GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC NGÀNH KỸTHUẬT VÀ CÔNG NGHỆ)

đòi hỏi người học phải nắm vững các khái niệm cơ bản về số thực, dãy số, sự hội tụ của dãy số và các tính chất của chúng.. Vì vậy,chương này trình bày đại cương về số thực, dãy số, sự hộ

Tập hợp các số thực

Vì thời lượng không cho phép, chúng ta không đi sâu nghiên cứu việc xây dựng tập các số thực và các tính chất của nó Chúng ta công nhận sự tồn tại của tập các số thực và nhận biết tập các số thực qua những mô tả sau đây.

Như thường lệ, ta ký hiệu

Tập các số tự nhiên {0,1,2, } được ký hiệu là N.

Tập các số tự nhiên dương {1,2, } được ký hiệu là N ∗

Tập các số nguyên{ ,−2,−1,0,1,2, }được ký hiệu làZ Các số−1, −2, −3, −4, được gọi là các số nguyên âm.

Tập các số hữu tỷ

} được ký hiệu là Q Hai số hữu tỷ m n, r s được gọi là bằng nhau và viết m n = r s nếu ms= nr Người ta chứng minh được rằng mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là các số vô tỷ.

Tập hợp gồm các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực (nói gọn là tập số thực) và ký hiệu là R.

Các phép toán, thứ tự (các bất đẳng thức) trong tập số thực; khái niệm và tính chất của giá trị tuyệt đối đã được giới thiệu trong chương trình toán phổ thông, ở đây không trình bày lại, muốn tìm hiểu đầy đủ các vấn đề này cũng như việc xây dựng tập số thực và tính chất của nó bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1 Sau đây chúng ta trình bày một số tính chất của tập các số thực cần dùng về sau.

Trên tập các số thực R ta trang bị 2 phép toán cộng và nhân thỏa mãn các tính chất kết hợp, giao hoán, phân phối của phép nhân với phép cộng, phép cộng có phần tử không 0mà cộng với bất kỳ số thực x nào cũng bằng chính nó, phép nhân có phần tử đơn vị 1 mà nhân với bất kỳ số thực x nào cũng bằng chính nó, mỗi số thực có phần tử đối và mỗi số thực khác 0có phần tử nghịch đảo.

Mỗi số thực x ∈ R được đặt tương ứng với một số thực không âm duy nhất |x| và gọi là giá trị tuyệt đối của x được cho bởi

Trên tập các số thực Rta còn trang bị một thứ tự ≤ cho bởi

Cho một trục số ∆(Hình 1.1).

Chọn một điểm gốcO cố định trên ∆ Người ta có thể chứng minh rằng tương ứng

R ∋x7→M ∈∆ xác định như sau: a) Độ dài của đoạn OM là|x|, b)M ở bên phải điểm gốc O nếu x >0, ở bên trái nếux y với mọi x ∈A Khi đó ta còn nói A bị chặn dướibởi y.

3)Alàbị chặnnếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới tức là tồn tạiy, z ∈ R sao cho y6x6z ∀x∈A.

1.3.2 Ví dụ 1) Cho A={1−x 2 :x∈ R } Khi đó 1 là cận trên của A.

2) Cho A={x 2 −1 :x∈ R , x̸= 0} Khi đó −1 là cận dưới của A.

} Khi đó0 là cận dưới của A và 1 là cận trên của

1.3.3 Định nghĩa Giả sử A⊆ R và A̸=ϕ.

1) Số nhỏ nhất (nếu tồn tại là duy nhất) trong các cận trên của A gọi là cận trên đúng của A và viết là supA hay sup x ∈ A x.

2) Số lớn nhất (nếu tồn tại là duy nhất) trong các cận dưới củaAgọi làcận dưới đúng của A và viết là infA hayinf x ∈ A x.

1.3.4 Nhận xét a) Hiển nhiên supA là cận trên của A và infA là cận dưới của

A. b) y = supA khi và chỉ khi x 6 y ∀x∈ A và với mọi ε > 0 tồn tại x ε ∈ A sao cho y−ε < x ϵ y = infA khi và chỉ khi x >y ∀x∈ A và với mọi ε > 0 tồn tại x ε ∈A sao cho x ϵ < y+ε. c) −supA= inf(−A), −infA= sup(−A).

1.3.5 Ví dụ 1) Cho A={1−x 2 :x∈ R } Ta thấy 2và 3đều là cận trên của A.

Tuy nhiên cận trên đúng của Alà 1 Thật vậy, rõ ràng 1là cận trên của A Ta cần chứng minh 1 là cận trên nhỏ nhất Giả sửa 0 với mọi n= 1,2, , nên 0là cận dưới của A Với mọi ε >0 nếu chọn n 0 [1 ε

] + 1∈ N trong đó[x] ký hiệu là phần nguyên của số thực x thì x ε = 1 n 0 ∈ A và x ε < ε Vậy infA= 0. Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện để một tập là có cận trên đúng hoặc cận dưới đúng Chứng minh định lý này có thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2],

1.3.6 Định lý (Nguyên lý supremum) Cho A⊆ R và A̸=ϕ.

1) Nếu A bị chặn trên thì A có cận trên đúng.

2) Nếu A bị chặn dưới thì A có cận dưới đúng.

1.3.7 Định nghĩa Cho a, b∈ R với a6b Đặt

Tập thứ nhất được gọi là đoạn, tập thứ hai và thứ ba gọi là nửa đoạn, tập cuối gọi làkhoảng với hai đầu mút là a và b.

Giả sử a ∈ R và δ > 0 Khoảng (a−δ, a+δ) được gọi là δ-lân cận bán kính δ của a.

1.3.8 Định lý (Bổ đề các đoạn lồng nhau) Nếu {[a n , b n ]} là dãy các đoạn lồng nhau giảm dần, tức là

1.3.9 Định lý Nếuα và β là hai số thực và α < β thì tồn tại số hữu tỷ r sao cho α < r < β.

1.3.10 Chú ý 1) Định lý 1.3.9 nói lên tính trù mật của tập số hữu tỷ trong tập các số thực và cho thấy rằng giữa hai số thực có vô số số hữu tỷ nằm giữa chúng.

2) Muốn tìm hiểu chứng minh Định lý 1.3.9 chúng ta có thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

1.3.11 Định nghĩa Nếu A⊆ R, A̸=ϕ không bị chặn trên hoặc +∞ ∈ A thì ta coi supA= +∞.

Cũng như vậy nếu A ⊆ R, A ̸=ϕ không bị chặn dưới hoặc −∞ ∈ A thì ta coi infA=−∞.

2 Giới hạn của dãy số

Các khái niệm và tính chất cơ bản của dãy số hội tụ

2.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp tuỳ ý Một ánh xạ u : N ∗ → X được gọi là một dãy trong X.

Nếu X = R thì dãy trong R gọi là dãy số Bằng cách đặt u n =u(n), n∈ N ∗ , dãy u có thể viết là u 1 , u 2 , , u n , hay viết gọn {u n } ∞ n=1 hoặc {u n }.

Một phần tử của dãy được gọi làsố hạng của dãy Phần tử u n được gọi làsố hạng thứ n của dãy.

Dãy được gọi là vô hạn nếu u(N ∗ ) là tập vô hạn Nói chung ta thường xét dãy là vô hạn Khi u n ̸=u m với mọin ̸=m dãy {u n } được gọi là dãy phân biệt.

2.1.2 Ví dụ 1) Ánh xạ u: N ∗ → R xác định bởi u(n) = n

1 +n 2 với mọi n ∈ N ∗ là một dãy số Dãy này là vô hạn Ta còn viết dãy này là

2) Ánh xạ u :N ∗ → R xác định bởi u(n) = (−1) n với mọi n ∈ N ∗ là một dãy số Dãy này chỉ gồm hai phần tử là ±1.

Về sau người ta còn cho một dãy số bởi công thức xác định số hạng tổng quát của nó là u n =u(n), n= 1,2, Chẳng hạn, cho dãy số u n = n

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm quan trọng nhất liên quan đến dãy số là khái niệm giới hạn dãy số.

2.1.3 Định nghĩa Cho dãy số {u n } ⊂ R Nếu tồn tạia ∈ Rsao cho

∀ε >0∃n 0 =n 0 (ε)∀n > n 0 :|u n −a|< ε thì ta nói a làgiới hạn của dãy {u n } và {u n } gọi là hội tụ tới a Lúc đó, ta viết a= lim n →∞ u n hay u n →a khi n → ∞.

Một dãy có giới hạn trong R được gọi là dãy hội tụ Các trường hợp còn lại gọi là dãy phân kỳ.

} hội tụ đến 0, bởi vì với mọi ε >0nếu ta lấyn 0 [1 ε

] ta sẽ có 1 n < ε, trong đó

} hội tụ tới 1 Thật vậy, với mọi ε >0 ta có n+ 1 n−1 −1= 2 n−1 < ε với mọin > n 0 [2 ε

2.1.5 Định lý Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Chứng minh Trước hết, ta chú ý rằng nếu|a 1 −a 2 |< ε với mọi ε >0 thì a 1 =a 2

Thật vậy, giả sử a 1 ̸=a 2 Khi đó nếu lấy ε= |a 1 −a 2 |

2 >0 thì |a 1 −a 2 |> ε Điều này mâu thuẫn với |a 1 −a 2 |< ε với mọiε Vậy a 1 =a 2

Bây giờ, nếu {u n } có giới hạn là a 1 và a 2 Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.3, với ε >0bé tùy ý

Khi đó, vớin 0 >max{n 1 , n 2 } ta có

Từ chứng minh trên ta suy ra a 1 =a 2

2.1.6 Định nghĩa Dãy số {u n } ⊂ R được gọi là bị chặn trênnếu tồn tại M ∈ R sao cho u n 6M, ∀n>1.

Dãy {u n } ⊂ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m∈ R sao cho u n >m, ∀n >1.

Dãy{u n } vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn Như vậy dãy {u n } bị chặn khi và chỉ khi sup n > 1 |u n | M.Tương tự dãy này cũng không bị chặn dưới. Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa dãy hội tụ và dãy bị chặn.

2.1.8 Định lý Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh Giả sử lim n →∞ u n = a ∈ R Khi đó từ Định nghĩa 2.1.3 tồn tại n 0 sao cho

|u n −a| n 0 Đặt M = max{|u 1 |,|u 2 |, ,|u n 0 |,|a|+ 1} Ta nhận được |u n | 6 M ∀n > 1 Vậy

2.1.9 Chú ý Điều ngược lại của định lý nói chung không đúng Dãy {(−1) n } bị chặn nhưng không hội tụ.

2.1.10 Định nghĩa Cho hai dãy số {u n } và {v n } Khi đó các dãy {u n +v n },

{u n −v n },{u n v n }và u n v n ,(v n ̸= 0)lần lượt được gọi là dãy tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy trên. Định lý sau nói về các phép toán của dãy hội tụ Bạn đọc có thể xem chứng minh trong tài liệu tham khảo [2], [3].

2.1.11 Định lý Giả sử {u n } và {v n } là các dãy hội tụ Khi đó các dãy tổng, hiệu và tích của chúng cũng hội tụ và n lim →∞ (u n +v n ) = lim n →∞ u n + lim n →∞ v n ; n lim →∞ (u n −v n ) = lim n →∞ u n − lim n →∞ v n ; n lim →∞ (u n v n ) = lim n →∞ u n lim n →∞ v n

Nếu lim n →∞ v n ̸= 0 thì n lim →∞ u n v n n lim →∞ u n n lim →∞ v n

Từ Định nghĩa 2.1.3 và bất đẳng thức

|x| − |y|6|x−y|, ∀x, y ∈ R ta có ngay định lý sau.

2.1.12 Định lý Nếu lim n →∞ u n =a thì lim n →∞ |u n |=|a|.

2.1.13 Chú ý 1) Chiều ngược lại của định lý là không đúng Chẳng hạn lim n →∞ |(−1) n | 1nhưng không tồn tại lim n →∞ (−1) n

2) Nếu a= 0 thì chiều ngược lại của định lý vẫn đúng, tức là lim n →∞ u n = 0 khi và chỉ khi lim n →∞ |u n |= 0.

Các định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của dãy số hội tụ Bạn đọc có thể xem chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

2.1.14 Định lý Cho {u n } là dãy hội tụ.

1) Nếu u n >α với mọi n đủ lớn, tức là tồn tại n 0 ∈ N sao cho u n >α với mọi n>n 0 thì lim n →∞ u n >α Ngược lại, nếu lim n →∞ u n > α thì u n > α với mọi n đủ lớn.

2) Nếu u n 6β với mọi n đủ lớn thì lim n →∞ u n 6β Ngược lại, nếu lim n →∞ u n < β thì u n > β với mọi n đủ lớn.

2.1.15 Định lý (Nguyên lý kẹp) Cho {u n }, {v n } là hai dãy số hội tụ, lim n →∞ u n n lim →∞ v n =a và dãy số {w n } Nếu khi n đủ lớn ta có u n 6w n 6v n thì {w n } hội tụ và lim n →∞ w n =a. Định lý trên có nhiều ứng dụng trong việc tìm giới hạn của dãy số.

2.1.16 Ví dụ 1) Tìm giới hạn lim n →∞ sinn n

Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu, số e

Trong mục này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy đơn điệu.

2.2.1 Định nghĩa Dãy số{u n }được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng,tăng ngặt) nếu u n 6u n+1 (tương ứng, u n < u n+1 ) ∀n>1.

Dãy số{u n }được gọi là đơn điệu giảm(tương ứng, giảm ngặt) nếu u n >u n+1 (tương ứng, u n > u n+1 ) ∀n>1.

Dãy đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Định lý sau đưa ra điều kiện đủ để dãy đơn điệu là hội tụ.

2.2.2 Định lý 1) Nếu dãy {u n } đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và n lim →∞ u n = sup n u n

2) Nếu dãy {u n } đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và n lim →∞ u n = inf n u n

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 1.

2.2.3 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của dãy số {u n }, u n = 1 + 1

(n+ 1) 2 >0 ∀n nên dãy {u n }đơn điệu tăng Mặt khác u n = 1 + 1

= 2− 1 n n+1 √ x 1 x 2 x n x n+1

Vậy u n+1 > u n ∀n hay {u n }là dãy tăng.

Tiếp theo ta chứng minh {u n } bị chặn trên Dùng khai triển nhị thức Newton ta có (

) n } là một dãy tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Ta đặt e= lim n →∞

Người ta chứng minh được số e là số vô tỷ và tính được giá trị gần đúng của nó: e≈2,718281

Tiêu chuẩn Cauchy

Trong mục này chúng ta trình bày nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của dãy số.

2.3.1 Định nghĩa Dãy số {u n } được gọi là dãy cơ bản (hay là dãy Cauchy) nếu với mọiε >0 cho trước, tồn tạin 0 ∈ Nsao cho

Hay một cách tương đương với mọi ε >0cho trước, tồn tại n 0 ∈ N sao cho

|u n+p −u n |< ε ∀n > n 0 ,∀p∈ N Định lý sau là nguyên lý Cauchy về tính đầy đủ của R.

2.3.2 Định lý (Nguyên lý Cauchy) Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi dãy số đó là dãy cơ bản.

2.3.3 Ví dụ 1) Khảo sát sự hội tụ của dãy u n = 1 + 1

Do đó dãy này không phải là dãy Cauchy Theo Định lý 2.3.2 nó là dãy phân kỳ.

2) Khảo sát sự hội tụ của dãy u n = cos 1

Do đó với mọi ε >0 ta có

] và p∈ N Vậy {u n } là dãy Cauchy và do đó{u n }hội tụ.

Trong phần tiếp theo của mục này chúng tôi giới thiệu một số nguyễn lý khác về sự hội tụ của dãy số.

2.3.4 Định nghĩa ChoX ⊂ R , X ̸=ϕlà một tập hợp tuỳ ý và dãy{u n } ∞ n=1 ⊂X.

Nếu n 1 < n 2 < < n k < là một dãy tăng ngặt các số tự nhiên thì dãy u n 1 , u n 2 , , u n k , gọi là dãy concủa dãy {u n } ∞ n=1.

Mệnh đề sau nói lên mối quan hệ giữa sự hội tụ của dãy và các dãy con của nó mà chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].

2.3.5 Định lý Nếu dãy {u n } hội tụ và lim n →∞ u n =a thì mọi dãy con {u n k } của nó cũng hội tụ và lim k →∞ u n k =a.

Tiếp theo, chúng ta trình bày nguyên lý Bolzano-Weierstrass mà người ta còn gọi là nguyên lý compact địa phương.

2.3.6 Định lý (Nguyên lý Bolzano-Weierstrass) Mỗi dãy bị chặn trong R có một dãy con hội tụ.

2.3.7 Định nghĩa Dãy các đoạn [a n , b n ] trong R được gọi là dãy các đoạn thắt nếu [a n+1 , b n+1 ]⊂[a n , b n ] với mọin >1 và lim n →∞ (b n −a n ) = 0. Định lý sau là nguyên lý Cantor cho dãy các đoạn thắt trong R.

2.3.8 Định lý Nếu {[a n , b n ]} là dãy các đoạn thắt trong R thì chúng có một điểm chung duy nhất.

Trong phần cuối của mục này chúng tôi trình bày về giới hạn trên, giới hạn dưới và một số tính chất cơ bản của chúng Trước hết, ta định nghĩa khái niệm giới hạn riêng của dãy.

2.3.9 Định nghĩa Cho dãy số {u n } Nếu có một dãy con{u n k } của {u n } hôi tụ và lim k →∞ u n k =a thì a được gọi là giới hạn riêngcủa {u n }.

2.3.10 Nhận xét 1) Một dãy số có thể có nhiều giới hạn riêng khác nhau Chẳng hạn dãy số u n = (−1) n có các giới hạn riêng là −1và 1.

2) Theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, mọi dãy số bị chặn {u n }tồn tại ít nhất một giới hạn riêng.

2.3.11 Định lý Mỗi dãy bị chặn luôn có giới hạn riêng lớn nhất và giới hạn riêng nhỏ nhất.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].

Từ định lý này ta có định nghĩa sau.

2.3.12 Định nghĩa Cho {u n }là một dãy số bị chặn Giới hạn riêng lớn nhất của

{u n } được gọi là giới hạn trên của nó và ký hiệu lim n →∞ u n

Giới hạn riêng bé nhất của {u n } được gọi là giới hạn dưới của nó và ký hiệu n→∞ lim u n

2 là các giới hạn riêng của {u n } Mặt khác

Từ định nghĩa giới hạn trên, giới hạn dưới và các tính chất của cận trên đúng và cận dưới đúng ta có định lý sau Chứng minh của nó dành cho bạn đọc.

2.3.14 Định lý Cho {u n } và {v n } là các dãy số bị chặn Khi đó

3) − lim n →∞ u n = lim n →∞ (−u n ). Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để một dãy số hội tụ.

2.3.15 Định lý Điều kiện cần và đủ để dãy số hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới của nó tồn tại và bằng nhau.

2.3.16 Chú ý Nếu dãy{u n }không bị chặn trên thì ta đặt lim n →∞ u n = +∞.

Nếu dãy {u n } không bị chặn dưới thì ta đặt lim n →∞ u n =−∞.

Giới hạn vô hạn

Trong các mục trước, ta xét giới hạn hữu hạn của các dãy số Tuy nhiên đường thẳng thực R có hai hướng xác định vì vậy ta có thể xét giới hạn theo hai hướng này.

2.4.1 Định nghĩa Cho dãy số {u n } Nếu với mọi số M > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao choa n > M với mọi n > n 0 thì ta nói dãy {u n } có giới hạn là dương vô cùngvà ký hiệu lim n →∞ u n = +∞.

Nếu với mọi số M > 0 tồn tại n 0 ∈ N sao cho a n n 0 thì ta nói dãy{u n }có giới hạn là âm vô cùng và ký hiệu lim n →∞ u n =−∞.

2.4.2 Nhận xét 1) Nếu lim n →∞ u n =−∞ hoặc lim n →∞ u n = +∞ thì dãy{u n } là phân kỳ.

2) Nếu dãy {u n } không bị chặn trên thì tồn tại một dãy con {u n k } của nó có giới hạn là dương vô cùng Vì vậy dãy không bị chặn trên có thể xem có giới hạn riêng là+∞.

Tương tự, dãy không bị chặn dưới xem là có giới hạn riêng là −∞.

3) Ta dễ dàng chứng minh được nếu dãy {u n } đơn điệu tăng và không bị chặn trên thì lim n →∞ u n = +∞ Và nếu dãy {u n } đơn điệu giảm và không bị chặn dưới thì n lim →∞ u n =−∞.

2.4.3 Chú ý Nếu dãy{u n }không bị chặn trên thì chưa thể kết luận lim n →∞ u n = +∞.

Chẳng hạn, dãy u n = (−1) n n không bị chặn trên bởi vì với mọi M > 0 tồn tại n = 2k sao cho u 2k = 2k > M Tuy nhiên, từ u 2k+1 =−(2k+ 1) f(x 2 )).

3) Hàm số đơn điệu tăng (ngặt) hoặc đơn điệu giảm (ngặt) được gọi chung là hàm số đơn điệu (ngặt).

1.1.9 Ví dụ 1) Hàm số f(x) =x+ 1 tăng ngặt trênR Hàm số g(x) =x 2 tăng ngặt trên [0,+∞), giảm ngặt trên(−∞,0] Hàm số Dirichlet

1 nếu x /∈ Q là hàm không tăng và không giảm trên R.

1 nếu 0< x62 x−1 nếu x >2 là hàm đơn điệu tăng trên R, nhưng không tăng ngặt trênR

1.1.10 Định nghĩa 1) Hàm số f được gọi là bị chặn trên trên tập D ⊂ R nếu tồn tại số M sao cho f(x)6M,với mọi x∈D.

2) Hàm số f được gọi là bị chặn dướitrên tập D⊂ R nếu tồn tại sốm sao cho f(x)>m, với mọi x∈D.

3) Hàm số f được gọi làbị chặn trên tậpD⊂ R nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới trên D.

Ta dễ dàng suy ra f bị chặn trên D khi và chỉ khi tồn tại M >0 sao cho

1.1.11 Ví dụ 1) Các hàm số f(x) = sinx, f(x) = cosx bị chặn trên R.

2 ) Hàm số f(x) = 1 xbị chặn dưới trên (0,+∞), nhưng không bị chặn trên trên khoảng này.

Một số loại hàm số đặc biệt

1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f có tập xác định là D f

1) Hàm số f được gọi là hàm chẵn nếu x∈ D f thì −x∈ D f và f(x) = f(−x), với mọix∈D f

2) Hàm số được gọi là hàm lẻ nếu x∈ D f thì −x ∈D f và f(−x) = −f(x), với mọi x∈D f

3) Hàm số được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỳ T nếu với mọi x ∈ D f mà x+T ∈D f thì f(x) = f(x+T), với mọi x∈D f

1.2.2 Ví dụ 1) Các hàm f(x) = sinx, f(x) = x 3 và f(x) = 1 x là hàm số lẻ trên tập xác định của nó.

2) Các hàm f(x) = cosx, f(x) = sin 2 x là hàm chẵn trên tập xác định của nó.

3) Hàm y = sinx tuần hoàn với chu kỳ 2π Hàm y = cos 4x tuần hoàn với chu kỳ π

1.2.3 Nhận xét 1) Cho hàm số f với đồ thị G f Nếuf là hàm số chẵn thì đồ thị

G f đối xứng qua trục Oy trong hệ toạ độ Descartes Nếu f là hàm số lẻ thì đồ thị

G f đối xứng qua gốc toạ độ Như vậy việc khảo sát hàm số chẵn, hoặc lẻ ta chỉ cần khảo sát trên tập {x>0} ∩D f

2) Từ định nghĩa suy ra rằng để khảo sát hàm tuần hoàn chỉ cần khảo sát trong một chu kỳ của nó.

Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm hàm số hợp và hàm số ngược.

1.2.4 Định nghĩa Cho X, Y và Z là các tập con của R và các hàm số f :X →Y, g :Y →Z.

Khi đó ánh xạF :X →Z được xác định bởi

F(x) =g(f(x)), ∀x∈X được gọi là hàm số hợp của g và f Ký hiệu F =g◦f.

1.2.5 Ví dụ Cho các hàm sốf(x) = 2x 2 + 1và g(x) = cosx Khi đó hàm số hợp của g và f là

1.2.6 Định nghĩa Cho f là một hàm số xác định trên tập X và có tập giá trị là Y =f(X) Giả sử f là một song ánh Khi đó ánh xạ ngược f − 1 :Y → X của f được gọi là hàm số ngược của hàm số f.

Từ định nghĩa trên suy ra nếu f − 1 là hàm số ngược của f thì f cũng là hàm số ngược của f − 1 Hàm số ngược của f : X →Y tồn tại khi và chỉ khi f là một song ánh Hơn nữa

Như vậy nếu f có hàm số ngược và M(x, y) thuộc vào đồ thị của của hàm f thì

M ′ (y, x)sẽ thuộc vào đồ thị củaf − 1 Mặt khác như chúng ta đã biết ở chương trình phổ thông là trong mặt phẳng R 2 với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc thì các điểm M và M ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y =x Do đó đồ thị của f và f − 1 đối xứng nhau qua đường thẳngy =x.

1.2.7 Ví dụ 1) Cho a >0 và a ̸= 1 Khi đó hàm số y = log a x là hàm số ngược của hàm số mũy=a x

2) Hàm số y=√ 3 x là hàm số ngược của hàm số y=x 3

3) Hàm số y = x 2 không có hàm số ngược trên R bởi vì nó không phải là một song ánh từ R vào tập giá trị của nó là [0,+∞) Tuy nhiên nếu chỉ xét nó trên

[0,+∞) thì nó có hàm ngược lày =√ x.

Các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm số sơ cấp

Trong mục này chúng ta trình bày các hàm số sơ cấp thường gặp trong giải tích.

1.3.1 Hàm luỹ thừa Cho α là một số thực khác không Hàm số f :R + → R + xác định bởi f(x) = x α được gọi là hàm luỹ thừa Hàm này có hàm ngược f − 1 :

R + → R + xác định bởif − 1 (x) =x α 1 Khi đó f − 1 cũng là hàm luỹ thừa.

Trong một số trường hợp đặc biệt của số mũ α người ta có thể mở rộng tập xác định của nó Tuy nhiên xác định sự tồn tại các hàm ngược của chúng là cần phải lưu ý Chẳng hạn:

Nếu α=n ∈ N là số tự nhiên thì f(x) =x n xác định trên R Tuy nhiên nếu n chẵn thì nó không có hàm ngược trên R. y x O y=√ x y=x 2

Nếu α=n là số nguyên âm thì f(x) = x n xác định trên R \ {0} Chẳng hạn f(x) = x − 3 = 1 x 3

Giả sử α= m n là số hữu tỷ Khi đó vì n >0, nên hàm f(x) =x m n còn được viết dưới dạng f(x) = √ n x m

Tập xác định của hàm này có thể mở rộng hay không là tuỳ thuộc vào tính chẵn hay lẻ của n và dấu của m.

1.3.2 Hàm số mũ Hàm số f :R → R + xác định bởi f(x) =a x (a > 0, a ̸= 1) làhàm số mũ cơ số a Nó là một song ánh từ R vàoR + và hàm ngược của nó như đã biết là hàm số logarit y= log a x.

1.3.3 Các hàm lượng giác và hàm ngược của nó Các hàm lượng giác sinx,cosx, tanx, cotanx chúng ta đã biết ở chương trình phổ thông ở đây chúng ta trình bày sơ lược cách xây dựng hàm ngược của chúng. i) Xét hạn chế của hàm y= sinx trên [−π

2]→[−1,1] là một song ánh Do đó nó tồn tại hàm số ngược , ký hiệu làarcsin arcsin : [−1,1]→[−π

Hàmy= arcsinx thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là sin(arcsinx) =x, ∀x∈[−1,1] và arcsin(sinx) =x, ∀x∈[−π

−1 O 1 y x π y=arccosx ii) Xét hạn chế của hàm y= cosx trên [0, π] Khi đó, hàm cos : [0, π]→[−1,1] là một song ánh Do đó nó tồn tại hàm ngược , ký hiệu là arccos arccos : [−1,1]→[0, π].

Hàmy= arccosx thoả mãn các hệ thức của hàm số ngược, tức là cos(arccosx) =x, ∀x∈[−1,1] và arccos(cosx) = x, ∀x∈[0, π]. iii) Xét hạn chế của hàm y= tanx trên (−π

2)→ R là một song ánh Do đó nó tồn tại hàm số ngược , ký hiệu làarctan arctan :R →(−π

Từ định nghĩa dễ thấy rằng tan(arctanx) = x, ∀x∈ R và arctan(tanx) = x, ∀x∈(−π

O y x π y=arccotanx y=arctanx iv) Xét hạn chế của hàmy = cotanx trên (0, π) Khi đó hàm cotan : (0, π)→ R là một song ánh Do đó nó tồn tại hàm ngược , ký hiệu là arccotan arccotan :R →(0, π).

