8y = −4(2x + 1) 1 3) y ′′ + y ′ + y = sin(ln x) x x Bài 11 Giải hệ phương trình vi phân sau     √ dy dy      = ex−y x = y + y − x2 dx a) dx b)   dz 2z dz y+z    =    = dx 2x − z dx z − x     dx x dx      =  =y y c) dt d) dt   dy y dy      = x  = dt x dt TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG [1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải Đinh Huy Hoàng (1998), Tốn cao cấp, Tập (Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng Trần Thanh Sơn (2004), Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng sinh viên Trường Đại học Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất ĐHQG-Hà nội [3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh [4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích tốn học, ví dụ toán, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, (2000), Tốn cao cấp, Tập 3, Nhà xuất Giáo dục