Từ định nghĩa dễ thấy rằng cotan(arccotanx) =x, ∀x∈ R và arccotan(cotanx) = x, ∀x∈[0, π].

1.3.4 Định nghĩa 1) Các hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm lượng giác và các hàm ngược của chúng được gọi là cáchàm sơ cấp cơ bản.

2) Các hàm nhận được từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp được gọi là hàm số sơ cấp.

1.3.5 Các hàm hyperbolic Tiếp sau đây chúng ta đến với một lớp hàm sơ cấp còn được gọi là các hàmhyperbolic.

1) Hàm cosin hyperbolic là hàm chx= e x +e − x

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh được hàm ngược của hàm này trên R là y= ln(x+√ x 2 + 1).

2) Hàm sin hyperbolic là hàm shx= e x −e − x

Hàm này có hàm ngược xác định trên [1,+∞) và nhận giá trị trên [0,+∞) là y= ln(x+√ x 2 −1).

3) Hàm tan hyperbolic là hàm thx= shx chx = e x −e −x e x +e − x , x∈ R

4) Hàm cotan hyperbolic là hàm cothx= chx shx = e x +e − x e x −e − x , x∈ R

Bạn đọc tự chứng minh các tính sau của các hàm hyperbolic. sh(x+y) = shxchy+ chxshy; ch(x+y) = chxchy+ shxshy; sh(x−y) = shxchy−chxshy; ch(x−y) = chxchy−shxshy; ch 2 x−sh 2 x= 1; sh 2x= 2 shxchx; ch 2x= ch 2 x+ sh 2 x.

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Trong phần này nếu không giải thích gì thêm thì các hàm sẽ được hiểu là xác định trên X ⊂ R.

1.4.1 Định nghĩa Giả sử a∈ R, ε >0 Ta gọi khoảng (a−ε, a+ε) làε-lân cận của a, hay nói gọn là một lận cận của a và ký hiệu làB(a, ε) Tập U ⊂ R được gọi là một lân cận của điểm a nếu U chứa mộtε-lân cận B(a, ε) của điểm a.

Các tập {x ∈ R :x > ε} và {x ∈ R :x < −ε} lần lượt được gọi là lận cận của +∞ và −∞.

1.4.2 Định nghĩa ChoX ⊂ Rvàx 0 ∈ R Điểmx 0 được gọi làđiểm tụhay làđiểm giới hạn của tậpX nếu với mỗi lận cận U của điểm x 0 đều có U ∩(X\ {x 0 })̸=ϕ. Điểm x 0 ∈ X được gọi là điểm gọi là điểm cô lập của X nếu tồn tại lận cận U của x 0 sao cho U ∩X ={x 0 }, nghĩa là x 0 là điểm chung duy nhất của U và X.

1.4.3 Ví dụ 1) Mọi điểmx 0 ∈[a, b]đều là điểm tụ của (a, b) vì với mọiε-lân cân

2) Các điểm+∞ và −∞là điểm tụ của R vì với mọi α >0ta có

3) Mọi điểm của tập số số nguyên Zđều là điểm cô lập của nó bởi vì với mỗi n∈ Z tồn tại lân cận U = (n−1

2)là lân cận của n và Z ∩U ={n}.

1.4.4 Nhận xét Dễ dàng chứng minh được rằng, x 0 là điểm tụ củaX khi và chỉ khi tồn tại một dãy{x n } ⊂X sao cho x n ̸=x 0 với mọi n và x n →x 0

1.4.5 Định nghĩa Giả sử f : X → R và x 0 ∈ R là điểm tụ của X Hàm f được gọi là có giới hạn l ∈ R khi x tiến tới x 0 và viết lim x → x 0 f(x) = l hay f(x) → l khi x →x 0, nếu với mọi lân cận U của l tồn tại lân cận V của x 0 sao cho với mọi x∈X∩V mà x̸=x 0 thì f(x)∈U.

1.4.6 Chú ý Sử dụng Định nghĩa 1.4.1 về lân cận ta có thể phát biểu Định nghĩa 1.4.5 dưới dạng ngôn ngữ (ε, δ), chẳng hạn xét các trường hợp sau:

1) x 0 vàl hữu hạn Khi đó ta có a) lim x → x 0 f(x) = l ⇔ với mọiε >0đều tồn tại δ >0 sao cho với mọix∈X mà

0 0 đều tồn tại δ > 0sao cho với mọi x∈X mà

3) x 0 = +∞, l hữu hạn Khi đó ta có x → lim+ ∞ f(x) =l ⇔với mọi ε > 0tồn tại α > 0sao cho với mọi x ∈X mà x > α thì ta có |f(x)−l|< ε.

4) x 0 =−∞, l = +∞ Khi đó ta có x →−∞ lim f(x) = +∞ ⇔ với mọi α > 0 tồn tại β > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà x α.

Tương tự như trên, bạn đọc có thể phát biểu định nghĩa cho các trường hợp còn lại: x 0 = +∞, l = ±∞; x 0 hữu hạn, l = −∞; x 0 = −∞, l = −∞; và x 0 = −∞, l hữu hạn.

1.4.7 Ví dụ 1) Với mọi x 0 ∈ R ta có lim x → x 0 cosx= cosx 0

2 Như vậy với mọi ε >0nếu chọn δ= min{ε,π

2} thì với mọi xmà 00 nếu chọn δ √ 1 α thì 1 x 2 > α với mọi 0 0nếu chọn δ=ε thì với xmà 0 0 sao cho với mọi x ∈ X mà 0 < x 0 −x < δ (tương ứng

0< x−x 0 < δ) thì f(x)∈U Khi đó ta ký hiệu lim x → x − 0 f(x) = l (tương ứng lim x → x + 0 f(x) =l).

1.4.14 Ví dụ Xét hàm dấu signx Ta có lim x → 0 + signx= 1 và lim x → 0 − signx=−1.

2) Dễ dàng chứng minh được lim x → 0 +

1 x=−∞. Định lý sau được suy ra trực tiếp từ các Định nghĩa 1.4.5 và Định nghĩa 1.4.13.

1.4.15 Định lý Điều kiện cần và đủ để lim x → x 0 f(x) = l là lim x → x − 0 f(x) = lim x → x + 0 f(x) = l.

Các phép tính và các định lý cơ bản về giới hạn hàm

Trong mục này, giả thiết x 0 ∈ R là điểm tụ của X và các hàm số xác định trên X.

A Các phép tính về giới hạn hàm số

Cho f, g là các hàm xác định trên X và x 0 ∈ R là điểm tụ của X.

1.5.1 Định lý Giả sử lim x → x 0 f(x) =a, lim x → x 0 g(x) =b và một trong hai số a, b là hữu hạn Khi đó ta có

3) Nếu ab̸= 0 hoặc a, b đều hữu hạn, thì lim x → x 0 f(x)g(x) =ab.

Phần chứng minh của định lý dành cho bạn đọc.

1.5.2 Chú ý 1) Các kết quả trong định lý trên không thay đổi nếu ta thay giới hạn bởi giới hạn một phía.

2) Trong trường hợp cả a, b đều vô hạn ta chỉ xét cho một số trường hợp đặc biệt sau: i) Nếu lim x → x 0 f(x) = +∞, lim x → x 0 g(x) = +∞, thì lim x → x 0

[f(x) +g(x)] = +∞. ii) Nếu lim x → x 0 f(x) =−∞, lim x → x 0 g(x) =−∞, thì lim x → x 0

[f(x) +g(x)] =−∞. iii) Nếu lim x → x 0 f(x) = +∞ (tương ứng −∞), lim x → x 0 g(x) = +∞ (tương ứng −∞) thì lim x → x 0 f(x)g(x) = +∞.

3) Các trường hợp còn lại nói chung giới hạn là chưa thể xác định Người ta gọi chung là cácdạng vô định Chẳng hạn i) Xét f(x) = x và g(x) = 1 x 2 Khi đó lim x → 0 f(x) = 0, lim x → 0 g(x) = +∞ Nhưng x lim → 0 f(x)g(x) = lim x → 0

Trong khi, nếu chọn f(x) =x 3 và g(x) = 1 x 2 thì lim x → 0 f(x) = 0, lim x → 0 g(x) = +∞ và x lim → 0 f(x)g(x) = lim x → 0 x= 0. ii) Xét f(x) =− 1 x 2 +x 2 và g(x) = 1 x 2 Khi đó x lim → 0 f(x) =−∞, lim x → 0 g(x) = +∞ và lim x → 0[f(x) +g(x)] = lim x → 0 x 2 = 0.

Trong khi, nếu chọn f(x) =− 1 x 2 và g(x) = 1 x 2 + 1 x 4 thì x lim → 0 f(x) =−∞, lim x → 0 g(x) = +∞ và x lim → 0[f(x) +g(x)] = lim x → 0

4) Một vài giới hạn đặc biệt. a) lim x → 0 sinx x = 1, b) lim x → 0 ln(1 +x) x = 1, c) lim x → 0 e x −1 x = 1.

B Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số

Các định lý sau đây chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

1.5.3 Định lý Nếu lim x → x 0 f(x) = l thì lim x → x 0 |f(x)|=|l|.

1.5.4 Chú ý Chiều ngược lại của định lý trên nói chung là không đúng Chẳng hạn lim x → 0 |signx|= 1 nhưng lim x → 0signxlà không tồn tại Tuy nhiên bạn đọc có thể tự chứng minh được , nếu lim n → x 0

1.5.5 Định lý Nếu lim x → x 0 f(x) = l và l hữu hạn thì tồn tạiδ > 0sao cho f bị chặn trên

1.5.6 Định lý Nếu lim x → x 0 f(x) = l và A < l < B với A, B ∈ R thì tồn tại δ-lân cận của x 0 sao cho

1.5.7 Chú ý Đặc biệt, nếu lim x → x 0 f(x) = l > 0 thì tồn tại δ lân cận U của x 0 sao cho f(x)>0 với mọix∈X∩U và x̸=x 0

1.5.8 Định lý Nếu lim x → x 0 f(x) =l và tồn tại lận cậnU củax 0 sao choα < f(x)< β với mọi x∈U ∩X, x̸=x 0 thì α 6l6β.

1.5.9 Định lý Cho lim x → x 0 f(x) = l và lim x → x 0 g(x) = l ′ Nếu l > l ′ thì tồn tại lận cận

U của x 0 sao cho f(x)> g(x) với mọi x∈U ∩X, x̸=x 0

Từ Định lý 1.5.9 ta nhận được hệ quả sau:

1.5.10 Hệ quả Cho f và g là các hàm xác định trong lân cận U điểm x 0 và f(x)>g(x), ∀x∈U Nếu lim x → x 0 f(x) = l và lim x → x 0 g(x) =l ′ thì l>l ′ Định lý sau đây thường được dùng để tìm giới hạn của hàm số, nó còn được gọi là nguyên lý kẹp.

1.5.11 Định lý Cho lim x → x 0 f(x) = lim x → x 0 g(x) = l (l hữu hạn) Nếu tồn tại lận cận

U của x 0 sao cho f(x)6h(x)6g(x) với mọi x∈U ∩X, x̸=x 0 thì lim x → x 0 h(x) = l.

1.5.12 Ví dụ 1) Chứng minh lim x → 0 x n sin 1 x m = 0 (n >0, m >0).

Vì vậy từ lim x → 0 |x n |= 0 ta có lim x → 0 x n sin 1 x m

=e. a) Đầu tiên ta chứng minh cho x → +∞ Với mọi x > 0 tồn tại n ∈ N sao cho n6x6n+ 1.

Mặt khác ta có n lim →∞

Vì nếu x→+∞ thì n → ∞ nên lim x → + ∞

=e b) Khi x→ −∞ bằng cách đặt x=−(t+ 1) ta có t =−(x+ 1) Khi đó nếu x→ −∞, thì t→+∞và nhờ chứng minh a) ở trên ta có x →−∞ lim

Cũng như trong giới hạn dãy số, định lý sau đây còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy về sự tồn tại giới hạn hàm số

1.5.13 Định lý Điều kiện cần và đủ để lim x → x 0 f(x) =l hữu hạn là với mọiε-lận cận

U của 0 tồn tạiδ-lân cận V của x 0 sao cho f(x)−f(x ′ )∈U với mọi x, x ′ ∈V ∩X, x̸=x 0 và x ′ ̸=x 0

Các dạng vô định, đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn

A Đại lượng vô cùng bé

1.6.1 Định nghĩa Cho A ⊂ R, x 0 là điểm tụ của A và f : A → R Ta nói f là vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x→x 0 nếu lim x→x 0 f(x) = 0.

1.6.2 Ví dụ f(x) = sinx là vô cùng bé khix→0 bởi vì lim x→0sinx= 0. f(x) = 1 x là vô cùng bé khix→ ±∞ bởi vì lim x →±∞

1 x= 0. Định lý sau đưa ra một số tính chất của VCB.

1.6.3 Định lý 1) Cho f, g là các VCB khi x → x 0 Khi đó, f ±g và f g là các VCB khi x→x 0

2) Giả sử f là VCB khi x →x 0 và g là một hàm bị chặn trong lân cận nào đó của x 0 trừ x 0 , tức là tồn tại r >0 và M >0 sao cho

|g(x)|< M ∀x∈ {x∈A: 0 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà

Hàm số không liên tục tại x 0 được gọi là gián đoạn tại x 0

Hàm số được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.

2.1.2 Ví dụ 1) Từ định nghĩa trên trực tiếp suy ra hàm hằngf(x) =c- hằng số, với mọix∈ R là hàm hiên tục trên R.

2) Cho c là một hằng số khác 0 và f :R → R là hàm được cho bởi f(x) =cx, x∈ R Khi đó, hàm f liên tục tại mỗi điểmx 0 ∈ R Thậy vậy, với mọi ε >0 chọn δ= ε

|c| thì với mọi x∈ R mà |x−x 0 |< δ ta có

2.1.3 Chú ý 1) Từ định nghĩa 1.4.2 về điểm cô lập suy ra rằng hàm sốf :X → R là liên tục tại mọi điểm cô lập của X Do đó, từ nay về sau nếu không giải thích gì thêm thì khi nói tới tính liên tục của một hàm số tại một điểm nào đó thì giả thiết điểm đó không phải là điểm cô lập.

2) Nếu x 0 không phải là điểm cô lập của X thì từ Định nghĩa 2.1.1 và Chú ý

1.4.6 suy ra rằng hàm số f liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim x → x 0 f(x) = f(x 0 ). Định lý sau suy ra từ Định lý 1.4.10 và Chú ý 2.1.3.

2.1.4 Định lý Hàm f : X → R liên tục tại x 0 ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy {x n } ⊂X và x n →x 0 thì f(x n )→f(x 0 ). Định lý sau nói lên tính liên tục của hàm số hợp.

2.1.5 Định lý Cho A, B ⊂ R Giả sử f :A→B liên tục tạix 0 ∈Avà g :B → R liên tục tại y 0 =f(x 0 )∈B Khi đó hàm số hợp g◦f :A→ R liên tục tại x 0 Định lý sau nói lên sự tồn tại và liên tục của hàm số ngược.

2.1.6 Định lý Cho hàm số f tăng ngặt và liên tục trên(a, b) ĐặtA = inf x ∈ (a,b) f(x) và B = sup x ∈ (a,b) f(x) Khi đó hàm ngược x= f − 1 (y) là tồn tại, liên tục và tăng ngặt trên (A, B).

2.1.7 Nhận xét Định lý trên vẫn đúng khi thay tăng ngặt bởi giảm ngặt hoặc (a, b) bởi [a, b].

Chứng minh của 2 định lý trên, bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

2.1.8 Định nghĩa Cho hàm số f : A → R và x 0 ∈ A (không là điểm cô lập).

Hàm số f được gọi là liên tục phải tại x 0 ∈A nếu lim x → x + 0 f(x) = f(x 0 ).

Hàm số được gọi là liên tục trái tại x 0 ∈A nếu lim x → x − 0 f(x) =f(x 0 ).

Từ Định lý 1.4.15 và Chú ý 2.1.3 ta có ngay định lý sau.

2.1.9 Định lý Hàm số f : A → R liên tục tại x 0 ∈A khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại x 0

2.1.10 Ví dụ Xét hàm sốf(x) = [x],với mọix∈A,ở đây[x]là phần nguyên của x.

Tại các điểm x 0 =n∈ Z ta có lim x → n − f(x) =n−1, và lim x → n + f(x) = n. và f(n) = n Như vậy hàm liên tục phải tại x 0 = n nhưng không liên tục trái tại x 0 = n Kéo theo hàm không liên tục tại các điểm nguyên Rõ ràng tại các điểm không nguyên thì hàm số liên tục.

2.1.11 Định nghĩa (Phân loại điểm gián đoạn) Cho f : [a, b]→ R vàx 0 ∈[a, b] là điểm gián doạn của f Điểm x 0 được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu x 0 ∈(a, b) và tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải củaf tại x 0 và các giới hạn này là hữu hạn. Điểmx 0 =ađược gọi làđiểm gián đoạn loại I nếu giới hạn phải củaf tại x 0 =a là hữu hạn. Điểmx 0 =b được gọi làđiểm gián đoạn loại I nếu giới hạn trái củaf tại x 0 =b là hữu hạn.

Một điểm không phải là điểm gián đoạn loại I được gọi là điểm gián đoạn loạiII.

2.1.12 Ví dụ 1) Hàm sốf(x) = [x]với mọix∈ Rgián đoạn tại các điểm nguyên n ∈ Z Vì lim x → n − f(x) = n−1 và lim x → n + f(x) = n, nên các điểm nguyên n là điểm gián đoạn loại I củaf.

1 nếu x hữu tỷ là hàm gián đoạn loại II tại mọi điểm.

Thật vậy, giả sử x 0 ∈ R Khi đó, từ tính trù mật của tập số thực suy ra tồn tại dãy {r n } các số vô tỷ và dãy {q n } các số hữu tỷ sao cho q n , r n < x 0 với mọi n ≥ 1 và q n → x 0, r n → x 0 khi n → ∞ Khi đó, ta có lim n→∞ D(q n ) = 1 trong khi n lim →∞ D(r n ) = 0 Vì vậy không tồn tại giới hạn trái lim x → x − 0

Tương tự ta chứng minh được không tồn tại giới hạn phải lim x→x + 0

Tính liên tục của các hàm sơ cấp

Ta dễ dàng chứng minh được rằng các hàm đa thức, phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó Người ta cũng chứng minh được sự liên tục của hàm số mũ (xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2).

Vì vậy từ định nghĩa các hàm số sơ cấp, các định lý về tính liên tục của hàm số hợp và hàm số ngược ta có định lý sau.

2.2.1 Định lý Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó.

2.2.2 Ví dụ 1) Hàm số sin[ln(1 +√

3) Hàm số x 2 −9 x 2 −3x liên tục tại mọi x̸= 0 và x̸= 3.

Các định lý cơ bản về hàm số liên tục trên một đoạn

Trong mục này chúng ta trình bày những tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một đoạn Định nghĩa sau là cụ thể hoá định nghĩa tổng quát về tính liên tục cho hàm số xác định trên một đoạn

2.3.1 Định nghĩa Cho hàm số f : [a, b] → R Hàm số được gọi là liên tục trên

[a, b] nếu nó liên tục trên (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.

Sau đây là một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn.

2.3.2 Định lý Cho f : [a, b]→ R là hàm liên tục trên [a, b] Khi đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b] Nói cách khác, tồn tại u, v ∈[a, b] sao cho max x ∈ [a,b] f(x) = f(u); min x ∈ [a,b] f(x) = f(v).

2.3.3 Định lý Cho f : [a, b]→ R là hàm liên tục trên [a, b] Nếu f(a)f(b) 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ A mà

2.4.2 Nhận xét 1) Từ định nghĩa hàm liên tục đều suy ra nếu hàm số liên tục đều trên A thì nó liên tục trên A, điều ngược lại là không đúng.

2) Ta có thể chứng minh được rằng hàm sốf liên tục đều trênAkhi và chỉ khi với mọi dãy {x n } ⊂A,{y n } ⊂A mà |x n −y n | →0 khin → ∞ thì |f(x n )−f(y n )| →0 khi n→ ∞.

3) Từ Định nghĩa 2.4.1 ta suy ra rằng hàm số f không liên tục đều trên A khi và chỉ khi tồn tại số ε 0 > 0 sao cho với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, tồn tại x n ∈ A và y n ∈A sao cho|x n −y n | →0khi n→ ∞, nhưng ta có|f(x n )−f(y n )| ≥ε 0 với mọi n≥1.

2.4.3 Ví dụ 1) Hàm số f(x) = x+ sinx liên tục đều trênR.

2 Khi đó, nếu x, y ∈ R mà |x−y|< δ thì

2) Hàm số f(x) = x 2 không liên tục đều trênR Thật vậy, Với mội số tự nhiên n≥1 ta lấy x n =n+ 1 n, y n =n Khi đó ta có {x n } ⊂ R, {y n } ⊂ R Hơn nữa

Vậy f không liên tục đều trên R.

Lưu ý rằng hàm số f(x) =x 2 liên tục trên R nhưng không liên tục đều trên R. Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để hàmf liên tục là liên tục đều.

2.4.4 Định lý (Cantor) Cho hàm số f : [a, b] → R Nếu hàm f liên tục trên

[a, b], thì nó liên tục đều trên đoạn đó.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 2.

Giới hạn dạng lim x→a ( u(x) ) v(x)

Giả sử tồn tại các giới hạn lim x → a u(x) = A > 0 và lim x → a v(x) = B (A, B có thể nhận giá trị vô hạn) Nhờ tính liên tục của hàm số mũ và hàm logarit ta có x lim → a lnf(x) = ln

Vì thế, ta suy ra

= lim x → a e v(x) lnu(x) =e x lim → a v(x) ln u(x) =e B ln A =A B

2) Nếu 0< A < 1 và B = +∞, thì lnA < 0 Do đó, lim x→a v(x) lnu(x) = −∞ Vì vậy x lim → a

3) Nếu 0< A < 1 và B = −∞, thì lnA 1 và B = +∞, thì lnA >0 Vì vậy x lim → a

= lim x → a e v(x) ln u(x) =e x→a lim v(x) ln u(x) =e ln A x→a lim v(x) = +∞.

5) Nếu A >1 và B =−∞, thì lnA >0 Vì vậy x lim → a

6) Nếu A= 1 và B =±∞, thì ta biến đổi như sau

Nếu đặt α(x) =u(x)−1thì lim x→a α(x) = 0 Khi đó, x lim → a

2.5.1 Ví dụ 1) Tìm giới hạn lim x →∞

Ta có u(x) = x 2 + 1 x 2 −2 và v(x) =x 2 Do đó x lim →∞ u(x) = lim x →∞ x 2 + 1 x 2 −2 = 1.

B Một số giới hạn đặc biệt

Trong chương trình phổ thông chúng ta đã được làm quen với một số giới hạn quan trọng như: x lim → 0 sinx x = 1; lim x → 0 e x −1 x = 1; lim x → 0 ln(1 +x) x = 1 và lim x →∞

=e Sử dụng tính liên tục của hàm số chúng ta còn chứng minh một số giới hạn quan trọng sau:

Như vậy khi x→0 ta còn có thể viết

2.5.2 Ví dụ Tìm giới hạn lim x → 0

CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 2

1) Phát biểu định nghĩa giới hạn lim x → x 0 f(x) = l theo ngôn ngữ (ε, δ) cho tất cả các trường hợp Các tính chất của giới hạn hàm Các phép toán về giới hạn hàm. Các phương pháp tìm giới hạn của một hàm số (Chú ý các trường hợp giới hạn tại vô cực và giới hạn là vô cực).

2) Các khái niệm hàm liên tục, điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn Các tính chất của hàm liên tục Các phép toán trên các hàm liên tục Mối liên hệ giữa tính liên tục và tính bị chặn, mối liên hệ giữa tính liên tục và tính liên tục đều của hàm số Các bước kiểm tra hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một tập Các bước kiểm tra tính liên tục đều của một hàm trên một tập.

3) Các khái niệm VCB, VCL Mối liên hệ giữa VCB và VCL; VCL và tính không bị chặn của hàm số Ứng dụng VCB tính giới hạn.

A BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

Bài 1 Tìm các giới hạn sau đây

1) lim x → 0 sin 2 2x sin 4x ; 2) lim x → 0 sin 2 5x

3) lim x → a sinx−sina x−a ; 4) lim x → 0 sin 2 2x+ sinx sin 3x ;

Bài 3 Tìm các giới hạn sau

B BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 5 Xét tính liên tục của các hàm số.

Bài 6 Tìm a để các hàm số sau liên tục trên miền được chỉ ra.

1) f(x) { 2e x nếu x 0 trên toàn trục số (−∞,+∞).

 xtanx ln(1 +x 2 ) với x̸= 0 2a+ 1 với x= 0 tại x= 0.

TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 2

[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),

Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.

[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà xuất bản Đại học Vinh.

[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002),Giải tích toán học, Tập 1,Nhà xuất bản ĐH Sư phạm.

[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978),Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán,NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.

[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Các khái niệm và tính chất của đạo hàm và hàm một biến khả vi có nhiều ứng dụng trong thực tế, các ngành kỹ thuật, kinh tế, Trên cơ sở các kiến thức đã được chuẩn bị ở chương 1 và chương 2 trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của phép tính vi phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.

III.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm, vi phân cấp 1 và cấp cao; các định lý cơ bản về hàm khả vi và một số ứng dụng của phép tính vi phân.

III.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1 Trình bày khái niệm đạo hàm, đạo hàm phải, đạo hàm trái và biết vận dụng để tính đạo hàm.

2 Trình bày được mối quan hệ giữa tính liên tục và tính khả vi Ý nghĩa cơ học, ý nghĩa hình học của đạo hàm.

3 Trình bày được các quy tắc tính đạo hàm và biết vận dụng để tính đạo hàm của các hàm sơ cấp.

4 Biết cách khảo sát được tính có đạo hàm của các hàm không sơ cấp.

5 Tính được đạo hàm và vi phân cấp một, cấp cao của hàm số.

6 Viết được khai triển Taylor, Maclourin của một số hàm số đặc biệt.

7 Biết sử dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn hàm số dạng vô định.

8 Biết sử dụng đạo hàm để tìm cực trị và xét tính đơn điệu của hàm số.

9 Biết cách vận dụng các định lí về hàm khả vi để giải quyết các bài toán liên quan trực tiếp.

Phép tính vi phân hàm một biến 50

Các định nghĩa và tính chất cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f : (a, b) → R và x 0 ∈ (a, b), lấy số gia ∆x đủ bé sao cho x 0 + ∆x ∈ (a, b) Khi đó số ∆y = f(x 0 + ∆x)−f(x 0 ) được gọi là số gia hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x 0 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

∆x , thì giới hạn đó được gọi làđạo hàm của hàm sốf theo biến sốx tại x 0 và ký hiệu là f ′ (x 0), nghĩa là f ′ (x 0 ) = lim

1.1.2 Nhận xét 1) Trong một số trường hợp (3.1) còn được viết f ′ (x 0 ) = lim h → 0 f(x 0 +h)−f(x 0 ) h

2) Nếu đặt x=x 0 + ∆x thì ta viết f ′ (x 0 ) = lim x → x 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0

1.1.3 Ví dụ 1) Xét hàm số y=a x (a >0, a̸= 1) Với mỗi x 0 ∈ Rta có

2) Xét hàm số y= sinx Với mỗi x 0 ∈ R ta có

1.1.4 Định lý Cho f : (a, b) → R Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x 0 ∈ (a, b), thì f(x 0 +h)−f(x 0 ) = f ′ (x 0 )h+hr(h) (3.2) trong đó r(h)→0 khi h→0.

Chứng minh Đặt r(h) = f(x 0+h)−f(x 0) h −f ′ (x 0 ) Vì hàm f có đạo hàm tại điểm x 0 , nên ta suy rar(h)→0 khi h→0 Do đó khi hgần 0ta có f(x 0 +h)−f(x 0 ) =f ′ (x 0 )h+hr(h).

1.1.5 Hệ quả Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x 0 , thì f liên tục tại điểm này.

Chứng minh Từ (3.2) ta có lim x → x 0 f(x) = f(x 0 ) Do đóf liên tục tạix 0

1.1.6 Chú ý Điều ngược lại của Hệ quả 1.1.5 không đúng Một hàm liên tục tại điểm x 0 có thể không có đạo hàm tại x 0 Chẳng hạn, hàm f(x) = |x| liên tục tại x= 0 Tuy nhiên, không tồn tại giới hạn lim

∆x =−1 Vậy f không có đạo hàm tại 0.

Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái

1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f : (a, b)→ Rvà x 0 ∈(a, b) Nếu tồn tại lim

∆x thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm f tại điểm x 0 và ký hiệu là f + ′ (x 0 ) Tương tự nếu tồn tại lim

∆x thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm f tại điểm x 0 và ký hiệu là f − ′ (x 0 ).

Ví dụ sau chứng tỏ các đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại một điểm có thể khác nhau.

1.2.2 Ví dụ Xét hàm số f(x) =|x| Ta có lim

Từ Định lý 1.4.15 Chương 2 và Định nghĩa 1.2.1 ta có định lý sau.

1.2.3 Định lý Cho hàm số f : (a, b)→ R và x 0 ∈ (a, b) Khi đó, hàm f có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi tồn tại đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải của f tại x 0 và hai đạo hàm này bằng nhau: f ′ (x 0 ) =f − ′ (x 0 ) = f + ′ (x 0 ).

1.2.4 Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm số sau tại x= 1 f(x) 

Do đóf + ′ (1) =f − ′ (1) =−1 Vậy hàm số đã cho có đạo hàm tại x= 1vàf ′ (1) =−1.

Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm

1.3.1 Ý nghĩa hình học Cho hàm số f liên tục trên(a, b)có đồ thịG f như hình vẽ Giả sửM 0 ( x 0 , f(x 0 )) và M( x, f(x)) là hai điểm thuộc đồ thịG f Khi đó đường thẳng M 0 M là một cát tuyến của G f nó có hệ số góc tanβ = f(x)−f(x 0 ) x−x 0 y x

Nếu x→ x 0 thì M →M 0 Khi đó cát tuyến M M 0 dần đến tiếp tuyến (nếu có) của G f tại M 0 Do đó nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tồn tại thì nó có hệ số góc là tanα= lim x → x 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0

Như vậyđạo hàm của hàm số f tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm (x 0 , f(x 0 )) Người ta cũng chứng minh đượcnếu hàm số f(x)có đạo hàm tại x 0 thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (x 0 , f(x 0 )) Khi đó tiếp tuyến có phương trình y =f ′ (x 0 )(x−x 0 ) +f(x 0 ).

1.3.2 Ý nghĩa cơ học Giả sử chất điểm chuyển động trong một hệ quy chiếu chọn trước Khi đó quảng đườngS(t)mà chất điểm di chuyển được phụ thuộc theo biến thời giant Quảng đường mà chất điểm di chuyển từ thời điểmt đến thời điểm t+ ∆t là

Nếu chất điểm chuyển động đều thì quảng đường tỉ lệ với thời gian, khi đó vận tốc đều (hằng số) của nó là

Trong trường hợp tổng quát, vận tốc của chất điểm không nhất thiết phải đều thì tỉ số trên biểu thị vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian[t, t+ ∆t]. Nếu∆t nhỏ thì vận tốc trung bình sẽ gần với vận tốc tức thời tại thời điểm t Như vậy

∆t là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.

Các quy tắc tính đạo hàm

Ta nhắc lại và không chứng minh các quy tắc tính đạo hàm đã được làm quen trong chương trình phổ thông.

1.4.1 Định lý Cho f, g: (a, b)→ R Giả sửf, g khả vi tại điểmx 0 ∈(a, b) Khi đó các hàm f±g , cf, f g khả vi tại điểmx 0 trong đó clà hằng số thực Nếug(x 0)̸= 0 thì f g khả vi tại x 0 và ta có

(x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 )−f(x 0 )g ′ (x 0 ) g 2 (x 0 ) Định lý sau nói lên sự khả vi của hàm số hợp và công thức tính đạo hàm của nó.

1.4.2 Định lý Cho các hàm số f : (a, b) →(c, d) và g : (c, d) → R Giả sử hàm y = f(x) khả vi tại x 0 ∈ (a, b) và z = g(y) khả vi tại y 0 = f(x 0 ) ∈ (c, d) Khi đó hàm số g◦f : (a, b)→ R khả vi tại x 0 và z ′ (x 0 ) =( g◦f) ′ (x 0 ) = g ′ ( f(x 0 )) f ′ (x 0 ).

1.4.3 Ví dụ Tính đạo hàm của hàm số y= (1 +x 2 ) 100 Đặt y = u 100 và u = 1 + x 2 Khi đó ta có y ′ (u) = 100.u 99 và u ′ (x) = 2x Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có y ′ (x) = 100.u 99 2x= 100.(1 +x 2 ) 99 2x. Định lý sau trình bày về tính khả vi của hàm số ngược.

1.4.4 Định lý Cho hàm số f : (a, b)→ R Giả sử

1) Hàm f liên tục và đơn điệu ngặt trên (a, b).

2) Hàm f có đạo hàm f ′ (x 0 )̸= 0 tại x 0 ∈(a, b).

Khi đó, hàm ngượcg =f − 1 của hàmf có đạo hàm tạiy 0 =f(x 0 )và g ′ (y 0 ) = 1 f ′ (x 0).

1.4.5 Ví dụ 1) Tính đạo hàm của hàm số y= log a x (a >0, a̸= 1).

Ta cóx=a y là hàm ngược của hàmy= log a x Từ Ví dụ 1.1.3 ta cóx ′ y =a y lna.

Vì thế áp dụng Định lý 1.4.4 ta có y ′ x = 1 x ′ y = 1 a y lna = 1 xlna, ∀x∈ R

2) Xét hàm số y = arcsinx, x ∈ (−1,1) Hàm này là hàm ngược của hàm x= siny, y∈(−π

Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

Trong mục này, ta nhắc lại bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp mà chúng ta đã làm quen ở chương trình phổ thông.

2 Vi phân của hàm một biến

Hàm khả vi và vi phân của hàm một biến

2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f : (a, b) → R Nếu hàm f có đạo hàm tại điểm x 0 ∈(a, b), thì f được gọi là khả vitại điểm x 0

Hàm f được gọi là khả vi trên (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc (a, b). Nếu đạo hàmf ′ liên tục trên (a, b)thì ta nói f là hàmkhả vi liên tụctrên (a, b).

2.1.2 Định nghĩa Cho hàm số f : [a, b] → R Hàm số được gọi là khả vi trên

[a, b] nếu cóf khả vi trên(a, b), có đạo hàm bên phải tại x=a và có đạo hàm bên trái tạix=b.

2.1.3 Định nghĩa Cho hàm số f : (a, b)→ R khả vi tại x 0 ∈(a, b) Khi đó, nhờ Định lý 1.1.4 số gia∆ycủa hàm sốy=f(x) tại điểmx 0 có thể viết được dưới dạng

∆y=f(x 0 + ∆x)−f(x 0 ) =f ′ (x 0 )∆x+o(∆x), trong đó o(∆x) là một vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x.

Ta gọi đại lượng f ′ (x 0 )∆xtrong đẳng thức cuối cùng ở trên làvi phân của hàm số y=f(x) tại điểm x 0 và ký hiệu là dy hay df(x 0 ), nghĩa là dy=df(x 0 ) = f ′ (x 0 )∆x.

2.1.4 Nhận xét 1) Từ định nghĩa vi phân và đạo hàm ta suy ra rằng nếu hàm f khả vi tại x 0 thì f(x 0+ ∆x)−f(x 0) =df(x 0) +o(∆x) khi ∆x→0, nghĩa là f(x 0+ ∆x)−f(x 0)≈df(x 0) =f ′ (x 0)∆x, khi ∆x→0.

2) Vì hàm số y =f(x) =x có đạo hàm y ′ =f ′ (x) = 1 tại mọix∈ R, nên ta có dy=dx= ∆x Vì vậy, vi phân của hàm f tại điểm xcó thể viết dy=df(x) = f ′ (x)dx.

Do đó, đạo hàm của hàm sốy=f(x)còn được ký hiệu một cách khác làf ′ (x) = dy dx.

Các quy tắc lấy vi phân và tính bất biến của vi phân cấp 1

Từ các tính chất và phép toán của đạo hàm ta có định lý sau.

2.2.1 Định lý Giả sử f, g : (a, b)→ R khả vi tại x 0 ∈ (a, b) Ký hiệu df, dg lần lượt là vi phân của f, g tại x 0 Khi đó

2) d(cf) =cdf, c là hằng số.

2.2.2 Tính bất biến của vi phân cấp 1 Cho các hàm số f : (a, b)→(c, d)khả vi tại điểm x∈ (a, b) Khi đó, từ Nhận xét 2.1.4 2) vi phân của hàm f tại điểm x được tính theo công thức df =f ′ (x)dx (3.3)

Bây giờ, nếu x : (c, d) → R lại là hàm khả vi tại điểm t ∈ (c, d) và x = x(t), thì hàm f[x(t)] cũng khả vi tại điểm t Do đó, từ Nhận xét 2.1.4 2) ta có df ( f[x(t)]

Nhờ Định lý 1.4.2 về đạo hàm hàm hợp ta có

Từ các công thức (3.4) và (3.5) ta có df ( f[x(t)]

So sánh các công thức (3.3) và (3.6) ta thấy rằng dạng vi phân của hàm không thay đổi khi các biến của nó là độc lập hay phụ thuộc Tính chất này còn gọi làtính bất biến của vi phân cấp 1 đối với biến số độc lập.

Các định lý cơ bản về hàm khả vi

Trong mục này chúng ta trình bày những định lý cơ bản về hàm số khả vi.

2.3.1 Định nghĩa (Cực trị địa phương) Cho hàm f : (a, b)→ R Ta nói hàm f đạt cực đại địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương) tại x 0 ∈(a, b)nếu tồn tại δ >0 sao cho (x 0 −δ, x 0 +δ)⊂(a, b) và f(x)6f(x 0 ) (tương ứng, f(x)>f(x 0 )) với mọix∈(x 0 −δ, x 0+δ). Điểmx 0 mà tại đó hàmf đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu đại phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm f Ta sẽ gọi cực đại (cực tiểu) để thay cho cực đại địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương). Định lý sau còn gọi là bổ đề Fermat, đưa ra một điều kiện cần để điểm x 0 là điểm cực trị của hàmf Chứng minh của định lý sau đây bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].

2.3.2 Định lý Cho hàm f : (a, b)→ R Nếu c∈(a, b) là điểm cực trị của f và f khả vi tại c thì f ′ (c) = 0.

2.3.3 Chú ý Điểm cmà tại đó f ′ (c) = 0 được gọi làđiểm dừng của hàm f Như vậy nếu hàm khả vi trên(a, b)thì hàm chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.

Ba định lý sau đây cho ta các tính chất của hàm khả vi trên một đoạn.

2.3.4 Định lý (Định lý Rolle) Cho hàm số f : [a, b]→ R liên tục trên [a, b] và khả vi trong (a, b) Nếu f(a) =f(b) thì tồn tại c∈(a, b) sao cho f ′ (c) = 0.

2.3.5 Định lý (Định lý Cauchy) Cho các hàm số f, g : [a, b] → R liên tục trên

[a, b] và khả vi trong (a, b) Khi đó tồn tại c∈(a, b) sao cho

Ngoài ra nếu g ′ (x)̸= 0 với mọi x∈(a, b) thì công thức trên có thể viết dưới dạng

(f(b)−f(a) g(b)−g(a) = f ′ (c) g ′ (c). Định lý sau là trường hợp riêng của định lý Cauchy với g(x) = x Đây là định lý Lagrange hay còn gọi là định lý số gia giới nội.

2.3.6 Định lý (Định lý Lagrange) Cho hàm số f : [a, b]→ R liên tục trên [a, b] và khả vi trong (a, b) Khi đó, tồn tại c∈(a, b) sao cho f(b)−f(a) b−a =f ′ (c).

Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu [2], [3].

2.3.7 Nhận xét 1) Giả sử f khả vi trên (a, b) và x 0 ∈ (a, b) Lấy số gia ∆x > 0 sao cho x 0 + ∆x ∈ (a, b) Khi đó, theo định lý Lagrange tồn tại c ∈ (x 0 , x 0+ ∆x) sao cho f(x 0 + ∆x)−f(x 0 ) =f ′ (c)∆x.

Viết lại cdưới dạng c=x 0 +θ∆x trong đó θ ∈(0,1) ta có f(x 0 + ∆x)−f(x 0 ) =f ′ (x 0 +θ∆x)∆x.

Người ta còn gọi công thức này là công thức số gia giới nội Lagrange.

2) Từ công thức trên suy ra nếu f ′ (x) >0 với mọi x ∈(a, b) thì f là hàm đơn điệu tăng trên(a, b)và nếu f ′ (x)0, n∈ N ∗ ) Khi đó, với|h| đủ bé ta có

(x+h) n 1 ≈x n 1 + 1 n x n 1 x h. Đặc biệt, với x=a n , (a >0)ta có

3 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao

3.1.1 Định nghĩa Cho f : (a, b) → R là hàm số khả vi trong (a, b) Khi đó, ta xác định được hàm sốf ′ : (a, b)→ R, cho bởi x7→f ′ (x) với mọix∈(a, b).

Nếu tại x 0 ∈(a, b) hàm số f ′ khả vi thì ta nói hàm f khả vi cấp 2 tại x 0 và đạo hàm của f ′ tại x 0 được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f tại x 0 Ký hiệu đạo hàm cấp 2 là f ′′ (x 0 ), f ′′ (x 0 ) = (f ′ ) ′ (x 0 ).

Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấpn−1của hàm sốf trong (a, b). Khi đó, xác định hàm số f (n − 1) : (a, b)→ R , x7→f (n − 1) (x) trong đó f (n − 1) (x) là đạo hàm cấp n−1của f tại x Nếu hàmf (n − 1) khả vi tại x 0 thì đạo hàm của nó tạix 0 gọi là đạo hàm cấpn của f tại x 0 và ký hiệu làf (n) (x 0 ), f (n) (x 0 ) = (f (n−1) ) ′ (x 0 ).

Hàm số có đạo hàm cấp n tại x 0 được gọi là khả vi cấp n tại x 0

Hàm số được gọi là khả vi liên tục đến cấp n trên (a, b) nếu đạo hàm f (n) cấp n của nó là hàm số liên tục trên (a, b).

Hàm số được gọi là khả vi vô hạn tại x 0 nếu nó có đạo hàm mọi cấp tại x 0

3.1.2 Ví dụ 1) Hàm f(x) =x n , (n là số tự nhiên) khả vi vô hạn trên R và f (k) (x) = n(n−1) (n−k+ 1)x n − k với k 6n và f (k) (x) = 0, ∀k > n.

2) f(x) = sinx khả vi vô hạn trên R và f (n) (x) = sin(x+nπ

3) Hàm f(x) = 1 ax+b , (với a̸= 0) khả vi vô hạn trên R \ {−b a} và f (n) (x) = (−1) n a n n!

3.1.3 Chú ý 1) Các đạo hàm trái, đạo hàm phải cấp cao được định nghĩa tương tự Chẳng hạn f + ′′ (x 0 ) = (f + ′ ) ′ + (x 0 ) = lim

2) Giả sử f, g : (a, b)→ R là các hàm khả vi cấp n tại x 0 ∈(a, b) Khi đó, ta có các công thức sau: a)(f+g) (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) +g (n) (x 0 ). b)(cf) (n) (x 0 ) =cf n (x 0 ), c là hằng số.

3.1.4 Định nghĩa Cho hàm f : (a, b) → R khả vi cấp n tại mọi x ∈ (a, b) Vi phân của df tại x được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f tại x và được ký hiệu là d 2 f(x) Như vậy d 2 f(x) =d(df)(x) = (df) ′ (x)dx= (f ′′ (x)dx)dx =f ′′ (x)(dx) 2 =f ′′ (x)dx 2 trong đó ký hiệudx 2 dùng để chỉ (dx) 2

Một cách tổng quát vi phân cấp n của hàmf tại x ∈(a, b) ký hiệu là d n f là vi phân của vi phân cấp n−1của hàm f tại x, trong đó dx được coi là một hằng số đối với mọi vi phân và mọix∈(a, b) Như vậy d n f(x) :=d(d n − 1 f)(x).

Dễ thấy rằng d n f(x) =f (n) (x)dx n , với mọin ∈ N ∗

Do đó đạo hàm cấp n của hàm f có thể biểu diễn qua vi phân cấp n của nó f (n) (x) = d n f(x) dx n Trường hợp hàm sốf cho bởiy=f(x), khi đó ta cóf (n) (x) = d n y dx n

Công thức Newton-Leibniz

Đối với đạo hàm cấp n của f.g tại x 0 ta có công thức tính như sau đây còn gọi là công thức Leibnitz.

3.2.1 Định lý Giả sử f, g : (a, b) → R là các hàm khả vi cấp n tại x 0 ∈ (a, b).

Khi đó hàm f g khả vi cấp n tại x 0 và

3.2.2 Ví dụ Cho hàm số f(x) = x 3 e x Tính đạo hàm cấp 7 của hàm số Ta có f (7) (x) ∑7 k=0

Tính không bất biến của vi phân cấp cao

3.3.1 Nhận xét 1) Vi phân cấp hai, tổng quát hơn là vi phân cấp n >2 không bất biến khi thay biến số độc lập bởi biến số phụ thuộc Thật vậy, với y =f(x) ta có dy=f ′ (x)dx Từ đó theo định nghĩa trên ta có d 2 y=d( f ′ (x)dx)

Nếu x = φ(t) với φ là hàm khả vi cấp 2 trên khoảng (α, β) nào đó thì d 2 x φ ′′ (t)dt 2 ̸= 0 Vì vậy số hạng f ′ (x)d 2 x sẽ không bị triệt tiêu Điều này cho thấy vi phân cấp 2 của hàm f khi xem x là hàm theo biến t có dạng khác với vi phân cấp

2 của nó khi xemx là biến độc lập là d 2 y=f ′′ (x)dx 2

Nói cách khác vi phân cấp n > 2 không bất biến khi thay biến số độc lập bởi biến số phụ thuộc.

2) Từ (3.6) ta cũng nhận được f ′′ (x) = d 2 y−f ′ (x)d 2 x dx 2 = d 2 ydx−dyd 2 x dx 3 (3.9)

Do đó nếu hàmf cho bởi tham số

 x=x(t) y=y(t), t ∈(α, β). trong đó x(t), y(t) là các hàm khả vi cấp 2 trên(α, β), thì bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của hàm số cho bởi tham số ta có f ′ (x) = dy dx = x ′ (t) y ′ (t).

Hơn nữa dx=x ′ (t)dt, d 2 x=x ′′ (t)dt 2 và dy=y ′ (t)dt, d 2 y =y ′′ (t)dt 2

Vì vậy theo (3.9) ta có f ′′ (x) = d 2 ydx−dyd 2 x dx 3 = y ′′ (t)x ′ (t)−x ′′ (t)y ′ (t)

3.3.2 Ví dụ Đường Xycloid có phương trình x=a(t−sint), y=a(1−cost), a̸= 0, t∈ R

Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi

Giả sửf là hàm khả vi trên(a, b)và x 0 ∈(a, b) Khi đó, với mọix∈(a, b) ta có f(x)≈f(x 0 ) +f ′ (x 0 )(x−x 0 ).

Vế phải là một đa thức bậc nhất của đối với x Như vậy giá trị của hàm f được xấp xỉ bởi một đa thức bậc nhất Trong trường hợp f khả vi đến cấp n thì chúng ta còn thu được một xấp xỉ f(x) bởi một đa thức bậc n, đây là nội dung của công thức Taylor mà chúng ta trình bày sau đây Vớincàng lớn thì sự xấp xỉ có độ chính xác càng cao Đây là một công thức quan trọng trong các phương pháp tính toán sau này.

3.4.1 Định lý (Khai triển Taylor với số dư Lagrange) Giả sử f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp (n+ 1) trong (a, b) và x 0 ∈(a, b) Khi đó với mọi x∈(a, b) ta có f(x) ∑ n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x−x 0) k +f (n+1) (c)

(n+ 1)! (x−x 0) n+1 (3.11) trong đó clà một điểm ở giữa x và x 0

3.4.2 Chú ý 1) Vì c nằm giữa x 0 và x nên tồn tại θ ∈ (0,1) sao cho c x 0 +θ(x−x 0 ) Do đó công thức (3.9) có thể viết lại f(x) = p n (x) +r n (x) ∑ n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x−x 0) k + f (n+1) ( x 0 +θ(x−x 0 )) (n+ 1)! (x−x 0) n+1 trong đó θ ∈(0,1). Đại lượng r n (x) = f (n+1) (x 0 +θ(x−x 0 )

(n+ 1)! (x−x 0 ) n+1 đựoc gọi là số dư thứ n dạng Lagrange của khai triển Taylor.

2) Nếu chọn hàm ψ(t) =x−t thì ta có ψ(x 0 ) =x−x 0 , ψ(x) = 0 và ψ ′ (c) =−1.

= (1−θ) n (x−x 0 ) n ta sẽ nhận được biểu thức sau đây của số dư r n (x) = f (n+1) ( x 0 +θ(x−x 0 )) n! (1−θ) n (x−x 0 ) n+1

Biểu thức này được gọi là số dư thứ n dạng Cauchy của khai triển Taylor.

3) Nếu x 0 = 0∈(a, b) thì khai triển Taylor với số dư Lagrange được gọi làkhai triển Maclaurin Khi đó f(x) ∑ n k=0 f (k) (0) k! x k +f (n+1) (θx)

4) Khi n = 0 thì công thức Taylor với số dư Lagrange trở thành công thức số gia giới nội Lagrange (xem Nhận xét 2.3.7).

Trong một số trường hợp nếu chúng ta chỉ quan tâm đến bậc của vô cùng bé của số dư đối với x−x 0 khix →x 0 mà không quan tâm đến biểu thức cụ thể của số dư thì chúng ta dùng công thức khai triển Taylor với số dư Peano sau đây:

3.4.3 Định lý (Khai triển Taylor với số dư Peano) Giả sử f : (a, b)→ R có đạo hàm đến cấp n trong (a, b), f (n) liên tục trên (a, b) và x 0 ∈ (a, b) Khi đó với mọi x∈(a, b) ta có f(x) ∑ n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x−x 0 ) k +o

3.4.4 Ví dụ Chúng ta viết khai triển Macraulin của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

1) Hàm f(x) = e x Hàm số này khả vi mọi cấp trên R và f (k) (x) =e x , ∀x∈ R , ∀k = 1,2,

Ta có thể khai triển Macraulin (Taylor) hàm số đến bậc tuỳ ý f(x) ∑ n k=0 f (k) (0) k! x k + f (n+1) (θx)

(n+ 1)!x n+1 là số dư Lagrange thứncủa khai triển Công thức (3.13) có thể viết lại dưới dạng khai triển với số dư Peano e x = 1 +x+ x 2

Tương tự ta chứng minh được các công thức sau

3.4.5 Ví dụ Trong một số trường hợp, chúng ta có thể dùng khai triển Taylor để khử các vô cùng bé bậc cao trong quá trình tìm giới hạn Chẳng hạn, tìm giới hạn lim x → 0

Theo công thức (3.18) ta có

3.4.6 Ví dụ Tính gần đúng số e với sai số nhỏ hơn0,001.

Ta thấy với n= 6 bất đẳng thức được thoả mãn Khi đó e≈1 + 1 + 1

4 Một số ứng dụng của phép tính vi phân

Trong phần này chúng ta trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân trong việc khử dạng vô định tìm giới hạn của hàm số, khảo sát hàm số Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm một số ứng dụng khác như tính gần đúng nghiệm của phương trình, và một số ứng dụng hình học trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương3.

Quy tắc L ′ Hospital

Dưới đây, chúng ta trình bày một số điều kiện đủ để khử dạng vô định bằng đạo hàm Chúng được gọi là quy tắc L’Hospital Các quy tắc này chỉ được phát biểu với đạo hàm tuy nhiên nó vẫn đúng cho đạo hàm bên trái (tương ứng với giới hạn trái) và đạo hàm bên phải (tương ứng với giới hạn phải)

Cho c∈ R Giả sử f(x) và g(x) là các hàm xác định trong lân cận của c có thể trừ điểmc Xét giới hạn lim x → c f(x) = lim x → c g(x) = 0 Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu các ứng dụng của đạo hàm để khử các dạng vô định 0

∞ Vì rằng các dạng vô định khác có thể đưa về hai dạng vô định này bởi một số phép biến đổi thích hợp.

4.1.1 Định lý (Quy tắc L’ Hospital I)Cho f và g là các hàm xác định trong(a, b) có thể trừ điểm c∈(a, b)sao cho lim x → c f(x) = lim x → c g(x) = 0 Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm c ( có thể trừ điểm c) tồn tại các đạo hàm của f , g và g ′ (x)̸= 0.

Khi đó, nếu lim x → c f ′ (x) g ′ (x) tồn tại hữu hạn thì x lim → c f(x) g(x) = lim x → c f ′ (x) g ′ (x).

4.1.2 Chú ý Trong định lý trên vì c∈(a, b)nên c là hữu hạn.

4.1.3 Ví dụ Tìm giới hạn lim x → 0

3 x −1. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có x lim → 0

Nếu cả hai đạo hàm f ′ và g ′ vẫn dần tới0khi x→cvà chúng thoả mãn các giả thiết của định lý thì chúng ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa Một cách tổng quát ta có định lý sau.

4.1.4 Định lý Cho f, g : (a, b) → R Nếu trong một lân cận nào đó của điểm c∈(a, b) các hàm f và g có đạo hàm cấp n, g (n) (x)̸= 0 ( có thể trừ điểm c) và f(c) = g(c) = f ′ (c) =g ′ (c) = =f (n − 1) (c) = g (n − 1) (c) = 0 thì x lim → c f(x) g(x) = lim x → c f (n) (x) g (n) (x).

4.1.5 Ví dụ Tìm giới hạn lim x → 0 x 3 x−sinx. Áp dụng quy tắc L’Hospital ( 3 lần ) ta có x lim → 0 x 3 x−sinx = lim x → 0

6 cosx = 6. Định lý sau trình bày cho trường hợp c= +∞ Trường hợp c=−∞ được phát biểu tương tự Chứng minh của nó bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

4.1.6 Định lý Giả sử f và g là các hàm xác định trên (a,+∞) sao cho

2) f và g khả vi trên (a,+∞) và trên đó g ′ (x)̸= 0.

4.1.7 Định lý (Quy tắc L’ Hospital II) Cho f vàg xác định trong một δ−lân cận

2) f và g khả vi trên lân cậnU ( có thể trừ điểm c) và g ′ (x)̸= 0 ∀x∈U\ {c}.

Ta bỏ qua chứng minh định lý này Bạn đọc có thể xem chứng minh của nó trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 3.

4.1.8 Chú ý 1) Trong định lý trên, c có thể là các điểm vô hạn ±∞ và I có thể nhận giá trị+∞.

2) Định lý vẫn đúng khi lim x → c f(x) = lim x → c g(x) =−∞.

4.1.9 Ví dụ Tìm giới hạn lim x → + ∞ x α a x ,(a >1, α >0).

Tồn tại số tự nhiên n sao cho n < α6n+ 1 Áp dụngn lần quy tắc L’Hospital

II ta có x lim →∞ x α a x = lim x →∞ α(α−1) (α−n)x (α − n − 1) a x (lna) n = lim x →∞ α(α−1) (α−n) x (n+1 − α) a x (lna) n = 0.

4.1.10 Chú ý Các quy tắc L’Hospital vừa trình bày chỉ là điều kiện đủ mà không là điều kiện cần để có giới hạn lim x → c f(x) g(x), tức là có những trường hợp không tồn tại lim x → c f ′ (x) g ′ (x) nhưng vẫn tồn tại lim x → c f(x) g(x) Chẳng hạn bạn đọc có thể chứng minh x lim → 0 f(x) g(x) = lim x → 0 x 2 sin1 x sinx = 0.

2xsin1 x −cos1 x cosx là không tồn tại.

C Khử các dạng vô định khác

Các dạng vô định khác như ∞ − ∞, 0.∞, ∞ 0 , 1 ∞ ,0 0 có thể khử được bằng quy tắc L’Hospital sau khi thực hiện các phép biến đổi thích hợp Chúng ta đến với một ví dụ minh hoạ.

Ta có lnu=−tanxlnx= 1 cosx

Do đó lim x → 0 + lnu= lim x → 0 +

Do đó x lim → 0lnv = lim x → 0 ln(1 +x)−x x 2 = lim x → 0

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Việc khảo sát hàm số trong hệ trục toạ độ Descartes đã được trình bày trong chương trình phổ thông Ở đây, chỉ trình bày việc khảo sát hàm số cho dưới dạng tham số và hàm số trong hệ toạ độ cực.

A Khảo sát hàm số cho bởi dạng tham số

Giả sử quan hệ của hàmy với biến x được cho thông qua hệ phương trình

Ta muốn khảo sát sự phụ thuộc củay vàx Nếu có thể tìm đượct theoxtừ phương trìnhx=x(t)thì thay vào phương trìnhy=y(t)bài toán dẫn tới việc khảo sát hàm trong hệ toạ độ Descartes mà chúng ta đã quen thuộc ở chương trình phổ thông.

Do đó khó khăn ở đây thường là không thể giải được (hoặc không giải được hoàn toàn) t theo x từ phương trìnhx=x(t).

Quá trình khảo sát hàm số cho bởi hệ phương trình

 x=x(t) y=y(t), t∈[α, β]. cũng được tiến hành như hàm số y = f(x) nhưng tiến hành đồng thời cho cả hai hàm x=x(t)và y=y(t).

Nó được thực hiện theo các bước sau:

1) Tìm miền xác định (thông thường α,β là chưa biết), tìm các điểm gián đoạn của x(t) và y(t) Xét tính tuần hoàn, chẵn, lẻ của x(t), y(t).

2) Khảo sát sự biến thiên của x(t)và y(t)theo t bằng cách tính đạo hàm.

+) x(t)→a và |y(t)| → ∞thì đường thằng x=a là tiệm cận đứng;

+) |x(t)| → ∞ và y(t)→b thì đường thẳng y=b là tiệm cận ngang;

=b ta có tiệm cận xiêny =kx+b.

4) Vẽ đồ thi: Để vẽ đồ thị chúng ta phải dựa vào các dữ liệu về sự biến thiên, tiệm cận và một số điểm đặc biệt của nó.

4.2.1 Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi dạng tham số

Rõ ràng hai hàm x(t) và y(t) xác định với mọi t∈ R.

Ta có x ′ (t) = (t + 1)e t và y ′ (t) = (1−t)e −t và do đó x ′ (t) = 0 khi t = −1, y ′ (t) = 0 khi t = 1 t −∞ +∞ x ′ (t) x(t) y ′ (t) y(t)

Vì t →−∞ lim x(t) = lim t →−∞ te t = 0, lim t →−∞ y(t) = lim t →−∞ te − t =−∞ nên đồ thị có tiệm cận đứng là x= 0 Đồng thời t → lim+ ∞ x(t) = lim t → + ∞ te t = +∞, lim t → + ∞ y(t) = lim t → + ∞ te − t = 0 suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y= 0.

Ta nhận được bảng biến thiên cho cả hai hàm x(t)và y(t)như Hình 3.2.

) thuộc đồ thị hàm số Ngoài ra đồ thị còn đi qua điểm gốc O(0,0) Đồ thị có dạng như trên ( Hình 3.3)

4.2.2 Ví dụ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi dạng tham số

1) Rõ ràng hai hàm x(t) và y(t) xác định với mọi t ∈ R Miền giá trị là [0,1]. Mặt khác chúng tuần hoàn theo chu kỳ π Do đó chúng ta chỉ cần khảo sát chúng trên [0, π]. t x ′ (t) x(t) y ′ (t) y(t)

Ta có x ′ (t) = −4 cos 3 tsint= 0 khi t= 0, t= π

Bảng biến thiên như trên. Đồ thị đi qua M(0,1)và N(1,0)có dạng (Hình 3.4).

Tương tự như trên ta có thể vẽ được đồ thị của các đường cong sau đây:

2) Đường Astroid với phương trình (Hình 3.5)

 x=acos 3 t y=asin 3 t (a >0). Đường này còn có phương trìnhx

3 (trong hệ toạ độ Descartes).

3) Lá Descartes với phương trình tham số (Hình 3.6) x= 3at

B Khảo sát hàm số trong hệ toạ độ cực

4.2.3 Hệ tọa độ cực Trong mặt phẳng, chúng ta đã quen dùng hệ toạ độ Descartes để biểu thị vị trí của các điểm Tuy nhiên người ta còn có thể dùng nhiều hệ toạ độ khác Một trong những hệ toạ độ quan trọng là hệ toạ độ cực Hệ toạ độ này được xây dựng như sau:

Chọn một điểm O trong mặt phẳng gọi nó là điểm cựcvà một tia Oxđược định hướng từ trái sang phải và gọi nó làtrục cực Khi đó, một điểmM tuỳ ý trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi cặp số (r, φ)trong đó r =|−−→

(r còn gọi là toạ độ dài của vectơ −−→

(Ox,OM → ) là góc giữa trục Ox và −−→

Chú ý rằng điểm cực O ứng vớir= 0 còn φtuỳ ý trong [0,2π].

Nếu chọn hệ trục toạ độ DescartesOxy với trục hoành là trục cực và O là điểm cực thì ta có mối liên hệ giữa toạ độ (x, y) của điểm M với toạ độ cực (r, φ) như sau: 

Trục Oy là trục vuông góc với trục cực.

Cũng như toạ độ Descartes trong hệ toạ độ cực hàm số được cho dưới dạng r=f(φ) hoặc cho dưới dạng hàm ẩn

4.2.4 Ví dụ 1) Trong hệ toạ độ cực, đồ thị của hàm số có phương trìnhr=a(a >

0)chính là đường tròn tâm O bán kínha.

2)Xét hàm số r=x 0 cosφ+y 0 sinφ( x 2 0 +y 0 2 ̸= 0) Ta nhận dạng đồ thị hàm số này Ta có r 2 =x 0 rcosφ+y 0 rsinφ suy ra x 2 +y 2 =x 0 x+y 0 y⇔(x− x 0

Vậy đồ thị là đường tròn tâm

4.2.5 Các bước khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực.

Bây giờ chúng ta khảo sát hàm số r=f(φ) trong hệ toạ độ cực Các bước vẫn tiến hành như sau:

1) Tìm miền xác định, điểm gián đoạn, tính tuần hoàn, tính đối xứng của đồ thị qua trục cực, đối xứng qua trục vuông góc với trục cực và tính đối xứng qua điểm cực.

2) Lập bảng biến thiên, bằng cách tính đạo hàm.

3) Xác định một số điểm đặc biệt và phác hoạ đồ thị.

4.2.6 Chú ý a) Về tính đối xứng.

+) Nếu f(φ) =f(φ+π)thì đồ thị đối xứng qua điểm cực.

+) Nếu f(φ) =f(−φ) thì đồ thị đối xứng qua trục cực.

) thì đồ thị đối xứng qua trục vuông góc với trục cực. b) Xác định tiếp tuyến.

Giả sử θ là góc giữa bán kính vectơ OM → và tiếp tuyến của đồ thì r =f(φ) tại

M(r, φ) và α là góc giữa tiếp tuyến với trục cực.

Ta có tanθ = tan(α−φ) = tanα−tanφ

1 + tanαtanφ. Đường cong r=f(φ) viết lại dưới dạng

Do đó (hệ số góc của tiếp trong hệ toạ độ Descartes) tanα = y ′ (φ) x ′ (φ) = r ′ sinφ+rcosφ r ′ cosφ−rsinφ.

Từ đó ta nhận được tanθ = r r ′

4.2.7 Ví dụ (Đường Lemniscat-Bernoulli) Khảo sát và vẽ đường Lemniscat- Bernoulli có phương trình r 2 = 2a 2 cos 2φ.

Tập xác định cos 2φ> 0 Hàm số liên tục trên tập xác định, tuần hoàn với chu kỳ π Đồ thị hàm số đối xứng qua cực Viết lại hàm số dưới dạng r =a√

Ta có r(φ) = r(−φ)vậy đồ thị hàm số đối xứng qua trục cực Do vậy ta chỉ cần khảo sát hàm số trên[0,π

4] Ta có bảng biến thiên của hàm số như trên. Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị trên [0,π

4]lần lượt lấy đối xứng qua trục cực và điểm cực (Hình 3.8).

4.2.8 Ví dụ (Đường Pascal) Khảo sát và vẽ đường Pascal có phương trình: r = 2acosφ+h (a >0, h >0).

Hàm số xác định với mọi φ, tuần hoàn với chu kỳ2π Hàm số là hàm chẵn, đồ thị hàm số đối xứng qua trục cực Do vậy ta chỉ cần khảo sát hàm số trên [0, π] Ta có r ′ =−2asinφ Suy ra r ′ 60 khi φ∈[0, π] Ta có bảng biến thiên của hàm số

− h+ 2a h−2a h φ Đồ thị của hàm số có dạng sau:

1) Nếu h >2a thì đường cong có dạng (Hình 3.9)

2) Nếu h 0).

Hàm số xác định với mọi φ, tuần hoàn với chu kỳ 2π

3 Khảo sát hàm số trên[0,π

Ta có bảng biến thiên của hàm số

0 0 a Đồ thị của hàm số trong [0,π

3] gồm một cánh Sau đó qua lần lượt quay đồ thị một góc 2π

3 ta thu được hai cánh còn lại (Hình 3.12). x y

1) Các khái niệm đạo hàm, hàm khả vi, vi phân của hàm số Các tính chất của hàm khả vi.

2) Các ứng dụng của phép tính vi phân trong cơ học và tính toán (tính gần đúng).

3) Các định lý về gia trị trung bình (Rolle, Cauchy, Lagrange).

4) Ý nghĩa của công thức Taylor là xấp xỉ hàm bởi đa thức Đánh giá số hạng dư dạng Lagrange, Cauchy, Peano trong các xấp xỉ đó.

5) Ứng dụng của công thức Taylor để tính gần đúng và tìm giới hạn.

6) Ứng dụng quy tắc L’Hopital tìm giới hạn.

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau

Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau

Bài 3.1) Cho hàm sốf(x) = (x−a)φ(x)trong đó φ(x)là hàm liên tục tại điểm x=a Tínhf ′ (a).

2) Cho hàm sốf(x) =|x−a|φ(x)trong đóφ(x)là hàm liên tục tại điểmx=a vàφ(a)̸= 0.Chứng minh rằngf(x)không có đạo hàm tạix=a Tínhf + ′ (a), f − ′ (a).

Bài 4 Hãy xác định a, b để các hàm số sau khả vi trên R.

1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 , còn g(x) không có đạo hàm tại điểm này thì hàm số F(x) có đạo hàm tại x 0 hay không?

2) Nếu cả hai hàm f(x)vàg(x) đều không có đạo hàm tạix 0 thì hàm F(x)có thể có đạo hàm tại điểm này hay không? Cho ví dụ.

1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0, còn g(x) không có đạo hàm tại điểm này thì hàm số G(x)có đạo hàm tại x 0 hay không?

2) Nếu cả hai hàm f(x)vàg(x) đều không có đạo hàm tạix 0 thì hàm G(x)có thể có đạo hàm tại điểm này hay không?

Bài 7 Tính các đạo hàm cấp cao

3) y = ax+b cx+d trong đó a, b, c, d là các hằng số, c̸= 0 Tính y (n)

5) Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) =x.ln(x+√ x 2 + 1).

6) Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số f(x) =x 4 e 2x

7) Tính đạo hàm cấp 2017 của hàm sốf(x) = 1

8) Tính đạo hàm cấp 2017 của hàm số y = 1

2x−1 tại các điểm thuộc tập xác định của hàm.

Bài 8 Giả sử f(x) là hàm xác định và có đạo hàm hữu hạn cho đến cấp 2 với x60 Hãy xác định hằng số a, bvà c để cho hàm số:

F(x) { f(x) với x60, ax 2 +bx+c với x >0 có đạo hàm hữu hạn cho đến cấp 2 tại x= 0.

Hãy xác định giá trị c∈(0,2)sao cho: f(2)−f(0) = 2.f ′ (c).

Bài 11 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) Khai triển đa thức P(x) = 1 + 3x+ 5x 2 −2x 3 theo lũy thừa nguyên duơng của (x+ 1).

2) Khai triển hàm f(x) = ln(cosx) theo lũy thừa nguyên duơng của xđến x 3

Bài 13 Dùng quy tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau

[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà xuất bản Đại học Vinh.

[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002),Giải tích toán học, Tập 1,Nhà xuất bản ĐH Sư phạm.

[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.

TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của phép tính tích phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.

IV.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản, cách tính tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và một số ứng dụng của tích phân.

IV.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1 Trình bày được định nghĩa nguyên hàm, tính phân không xác định và tích phân xác định Nắm được các tính chất của tính phân không xác định và tích phân xác định.

2 Biết thực hiện các phương pháp tính tích phân không xác định và tích phân xác định.

3 Biết áp dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích miền phẳng, thể tích, diện tích xung quanh và thể tích của các hình tròn xoay.

4 Biết tính tích phân suy rộng loại 1 và loại 2 và hiểu ý nghĩa của chúng.

IV.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Tích phân của hàm một biến 89

Định nghĩa và các tính chất cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f : (a, b) → R Hàm số F(x) khả vi trên (a, b) được gọi là một nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) nếu

Chú ý 1) Nếu f : [a, b] → R và F ′ (x) = f(x) với mọi x∈ [a, b] trong đó đạo hàm của F tại x=a là đạo hàm bên phải và đạo hàm của F tại x =b là đạo hàm bên trái thì ta cũng gọi F(x)là nguyên hàm của f(x)trên [a, b].

2) Người ta chứng minh được rằng mọi hàm liên tục trên[a, b]đều tồn tại nguyên hàm trên đó. Định lý sau mô tả tập hợp các nguyên hàm của một hàm cho trước Chứng minh của kết quả này có thể đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.

1.1.2 Định lý NếuF(x)là một nguyên hàm của f(x) trên (a, b)thì tập tất cả các nguyên hàm của f(x) trên (a, b) có dạng {F(x) +C :C∈ R }.

1.1.3 Định nghĩa Tập tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên (a, b) được gọi là tích phân không xác định (hay tích phân bất định) của hàm f(x) trên (a, b) và được ký hiệu là ∫ f(x)dx.

Ta gọi f(x) làhàm dưới dấu tích phân, xlà biến số lấy tích phânvà f(x)dx là biểu thức lấy tích phân.

Từ Định lý 1.1.2 và Định nghĩa 1.1.3 ta thấy rằng nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm f(x) thì ta có thể viết

Mặt khác do biểu thức vi phândF(x) =F ′ (x)dxnên tích phân trên còn có thể viết dưới dạng ∫ dF(x) = F(x) +C.

1.1.4 Ví dụ a) Nguyên hàm của hàm e x là chính nó trên toàn bộ R và

∫ e x dx=e x +C. b) Từ(ln|x|) ′ = 1 x với mọix̸= 0, suy raln|x|là nguyên hàm của 1 x trênR \{0}.

Khi đó ∫ dx x = ln|x|+C chỉ được xét trên (−∞,0) hoặc (0,+∞). c) Hàm f(x) = |x| có một nguyên hàm trên R là hàm

Trong Định nghĩa 1.1.1 ta nhận thấy rằng đẳng thức (4.1) không phụ thuộc vào biến số (lấy tích phân) x, t hay u, miễn sao biến số đó thuộc (a, b) Như vậy

∫ f(x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và (a, b) chứ không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân Ta có tính chất sau đây:

1.1.5 Mệnh đề Nếuf(x)có nguyên hàm trên(a, b) thì

∫ f(x)dxkhông phụ thuộc vào biến số lấy tích phân trên (a, b), nghĩa là

∫ f(x)dx ∫ f(u)du= trong đó x, u, đều biến thiên trên (a, b).

Các tính chất sau đây được suy ra từ các định nghĩa.

1.1.6 Mệnh đề Nếu f(x) và g(x) là các hàm có nguyên hàm trên (a, b) và α là hằng số khác 0 thì f(x)±g(x) và αf(x) có nguyên hàm trên (a, b) và a)

1.1.7 Mệnh đề Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a, b) thì a)

Trong tính chất trên ta quy ước lấy đạo hàm hay vi phân của tích phân không xác định là lấy đạo hàm hay vi phân của từng phần tử của nó.

1.1.8 Bảng tích phân không xác định của một số hàm số Từ bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp và định nghĩa nguyên hàm ta có các tích phân không xác định sau đây.

∫ dx x = ln|x|+C, x thuộc khoảng mở không chứa 0;

1.2 Phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần

A Phương pháp đổi biến số

1.2.1 Định lý Giả sử f(x) là một hàm số xác định và có nguyên hàm F(x) trên

1) Nếu φ: (α, β)→(a, b) là một hàm khả vi thì

2) Nếu φ: (α, β)→(a, b) là một hàm khả vi liên tục có hàm ngược ψ(x) sao cho g = (f ◦φ).φ ′ có nguyên hàm G trên (α, β) thì

Từ định lý trên cho ta các phương pháp để tính tích phân bất định, gọi làphương pháp đổi biến số Có hai cách sau đây thường dùng trong phương pháp đổi biến số.

1) Phương pháp 1 Nếu f(x) = g(φ(x))φ ′ (x), x ∈ (a, b) thì bằng cách đặt u=φ(x), nhờ khẳng định 1) của Định lý 1.2.1 ta có

Bài toán dẫn tới đi tìm

Chúng ta minh họa phương pháp đổi biến số này bằng các ví dụ sau:

1.2.2 Ví dụ a) Tìm I 1 ∫ sinxcosxe sin 2 x dx ?

2) Phương pháp 2 Trong một số trường hợp ta có thể đặtx = φ(t) với φ là hàm số thoả mãn điều kiện 2) trong Định lý 1.2.1 Khi đó, ta có

Sau cùng chuyển tích phân về biếnx nhờ hàm ngược t=ψ(x).

Chúng ta minh họa phương pháp đổi biến số này bằng các ví dụ sau:

Hàm dưới dấu tích phân chỉ xác định trên [−a, a] Đặt x = φ(t) = asint, t∈[−π

2] Khi đó φ có hàm ngược trên[−a, a] làt = arcsinx a Theo điều kiện 2) của Định lý 1.2.1 ta có

√x 2 +a 2 (a > 0) Đăt x = φ(t) = asht, t ∈ (−∞,+∞). Khi đóφ có hàm ngược được xác định t = ln(x+√ x 2 +a 2 ).

Tương tự bằng cách đặt x=acht ta tính được

√x 2 −a 2 (a >0) = ln|x+√ x 2 −a 2 |+C. c) Tính J 3 ∫ √ x 2 +a 2 dx, (a >0).Đặt x=asht ta có

Hoàn toàn tương tự ta tính được

B Phương pháp tích phân từng phần

Giả sửu(x), v(x) là các hàm khả vi trên một khoảng(a, b) nào đó Khi đó

Như vậy nếu một trong hai hàm u ′ (x)v(x), u(x)v ′ (x) có nguyên hàm thì hàm kia cũng có nguyên hàm và ta có công thức

∫ v(x)u ′ (x)dx. hay viết gọn ∫ udv=uv−

Công thức (4.4) được gọi là công thức tích phân từng phần.

1.2.4 Ví dụ a) Tính I 1 ∫ xarctanxdx. Đặtu= arctanxvàdv=xdx Ta nhận đượcdu= dx

2 Theo công thức tích phân từng phần ta có

2(x 2 arctanx−x+ arctanx) +C. b) Tính I 2 ∫ x n lnxdx (n ̸=−1). Đặt u= lnx và dv=x n dx Suy ra du= dx x và v = x n+1 n+ 1 Ta thu được

(n+ 1) 2 +C. c) Tính I ∫ e ax cosbxdx và J ∫ e ax sinbxdx, trong đó a, b là các hằng số khác0. Đặt u=e ax và dv= cosbxdx Suy ra du=ae ax dx và v = sinbx b Khi đó ta có

∫ e ax sinbxdx= 1 be ax sinbxdx− a bJ (4.5)

Từ (4.5) và (4.6) ta thu được

Chú ý 1) Việc tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần phụ thuộc rất nhiều vào cách chọnuvàdv sao cho phù hợp Nói chung trong mỗi tích phân cụ thể có thể có nhiều cách chọn khác nhau.

∫ f(x)dx trong trường hợp f(x) là tích của một đa thức với hàm số mũ, hàm số lượng giác hoặc các hàm số ngược của chúng người ta thường dùng phương pháp tích phân từng phần.

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp tính tích phân bất định của một số lớp hàm sơ cấp thường gặp Đầu tiên ta sẽ đến với tích phân của hàm hữu tỷ.

Tích phân các hàm hữu tỷ

1.3.1 Phương pháp chung Trong phần này chúng ta sẽ trình bày phương pháp chung để tính tích phân bất định của hàm hữu tỷ Hàm hữu tỷ là hàm được viết dưới dạng thương của hai đa thức hệ số thực f(x) = P(x

Q(x), trong đó Q(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 Về mặt lý thuyết tích phân này có thể tính được theo các bước:

1) Phân tích f(x) thành tổng của một đa thức và các phân thức hữu tỷ đơn giản Phân thức hữu tỷ đơn giản là các phân thức có dạng sau

(x 2 +px+q) m , trong đóx 2 +px+q bất khả quy trongR tức là tam thức bậc haix 2 +px+qkhông có nghiệm thực; A, B và C là các hằng số.

2) Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản.

1.3.2 Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đơn giản Trước hết bằng phép chia đa thức ta có thể viết lại f(x) = P(x)

Q(x), trong đó R(x), P 1 (x)là các đa thức và bậc của P 1 (x)bé hơn bậc của Q(x) Do tích phân của đa thức R(x) được tính đơn giản nên việc tính tích phân của f(x) quy về tính

Q(x)dx.Như vậy chúng ta chỉ cần xét cho trường hợp f(x) = P(x

Q(x),với bậc củaP(x)bé hơn bậc của Q(x).

Theo định lý cơ bản trong lý thuyết đa thức đại số, đa thức Q(x)luôn phân tích được dưới dạng sau:

∑ m j=1 l j = bậc củaQ(x) và x 2 +p j x+q j là đa thức bậc 2 bất khả quy trong R với mọi j = 1,2, , m.Khi đó, f(x) = P(x)

Q(x) có thể phân tích được dưới dạng sau

Bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định (quy đồng và đồng nhất các hệ số cùng bậc ở tử số ) ta sẽ tìm được các hệ sốA i,s , B j,r và C j,r trong đẳng thức trên.

Ví dụ.Xét phân thức f(x) = P(x)

Ta có Q(x) =x 5 −4x 2 + 3x=x(x−1) 2 (x 2 + 2x+ 3) Dó đó có thể viết

Quy đồng mẫu số và đồng nhất các hệ số cùng bậc ở tử số hai vế với nhau ta thu được một hệ phương trình tuyến tính với các ẩnA, B, C, D vàE Giải hệ này ta có

1.3.3 Tính tích phân các phân thức hữu tỷ đặc biệt Trong phần này chúng tôi trình bày cách tính các phân thức hứu tỷ đặc biệt sau:

Ta dễ dàng có được

(x 2 +px+q) m (m ≥1). Đầu tiên có thể viết được tích phân này dưới dạng

1 (x 2 +px+q) m − 1 +C nếu m >1 nên để tính J m ta chỉ cần tính tích phân K m ∫ dx

(x 2 +px+q) m Vì tính bất khả quy củax 2 +px+qnên nó có thể viết được dưới dạng x 2 +px+q = (x+b) 2 +c 2 (c̸ 0). a) Nếu m = 1 thì

((x+b) 2 +c 2 ) m Suy ra du=dx và v = 1

Theo công thức tích phân từng phần ta có

Ta thu được công thức quy nạp

Vậy tích phânK m được tính hoàn toàn.

Như vậy tích phân bất định của hàm hữu tỷ hoàn toàn tính được.

1.3.4 Một số ví dụ tính tích phân các hàm hữu tỷ Bây giờ chúng tôi giới thiệu một số ví dụ áp dụng các phương pháp tính tích phân các hàm hữu tỷ đã trình bày ở trên.

Thực hiện phép chia đa thức ta có

Vì vậy theo Ví dụ ở Mục1.3.2 ta có

Ta có x 4 +x=x(x+ 1)(x 2 −x+ 1) Viết lại hàm dưới dấu tích phân dưới dạng

Bằng phương pháp hệ số bất định ta thu được A = 1, B =−1, C = 0, D = 2 Suy ra

Chú ý Trong một số trường hợp đặc biệt người ta có thể dùng phương pháp đổi biến số thích hợp sẽ cho cách tính tích phân đơn giản hơn so với phướng pháp hệ số bất định Đặc biệt khi mẫu số là các đa thức bậc cao. c) Tính tích phân

Đặt u=x+ 1 x suy ra du= (1− 1 x 2 )dx Ta thu được

Tích phân một số hàm vô tỷ

Trong mục này, chúng ta trình bày cách tính tích phân bất định của một số hàm vô tỷ bằng phương pháp đổi biến số thích hợp để đưa về tích phân của hàm hữu tỷ.

1.4.1 Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R(x, x m n , , x s r ), trong đó R là hàm số hữu tỷ nhiều biến và m, n, s, r, ∈ N ∗ Để tính

R(x, x m n , , x s r )dx ta dùng phép đổi biến số t=x 1 k trong đó k là bội chung nhỏ nhất của n, , s Khi đó

R(t k , t k 1 , , t k l )kt k − 1 dt là tích phân của một hàm hữu tỷ.

Ví dụ.Tính tích phân

√ 3 x+√ 4 xdx. Đặt t=x 12 1 Suy ra x=t 12 và dx= 12t 11 dt Ta có

1.4.2 Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R

, trong đó a, b, c, d là các hằng số, n là số tự nhiên, ad−bc ̸= 0 và R(u, v) là một hàm hữu tỷ theo các biến u, v Để tính tích phân

) dx ta thực hiện phép đổi biến số t= n

√ax+b cx+d hay t n = ax+b cx+d.

Thực hiện phép thay biến ta nhận được một tích phân của hàm hữu tỷ.

√x+ 1 x−1 Kéo theot 3 = x+ 1 x−1, suy ra x= t 3 + 1 t 3 −1 và dx= −6t 2 (t 3 −1) 2

1.4.3 Tích phân các hàm vô tỷ có dạng: R(x,√ ax 2 +bx+c), trong đó a, b, c là các hằng số ( a̸= 0, R(u, v)) là một hàm hữu tỷ.

Trong trường hợp này, người ta dùng phép đổi biến số còn gọi là phép đổi biến Euler.

1) Nếu ax 2 +bx+c có hai nghiệm thực x 1 và x 2 thì ta dùng phép đổi biến t √x−x 1 x−x 2 nếu a >0.

Khi đó, ta nhận được ax 2 +bx+c= (x+ b

2) Nếu ax 2 +bx+ckhông có nghiệm thực, tức ∆ =b 2 −4ac < 0và a >0(nếu a 0) là biểu diễn tham số của Elip trong R 2 có phương trình x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1.

3) Cho f là hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó ánh xạ γ f : [a, b]→ R 2 xác định bởi γ f (x) =( x, f(x))

, x∈[a, b] cho ta biểu diễn tham số một cung trongR 2 , là đồ thị của hàm số f.

3.1.3 Định nghĩa Xét cung trong R 2 hoặc R 3

Cho cung đơn γ :=γ([a, b]) = AB ⌢ Cho T là một phân hoạch của [a, b] với các điểm chia a=t 0 < t 1 < < t n =b.

Từ đây ta phân hoạch cung γ([a, b]) ⌢

AB bởi các điểm chia

Nối các điểm M i − 1 và M i bằng một đoạn thẳng (i= 1,2, , n) ta được một đường gấp khúc ký hiệu là γ(T) Gọi d(M i − 1 , M i ) là khoảng cách giữa hai điểm M i − 1 và

Từ tính liên tục của γ suy ra nếu đường kính của phân hoạch d(T) → 0 thì d(γ(T))→0 Nếu độ dài đường gấp khúcγ(T)có giới hạn hữu hạn khid(γ(T))→0 thì ta nói cungγ có độ dài và giới hạn đó được gọi làđộ dài của cung γ, ký hiệu là l(γ).

3.1.4 Công thức tính độ dài cung Chúng ta lập công thức tính độ dài các cung trơn, đơn trong R 2 Xét phân hoạchT của [a, b] với các điểm chia a=t 0 < t 1 < < t n =b. Đặt M i = γ(t i ) = ( x(t i ), y(t i ))

, i = 1,2, , n Theo công thức số gia giới nội Lagrange ta có x(t i )−x(t i − 1 ) = x ′ (ξ i )∆t i ; y(t i )−y(t i − 1 ) =y ′ (η i )∆t i , trong đó ∆t i =t i −t i − 1 vàξ i , η i ∈[t i − 1 , t i ] Khi đó độ dài đoạn thẳng

Vậy độ dài đường gấp khúcγ(T) là l(γ(T)) ∑ n i=1

Khi đó, do các hàm x(t), y(t)là khả vi liên tục trên [a, b] nên

)2 khả tích trên [a, b] Vì vậy lim d(T ) → 0 σ(T, ξ) ∫ b a

Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra lim d(T ) → 0 l(γ(T)) ∫ b a

)2 dt. Áp dụng bất đẳng thức

Vì y ′ (t) liên tục trên [a, b] nên nó liên tục đều trên đoạn đó Khi đó với mọi ε >0 tồn tạiδ 1 >0sao cho với mọi T là phân hoạch của[a, b]mà d(T)< δ 1 ta có

)2 dt=I và định nghĩa tích phân tồn tại δ 2 >0 sao cho với mọi phân hoạch T của [a, b] mà d(T)< δ 2 ta có

2 (4.10) Đặt δ = min{δ 1 , δ 2 } Từ (4.9) và (4.10) ta suy ra với mọi phân hoạch T của [a, b] mà d(T)< δ l(γ(T))−I|6l(γ(T))−σ(T, ξ)+σ(T, ξ)−I= ε

Vậy độ dài cungγ là l(γ) ∫ b a

Tương tự nếu γ là cung trơn, đơn trong R 3 có biểu diễn tham số γ(t) = ( x(t), y(t), z(t))

, t∈[a, b] thì độ dài cung được tính theo công thức l(γ) ∫ b a

Nếuf : [a, b]→ Rlà một hàm khả vi liên tục Độ dài cung phẳngγ f =( x, f(x))

Nếu γ là cung trơn, đơn có phương trình trong toạ độ cực là r =r(φ), α6φ6β.

3.1.5 Ví dụ 1) Tính độ dài cung Γ có phương trình tham số

06t 62π, (a >0). Áp dụng công thức tính độ dài cung trong R 2 ta có l(Γ) ∫2π

2) Tính độ dài cung có phương trìnhy=achx a(a >0)từ điểmA(0, a)đến điểm

B(b, h) (b >0) Áp dụng công thức (4.12) ta có l(AB) = ⌢

3) Tính độ dài cung Γ cho bởi phương trình trong toạ độ cực. r =a(1 + cosφ), 06φ62π.

Cung đã cho là kín, đối xứng Áp dụng công thức (4.13) ta có l(Γ) = 2

Tính diện tích hình phẳng

A Tính diện tích hình phẳng trong hệ toạ độ Đềcác

3.2.1 Khái niệm diện tích của miền trong R 2 Cho Dlà một miền trong R 2 Gọi F ∗ (D) là tập hợp các đa giác nằm trong D và F ∗ (D) là tập hợp tất cả các đa giác chứaD.

Ký hiệu S(P) là diện tích của đa giác P Khi đó

NếuS ∗ (D) = S ∗ (D) thì ta nói miền D có diện tích hay đo được và giá trị

S(D) = S ∗ (D) =S ∗ (D) gọi là diện tích của miềnD.

3.2.2 Diện tích tích hình thang cong Trong R 2 với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy cho miền D giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, y = f(x) trong đó f(x) liên tục trên [a, b] và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] D được gọi là một hình thang cong Theo định nghĩa S ∗ (D)và S ∗ (D), với mọi phân hoạchT của[a, b]ta có s f (T)6S ∗ (D)6S ∗ (D)< S f (T). trong đó s f (T) và S f (T) lần lượt là các tổng Darboux trên và dưới của f đối với phân hoạch T Từ giả thiết f liên tục kéo theo f khả tích trên [a, b] Do dó lim d(T ) → 0

Do đó hình thang cong D có diện tích là

Tương tự nếu f(x)0, ∀x∈[a, b]. a b x y z x

Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay

Ω Dễ thấy thiết diện của vật thể này cắt bởi mặt phẳngx=x 0 , x 0 ∈[a, b] là hình tròn có bán kính làf(x 0 ).Do đó diện tích của thiết diện là

Vì vậy thể tích của vật thể tròn xoay Ωlà

3.4.2 Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oxhình phẳng được giới hạn bởi các đườngy= 2x−x 2 và y= 0.

Hoành độ giao điểm của hai đường là x= 0và x= 2 Thể tích khối tròn xoay là

Tính diện tích xung quanh của mặt tròn xoay

3.5.1 Công thức tính Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường x =a, x b, y =f(x) (a < b) trong đó f là hàm khả vi liên tục trên [a, b] và f(x) > 0,∀x ∈

[a, b] Quay hình thang quanh trụcOx ta nhận được vật thể tròn xoayΩ Chúng ta sẽ đưa ra khái niệm và thành lập công thức tính diện tích xung quanh của vật thể này.

Xét phân hoạch T của [a, b] bởi các điểm chia a=x 0 < x 1 < < x n =b.

Khi đó đường cong y=f(x), (x∈[a, b]) được chia thànhn cung nhỏ bởi các điểm

Khi quay các đoạn thẳng M i − 1 M i quanh trục Ox sẽ tạo thành các hình nón cụt có diện tích xung quanh là

S i =πl i ( f(x i − 1 ) +f(x i )) trong đóf(x i − 1),f(x i )lần lượt là các bán kính của mặt cắt vàl i là độ dài của đoạn thẳng M i − 1 M i Áp dụng định lý số gia giới nội Lagrange ta có l i √

∆x i ( f(x i − 1 ) +f(x i )) là một giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể Ω Nếu P n có giới hạn hữu hạn khi d(T)→0 thì giới hạn đó được gọi là diện tích xung quanh của Ω.

Vì f có đạo hàm liên tục nên tồn tại tích phân

Tương tự như trong phần 3.1.4 về thiết lập công thức tính độ dài cung ta chứng minh được lim d(T )→0 P n ∫ b a

Vậy diện tích xung quanh của vật thểΩ là

3.5.2 Ví dụ Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay Ω khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đườngy = 0, y =e x , x= 0, x= 1 quanh trục Ox.

Một số ứng dụng vật lý

A Tính công một lực biến thiên trên đường thẳng

3.6.1 Công thức tính Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho một chất điểm có khối lượng m = 1 chuyển động từ x = a tới x = b trên trục Ox dưới tác dụng của một lực −→

F có cường độ biến thiên theo hàm F(x) Tính công của lực −→

F sinh ra khi lực làm chất điểm chuyển động từ x=a đến x=b?

Giả sử T là phân hoạch của[a, b] bởi các điểm chia a=x 0 < x 1 < < x n =b.

Trên mỗi đoạn con ∆ i lấy điểm ξ i tuỳ ý Nếu d(T) bé thì có thể xem trên mỗi ∆ i cường độ lực là không đổi và bằng F(ξ i ), i= 1,2, , n Khi đó, trên mỗi đoạn ∆ i công có thể tính gần đúng bằng α i =F(ξ i )∆ i

F(ξ i )∆ i là giá trị xấp xỉ công cần tính Nếu khi d(T) →0 thì A n dần đến giá trị hữu hạn, giới hạn đó là công cần tínhA Đặc biệt nếu F khả tích thì

3.6.2 Ví dụ Lực đẩy của hai điện tích e 1 và e 2 cùng dấu đặt cách nhau một khoảng r được cho bởi công thức

Giả sửe 1 được đặt tại điểm gốc có hoành độ x= 0 Hãy tính công sinh ra khi điện tích e 2 được đẩy trên đường thẳng Ox từ điểm có hoành độ x = r 1 đến điểm có hoành độ x=r 2

Ta có công của lực đẩy là

B Tính khối lượng, mômen, trọng tâm của một đoạn vật chất

3.6.3 Công thức tính Giả sử có một đoạn vật chất [a, b] nằm trên trục Ox và tại mỗi điểmx∈[a, b]đoạn vật chất này có mật độ khối lượng là ρ(x) Bằng lý luận tương tự như các mục trên ta chứng minh được các công thức a) Khối lượng của đoạn vật chất m ∫ b a ρ(x)dx. b) Mômen khối lượng của đoạn vật chất [a, b]đối với điểm x=a

M x=a ∫ b a xρ(x)dx. c) Trọng tâm của đoạn vật chất x G ∫ b a xρ(x)dx

3.6.4 Ví dụ Trên trục toạ độ Ox cho đoạn vật chất OA có mật độ khối lượng phân bố theo phương trình của hoành độ ρ(x) = x 2

Giả sử A có hoành độx=a Tìm khối lượng, trọng tâm của đoạn vật chất OA.

Khối lượng của đoạn vật chất là m ∫ a

3 Mômen khối lượng của đoạn vật chất đối với điểmO là M x=0 ∫ a

Hoành độ trọng tâm của đoạn vật chất là x G ∫ a

Trong phần trước chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định của một hàm số Khi đó, hàm dưới dấu tích phân là hàm bị chặn và tập lấy tích phân [a, b] là tập bị chặn Trong lý thuyết và ứng dụng việc mở rộng tập lấy tích phân lên miền không bị chặn; cũng như hàm dưới dấu tích phân không bị chặn là rất cần thiết.Trong phần này chúng ta nghiên cứu hai hướng mở rộng này và thu được hai loại tích phân suy rộng.

Tích phân suy rộng loại I

Choa∈ Rvàf : [a,+∞)→ Rlà một hàm khả tích trên mọi đoạn[a, b],(b >a).

F(b) ∫ b a f(x)dx, b >a (4.20) xác định một hàm F : [a,+∞)→ R Ta có định nghĩa sau

4.1.1 Định nghĩa Nếu hàm F trong (4.20) có giới hạn I (hữu hạn hoặc vô hạn) khi b → +∞ thì I được gọi là tích phân suy rộng của hàm f trên [a,+∞) và ký hiệu ∫ + ∞ a f(x)dx (4.21)

Như vậy ta có thể viết

∫ a f(x)dx làtích phân suy rộng loại I.

Trong định nghĩa trên nếuI là hữu hạn thì ta nói rằng tích phân

∫ a f(x)dxhội tụ về I và viết ∫ + ∞ a f(x)dx=I.

Ngược lại, nếuI vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân

Tương tự như trên ta có định nghĩa sau:

4.1.2 Định nghĩa Chof : (−∞, a]→ Rlà hàm khả tích trên mọi đoạn[b, a],(b 6 a) Tích phân suy rộng của hàm f trên (−∞, a] là giới hạn (nếu có)

4.1.3 Định nghĩa Cho f : (−∞,+∞) → R là hàm khả tích trên mọi đoạn

[a, b], (a6b) Tích phân suy rộng của hàm f trên (−∞,+∞) được xác dịnh bởi

∫ + ∞ a f(x)dx (4.24) trong đó a∈ R và tổng trong vế phải là có nghĩa.

Ta có thể chứng minh được sự xác định của

−∞ f(x)dx không phụ thuộc vào a∈ R

4.1.4 Ví dụ 1) Tính tích phân

Ví dụ sau đây là một kết quả thường được sử dụng trong khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng loại I.

4.1.5 Ví dụ Xét sự hội tụ của tích phân

Ta có với b > a > 0 hàm f(x) = 1 x α = x − α liên tục trên [a, b] Do đó

∫ b a dx x α là tồn tại và

Vậy tích phân hội tụ khi và chỉ khiα >1.

Từ định nghĩa tích phân suy rộng loại I và các tính chất của giới hạn hàm số chúng ta dễ dàng có các tính chất sau (việc chứng minh dành cho bạn đọc).

4.1.6 Định lý Điều kiện cần và đủ để

∫ a f(x)dx hội tụ là với mọi ε > 0 tồn tại b 0 > a sao cho

∫ a f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi

A f(x)dx hội tụ với mọiA>a và

∫ a f(x)dx hội tụ thì lim

∫ a g(x)dx hội tụ Khi đó,

(αf(x) + βg(x)) dx hội tụ với mọi α, β ∈ R và

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu về tích phân suy rộng của hàm không âm Đối với hàm không âm ta sẽ có nhiều dấu hiệu tốt cho việc khảo sát sự hội tụ của nó.

4.1.9 Định lý Cho hàm f : [a,∞) → R , f(x) > 0 với mọi x > a và f khả tích trên mọi [a, b], (a < b) Khi đó,

∫ a f(x)dx hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại K >0 sao cho

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4. Định lý sau còn gọi là dấu hiệu so sánh.

4.1.10 Định lý Cho các hàm f, g : [a,∞)→ R , 06f(x)6g(x), ∀x>a và f, g khả tích trên mọi [a, b], (a < b) Khi đó,

Chứng minh của định lý này suy trực tiếp từ Định lý 4.1.9.

Từ Định lý 4.1.7 và Định lý 4.1.10 ta có hệ quả sau Chứng minh của nó dành cho bạn đọc.

4.1.11 Hệ quả Cho f, g : [a,∞)→ R là hai hàm không âm trên [a,+∞) và f, g khả tích trên mọi [a, b], (a < b) Giả sử lim x → + ∞ f(x) g(x) =A, (06A6+∞) Khi đó

∫ a f(x)dx hội tụ (phân kỳ) khi và chỉ khi

∫ a g(x)dx hội tụ (tương ứng phân kỳ).

4.1.12 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của tích phân

Viết lại tích phân dưới dạng

1 +x 5 dx hội tụ Thật vậy, ta có

1 dx x 3 2 hội tụ suy ra

Trong phần còn lại của mục này ta sẽ nghiên cứu tích phân suy rông loại I của hàm với dấu tùy ý.

4.1.13 Định nghĩa Cho tích phân

∫ a f(x)dx Tích phân này được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân

4.1.14 Định lý Nếu tích phân

∫ a f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.

4.1.15 Nhận xét Chiều ngược lại trong định lý trên không đúng Xét tích phân

1 sinx x dx Theo phương pháp tích phân từng phần ta có

1 cosx x 2 dx hội tụ, nghĩa là b → lim+ ∞

Từ lim b → + ∞ cosb b = 0 ta thu được

∫ a sinx x dx hội tụ tuyệt đối Khi đó, bất đẳng thức sin 2 x x 6sinx x

1 sin 2 x x dx hội tụ Viết lại tích phân

Tương tự như trên ta chứng minh được

1 cos 2x 2x dxhội tụ Suy ra

1 2xdxhội tụ Ta nhận được điều vô lý Vậy

∫ a sinx x x hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.

Sau đây, chúng ta trình bày một vài dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của tích phân suy rộng loại I của hàm có dấu tuỳ ý Đầu tiên là dấu hiệu Abel.

4.1.16 Định lý Cho các hàm f, g: [a,+∞)→ R Nếu

2) Hàm g đơn điệu và bị chặn trên[a,+∞), thì

Tiếp theo là dấu hiệu Dirichlet.

4.1.17 Định lý Cho các hàm f, g: [a,+∞)→ R Giả sử

2) Hàm g đơn điệu và lim x → + ∞ g(x) = 0.

Chúng ta bỏ qua chứng minh các định lý này Nếu bạn đọc quan tâm các chứng minh có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4 .

4.1.18 Ví dụ Với α >0 các tích phân

1 cosx x α dx hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet.

Tích phân suy rộng loại II

Trong mục này ta xét tích phân

∫ b a f(x)dxtrong đóf là hàm không bị chặn trên

[a, b] Tích phân này còn được gọi là tích phân suy rộng loại II.

4.2.1 Định nghĩa Cho c ∈ [a, b] và hàm số f xác định trên [a, b] trừ tại điểm x =c Nếu tồn tại một lân cận U của điểm c trong [a, b] sao cho f không bị chặn trên U \ {c} thì ta gọi clà điểm kì dị của f.

4.2.2 Ví dụ Điểmx= 0 là điểm kỳ dị của hàm f(x) = 1 x trên [0,1] Điểm x= 1 là điểm kỳ dị của hàmf(x) = 1 lnx trên [1,+∞).

4.2.3 Định nghĩa Cho f : [a, b)→ R và b là điểm kì dị củaf Giả sử f khả tích trên mọi đoạn[a, b−ε] với 0< ε < b−a Nếu tồn tại giới hạn lim ε → 0

∫ b − ε a f(x)dx, thì ta gọi I là tích phân suy rộng loại II của f trên [a, b] và ký hiệu là

Tương tự nếu f : (a, b]→ R, a là điểm kì dị của f và f khả tích trên mọi đoạn [a+ε, b] với 0< ε < b−a thì ta định nghĩa

Nếu c∈(a, b)là điểm kì dị của hàm f trên [a, b] thì ta định nghĩa

∫ b c f(x)dx, trong đó các tích phân

∫ b c f(x)dx được xác định như trên và tổng ở vế phải là hữu hạn.

Nếu các giới hạn trong (4.28), (4.29) tồn tại và hữu hạn thì ta nói các tích phân tương ứng hội tụ Nếu ngược lại thì các tích phân tương ứng được gọi là phân kỳ.

1−x 2 Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) = 1

√1−x 2 với điểm kì dị làx= 1.

Từ định nghĩa ta có

(x−a) α , (a < b, α ∈ R). Đây là một tích phân suy rộng của hàmf(x) = dx

(x−a) α với điểm kì dị làx=a.

(x−a) α hội tụ nếu α 1.

4.2.6 Nhận xét 1) Bằng phép đổi biến x=b+aưu thì điểm kì dị a của f(x) được đưa về điểm kì dịb của hàmg(u) =f(b+aưu)trên [a, b] Như vậy ta chỉ cần khảo sát tích phân suy rộng có dạng

∫ b a f(x)dx với b là điểm kì dị.

2) Bằng phép đổi biến x=b− 1 y thì tích phân b − ε

Vì vậy tích phân suy rộng loại II có dạng

∫ b a f(x)dx có thể đưa về tích phân suy rộng loại I có dạng

Như vậy các tính chất của tích phân suy rộng loại II có thể suy ra từ các tính chất của tích phân suy rộng loại I.

Trong mục này, chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại II, bỏ qua các chứng minh Như nhận xét trong mục trước, ta có thể nhận được các tính chất này từ các tính chất của tích phân suy rộng loại I Trong cả mục này, chúng ta xét tích phân

∫ b a f(x)dxvớib là điểm kì dị Tuy nhiên các kết quả này vẫn còn đúng cho trường hợp a là điểm kì dị.

4.2.7 Định lý Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng

∫ b a f(x)dx hội tụ là với mọi ε >0 tồn tại δ 0 >0 sao cho

4.2.8 Định lý Cho f : [a, b) → R và f(x) >0, ∀x ∈ [a, b) Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng

∫ b a f(x)dx hội tụ là tồn tại K >0 sao cho

4.2.9 Định lý Cho f, g : [a, b) → R là các hàm số không âm, f(x)6 g(x) ∀x ∈

[a, b) và b là điểm kì dị của chúng Khi đó,

4.2.10 Hệ quả Giả sửf,g xác định như trong định lý trên và lim x → b − f(x) g(x) =K (06

∫ b a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

4.2.11 Ví dụ Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

Ta có f(x) = 1 sin α x > 0 với mọi x ∈ (0,1] Xét hàm g(x) = 1 x α > 0 với mọi x∈(0,1] Ta có lim x → 0 + f(x) g(x) = lim x → 0 + x α sin α x = 1 và

0 dx x α hội tụ khi và chỉ khi α n 0 và mọi p∈ N Định lý sau đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa Bạn đọc tự chứng minh.

1.2.5 Định lý Nếu các chuỗi số ∑ ∞ n=1 a n , ∑ ∞ n=1 b n hội tụ, có tổng lần lượt là a, b và α∈ R , thì các chuỗi ∑ ∞ n=1

(a n +b n ), ∑ ∞ n=1 αa n cũng hội tụ và lần lượt có tổng là a+b,αa.

Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ

Trong mục này chúng ta nghiên cứu lớp các chuỗi số dương, đối với loại chuỗi này có nhiều dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của nó.

1.3.1 Định nghĩa Chuỗi số ∑ ∞ n=1 a n được gọi là chuỗi số dươngnếu a n >0 với mọi n≥1.

Nhận xét Đối với chuỗi số dương, dãy tổng riêng của nó luôn là dãy tăng Do đó nhờ tính chất của giới hạn ta suy ra chuỗi số dương ∑ ∞ n=1 a n hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng của nó bị chặn Trong trường hợp chuỗi ∑ ∞ n=1 a n phân kỳ thì tổng của chuỗi sẽ là +∞ Sau đây, chúng ta đưa ra một số dấu hiệu để nhận biết sự hội tụ của các chuỗi số dương. Định lý sau cho một phương pháp so sánh theo giới hạn, chứng minh của nó bạn đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

1.3.2 Định lý (Dấu hiệu so sánh 1)Cho các chuỗi số dương ∑ ∞ n=1 a n , ∑ ∞ n=1 b n Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn l= lim n →∞ a n b n Khi đó, ta có các kết luận sau:

1) Nếu 0< l 0 và n 0 ∈ N sao cho a n 6K.b n , với mọi n >n 0 Khi đó

1) Nếu chuỗi ∑ ∞ n=1 b n hội tụ thì chuỗi ∑ ∞ n=1 a n hội tụ.

2) Nếu chuỗi ∑ ∞ n=1 a n phân kỳ thì chuỗi ∑ ∞ n=1 b n phân kỳ.

1.3.4 Nhận xét Người ta chứng minh được rằng chuỗi ∑ ∞ n=1

1 n s (với s là hằng số) hội tụ nếus >1và phân kỳ nếus61(xem Ví dụ 1.3.13) Nhờ tính chất này, chuỗi

1 n s thường được dùng làm chuẩn để so sánh, khi xét sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi số dương.

Bây giờ chúng ta đến với một vài ví dụ áp dụng dấu hiệu so sánh.

1.3.5 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:

= 1 Vì vậy từ dấu hiệu so sánh 1 và sự hội tụ của chuỗi

1 n α ta suy ra chuỗi ∑ ∞ n=1 sin 1 n α hội tụ với α >1và phân kỳ với α61.

1.3.6 Định lý (Dalambert) Cho chuỗi số dương ∑ ∞ n=1 a n Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn d= lim n →∞ a n+1 a n Khi đó

1) Nếu 06d 1 thì chuỗi phân kỳ.

1.3.7 Nhận xét Nếu d= lim n →∞ a n+1 a n = 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các dấu hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.

1.3.8 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑ ∞ n=1 n!a n n n (a >0).

Ta có a n = n!a n n n và d = lim n →∞ a n+1 a n = lim n →∞ a

Vậy theo dấu hiệu Dalambert ta có.

- Với a < e tức là d e tức là d >1, thì chuỗi phân kỳ.

-Với a=e tức là d= 1, thì chưa có kết luận.

Tuy nhiên, từ bất đẳng thức (

< e với mọin ta nhận được a n+1 a n = e

(1 + n 1 ) n >1 với mọi n Suy ra a n+1 > a n với mọi n Do đó a n > a 1 = e với mọi n Vì vậy n lim →∞ a n ̸= 0 Do đó chuỗi phân kỳ.

1.3.9 Định lý (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương ∑ ∞ n=1 a n Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn c= lim n →∞

1) Nếu 06c 1 thì chuỗi phân kỳ.

√ n a n = 1thì chúng ta chưa thể kết luận được tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các dấu hiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi.

2) Trong Định lý 1.3.9 nếu thay giới hạn c = lim n →∞

√ n a n bởi giới hạn trên c n lim →∞

√ n a n thì kết luận của định lý vẫn còn đúng.

1.3.11 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi số đã cho hội tụ.

Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ.

1.3.12 Định lý (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương ∑ ∞ n=1 a n Giả sử tồn tại hàmf(x)đơn điệu giảm và liên tục trên[a,+∞)với a>1sao chof(n) = a n với mỗi n = 1,2, Khi đó nếu tích phân suy rộng

∫ a f(x)dx hội tụ (tương ứng phân kỳ) chuỗi ∑ ∞ n=1 a n hội tụ (tương ứng phân kỳ).

Chứng minh của định lý này bạn đọc tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],

[2], [3], [5] của chương 5 Chúng ta đến với một ví dụ áp dụng của nó.

1.3.13 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ ∞ n=1

1 n s = +∞, nhờ điều kiện cần để chuỗi hội tụ ta suy ra chuỗi phân kỳ.

- Với s= 0 thì dễ thấy chuỗi đã cho phân kỳ.

- Với s > 0 ta xét hàm số f(x) = 1 x s trên [1,+∞) Ta có f ′ (x) = −s x s+1 < 0 với mọi x > 1 Do vậy f(x) đơn điệu giảm trên [1,+∞) Hơn nữa a n = 1 n s =f(n) với mỗi n= 1,2, Mặt khác ta có

Vì vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy chuỗi ∑ ∞ n=1

1 n s hội tụ nếu s > 1 và phân kỳ nếus ≤1.

Chuỗi có dấu tuỳ ý

Trước hết ta xét một trường hợp đặc biệt của chuỗi có dấu bất kỳ là chuỗi đan dấu, đó là trường hợp các số hạng của chuỗi lần lượt nhận dấu dương rồi dấu âm, hoặc lần lượt nhận dấu âm rồi dấu dương.

1.4.1 Định nghĩa Cho {a n } là dãy số dương Chuỗi số có dạng ∑ ∞ n=1

(−1) n a n ) được gọi là chuỗi đan dấu.

Sự hội tụ của chuỗi đan dấu thường được nhận biết bởi dấu hiệu sau.

1.4.2 Định lý (Dấu hiệu Leibnitz) Nếu a n là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn) và lim n →∞ a n = 0 thì chuỗi đan dấu ∑ ∞ n=1

1.4.3 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi

2n−1 = 0 Theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi hội tụ.

= (−1) n sin1 n và vì dãy {a n } với a n = sin 1 n là dãy đơn điệu giảm hội tụ về 0 Do đó theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi đã cho hội tụ.

1.4.4 Định nghĩa Chuỗi số ∑ ∞ n=1 a n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∑ ∞ n=1

|a n | hội tụ Một chuỗi hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện hay bán hội tụ.

Nhận xét Dùng tiêu chuẩn Cauchy bạn đọc có thể chứng minh được mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ Điều ngược lại nói chung là không đúng.

1.4.5 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∑ ∞ n=1

(−1) n − 1 n p ̸= 0 Do đó chuỗi phân kỳ.

1 n p hội tụ, tức là chuỗi ∑ ∞ n=1

1 n p phân kỳ, tức là chuỗi ∑ ∞ n=1

(−1) n − 1 n p không hội tụ tuyệt đối Tuy nhiên trong trường hợp này dễ thấy chuỗi ∑ ∞ n=1

(−1) n − 1 n p hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz Như vậy chuỗi này bán hội tụ.

1.4.6 Định lý (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử

1) Chuỗi ∑ ∞ n=1 a n có dãy tổng riêng bị chặn, nghĩa là tồn tại M >0 sao cho

2) b n là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn ) và lim n→∞ b n = 0.

Khi đó, chuỗi số ∑ ∞ n=1 a n b n hội tụ.

1.4.7 Định lý (Dấu hiệu Abel) Giả sử

2) b n là dãy số đơn điệu và bị chặn.

Khi đó, chuỗi số ∑ ∞ n=1 a n b n hội tụ.

Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo

1.4.8 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ ∞ n=1 cos 2n n

2 sin 1(sin(2n+ 1)−sin 1)< 1 sin 1 với mọi n Như vậy, chuỗi ∑ ∞ n=1 cos 2n có dãy tổng riêng bị chặn Mặt khác b n = 1 n đơn điệu giảm về0 Theo dấu hiệu Dirichlet thì chuỗi ∑ ∞ n=1 cos 2n n hội tụ.

Các khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa Cho X ⊆ R Ký hiệuAlà tập hợp tất cả các hàm số xác định trênX và N ∗ ={1,2, }Ta gọi mỗi ánh xạf :N ∗ → A đặt tương ứng mỗin ∈ N ∗ với một hàmf(n)∈ A là một dãy hàm xác định trênX.

Ta ký hiệu dãy hàm này là {f n (x)} hay f 1 (x), f 2 (x), , (5.2) trong đó f n (x) =f(n).

Trong một số trường hợp dãy hàm còn được ký hiệu gọn là {f n }hay f 1 , f 2 ,

2.1.2 Định nghĩa Cho dãy hàm {f n } xác định trên X ⊆ R Ta gọi tổng hình thức f 1(x) +f 2(x) + (5.3) là mộtchuỗi hàm và ký hiệu là ∑ ∞ n=1 f n (x) hay ∑ ∞ n=1 f n Điểmx 0 ∈X được gọi làđiểm hội tụcủa chuỗi hàm (5.3) nếu chuỗi số ∑ ∞ n=1 f n (x 0 ) hội tụ.

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) được gọi làmiền hội tụ của chuỗi hàm (5.3).

Giả sử chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x)có miền hội tụ A ⊆X Với mỗi x∈A đặt

Khi đó, chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) được gọi là hội tụ đến S(x) trên A, S(x) được gọi là tổng của chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) trên A và ký hiệu là ∑ ∞ n=1 f n =S trên A.

2.1.3 Ví dụ Xét chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 x n

2 n hội tụ tuyệt đối theo dấu hiệu Cauchy Vì vậy chuỗi đã cho hội tụ và

Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là −2< x < 2 và tổng của chuỗi trên miền hội tụ là S(x) = x

2.1.4 Định nghĩa Cho chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) trên X ⊆ R, hội tụ đến hàm S(x) trên X 0 ⊆X Với mỗi x∈X 0 đặt

Khi đó, các dãy hàm {S n (x)}, {r n (x)} lần lượt được gọi là dãy tổng riêng và dãy phần dư của chuỗi hàm (5.3) Hơn nữa dãy hàm {S n } hội tụ đến S trên X 0

Sự hội tụ đều và các dấu hiệu hội tụ

2.2.1 Định nghĩa Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x)được gọi làhội tụ đều đến hàmS(x)trên tập A⊆X 0 nếu với mọiε >0 tồn tạin 0 =n 0(ε) sao cho với mọin > n 0 ta có

Một cách tương đương, chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đều trênA khi và chỉ khi với mọi ε >0tồn tại n 0 =n 0(ε)sao cho với mọi n > n 0, với mọi x∈A thì

2.2.2 Nhận xét 1) Từ định nghĩa ta suy ra nếu chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đều đến S(x)trên A thì hội tụ đến S(x) trên A Điều ngược lại là không đúng.

2) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x)hội tụ đều trên A khi và chỉ khi lim n→∞ sup x ∈ A |r n (x)|= 0.

2.2.3 Ví dụ Xét chuỗi hàm ∑ ∞ n=0 x n Ta thấy chuỗi này hội tụ đến S(x) = 1

1−x trên (0,1) Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều đến S(x) trên (0,1) Thật vậy, ta có r n (x) ∑ ∞ k=n+1 x k = x n+1

Vì vậy, với mỗin ≥1bằng cách chọn x n = 1− 1 n∈(0,1)ta có n lim →∞ sup x ∈ (0,1)

Do đó chuỗi ∑ ∞ n=0 x n không hội tụ đều đến S(x) = 1

1−x trên (0,1). Định lý sau đây còn được gọi là tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của chuỗi hàm.

2.2.4 Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi với mọi ε >0, tồn tại số tự nhiên n 0 =n 0 (ε) sao cho với mọi n ≥n 0 và mọi p∈ N ta có

Sau đây là một số dấu hiệu nhận biết sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà chứng minh của chúng bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

2.2.5 Định lý (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) Nếu

1) |f n (x)| 6 a n với mọi x ∈ A và với mọi n > n 0 , (n 0 là một số tự nhiên cố định),

2) Chuỗi số ∑ ∞ n=1 a n hội tụ, thì ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đều trên A.

2.2.6 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∑ ∞ n=0 nxsinnx

1 2n 3 2 hội tụ, nhờ dấu hiệu Weierstrass ta suy ra chuỗi hàm ∑ ∞ n=0 nxsinnx

2.2.7 Định lý (Dấu hiệu Dirichlet) Cho các dãy hàm {f n }, {g n } xác định trên

1) Dãy tổng riêng của chuỗi ∑ ∞ n=1 f n (x) bị chặn đều trên A, tức là tồn tại M >0 sao cho

2) Dãy số {g n (x)} đơn điệu giảm với mỗi x ∈A và {g n } hội tụ đều đến 0 trên A.

Khi đó, chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x)g n (x) hội tụ đều trên A.

2.2.8 Định lý (Dấu hiệu Abel) Cho các dãy hàm{f n }, {g n }xác định trênA⊆ R

1) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đều trên A.

2) Dãy số {g n (x)} đơn điệu với mỗi x ∈ A và {g n } bị chặn đều trên A, tức là tồn tại M > 0 sao cho

Khi đó, chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x)g n (x) hội tụ đều trên A.

Tiếp theo chúng ta trình bày các tính chất cơ bản của tổng chuỗi hàm.

Ta đã biết tổng của hữu hạn các hàm liên tục trên A là một hàm liên tục trên

A Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để điều trên đúng cho tổng vô hạn.

2.2.9 Định lý (Tính liên tục) Cho A⊆ R và dãy hàm {f n } xác định trên A Nếu

1) f n là hàm liên tục trên A với mỗi n = 1,2, ,

2) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đều đến hàm S(x) trên A, thì S là hàm liên tục trên A. Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm.

2.2.10 Định lý (Tính khả vi) Cho dãy hàm {f n } xác định trên (a, b) Nếu

1) f n là hàm liên tục trên (a, b) với mỗi n= 1,2, ,

2) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đến hàmS(x) trên (a, b),

3) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n ′ (x) hội tụ đều trên (a, b), thì S là hàm khả vi trên (a, b) và

∑ ∞ n=1 f n ′ (x) với mọi x∈(a, b). Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm.

2.2.11 Định lý (Tính khả tích) Cho dãy hàm {f n } xác định trên [a, b] Nếu

1) f n là hàm liên tục trên [a, b] với mỗi n= 1,2, ,

2) Chuỗi hàm ∑ ∞ n=1 f n (x) hội tụ đến hàmS(x) trên [a, b], thì S là hàm khả tích trên [a, b] và

Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa

3.1.1 Định nghĩa Chuỗi luỹ thừalà chuỗi hàm có dạng ∑ ∞ n=0 a n (x−x 0 ) n , trong đó x 0 , a 0 , a 1 , a 2 , ∈ R. Điểmx 0 được gọi là tâm của chuỗi luỹ thừa Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ tại tâm của nó.

Nếu đặt y = x−x 0 thì chuỗi luỹ thừa được đưa về dạng ∑ ∞ n=0 a n y n có tâm tại y= 0.

3.1.2 Bổ đề (Abel) Cho chuỗi luỹ thừa

1) Nếu chuỗi (5.4) hội tụ tại x 0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x mà

2) Nếu chuỗi (5.4) phân kỳ tại x 1 thì nó phân kỳ tại mọi điểm x mà |x|>|x 1 |.

3.1.3 Nhận xét Gọi A là miền hội tụ của chuỗi (5.4) Hiển nhiên chuỗi hội tụ tại x= 0 Do đó A̸=ϕ và nếu đặt

Ta dễ dàng đưa ra các ví dụ về chuỗi (5.4) mà R= 0, R 0 thì

1) Chuỗi (5.4) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (−R, R) và hội tụ đều trong mỗi đoạn [a, b]⊂(−R, R).

2) Chuỗi (5.4) phân kỳ tại mỗi x mà |x|> R.

3.1.4 Định nghĩa Số R∈[0,+∞) trong Nhận xét 3.1.3 được gọi làbán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa (5.4) Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa (5.4) Định lý sau cho ta cách tính bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.

3.1.5 Định lý (Cauchy- Hadamard) Cho chuỗi luỹ thừa ∑ ∞ n=0 a n x n Giả sử rằng ρ= lim n →∞

Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi được tính theo công thức sau

3.1.6 Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi hàm

1 +x, (với x̸= −1) Ta thu được chuỗi lũy thừa ∑ ∞ n=0

(−1) n n u n Bán kính hội tụ của chuỗi trên là

Khoảng hội tụ của chuỗi là(−1,1).

Với u= 1 ta thu được chuỗi ∑ ∞ n=0

(−1) n n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.

Với u=−1 ta thu được chuỗi ∑ ∞ n=0

Do đó miền hội tụ của chuỗi ∑ ∞ n=0

(−1) n n u n là −1< u 61 Trở lại với chuỗi ban đầu, miền hội tụ của chuỗi là tập những x∈ R thoả mãn

Giải hệ bất phương trình trên ta thu được miền hội tụ của chuỗi ban đầu là[0,+∞).

Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa

Các kết quả này suy từ các tính chất tương ứng của tổng chuỗi hàm và tính hội tụ đều của chuỗi lũy thừa trên các đoạn [−r, r]⊂(−R, R).

3.2.1 Định lý (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa ∑ ∞ n=0 a n x n có bán kính hội tụ

R >0 Khi đó tổng S(x) của nó liên tục trên khoảng hội tụ (−R, R)

3.2.2 Định lý (Tính liên tục tại điểm mút)Giả sử chuỗi lũy thừa ∑ ∞ n=0 a n x n có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó

1) Nếu chuỗi hội tụ tại x=R thì tổng S(x) liên tục trái tại x=R, tức là lim x → R − S(x) =S(R).

2) Nếu chuỗi hội tụ tại x=−R thì tổng S(x) liên tục phải tại x=R, tức là lim x →− R +

3.2.3 Định lý (Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa ∑ ∞ n=0 a n x n có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó tổng S(x) của nó khả tích trên mọi đoạn [a, b] trong khoảng hội tụ (−R, R) và

∫ b a x n dx. Đặc biệt, nếu x∈(−R, R) thì

3.2.4 Định lý (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa

∑ ∞ n=0 a n x n có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó

1) Chuỗi ∑ ∞ n=0 na n x n − 1 cũng có bán kính hội tụ là R.

2) Tổng S(x) là hàm khả vi trong khoảng (−R, R) và

Chứng minh của những định lý trên bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

3.2.5 Ví dụ Tìm miền hội tụ và tính tổng trên miền hội tụ của chuỗi

2 Ta thu được chuỗi ∑ ∞ n=0 u n n.Dễ dàng tìm được bán kính hội tụ của chuỗi vừa nhận được R = 1 và miền hội tụ −1 6 u < 1 Do vậy miền hội tụ của chuỗi ban đầu là −26x 0 và dãy {a n }sao cho (x 0 −δ, x 0 +δ)⊂(a, b) và với mọi x∈(x 0 −δ, x 0 +δ) ta có đẳng thức f(x) ∑ ∞ n=0 a n (x−x 0 ) n

3.3.2 Định nghĩa Giả sử f là hàm xác định và khả vi vô hạn lần trên (a, b) và x 0 ∈(a, b) Khi đó chuỗi f(x 0 ) + f ′ (x 0)

∑ ∞ n=0 f (n) (x 0 ) n! (x−x 0) n (5.5) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f Chuỗi Taylor với tâm tại x 0 = 0 được gọi là chuỗi Maclaurin.

Ta có định lý sau.

3.3.3 Định lý Giả sửf là hàm xác định trên(a, b) và x 0 ∈(a, b) Nếu hàm f được khai triển thành chuỗi lũy thừa f(x) ∑ ∞ n=0 a n (x−x 0 ) n (5.6) trong lân cận của x 0 thì trong lân cận này f khả vi vô hạn lần và chuỗi (5.6) là chuỗi Taylor của nó, tức là các hệ số của nó được tính theo công thức a n = f (n) (x 0 ) n! , n= 0,1,

Từ Định lý 3.3.3 ta suy ra hệ quả sau.

3.3.4 Hệ quả Phép khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của điểm cho trước là duy nhất.

Tiếp theo ta nghiên cứu các lớp hàm có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của điểm nào đó Từ định lý trên ta thấy nếu hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa thì nó khả vi vô hạn lần và chuỗi khai triển chính là chuỗi Taylor của hàm tại điểm đó Ta biết rằng nếu hàm khả vi vô hạn lần trong lân cận của x 0 thì nó tồn tại chuỗi Taylor Vấn đề đặt ra là phải chăng mọi hàm khả vi vô hạn lần trong lân cận của điểm x 0 đều có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa? Câu trả lời là phủ định Chẳng hạn, xét hàm f(x) 

Ta thấy hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận tùy ý của 0 Hơn nữa f (n) (0) = 0 với mọin Do đó chuỗi Taylor của f tại 0là f(x) = 0 + 0x+ 0x 2 + + 0x n +

Rõ ràng tổng của chuỗi đồng nhất bằng 0 trong mọi lận cận của 0 Do đó nếu f khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của 0 thì chuỗi đó phải đồng nhất bằng 0trong lân cận đó Điều này mâu thuẫn với f(x)̸= 0 với x̸= 0.Định lý sau cho một điều kiện đủ để khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa Bạn đọc tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

3.3.5 Định lý Giả sử f là hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng (x 0 −R, x 0 +R). Nếu đạo hàm các cấp của f bị chặn trong khoảng (x 0 −R, x 0 +R) thì f khai triển thành chuỗi lũy thừa trên (x 0 −R, x 0 +R).

Sau đây ta trình bày một vài ví dụ về khai triển thành chuỗi lũy thừa của một vài hàm sơ cấp cơ bản.

3.3.6 Ví dụ 1) f(x) = sinx Vì hàm sinx khả vi vô hạn lần trên R, và

2 )|61, ∀x∈ R , n= 0,1,2, nên khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại 0 của hàm là sinx=x− x 3

Tương tự có các khai triển thành chuỗi luỹ thừa tại0của các hàmcosx, e x , 1

1−x và ln(1 +x)như sau cosx= 1− x 2

3.3.7 Ví dụ Khai triển hàm f(x) = 1 x+ 3thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của điểm x= 1.

Chuỗi lượng giác

Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về hàm số tuần hoàn cần dùng cho các trình bày về sau.

4.1.1 Định nghĩa Hàmf :R → Rđược gọi là tuần hoàn với chu kỳ T nếu tồn tại T ̸= 0 sao cho f(x+T) = f(x), với mọix∈ R

Như đã biết hàm sinx, cosx tuần hoàn với chu kỳ 2π, hàmtanxtuần hoàn với chu kỳπ.

4.1.2 Nhận xét 1) Nếuf tuần hoàn với chu kỳT thì với mọi số nguyên k̸= 0 ta cókT cũng là chu kỳ của f.

2) Nếu T 1 , T 2 là chu kỳ của f thì T 1 ±T 2 cũng là chu kỳ của f.

3) Nếu hàm f có chu kỳ T thì hàm g(x) = f(nx)(n ̸= 0) có chu kỳ là T n.

Sau đây là một tính chất quan trọng của hàm tuần hoàn mà chứng minh của nó bạn đọc có thể tìm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

4.1.3 Tính chất Tích phân của hàm tuần hoàn với chu kỳ T trên các đoạn có độ dài bằng T có giá trị không phụ thuộc vào ví trí của đoạn đó trên trục số.

4.1.4 Định nghĩa Chuỗi có dạng a 0 + (a 1 cosx+b 1 sinx) + (a 2 cos 2x+b 2 sin 2x) +

(a n cosnx+b n sinnx) (5.11) được gọi là chuỗi lượng giác, trong đó a 0 , a 1 , b 1 , , a n , b n , là các hằng số thực.

4.1.5 Nhận xét Các số hạng của chuỗi (5.11) là những hàm tuần hoàn với chu kỳ2π Như vậy nếu chuỗi hội tụ trênR thì tổng của nó cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ2π.

Từ dấu hiệu Weierstrass ta dễ dàng suy ra kết quả sau.

4.1.6 Định lý Nếu chuỗi số ∑ ∞ n=1

(|a n |+|b n |) hội tụ thì chuỗi (5.11) hội tụ tuyệt đối và đều trên R

4.1.7 Định nghĩa Hệ vô hạn các hàm

1,cosx,sinx, ,sinnx,cosnx, (5.12) được gọi là hệ hàm lượng giác cơ sở.

4.1.8 Định nghĩa Hai hàmφ(x)vàψ(x)được gọi làtrực giaotrên đoạn[a, b]⊂ R nếu

Ta có mệnh đề sau.

4.1.9 Mệnh đề Các hàm của hệ lượng giác cơ sở (5.12) là đôi một trực giao với nhau trên [−π, π].

Chứng minh của mệnh đề này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5.

4.1.10 Ví dụ Từ Tính chất của hàm tuần hoàn và mệnh đề trên ta suy ra các hàm của hệ hàm lượng giác cơ sở là trực giao trên đoạn [a, a+ 2π] với mọia∈ R.

Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier

Đầu tiên ta nghiên cứu khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2π Ta cần định lý sau.

4.2.1 Định lý Giả sử f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và thỏa mãn đẳng thức f(x) = a 0

(5.13) với mọi x∈ R , trong đó chuỗi ở vế phải của (5.13) hội tụ đều trên R Khi đó a 0 = 1 π

Các sốa 0 , a n , b n được gọi là hệ số Fourier của hàm f.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3].

4.2.2 Định nghĩa 1) Chuỗi lượng giác với các hệ số xác định như trong Định lý 4.2.1 được gọi là chuỗi Fourier của hàm f.

2) Nếu hàm f thỏa mãn đẳng thức f(x) = a 0

) với các hệ số a 0 , a n , b n được xác định như trong Định lý 4.2.1 thì ta nóif khai triển được thành chuỗi Fourier của nó.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với điều kiện nào của hàmf tuần hoàn với chu kỳ 2π trên R thì nó khai triển được thành chuỗi Fourier Ta công nhận kết quả sau của Dirichlet về điều kiện đủ để hàm khai triển được thành chuỗi Fourier.

4.2.3 Định lý Giả sử rằng i) f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, ii) f và f ′ là các hàm liên tục trừ ra đếm được điểm gián đoạn.

Khi đó, chuỗi Fourier của hàm f hội tụ tại mọi x đến tổng S(x) và a) S(x) = f(x) tại các điểm liên tục của f, b) S(x) = f(x+ 0) +f(x−0)

2 tại các điểm f gián đoạn, c) Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm x thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối và đều.

4.2.4 Nhận xét 1) Nếu hàm f được cho trên đoạn [−π, π] và điều kiện i) được thỏa mãn thì f(−π) = f(π).

2) Nếu hàm f đã cho liên tục trên [−π, π] và thỏa mãn f(−π) = f(π) thì nhờ mở rộng tuần hoàn ta thu được hàm f liên tục trên R Trong hầu hết các trường hợp khác mở rộng tuần hoàn là hàm gián đoạn.

Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ

Từ tính chất của hàm chẵn và lẻ ta dễ dàng thu được kết quả sau.

4.3.1 Định lý Giả sử f thỏa mãn các điều kiện của Đinh lý 4.2.3 Khi đó

1) Nếu f là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó có dạng a 0

2) Nếu f là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của nó có dạng

4.3.2 Ví dụ Khai triển Fourier hàm f(x) = |x|, x∈[−π, π].

Giải Hàm f(x) = |x| là hàm chẵn, đồ thị của f và thác triển tuần hoàn của nó được mô tả như Hình 5.1 Dễ thấy f thoả mãn các điều kiện của Định lý 4.2.3, vì vậy f khai triển được thành chuỗi Fourier Vì f chẵn nên các hệ số Fourier được tính theo công thức: b n = 0, với mọi n≥1, a 0 = 1 π

Do đó với mọi x∈[−π, π] ta có

4.3.3 Ví dụ Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π] f(x) 

−x nếu −π 6x60 x 2 π nếu 06x6π Đồ thị củaf và mở rộng tuần hoàn của nó được mô tả như Hình 5.2.

Hàm liên tục trên [−π, π] Đạo hàm của nó xác định và liên tục với mọi x∈ R trừ các điểm x=kπ, k∈ Z Do đó chuỗi Fourier của f hội tụ đến f(x) với mọi x.

Hệ số Fourier được xác định như sau a 0 = 1 π

Từ đó ta nhận được khai triển Fourier của hàm f là f(x) = 5π

4.3.4 Nhận xét 1) Trong nhiều trường hợp hàmf được cho trên đoạn[0, π] Khi đó ta có thể thác triển f lên R thành hàm chẵn có chu kỳ 2π Thật vậy, đầu tiên ta dựng đồ thị hàm số trên [0, π] sau đó lấy đối xứng qua trục tung ta được hàm số chẵn xác định trên [−π, π], tiếp tục mở rộng tuần hoàn f lên R ta được hàm số cần tìm Bây giờ nếu hàmf thỏa mãn các điều kiện để khai triển Fourier thì f(x) = a 0

∑ ∞ n=1 a n cosnx trong đó b n = 0 với mọi n và a 0 = 1 π

2) Hoàn toàn tương tự ta có thể mở rộng f thành hàm số lẻ tuần hoàn với chu kỳ 2π.

4.3.5 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2d Giả sửf(x)là hàm tuần hoàn chu kỳ 2d, đơn điệu từng khúc, bị chặn Bằng phép biến đổi x ′ = π.x d ta cóx= d.x ′ π Khi đó nếux biến thiên từ−d đến d, thìx ′ biến thiên từ −π đến π và ta thu được f(x) =f

=F(x ′ ), với F(x ′ ) là hàm tuần hoàn chu kỳ2π đơn điệu từng khúc, bị chặn Vì thế, sử dụng các kết quả thu được ở trên ta khai triển được hàm F(x ′ ) thành chuỗi Fourier

4.3.6 Ví dụ Khai triển Fourier tại các điểm liên tục của hàm f(x) =x−[x] ={x} trong đó {x} là phần thập phân củax.

Hàmf tuần hoàn với chu kỳd= 1

2và f(x) = xvới mọi x∈[0,1] Vì vậy các hệ số Fourier được xác định như sau a 0 = 2

4.3.7 Ví dụ Khai triển hàm f(x) = |cosx| thành chuỗi Fourier tại các điểm liên tục.

Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ π, vì thế ta có d = π

2 Hơn nữa nó là hàm chẵn nên ta có b n = 0với mọi n= 1,2, Sử dụng phương pháp trên, tính các hệ số theo công thức (5.18) tại các điểm liên tục x ta được a 0 = 2.1 π

Vì hàm f(x) = |cosx| liên tục tại mọi x∈ R, nên ta có

4.3.8 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm bất kỳ Giả sử f(x) là hàm đơn điệu từng khúc, bị chặn trên đoạn [a, b] Bây giờ ta mở rộng tuần hoàn f(x) (như cách đã làm ở trên) thành một hàm tuần hoàn g(x) xác định trên toàn bộ R sao cho thỏa mãn các điều kiện

(a) g(x) là một hàm tuần hoàn chu kỳ T = 2d > b−a;

(b) g(x) là hàm đơn điệu từng khúc và bị chặn;

(c) g(x) = f(x) với mọix∈[a, b] và áp dụng khai triển Fourier cho hàmg(x) trênR Từ đó ta nhận được khai triển

Fourier của hàm f(x) trên đoạn [a, b].

4.3.9 Nhận xét Lưu ý rằng khi mở rộng tuần hoàn theo cách này thì sẽ có nhiều hàm g(x) như vậy và hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Fourier, mà tổng của chuỗi này bằng g(x), và do đó tổng này sẽ bằng f(x) tại những điểm liên tục của hàm f(x) Đặc điểm của chuỗi thu được là:

- Nếu hàm g(x) chẵn, thì chuỗi khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm số cosin.

- Nếu hàm g(x) lẻ, thì khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm số sin.

4.3.10 Ví dụ Khai triển hàm số f(x) { 1 nếu 0≤x 1, ta đặt

Với mỗi x= (x 1 , , x n )∈ R n , ta gọi x i , i = 1, , n là toạ độ thứ i của x Trên R n ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:

Phép toán cộng Với mọi x= (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n )∈ R n ta đặt x+y= (x 1 +y 1 , , x n +y n ).

Phép nhân vô hướng Với mọi x= (x 1 , , x n )∈ R n và λ∈ R ta đặt λx = (λx 1 , , λx n ).

Dễ dàng kiểm tra được rằng với hai phép toán trênR n là không gian tuyến tính (không gian vectơ) trên trường R với phần tử không là (0, ,0).

1.1.1 Định nghĩa Hàm d:R n × R n → R cho bởi công thức d(x, y) vu ut∑ n i=1

(x i −y i ) 2 , với mọix= (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n )∈ R n , được gọi là mêrtic Euclide hay khoảng cách thông thườngtrên R n

1.1.2 Định nghĩa Cho a∈ R n và số thựcr >0 Ta gọi các tập

B(a, r) = {x∈ R n :d(x, a)< r}, B(a, r) ={x∈ R n :d(x, a)6r} thứ tự là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a bán kính r.

1.1.3 Nhận xét - Trên R hình cầu mở B(a, r) là khoảng(a−r, a+r), hình cầu đóng B(a, r) là đoạn[a−r, a+r].

- Trên R 2 (mặt phẳng) hình cầu mở tâm a= (a 1 , a 2 ) bán kínhr là những điểm nằm trong hình tròn(x 1 −a 1) 2 +(x 2 −a 2) 2 < r 2 (không lấy các điểm nằm trên đường tròn) Hình cầu đóng tâma = (a 1 , a 2 )bán kínhrlà hình tròn(x 1 −a 1 ) 2 +(x 2 −a 2 ) 2 6 r 2

- TrênR 3 hình cầu mở tâm a= (a 1 , a 2 , a 3 )bán kínhr là những điểm trong hình cầu (x 1 −a 1 ) 2 + (x 2 −a 2 ) 2 + (x 3 −a 3 ) 2 < r 2 (không lấy các điểm trên mặt cầu). Hình cầu đóng là hình cầu (x 1 −a 1 ) 2 + (x 2 −a 2 ) 2 + (x 3 −a 3 ) 2 6r 2

1.1.4 Định nghĩa Cho a ∈ R n Tập con U ⊂ R n được gọi là một lân cận của điểm a nếu tồn tại hình cầu mở B(a, r) sao cho B(a, r)⊂U.

Dễ thấy hình cầu mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

1) a được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r >0 sao cho B(a, r)⊆A.

2) a được gọi là điểm biên của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r)∩A ̸= ∅ và

B(a, r)∩(R n \A)̸=∅ Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của tậpA và ký hiệu là ∂A.

3)ađược gọi là điểm tụhay điểm giới hạncủaAnếu với mọi r >0thì B(a, r)∩

1.1.6 Ví dụ Mọi điểm của hình cầu mở B(a, r) đều là điểm trong của nó Biên của hình cầu mởB(a, r)trùng với biên của hình cầu đóng B(a, r)và bằng mặt cầu

S(a, r) ={x∈ R n :d(x, a) =r} Hơn nữa tất cả các điểm biên của hình cầu mở là điểm giới hạn của nó.

1.1.7 Định nghĩa Tập con E của R n được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

Tập con A của R n được gọi là tập đóng nếu R n \A là tập mở.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy hội tụ trong R n 180

Như đã nói ở trước trong phần này khoảng cách được xét là khoảng cách thông thường.

1.2.1 Định nghĩa Cho dãy {x k } ∞ k=1 ⊂ R n , với x k = (x k 1 , , x k n )∈ R n , k = 1,2, Dãy {x k } được gọi là hội tụ tới a∈ R n nếu d(x k , a)→0 khi k→ ∞.

1.2.2 Định lý Dãy x k = (x k 1 , , x k n ) ∈ R n hội tụ tới a = (a 1 , , a n ) ∈ R n khi và chỉ khi x k i →a i khi k → ∞, với mọi i= 1, , n.

Chứng minh Xem Bài giảng.

)} hội tụ tới (0,1), bởi vì lim n →∞

1 n = 0 và n lim →∞ n−1 n = 1. Định lý sau nêu lên một đặc trưng của tập đóng theo ngôn ngữ dãy Chứng minh của nó bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6

1.2.4 Định lý Tập A ⊂ R n là đóng khi và chỉ khi nếu mọi dãy {x k } ⊂ A mà hội tụ tới a thì a∈A.

Sau đây, chúng ta trình bày sơ lược các nguyên lý của dãy hội tụ trong R n Đây là sự tổng quát của các nguyên lý Cauchy, Cantor và Bonzano-Weierstrass đã biết trong R Các chứng minh của các nguyên lý này nếu quan tâm bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6.

1.2.5 Định nghĩa Dãy{x k } ∞ k=1 ⊂ R n được gọi làdãy cơ bản, haydãy Cauchynếu k,l lim →∞ d(x k , x l ) = 0, nghĩa là với mọiε >0 tồn tại số tự nhiên k 0 sao cho d(x k , x l )< ε, với mọik, l>k 0

1.2.6 Định lý (Nguyên lý Cauchy) Dãy {x k } ∞ k=1 ⊂ R n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

1.2.7 Định nghĩa Tập con A của R n được gọi là bị chặn nếu tồn tại r > 0 sao cho A⊂B(0, r).

Dãy {x k } ∞ k=1 ⊂ R n được gọi là bị chặn nếu tập {x k :k = 1,2, } là tập bị chặn.

Các tính chất khác của dãy hội tụ và của các tập con trongR n có thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

2 Giới hạn của hàm nhiều biến

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa Cho A ⊆ R n Ánh xạ f : A→ R được gọi là một hàm n biến xác định trênAvà nhận giá trị trong R Khi đóAđược gọi làtập xác địnhcủa hàm f, f(A) ={y=f(x) :x∈A} ⊆ R được gọi là tập giá trị của hàm f.

2.1.2 Ví dụ 1) Hàm f(x, y, z) = x+y x 2 +y 2 +z 2 là hàm ba biến số xác định trên

0 nếu (x, y) = (0,0) là hàm hai biến số xác định trên R 2

2.1.3 Định nghĩa Cho A⊂ R n , hàm f :A⊆ R n → Rvàa là một điểm giới hạn của A Ta nói f có giới hạn l∈ R khi x→a và viết x lim → a f(x) = l hay f(x)→l khi x→a nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ A mà 0 < d(x, a) < δ thì

Nói một cách tương đương: lim x → a f(x) = l nếu với mọiε >0tồn tại lân cậnU của a sao cho

|f(x)−l|< ε với mọix∈A∩(U \ {a}). Định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm một biến.

2.1.4 Định lý Nếu hàm f có giới hạn khi x→a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý sau cho ta một định nghĩa khác của giới hạn hàm nhiều biến theo ngôn ngữ dãy.

2.1.5 Định lý lim x → a f(x) =l nếu và chỉ nếu với mọi dãy {x k } ⊂A mà x k → a thì lim k →∞ f(x k ) = l.

Nhận xét Nhờ định lý trên để chứng minh hàm f(x, y) không có giới hạn khi (x, y)→(a 1 , a 2 )ta chỉ cần chỉ ra 2 dãy {(x n , y n )},{(x ′ n , y n ′ )}mà (x n , y n )→(a 1 , a 2 ) và (x ′ n , y n ′ )→(a 1 , a 2 ), nhưng lim n →∞ f(x n , y n )̸= lim n →∞ f(x ′ n , y ′ n ).

Ví dụ Xét hàm số f(x, y) = xy x 2 +y 2 Hàm này không có giới hạn khi (x, y) →

(0,0) Bằng cách chọn các dãy {x n , y n )}={( n 1 , n 1 )} và {(x ′ n , y ′ n )}={( n 2 , n 1 )} Ta có n lim →∞ f(x n , y n ) = 1

Các định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm một biến.

2.1.6 Định lý Nếu lim x → a f(x) =l >0 (tương ứng 0 (f(x) 0 tồn tại δ >0 sao cho

2.1.9 Định lý Nếu lim x → a f(x) =l thì lim x → a |f(x)|=|l|.

2.1.10 Nhận xét Chiều ngược lại của định lý trên là không đúng Tuy nhiên, ta dễ dàng chứng minh được lim x → a f(x) = 0 khi và chỉ khi lim x → a |f(x)|= 0. Định lý sau đây còn gọi là Nguyên lý kẹp trong giới hạn của hàm nhiều biến số.

2.1.11 Định lý Cho f, g và h là các hàm số xác định trên A⊆ R n , a là điểm giới hạn của A và f(x)6g(x)6h(x), với mọi x∈A.

Khi đó, nếu lim x→a f(x) = lim x→a h(x) =l thì lim x→a g(x) = l.

2.1.12 Ví dụ Tìm các giới hạn sau

(x,y) → (0,0) xy x 2 +y 2 Đặt f(x, y) = xy x 2 +y 2 Xét các dãy (x n , y n ) (1 n, 1 n

) với mỗi n = 1,2, Khi đó (x n , y n ) → (0,0) và (x ′ n , y n ′ ) → (0,0) khi n → ∞ Tuy nhiên f(x n , y n ) = 1

Do đó theo Định lý 2.1.5, không tồn tại giới hạn lim

Giới hạn lặp, giới hạn kép và mối liên hệ giữa chúng

Một trong những khác biệt giữa giới hạn của hàm n biến với giới hạn của hàm một biến là khái niệm giới hạn lặp Để đơn giản chúng ta trình bày cho trường hợp n= 2 Trường hợp n >2được mở rộng một cách tương tự.

Cho A⊂ R 2 và f :A→ R Với mỗi x∈ R đặt

Nếuy ∈ Rmà A y ̸=∅ thì công thức f y (x) =f(x, y), x∈A y xác định một hàm số một biến trênA y

Tương tự ta định nghĩa f x (y) =f(x, y), y ∈A x nếu A x ̸=∅.

Giả sử x 0 là điểm giới hạn của A y , xét x lim → x 0 f y (x) = lim x → x 0 f(x, y). Đặt

Khi đó công thức g(y) = lim x→x 0 f y (x) = lim x→x 0 f(x, y) xác định một hàm g trên A x 0

Nếu y 0 là điểm giới hạn của A x 0 ta xét giới hạn y lim → y 0 g(y) = lim y → y 0

Tương tự ta có thể xét giới hạn x lim → x 0

2.2.1 Định nghĩa Ta gọi các giới hạn (6.1) và (6.2) (nếu tồn tại) là các giới hạn lặp của hàm f tại điểm (x 0 , y 0 ) và gọi giới hạn trong Định nghĩa 2.1.3 là giới hạn kép tại điểm (x 0 , y 0 ).

2.2.2 Ví dụ Cho hàm số f(x, y) = x+y x−y.

Ta có x lim → 0lim y → 0 f(x, y) = lim x → 0 x x = 1 và y lim → 0lim x → 0 f(x, y) = lim y → 0 y

−y =−1. Định lý sau đưa ra mối quan hệ giữa giới hạn kép (giới hạn) và các giới hạn lặp.

2.2.3 Định lý Cho hàm số f xác định trên A ⊆ R 2 và (x 0 , y 0 ) là điểm giới hạn của A Nếu tồn tại giới hạn lim

(x,y) → (x 0 ,y 0 ) f(x, y) và một trong hai giới hạn lặp tồn tại thì các giới hạn đó bằng nhau.

Chứng minh Xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

2.2.4 Nhận xét 1) Từ sự tồn tại giới hạn của hàm số khi (x, y)→(x 0 , y 0 )không thể suy ra được sự tồn tại của các giới hạn lặp của hàm tại(x 0 , y 0 ) Chẳng hạn, bạn đọc tự kiểm tra hàm f(x, y) = (x+y) sin 1 xsin1 y có giới hạn bằng0 khi (x, y)→(0,0) Trong khi cả hai giới hạn lặp không tồn tại.

2) Từ sự tồn tại của hai giới hạn lặp tại (x 0 , y 0 ), thậm chí hai giới hạn lặp bằng nhau không thể suy ra được sự tồn tại của giới hạn của hàm khi (x, y) →(x 0 , y 0 ). Chẳng hạn, bạn đọc dễ dàng chứng minh được hàm f(x, y) = x 2 y 2 x 2 y 2 + (x 2 −y 2 ) 2 có hai giới hạn lặp tại (0,0) là lim x → x 0 y lim → y 0 f(x, y) = 0 và lim y → y 0 x lim → x 0 f(x, y) = 0 Trong khi giới hạn của hàm f tại (0,0) là không tồn tại.

Thật vây Vì nếu chọn(x n , y n ) (1 n, 1 n

3 Tính liên tục của hàm nhiều biến

Các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm liên tục

1) Hàm f được gọi là liên tục tại a∈A nếu lim x → a f(x) = f(a).

2) Hàm f được gọi là liên tục trênA nếu nó liên tục tại mọi điểm của A.

3) Hàm f được gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈A mà d(x, y)< δ thì |f(x)−f(y)|< ε.

3.1.2 Nhận xét Từ Định nghĩa 3.2.1 ta trực tiếp suy ra rằng 3)⇒2)⇒1).

Từ định nghĩa tính liên tục và tính chất của giới hạn ta có định lý sau.

3.1.3 Định lý Cho hàm f :A ⊆ R n → R và a ∈A Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

2) Với mọi lân cậnV củaf(a)đều tồn tại lân cậnU của asao chof(U∩A)⊆V.

3) Với mọi dãy {x k } ⊂A mà x k →a thì f(x k )→f(a). Định lý sau đây suy ra từ định nghĩa hàm liên tục, Định lý 2.1.6 và Định lý 2.1.7.

3.1.4 Định lý Nếu các hàm f, g : A ⊆ R n → R liên tục tại a ∈ A thì các hàm f±g, f g và f g (với g(a)̸= 0) cũng liên tục tại a.

3.1.5 Định lý (Tính liên tục của hàm hợp) Cho A ⊂ R n , B ⊂ R m , f : A → R là hàm liên tục tại a = (a 1 , , a n ) ∈ A và g i : B → R là các hàm liên tục tại b= (b 1 , , b m )∈B với mọi i= 1, , n sao cho (g 1 (b), , g n (b)) = (a 1 , , a n ) = a và

Tính liên tục theo từng biến và mối liên hệ với tính liên tục 188

3.2.1 Định nghĩa Cho A ⊆ R n và f : A → R Hàm số f được gọi là liên tục theo biếnx i , với i= 1, , ntại điểm a= (a 1 , , a n )∈A nếu hàm một biến x i 7→f(a 1 , , a i − 1 , x i , a i+1 , , a n ) liên tục tại tại a i ∈A i ={x i ∈ R: (a 1 , , a i − 1 , x i , a i+1 , , a n )∈A}.

Nếu f liên tục theo biến x i tại a với mọi i = 1, , n thì ta nói f liên tục theo từng biến tại a∈A. Định lý sau cho thấy mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm với tính liên tục theo từng biến.

3.2.2 Định lý Nếu hàm f : A → R liên tục tại a = (a 1 , , a n ) ∈ A ⊂ R n thì nó liên tục theo từng biến tại a.

Chứng minh của các định lý trên bạn đọc tìm hiểu trong tài liệu tham khảo [1].

3.2.3 Nhận xét Chiều ngược lại của Định lý 3.2.6 là không đúng, nghĩa là hàmf liên tục theo từng biến, thì chưa chắc đã liên tục Bạn đọc hãy tìm hiểu thông qua Bài tập 6 của chương này.

Các tính chất khác của hàm liên tục trên một tập có thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

4 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến Để đơn giản ta trình bày cho hàm 2 biến Đối với các hàm nhiều biến hơn,các kết quả được suy ra một cách hoàn toàn tương tự.

Đạo hàm riêng, tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến

Cho hàm số f xác định trên tập mở G⊂ R 2 và điểm (x 0 , y 0) ∈ G Với mỗi y ∈ R cố định ta đặt G y = {x∈ R : (x, y) ∈ G} ⊂ R Nếu G y ̸=∅, thì công thức f y (x) =f(x, y), x∈ G y xác định một hàm f y :G y → R trên G y Do đó ta có thể xét đạo hàm của hàm f y trên G y

4.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f :G→ R xác định trên tập mởG⊂ R 2 và điểm (x 0 , y 0 ) ∈ G Nếu hàm f y 0 : G y 0 → R tồn tại đạo hàm tại điểm x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x tại điểm (x 0 , y 0 ) và ký hiệu là f x ′ (x 0 , y 0 ), hoặc ∂f

∂x(x 0 , y 0 ), nghĩa là ta có f x ′ (x 0 , y 0) = lim

Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f theo biến y tại điểm (x 0 , y 0 ) và ký hiệu là f y ′ (x 0 , y 0 ), hoặc ∂f

4.1.2 Nhận xét Các đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên các kết quả của đạo hàm của hàm một biến đều được áp dụng cho đạo hàm riêng của hàm hai biến Chẳng hạn, tính đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = e x 2 +y 3

4.1.3 Định nghĩa Cho hàm số f : G → R xác định trên tập mở G ⊂ R 2 và điểm (x, y) ∈ G Cho x một số gia là ∆x và y một số gia là ∆y đủ bé sao cho (x+ ∆x, y+ ∆y)∈G Ký hiệu ∆f(x, y)hay gọn hơn là ∆f là biểu thức

∆f(x, y) =f(x+ ∆x, y+ ∆y)−f(x, y) và gọi nó là số gia của hàm số f tại điểm (x, y) tương ứng với cặp số gia (∆x,∆y) của đối số Hàm f được gọi là khả vi tại điểm (x, y) nếu tồn tại các số thực A, B phụ thuộc vào (x, y)mà không phụ thuộc vào ∆x,∆y sao cho lim

Khi đó, biểu thức A∆x+B∆y được gọi là vi phân toàn phần (hayvi phân) của hàm f tại điểm (x, y) và ký hiệu là df(x, y), nghĩa là df(x, y) =A∆x+B∆y.

Hàm f được gọi là khả vi trên G nếu nó khả vi tại mọi điểm của G.

4.1.4 Định lý Nếu hàm f khả vi tại điểm tại điểm (x, y)∈G thì f liên tục và có các đạo hàm riêng tại điểm này Hơn nữa A=f x ′ (x, y) và B =f y ′ (x, y).

4.1.5 Nhận xét 1) Từ Định lý 4.1.4 ta thấy nếu hàm f khả vi tại điểm (x, y)thì vi phân của nó tại điểm đó là tồn tại duy nhất và df(x, y) = f x ′ (x, y)∆x+f y ′ (x, y)∆y.

2) Như đã biết, đối với hàm một biến, sự khả vi và sự tồn tại đạo hàm tại một điểm là tương đương Đối với hàm hai biến sự tồn tại các đạo hàm riêng của một hàm tại một điểm không suy ra được sự khả vi của nó tại điểm đó Chẳng hạn, xét hàm số f(x, y) =√

Nếu f khả vi tại (0,0)thì từ Định nghĩa 4.1.3 và Định lý 4.1.4 ta có

Tuy nhiên, với ∆x= ∆y >0ta có lim

√2. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ f không khả vi tại điểm (0,0).

Lưu ý rằng hàm số trên liên tục tại (0,0). Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ của tính khả vi của hàm hai biến.

4.1.6 Định lý Nếu hàm f có các đạo hàm riêng f x ′ (x, y) và f y ′ (x, y) trong một lân cận của điểm (x 0 , y 0 ) ∈ G và các đạo hàm riêng đó liên tục tại điểm (x 0 , y 0 ) thì f khả vi tại điểm (x 0 , y 0 ).

4.1.7 Nhận xét 1) Từ Định lý 4.1.6 ta thấy các hàm φ(x, y) = x và ψ(x, y) =y khả vi trên R 2 và dφ=dx= ∆x dψ=dy= ∆y.

Do đó, kết hợp với Nhận xét 4.1.5 ta có thể viết vi phân của các hàm f khả vi tại (x, y)dưới dạng df(x, y) =f x ′ (x, y)dx+f y ′ (x, y)dy.

2) Định lý 4.1.6 chỉ là điều kiện đủ để hàm khả vi tại một điểm mà không phải là điều kiện cần, nghĩa là tồn tại những hàm có đạo hàm riêng không liên tục tại điểm nào đó nhưng hàm vẫn khả vi tại đó Chẳng hạn, xét hàm f(xy) 

Dễ dàng tính đượcf x ′ (0,0) = f y ′ (0,0) = 0 và f x ′ (x, y) = 2xsin 1 x 2 +y 2 − 2x x 2 +y 2 cos 1 x 2 +y 2 với (x, y)̸= (0,0).

)→(0,0), ta có f(x n , y n )→ −∞, khin→ ∞ Do đó đạo hàmf x ′ không liên tục tại điểm(0,0) Tuy nhiên, hàmf vẫn khả vi tại điểm (0,0) vì lim ρ → 0

3) Nếu f khả vi tại điểm(x, y) thì

∆f(x, y) =f x ′ (x, y)∆x+f y ′ (x, y)∆y+α trong đó α là vô cùng bé bậc cao hơn ρ Từ đây ta nhận được công thức gần đúng f(x+ ∆x, y+ ∆y)≈f(x, y) +f x ′ (x, y)∆x+f y ′ (x, y)∆y

Ví dụ Tính gần đúng a = (1,04) 2,03 Xét hàm f(x, y) = x y Ta có f x ′ (x, y) yx y − 1 và f y ′ (x, y) =x y lnx (với x >0) Từ đó nhờ Định lý 4.1.6 ta suy ra f khả vi trên G={(x, y)∈ R 2 :x >0} Với điểm M(1,2)∈G ta có f x ′ (1,2) = 2, f y ′ (1,2) = 0.

Vì vậy với ∆x= 0,04và ∆y= 0,03ta nhận được a= (1,04) 2,03 =f(1,04,2,03)≈f(1,2) + 2.(0,04) + 0.(0,03)

Trong phần còn lại của mục này chúng ta tìm hiểu về đạo hàm theo hướng và mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng, đạo hàm riêng và hàm khả vi.

4.1.8 Định nghĩa Cho hàm sốf xác định trên tập mở G⊂ R 2 , điểmM(x, y)∈G vàd là nửa đường thẳng xuất phát từ M hợp với chiều dương của trục Oxmột góc φ(Hình 6.1). y x

Giả sử B(M, r) là hình cầu mở nằm trong G Lấy điểm M ′ (x+ ∆x, y+ ∆y) ∈ d∩B(M, r), ký hiệu ρ=√

Nếu tồn tại giới hạn lim ρ → 0

∆f ρ khi M ′ tiến về M dọc theo đường thẳng d thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm theo hướng φ của hàm f tại điểm (x, y) và ký hiệu là

4.1.9 Nhận xét Từ các định nghĩa đạo hàm riêng và đạo hàm theo hướng ta thấy đạo hàm riêng f x ′ (x, y) tồn tại khi và chỉ khi D 0 f(x, y) và −D π f(x, y) tồn tại và bằng nhau.

Tương tự, đạo hàm riêngf y ′ (x, y)tồn tại khi và chỉ khiD π

2 f(x, y) tồn tại và bằng nhau. Định lý sau đây cho một điều kiện đủ để tồn tại các đạo hàm theo mọi hướng.

4.1.10 Định lý Nếu hàmf khả vi tại điểm (x, y)∈G thì nó có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm (x, y) và

4.1.11 Nhận xét 1) Vì cos(φ+π) =−cosφvà sin(π+φ) =−sinφnên từ Định lý 4.1.10 suy ra

2) Ta có thể mở rộng đạo hàm theo hướng cho hàm n biến (với n >2).

3) Chiều ngược lại của Định lý 4.1.10 là không đúng, tức là tồn tại những hàm có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm(x, y) nhưng không khả vi tại điểm đó Chẳng hạn, xét hàm số f(x, y) =x+y+√

Hàm số này có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm(0,0)nhưng không khả vi tại điểm đó Thật vậy, theo hướng φtùy ý ta có

Việc chứng minhf không khả vi tạo (0,0) là dễ dàng và dành cho bạn đọc.

Đạo hàm của hàm hợp và tính bất biến của vi phân

4.2.1 Định lý Cho hàm f xác định trên tập mở Gvà x=x(t), y =y(t) là các hàm một biến xác định trên (a, b)⊂ R sao cho ( x(t), y(t))

∈G với mọi t∈(a, b) Nếu f khả vi trên G còn các hàm x(t), y(t) khả vi trên (a, b) thì hàm hợp f( x(t), y(t)) có đạo hàm tại mọi điểm t∈(a, b) và f t ′ =f x ′ x ′ t +f y ′ y t ′ (6.6)

Tương tự ta chứng minh được kết quả sau.

4.2.2 Định lý Cho hàm f xác định trên tập mở G và x =x(u, v), y = y(u, v) là các hàm hai biến xác định trên tập mở D⊂ R 2 sao cho

Nếu hàm f khả vi trên G còn các hàm x(u, v), y(u, v) khả vi trên D, thì hàm hợp f( x(u, v), y(u, v)) có đạo hàm riêng tại mọi điểm (u, v)∈D và

4.2.3 Nhận xét Cho các hàm số f, x, y như trong Định lý 4.2.2 Nếu xem f f(x, y) là hàm của hai biến độc lập (x, y)∈G thì df =f x ′ dx+f y ′ dy (6.8)

Bây giờ, nếu xem x, y và f là các hàm phụ thuộc vào (u, v)∈D thì df =f u ′ du+f v ′ dv (6.9)

Thay (6.7) vào (6.9) và biến đổi ta có df = (f x ′ x ′ u +f y ′ y u ′ )du+ (f x ′ x ′ v +f y ′ y v ′ )dv

=f x ′ (x ′ u du+x ′ v dv) +f y ′ (y u ′ du+y ′ v dv) = f x ′ dx+f y ′ dy.

So sánh (6.8) và (6.10) ta thấy rằng dạng vi phân của hàm không thay đổi khi các biến của nó là độc lập hay phụ thuộc Tính chất này cũng giống như tính bất biến của vi phân cấp 1 của hàm một biến.

Đạo hàm và vi phân cấp cao

Nếu hàmf có các đạo hàm riêng f x ′ ,f y ′ tại mọi điểm(x, y)trong tập mởG⊂ R 2 thì các đạo hàm riêng này của hàmf cũng là các hàm hai biến trên G(ta gọi chúng là các đạo hàm riêng cấp 1 củaf) Do đó ta có thể xét các đạo hàm riêng củaf x ′ và f y ′

4.3.1 Định nghĩa Nếu tồn tại các đạo hàm riêng của các đạo hàm f x ′ , f y ′ tại điểm (x, y)∈G thì ta gọi chúng là các đạo hàm riêng cấp 2của hàm f tại điểm (x, y). Như vậy, ta có thể có tất cả bốn đạo hàm riêng cấp hai của hàm f tại điểm (x, y)∈G và được ký hiệu là

Các đạo hàm riêng cấp 3,4, , n của f được xác định tương tự.

Các đạo hàm riêng cấp cao lấy theo các biến khác nhau được gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp, chẳng hạn ∂ 2 f

Kết quả sau đây của Schwartz cho một điều kiện đủ để các đạo hàm riêng hỗn hợp cùng cấp bằng nhau Chứng minh của nó nếu quan tâm bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6.

4.3.2 Định lý Giả sử f là hàm xác định trên tập mở G ⊂ R 2 , có các đạo hàm riêng cấp một f x ′ , f y ′ và các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai f xy ′′ , f yx ′′ tại mọi điểm của G Khi đó, nếu f xy ′′ , f yx ′′ liên tục tại (x 0 , y 0 )∈G thì f xy ′′ (x 0 , y 0 ) = f yx ′′ (x 0 , y 0 ).

4.3.3 Nhận xét Từ định lý trên ta dễ dàng chứng minh được rằng hai đạo hàm riêng hỗn hợp cùng bậc, chỉ sai khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm mà liên tục tại(x, y)∈G thì chúng bằng nhau tại điểm đó.

Bây giờ cho f là hàm khả vi trên tập mở G⊆ R 2 Vi phân của hàm f tại điểm (x, y)∈G là df(x, y) =f x ′ (x, y)dx+f y ′ (x, y)dy.

Vìdf(x, y) là hàm của hai biến(x, y) (xemdx,dy là các hằng số) nên ta có thể xét vi phân của nó tại điểm nào đó Ta gọi df làvi phân cấp một của f.

4.3.4 Định nghĩa Nếu tồn tại vi phân của df tại điểm (x 0 , y 0) ∈ G thì ta gọi vi phân đó là vi phân cấp hai của hàm f tại điểm đó và ký hiệu là d 2 f Như vậy d 2 f =d(df).

4.3.5 Nhận xét a) Khi lấy vi phân của df ta xem dx, dy là các hằng số Do đó d 2 f =d( f x ′ dx+f y ′ dy)

=( f xx ′′ dx+f yx ′′ dy) dx+( f xy ′′ dx+f yy ′′ dy) dy

=f xx ′′ dx 2 + 2f yx ′′ dxdy+f yy ′′ dy 2

(với giả thiết các đạo hàm hỗn hợp cấp hai bằng nhau). b) Các vi phân cấp 3,4, được định nghĩa tương tự và ký hiệu là d 3 f, d 4 f,

Một cách tổng quát, nếu tồn tại d n − 1 f thì d n f =d(d n − 1 f).

Ta thấy rằng, nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng đến cấp n và chúng liên tục tại điểm (x 0 , y 0 )∈G, thì f có vi phân cấpn tại điểm đó. c) Để tính vi phân cấp cao, ta dùng công thức sau đây d n f ( ∂

Trong công thức (6.11), ta hiểu các phép toán theo nghĩa hình thức ∂

) n là lũy thừa bậc n của nhị thức trong dấu ngoặc. Muốn có công thức tính vi phân d n f ta thực hiện vế phải của (6.11) mọi phép toán một cách hình thức Chẳng hạn, d 2 f ( ∂

Bạn đọc tự kiểm tra công thức (3.15) cho nhữngn lớn hơn.

Trong phần cuối của mục này chúng tôi giới thiệu công thức Taylor đối với hàm nhiều biến Cũng như đối với hàm một biến, công thức Taylor đối với hàm nhiều biến cho ta xấp xỉ một hàm nhiều biến bởi một đa thức Để đơn giản ta xây dựng công thức Taylor đối với hàm hai biến từ công thức Taylor đối với hàm một biến.

4.3.6 Định lý Cho hàm f xác định trên tập mở G ⊂ R 2 , có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n tại mọi điểm của G Giả sử (x, y)∈ G và h, k là các số gia của x, y tương ứng sao cho (x+h, y+k)∈G Khi đó ta có f(x+h, y+k) =f(x, y) +h∂f

(6.12) trong đó 0< θ f(P) ), với mọiQ∈U \ {P}.

Các điểm cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được định nghĩa ở trên được gọi chung là điểm cực trị địa phương, hay điểm cực trị không điều kiện và hàm f được gọi là đạt cực trị hay đạt cực trị không điều kiện tại điểm P.

Vấn đề đặt ra ở đây là tìm điểm cực trị địa phương của hàm f Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần của điểm cực trị địa phương.

5.1.2 Định lý Nếu hàm f có cực trị địa phương tại điểm P(a 1 , , a n ) ∈G và có các đạo hàm riêng tại P thì các đạo hàm riêng đó bằng 0.

5.1.3 Định nghĩa Điểm P ∈ G được gọi là điểm dừng của hàm f nếu các đạo hàm riêng của f tại điểm đó tồn tại và bằng 0.

5.1.4 Quy tắc tìm cực trị của hàm 2 biến Để tìm cực trị địa phương của hàm

2 biếnz =f(x, y)ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 2 Giải hệ phương trình

∂y = 0 để tìm các điểm dừngP(a, b).

Bước 3 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 f xx ′′ , f xy ′′ , f yy ′′ Đặt A = f xx ′′ (a, b), B f xy ′′ (a, b), C =f yy ′′ (a, b).

Bước 4 Đặt Xét dấu ∆ =AC−B 2 và kết luận a) Nếu AC−B 2 >0, A 0, A >0, thì hàm đạt cực tiểu tại điểmP(a, b). c) Nếu AC−B 2 0 Do đó f có cực tiểu tại (0,0).

Cực trị có điều kiện

Bài toán tìm cực trị có điều kiện là bài toán tìm các điểm cực trị địa phương của hàmf(x 1 , , x n )với ràng buộc các điểm cực trị đó phải thỏa mãn các điều kiện cho bởi hệ:

Dựa vào lý thuyết hàm ẩn (mà chúng ta không trình bày ở đây), người ta có thể tìm được điều kiện cần để có cực trị có điều kiện Để đơn giản các ký hiệu ta trình bày cho trường hợpn = 4 và m= 2.

5.2.1 Định lý Giả sử hàm sốf xác định trên tập mở G⊂ R 4 , đạt cực trị tại điểm

P 0 (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 )∈G thỏa mãn hệ phương trình

(6.13) trong đó f, F 1 , F 2 cùng với các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong một lân cận nào đó của điểm P 0 và

= 0 tại P 0 Khi đó tồn tại các số λ 1 , λ 2 sao cho

(tất cả các đạo hàm riêng lấy tại P 0 ).

5.2.2 Nhận xét Định lý 5.2.1 cho ta một điều kiện cần để điểm P 0 (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) là điểm điểm cực trị có điều kiện của hàm f, đó là tọa độ của P 0 phải thỏa mãn các hệ phương trình (6.13) và (6.14) Tuy nhiên ví dụ sau đây cho thấy có thể dùng điều kiện cần đó để tìm cực trị có điều kiện như thế nào.

5.2.3 Ví dụ Tìm cực trị của hàm f(x, y, z) = x+y+z thỏa mãn điều kiện

Từ 3 phương trình sau của hệ ta suy ra x=y=z =− 1

Thay vào phương trình đầu ta thu được x=y=z =± 1

Như vậy nếu hàm f có cực trị địa phương thỏa mãn điều kiện F(x, y, z) = 0 thì nó chỉ đạt tại hai điểm P 1 ( 1

) Mặt khác vì f là hàm liên tục trên mặt cầu

S ={(x, y, z)∈ R 3 :x 2 +y 2 +z 2 = 1} vàS là tập compắc nên f phải có cực đại (trong trường hợp này là giá trị lớn nhất) và cực tiểu (giá trị nhỏ nhất) trên S Từ đó ta thấy rằng f đạt cực đại tại P 1 và cực tiểu tạiP 2

1) Mối liên hệ giữa giới hạn kép và giới hạn lặp của hàm nhiều biến.

2) Mối liên hệ giữa tính liên tục và liên tục theo từng biến của hàm nhiều biến.

3) Mối quan hệ giữa tính khả vi, tính liên tục, sự tồn tại và tính liên tục của các đạo hàm riêng của hàm nhiều biến.

4) Phương pháp xét tính liên tục, khả vi của hàm nhiều biến.

5) Cách tìm cực trị, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.

Bài 1 Tìm miền xác định của các hàm số sau. a) z √

Bài 2 Cho hàm sốf(x, y) = x−y x+y Chứng minh rằng x lim → 0lim y → 0 f(x, y) = 1, lim y → 0lim x → 0 f(x, y) =−1 nhưng không tồn tại lim

Bài 3 Tìm các giới hạn sau. a) lim

Bài 4 Chứng minh rằng hàm f(x, y) 

0 nếu (x, y) = (0,0). liên tục theo từng biến tại điểm(0,0)nhưng không liên tục tại điểm đó.

Bài 5 Chứng minh rằng, hàm f(xy) 

0 nếu (x, y) = (0,0) liên tục tại điểm (0,0) trên mỗi tia(tcosα, tsinα) (0 6t 0, b >0). b) u=xy+xz với các điều kiện x 2 +y 2 = 1, y+z = 2, (x, y, z>0).

[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải và Đinh Huy Hoàng (1998), Toán cao cấp, Tập 3 (Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất bản Giáo dục.

[3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích 3 (Dành cho sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh.

[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, (2000), Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất bảnGiáo dục.

Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của phép tính tích phân hàm một biến và một số ứng dụng của chúng.

VII.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản, cách tính và một số ứng dụng của tích phân 2 lớp và 3 lớp.

VII.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1 Nắm được định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân 2 lớp.

2 Nắm được phương pháp đổi biến số để tính tích phân 2 lớp.

3 Nắm được cách tính và tính được tích phân 2 lớp.

4 Nắm được định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân 3 lớp.

5 Nắm được các phương pháp đổi biến số để tính tích phân 3 lớp.

6 Nắm được cách tính và tính được tích phân 3 lớp.

7 Biết vận dụng tích phân bội để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trong R 3 , diện tích mặt cong, tính khối lượng và tọa độ trọng tâm vật thể.

VII.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Trong chương này chúng ta nghiên cứu các mở rộng tích phân Riemann trên đoạn [a, b] ⊂ R, dẫn tới khái niệm tích phân bội Đầu tiên ta trình bày tích phân trên miền phẳng (tích phân hai lớp), tiếp đến là tích phân trên miền không gian (tích phân ba lớp) Do đặc thù của ngành học chúng ta không đi sâu nghiên cứu chi tiết cách xây dựng, tính chất của tích phân bội mà tập trung đề cập đến các phương pháp thực hành tính tích phân bội và các ứng dụng của nó Muốn tìm hiểu sâu hơn về tích phân bội, chúng ta có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],

Tích phân bội 205

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân hai lớp

Trong tiết 3 chương 4 chúng ta đã xây dựng được công thức tính diện tích hình phẳng từ tích phân xác định một lớp Trước khi xây dựng định nghĩa tích phân 2 lớp chúng tôi trình bày một số tính khái niệm và tính chất của miền phẳng trong

1.1.1 Định nghĩa Cho D là một miền trong R 2 Ta nói rằng miền D làđo được nếu diện tích của nó hữu hạn.

Người ta chứng minh được kết quả sau.

1.1.2 Nhận xét Người ta chứng minh được rằng

1) Diện tích của một miền con của một miền đo được bé hơn diện tích của miền đó.

2) Nếu miền được chia thành các miền con không có chung điểm trong thì tổng diện tích các miền con bằng diện tích cả miền.

3) Nếu các miền D 1 , D 2 đo được thì D 1 ∩D 2 vàD 1 ∪D 2 đo được.

1.1.3 Định nghĩa Cho D là một miền bị chặn của R 2 Khi đó d(D) = sup{d(M, N) :M, N ∈D}, được gọi là đường kính của miền D, với d(M, N) là khoảng cách giữa hai điểm M và N.

1.1.4 Định nghĩa ChoDlà một miền đo được củaR 2 Tập hợp các miền đo được

D 1 , , D n được gọi là một phép chia của D nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

Lúc đó ta cũng ký hiệu π={D 1 , D 2 , , D n }.

Tập hợp tất cả các phép chia của miềnDđược ký hiệu làP(D) Giả sửπ ∈ P(D) vàπ ={D 1 , , D n } Đặtd(π) = max{d(D i ) :i= 1, , n} Sốd(π)được gọi là đường kính của phép chia π.

1.1.5 Định nghĩa Cho D là miền bị chặn đo được trong R 2 và f : D → R là hàm số xác định trên D Chia miền D bởi phép chia π thành các miền nhỏ

D 1 , D 2 , , D n và ký hiệu S(D i ) là diện tích của miền nhỏ D i , i = 1, , n Trên mỗi miền nhỏ D i ta chọn điểm tùy ý M i (ξ i , η i ) ∈ D i , i = 1, , n và lập tổng

∑ n i=1 f(ξ i , η i ).S(D i ) Ký hiệu d(π) là đường kính của phép chia π Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim d(π) → 0

∑ n i=1 f(ξ i , η i ).S(D i ) =I, mà giới hạn này không phụ thuộc vào phép chiaπ và cách chọn các điểmM i (ξ i , η i ), thì ta nóihàm f khả tích trên miền D cònI làtích phân hai lớpcủa hàmf(x, y)trên miềnDvà kí hiệu là

Người ta chứng minh được kết quả quan trọng sau.

1.1.6 Hệ quả Mọi hàmf(x, y)liên tục trên miền đo được, đóng và bị chặnD ⊂ R 2 đều khả tích trên miền đó.

1.1.7 Nhận xét Cũng như tích phân một lớp, điều kiện cần để hàm f khả tích trên miền D làf bị chặn trên D.

Tương tự như tích phân một lớp ta chứng minh được tích phân hai lớp có các tính chất sau.

1.2.1 Tính chất tuyến tính Giả sử f, g là các hàm khả tích trên D và α, β ∈ R.

Khi đóαf +βg khả tích trên D và

1.2.2 Tính chất cộng tính Giả sử f là hàm xác định trên D =D 1 ∪D 2, trong đó

D 1 , D 2 là các miền đo được, không có chung điểm trong Khi đó, nếu f khả tích trên D 1 và D 2 thì f khả tích trên D và

1.2.3 Tính chất đơn điệu Giả sử f, g là các hàm khả tích trên D và f(x, y) 6 g(x, y), với mọi (x, y)∈D Khi đó

1.2.4 Tính khả tích tuyệt đối Giả sử f là hàm khả tích trên D Khi đó |f| khả tích trên Dvà

1.2.5 Định lý giá trị trung bình Giả sử f là hàm liên tục trên miền D liên thông.

Khi đó tồn tại (x 0 , y 0 )∈D sao cho

D f(x, y)dxdy =f(x 0 , y 0 )S(D), trong đó S(D)là diện tích của miền D.

D dxdy là diện tích của miền D. b) Nếu f(x, y) > 0 thì

D f(x, y)dxdy là thể tích của hình trụ cong trong R 3 với đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, mặt trên được giới hạn bởi mặt cong có phương trình z =f(x, y).

Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp

Trong mục trước chúng ta đã nghiên cứu định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân hai lớp Cũng như tích phân một lớp sẽ rất khó khăn nếu dùng trực tiếp định nghĩa để tính các tích phân hai lớp Trong thực hành tính tích phân hai lớp chúng ta dựa vào kết quả căn bản của Định lý Fubini để đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp Chúng ta chấp nhận các kết quả này mà không trình bày chứng minh của chúng Người đọc có thể tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1],

1.2.1 Định lý (Fubini) Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên miền

D={(x, y)∈ R 2 :a6x6b, φ 1 (x)6y 6φ 2 (x)} trong đóφ 1 , φ 2 là các hàm liên tục trên [a, b] Khi đó D là miền đo được, f khả tích trên D và

Do vai trò của x và y là như nhau nên ta có kết quả tương tự sau.

1.2.2 Định lý (Fubini) Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên miền

D={(x, y)∈ R 2 :c6y6d, φ 1 (y)6x6φ 2 (x)} trong đó φ 1 ,φ 2 là các hàm liên tục trên [a, b] Khi đó Dlà miền đo được và

1.2.3 Nhận xét Trong nhiều trường hợp chúng ta viết

Chúng ta đến với một vài ví dụ minh họa.

1.2.4 Ví dụ Tính tích phân

2) D là miền giới hạn bởi các đường y=x,y = 1 x và x= 2.

Giải.1) Áp dụng công thức (4.1) ta có

2) Miền Dgiới hạn bởi các đườngy=x,y= 1 x vàx= 2 được xác định như sau:

(x+y)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y=x, y= 1 x, y = 0 và x= 2.

Giải MiềnD giới hạn bởi các đường y=x, y = 1 x, y = 0và x= 2 được xác định như sau: D=D 1 ∪D 2 với

Đổi biến trong tích phân hai lớp

Trong tích phân một lớp các phương pháp đổi biến số là công cụ hữu hiệu để thực hành tính tích phân Trong mục này, chúng ta trình bày phương pháp đổi biến số cho tích phân hai lớp.

Cho D là một miền bị chặn, đo được của R 2 Phép đổi biến trong tích phân hai lớp được thực hiện nhờ phép chuyển từ các biến (x, y)đến các biến mới (u, v)theo các công thức 

(u, v)∈D ∗ (7.3) Ánh xạΦbiến miềnD ∗ trong mặt phẳng tọa độ(u, v)thành miềnD được xác định bởi

Ta có định lý sau.

1.3.1 Định lý Giả sử rằng:

1) Φ là một song ánh từ D ∗ vào D.

2) Các hàm x(u, v) và y(u, v) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên D ∗

= 0 (7.4) tại mọi điểm của D ∗ Khi đó nếu f(x, y) là một hàm liên tục trên D thì

Công thức (7.5) được gọi là công thức đổi biến trong tích phân hai lớp.

Chúng ta đến với vài ví dụ minh họa.

(x+ 2y)dxdy, trong đó D là hình bình hành giới hạn bởi các đường thẳng x+y = 0, x+y 1, x−2y= 1 và x−2y= 2.

Khi đóD là ảnh của miền

D ∗ ={(u, v)∈ R 2 : 06u61, 16v 62} qua phép đổi biến Φ cho bởi Φ(u, v) (2u+v

) , với (u, v)∈ D ∗ Khi đó ta có

Sử dụng công thức đổi biến cho tích phân hai lớp ta có

1.3.3 Ví dụ Tính tích phân ∫∫

D y 2 x 3 dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =x, y = 2x , y =x 2 và y= 2x 2

Khi đó,D là ảnh của miền

D ∗ ={(u, v)∈ R 2 : 16u62, 16v 62} qua phép đổi biến Φcho bởi Φ(u, v) (u v,u 2 v

) , với (u, v)∈D ∗ Khi đó ta có

Sử dụng công thức đổi biến cho tích phân hai lớp ta có

1.3.4 Nhận xét Một trong những phép đổi biến thường gặp trong tích phân 2 lớp là phép đổi biến sang tọa độ cực Các vấn đề liên quan cụ thể hơn đến tọa độ cực bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo.

Chúng ta đến với phép đổi biến này.

Trong mặt phẳng R 2 với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy ta đưa vào hệ tọa độ cực (r, φ) với cực tại O và trục cực làOx Khi đó hệ phương trình

06r 0).

1− x 2 a 2 − y 2 b 2 dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi đường ellipse x 2 y 2 +y 2 b 2 = 1.

(x+y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi đường cong: y 2 = 2x, x+y= 4, x+y= 12.

Bài 2 Tính các tích phân sau:

B xy 2 z 3 dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi các mặtz =xy, y x, x= 1 và z = 0.

B xyzdxdydz, trong đóB là miền được giới hạn bởi các mặtx 2 +y 2 +z 2 1, x>0, y >0, z >0

) dxdydz, trong đó B là miền được giới hạn bởi mặt x 2 a 2 +y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1.

√x 2 +y 2 dxdydz, trong đóB là miền được giới hạn bởi các mặt:x 2 +y 2 z 2 và z = 1.

Bài 3.Tính diện tích của miền D được giới hạn bởi các đường cong

4) x 2 =ay, x 2 =by, x 3 =cy 2 và x 3 =dy 2 , (0< a < b,0< c < d).

Bài 4.Tính thể tích của miền Ωđược giới hạn bởi các mặt:

Bài 5.Tính diện tích của phần mặt được xác định là giao của các mặt sau:

Bài 6.Tính khối lượng của hình cầu bán kính bằng 2 nếu khối lượng riêng tại mỗi điểm tỉ lệ với bình phương khoảng cách từ điểm đó tới tâm và khối lượng riêng bằng γ nếu khoảng cách nói trên bằng đơn vị.

[1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải và Đinh Huy Hoàng (1998), Toán cao cấp, Tập 3 (Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất bản Giáo dục.

[3] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích 3 (Dành cho sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh.

[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, (2000), Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất bảnGiáo dục.

Trong chương này chúng ta trình bày những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết phương trình vi phân thường mà chúng có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.

VIII.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày cách giải một số phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp 2 có hệ số hằng số và cách giải hệ phương trình vi phân.

VIII.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1 Nắm được các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân: Khái niệm phương trình, khái niệm các loại nghiệm.

2 Nhận dạng được và biết cách giải các loại phương trình vi phân cấp 1: Phương trình tách biến, phương trình vi phân đẳng cấp, phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Becnoulli, phương trình vi phân toàn phần, phương trình Lagrange, phương trình Clero.

3 Nắm được khái niệm và biết cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp

2 có hệ số là hằng số.

4 Nắm được khái niệm và giải được hệ phương trình vi phân tuyến tính.

VIII.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Trong chương này chúng ta trình bày những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết phương trình vi phân thường, nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật.

Phương trình vi phân 240

Khái niệm phương trình vi phân

Khi nghiên cứu các hiện tượng trong vật lý và trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, nhiều quy luật được phát hiện nằm trong mối quan hệ (phương trình) giữa một hàm cần tìm với các đạo hàm của nó, các phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến số thì phương trình vi phân được gọi làphương trình vi phân thường, hay nói gọn là phương trình vi phân Nếu hàm cần tìm phụ thuộc nhiều biến số thì ta gọi là phương trình đạo hàm riêng.

Ví dụ 1) Các phương trình ysinx+y ′ cosx−1 = 0 (a) y ′′ 3 −7y 3 = 1 (b) y ′′′ 2 −3y ′ 4 =e x −x+ 5 (c) là các phương trình vi phân thường.

∂y 2 = 0 (d) là phương trình vi phân đạo hàm riêng.

3) Trong chương trình vật lý chúng ta đã biết phương trình của dao động điều hoà của chất điểm có dạng x=Asin(ωt+φ), t ∈ R , (8.1) trong đóA là biên độ của giao động,ω là tần số góc, φlà pha ban đầu vàx là li độ ở thời điểmt Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểmt là x ′ =Aωcos(ωt+φ) và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là x ′′ =−Aω 2 sin(ωt+φ) (8.2)

Từ (8.1) và (8.2) ta thu được x ′′ =−ω 2 x (8.3)

Phương trình (8.3) là một phương trình vi phân nó biểu thị quy luật của giao động điều hoà.

1.1.1 Định nghĩa Dạng tổng quát của phương trình vi phân là

F(x, y, y ′ , , y (n) ) = 0, (8.4) trong đóF là một hàmn+ 1biến cho trước thoả mãn một số điều kiện về liên tục, khả vi, ; x là biến số độc lập; y = y(x) là hàm chưa biết cần tìm; y ′ , y ′′ , y (n) là các đạo hàm củay.

Cấp cao nhất của đạo hàm của y có mặt trong phương trình vi phân được gọi làcấp của phương trình vi phân.

1.1.2 Ví dụ 1) y ′′ +xy ′ +y=e x là một phương trình vi phân cấp 2.

2) y ′ +y= sinx là phương trình vi phân cấp 1.

Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 8.

Nghiệm và Bài toán Cauchy

1.2.1 Định nghĩa Nghiệm của phương trình vi phân (8.4) là hàm y=y(x)có các đạo hàm y ′ , y ′′ , y (n) trên miền X ⊂ R thoả mãn đẳng thức

F(x, y(x), y ′ (x), , y (n) (x)) = 0, với mọix∈X. Đồ thị của nghiệm của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân của phương trình.

Giải phương trình vi phân là tìm tất cả nghiệm của phương trình đã cho Việc giải các phương trình vi phân bao giờ cũng là quá trình thực hiện một số phép lấy tích phân nên ta còn gọi là tích phân phương trình vi phân.

1.2.2 Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm khoảng (a, b)⊂ R và nghiệmy=y(x) xác định trên khoảng(a, b)của phương trình (8.4) thỏa mãn điều kiện y(x 0 ) =y 0 với điểm x 0 ∈ (a, b) và y 0 cho trước Điều kiện y(x 0 ) =y 0 được gọi làđiều kiện đầu.

2 Phương trình vi phân cấp một

Các khái niệm và kết quả cơ bản

2.1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng tổng quát

F(x, y, y ′ ) = 0 (8.5) trong đóF là hàm ba biến số xác định trên miềnΩ⊂ R 3 , y=y(x)là hàm cần tìm, x là biến số độc lập và y ′ là đạo hàm của hàm y.

Nghiệm của phương trình (8.5) là hàm y khả vi trên khoảng (a, b) ⊂ R nào đó thoả mãn đẳng thức

Nếu phương trình (8.5) có thể viết dưới dạng y ′ = dy dx=f(x, y), (8.6) trong đó f là hàm hai biến xác định trên miền D ⊂ R 2 thì ta gọi (8.6) là phương trình vi phân đã giải ra được đối với đạo hàm.

2.1.2 Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 là bài toán tìm nghiệmy =y(x) của phương trình vi phân (8.6) thoả mãn y(x 0 ) =y 0 , với (x 0 , y 0 )là một điểm cho trước thuộc mặt phẳng R 2 Điều kiện y(x 0 ) =y 0 được gọi là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân.

Về mặt hình học thì bài toán Cauchy là tìm đường cong tích phân của phương trình đi qua điểm (x 0 , y 0 ) Trong các trường hợp cụ thể bài toán Cauchy có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm. Định lý cơ bản sau đây trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy Chúng ta bỏ qua chứng minh của định lý này, nếu quan tam bạn đọc có thể tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo.

2.1.3 Định lý (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân y ′ =f(x, y) (8.6)

Nếu trên hình chữ nhật

D={(x, y) :x o −a≤x≤x o +a, y o −b≤y≤y o +b} hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau đây

1) f(x, y)liên tục (và do đó tồn tại sốM để |f(x, y)| ≤M với mọi (x, y)∈D);

2) f(x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với biến y

|f(x, y 1 )−f(x, y 2 )| ≤N|y 1 −y 2 | với mọi (x, y 1 ) ∈ D,(x, y 2 ) ∈ D, N = const, thì trên đoạn [x o − h, x o + h] với h= min{a, M b } phương trình vi phân (8.6) có nghiệm duy nhất y= y(x) thỏa mãn điều kiện đầu y(x 0) = y 0

2.1.4 Các loại nghiệm 1) Ta gọi mỗi nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình vi phân (8.6), thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x o ) = y o là một nghiệm riêng của phương trình (8.6).

2) Hàm số y=y(x, C) phụ thuộc một tham số C được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (8.6) nếu nó thỏa mãn các điều kiện a) y(x, C)thỏa mãn phương trình (8.6) với mọi giá trị C ∈ R. b) Với điều kiện ban đầu bất kỳ cho trước y(x o ) = y o với (x o , y o ) ∈ G luôn tìm được giá trị C = C o sao cho nghiệm y =y(x, C o ) thỏa mãn điều kiện ban đầu này.

3) Ta gọi nghiệm của phương trình (8.6) là một nghiệm kỳ dịnếu tại mỗi điểm thuộc nó tính duy nhất nghiệm bị vi phạm. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, nhiều khi ta đi đến một hệ thức dạng Φ(x, y, C) = 0 (8.7)

Ta gọi hệ thức (8.7) là tích phân tổng quátcủa phương trình vi phân (8.6).

Ta nói giải hay tích phân một phương trình vi phân có nghĩa là a) Tìm nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát (nếu không biết điều kiện ban đầu) và tìm mọi nghiệm kỳ dị của phương trình, hoặc b) Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước.

Ví dụ Xét phương trình dy dx =−y x (8.8)

Ta có (8.8) khi và chỉ khi xdy+ydx = 0 khi và chỉ khi d(xy) = 0 khi và chỉ khi xy=C với C là hằng số tùy ý.

Muốn tìm nghiệm riêng của phương trình (8.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(2) = 1 ta chỉ việc thay x o = 2, y o = 1 vào công thức nghiệm tổng quát ta được

1 = C 2 , ta tìm được C 0 = 2 Vậy nghiệm riêng phải tìm lày = 2 x.

2.1.5 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân Cho phương trình vi phân y ′ = f(x, y) (8.6) trong đó f(x, y) xác định trong một miền mở G nào đó trong mặt phẳng Giả sử rằngy=y(x, C)là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (8.6) Khi đó tại mỗi điểmP(x, y)∈Gphương trình vi phân (8.6) cho ta hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tích phân tại điểm đó Vì vậy, phương trình vi phân (8.6) cho ta tập hợp mọi hướng của tiếp tuyến Ta nói rằng phương trình vi phân (8.6) xác định một hướng trường trênG Khi đó bài toán giải phương trình vi phân

(8.6) là: Tìm các đường cong sao cho tiếp tuyến của mỗi đường tại mỗi điểm của nó trùng với hướng trường tại điểm đó.

2.1.6 Nhận xét 1) Như vậy, tích phân tổng quát hay tìm nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân là tìm ra họ các đường cong phẳng phụ thuộc một hằng số và thỏa mãn phương trình vi phân đã cho Còn tìm nghiệm riêng của một phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x o ) = y o đã cho là chỉ ra một đường cong thuộc họ các đường cong phẳng tìm được mà đường cong đó đi qua điểm có tọa độ(x o , y o ).

2) Định lý 2.1.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm của một lớp các phương trình vi phân, song không phải tất cả các phương trình vi phân, nghiệm của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp các phép toán của các hàm sơ cấp và tích phân của nó Chẳng hạn người ta chứng minh được nghiệm của phương trình y ′ =y 2 −x không thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp các phép toán của các hàm sơ cấp và tích phân của nó Trong một số trường hợp đặc biệt của hàm f(x, y) thì chúng ta có thể giải được phương trình (8.6), tức là có thể tìm được nghiệm của nó sau hữu hạn phép lấy tích phân thích hợp.

Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số lớp phương trình vi phân cấp một quen thuộc và cách giải của nó.

Phương trình có biến số phân ly

2.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân có dạng

M(x)dx+N(y)dy = 0 (8.9) trong đó M(x) và N(y) là các hàm số liên tục trên khoảng nào đó, được gọi là phương trình vi phân biến số phân ly (hay phương trình tách biến).

2.2.2 Cách giải Nếuy =y(x) là nghiệm của phương trình (8.9) thì

Lấy tích phân hai vế ta nhận được

N(y)dy=C là tích phân tổng quát của (8.9).

2.2.3 Ví dụ Giải phương trình vi phân xdx

Giải.Lấy tích phân hai vế

2ln(1 +y 2 ) = C ′ , ta thu được tích phân tổng quát ln(1 +x 2 )(1 +y 2 ) =C với C = 2C ′

2.2.4 Nhận xét Phương trình có dạng

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy= 0, (8.9 ′ ) trong đóM(x), N(y), P(x), Q(y)là các hàm liên tục trên khoảng nào đó, có thể đưa về phương trình biến số phân ly.

Tại các điểm có N(y)P(x)̸= 0chia hai vế phương trình cho N(y)P(x) ta nhận được

N(y)dy= 0 là phương trình biến số phân ly Tích phân hai vế ta thu được tích phân tổng quát.

Nếu y=b là nghiệm của phương trình N(y) = 0, thì y=b cũng là nghiệm của phường trình vi phân (8.9’).

2.2.5 Ví dụ Giải phương trình vi phân x√

Với |x|0do cú thể thayàbởi−à) Việc giải phương trỡnh (8.19) núi chung là phức tạp vì đây là phương trình đạo hàm riêng Trong các trường hợp sau, ta tìm được thừa số tích phân.

1) Nếu à chỉ phụ thuộc vàox, tức là à=à(x) thỡ từ (8.19) ta cú phương trỡnh dlnà dx ∂P

Trường hợp này xẩy ra khi vế phải của đẳng thức trên chỉ phụ thuộc vàox Ta nhận được à(x) =e

2) Nếu à chỉ phụ thuộc vàoy, tức làà=à(y) thỡ từ (8.19) ta cú phương trỡnh dlnà dy =−

Trường hợp này xẩy ra khi vế phải của đẳng thức trên chỉ phụ thuộc vàoy Ta nhận được à(y) = e −

2.6.9 Ví dụ Giải phương trình

Như vậy thừa số tớch phõn à(x, y)chỉ phụ thuộc vào x và à(x) =e

Nhõn hai vế với phương trỡnh ban đầu với à(x) = 1 x 2 ta được

) dy= 0 là phương trình vi phân toàn phần Tích phân phương trình này ta được tích phân tổng quát

Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut

Trong mục này chúng ta nghiên cứu hai loại phương trình vi phân cấp một chưa giải ra được đối với đạo hàm đó là phương trình Lagrange và phương trình Clairaut.

2.7.1 Định nghĩa Phương trình vi phân có dạng y=xφ( y ′ ) +ψ( y ′ )

(8.20) trong đó φ, ψ là các hàm cho trước thỏa mãn các điều kiện liên tục, khả vi nào đó, được gọi là phương trình Lagrange Đặc biệt nếu φ( y ′ )

(8.21) được gọi là phương trình Clairaut.

2.7.2 Cách giải Đặt y ′ =p Ta có y=φ(p)x+ψ(p) (8.22)

Do đẳng thức dy=pdxta có φ(p)dx+( φ ′ (p)x+ψ ′ (p)) dp=pdx hay ( φ(p)−p) dx+( φ ′ (p)x+ψ ′ (p)) dp= 0.

1) Trường hợp φ(p)−p = 0 với mọi p, tức là phương trình trở thành phương trình Clairaut Khi đóφ(p) = p, suy ra φ ′ (p) = 1 Do đó

Suy ra dp = 0 hoặc x = −ψ ′ (p) Với dp = 0 hay p = C Thay vào phương trình

(8.20) ta được tích phân tổng quát của phương trình là y =Cx+ψ(C).

Với x = −ψ ′ (p) thay vào (8.20) ta được nghiệm tổng quát của phương trình cho dưới dạng tham số 

2) Trường hợp φ(p)−p̸= 0 ta có dx dp + φ ′ (p) φ(p)−px= ψ ′ (p) p−φ(p) (8.23) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một đối với x Giải phương trình này ta nhận được nghiệm có dạng x=A(p)C+B(p) trong đóA(p), B(p) là các hàm khả vi theo biếnp Thay vào biểu thức y=φ(p)x+ ψ(p)ta có y=A 1 (p)C+B 1 (p).

Vậy đường cong tích phân tổng quát của phương trình cho dưới dạng tham số

Ngoài ra nếuφ(p) = pcó nghiệmp 0 thì đường thẳngy=p 0 x+ψ(p 0 )cũng là nghiệm của phương trình.

2.7.3 Ví dụ Giải phương trình y=xy ′ 2 +y ′ 2 Đặt y ′ =pta có dy =d(xp 2 +p 2 ) =p 2 dx+x2pdp+ 2pdp=pdx hay

Giả sử p 2 −p̸= 0 Khi đó, ta có dx dp + 2 p−1x= 2 p−1.

Từ công thức nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp một ta nhận được x= C

Thay vào đẳng thứcy=xp 2 +p 2 ta có y= Cp 2

Vậy đường cong tích phân tổng quát có dạng tham số

Ngoài ra với p = 0 ta nhận được nghiệm y = 0; với p = 1 ta nhận được nghiệm y=x+ 1.

3 Phương trình vi phân cấp hai

Trong mục này chúng ta trình bày một số vấn đề cơ bản về phương trình vi phân cấp hai Một cách tự nhiên những vấn đề này có thể trình bày cho trường hợp tổng quát cấpn >2, tuy nhiên để tiện trong việc trình bày và phù hợp với khả năng của đối tượng người học chúng tôi chỉ trình bày cho n= 2.

Mở đầu về phương trình vi phân cấp hai

3.1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng tổng quát

F(x, y, y ′ , y ′′ ) = 0, (8.24) trong đó F = F(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) là một hàm xác định trong miền Ω ⊂ R 4 , hay có dạng y ′′ =f(x, y, y ′ ), (8.25) trong đó f =f(x 1 , x 2 , x 3)là một hàm xác định trong miền D ⊂ R 3

Dạng (8.25) được gọi là phương trình đã giải ra được đối với đạo hàm cấp 2.

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 dạng (8.24) hoặc dạng (8.25) là hàm số y=y(x)xác định, liên tục và có đạo hàm đến cấp2trên một khoảng (α, β)nào đó sao cho khi thay y= y(x) vào (8.24) hoặc (8.25) ta được một đồng nhất thức trên khoảng (α, β).

3.1.2 Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (8.25) thỏa mãn các điều kiệny(x 0) = y 0, y ′ (x 0) = y 0 ′ với (x 0 , y 0 , y ′ 0 )∈ D.

Các điều kiện y(x 0 ) =y 0 , y ′ (x 0 ) =y 0 ′ và (x 0 , y 0 , y 0 ′ )∈ D được gọi là điều kiện đầu của phương trình.

Bài toán Cauchy có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm Chúng ta công nhận định lý sau về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (8.25).

3.1.3 Định lý (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp 2 y ′′ =f(x, y, y ′ ) (8.26) với điều kiện ban đầu y(x o ) = y o , y ′ (x o ) = y o ′ (8.27)

Nếu trong hình hộp D ={(x, y, y ′ )∈ R 3 : |x−x o | ≤ a,|y−y o | ≤ b} (trong đó a, b là những số dương) hàmf thỏa mãn 2 điều kiện:

1) f(x, y, y ′ )liên tục theo tất cả các biến trên miền D (vì thế tồn tại sốM > 0 sao cho |f(x, y, y ′ )| ≤M với mọi (x, y, y ′ )∈ D );

2) hàm số f(x, y, y ′ )thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với các biếny, y ′ , nghĩa là

|f(x, y 2 , y ′ 2 )−f(x, y 1 , y ′ 1 )| ≤L(|y 2 −y 1 |+y ′ 2 −y 1 ′ |) trong đó(x, y 1 , y ′ 1 ),(x, y 2 , y 2 ′ )∈ D vàLlà hằng số dương, thì tồn tại duy nhất nghiệm y=y(x)thỏa mãn điều kiện đầu (8.27), xác định và liên tục cùng với đạo hàm của nó đến cấp2trong đoạn [x o −h, x o +h]với h= min

3.1.4 Định nghĩa Nghiệm tổng quát của phương trình (8.26) là hàm số y φ(x, C 1 , C 2) trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện.

1) φ(x, C 1 , C 2 ) là nghiệm của phương trình (8.26) với mọiC 1 , C 2

2) Với mỗi (x 0 , y 0 , y ′ 0 ) ∈ D mà tại đó điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm được thỏa mãn, tồn tạiC 1 0 , C 2 0 sao cho y=y(x) =φ(x, C 1 0 , C 2 0 ) thảo mãn điều kiện đầu y(x 0 ) =y 0 , y ′ (x 0 ) =y 0 ′

Nếu nghiệm tổng quát được cho dưới dạng hàm ẩn φ(x, y, C 1 , C 2) = 0, thì ta gọi nó là tích phân tổng quát của phương trình (8.26).

Nghiệm duy nhất y = y(x, C 1 0 , C 2 0 ) hay φ(x, y, C 1 0 , C 2 0 ) = 0 của phương trình vi phân (8.26), thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x 0 ) =y 0 , y ′ (x 0 ) = y ′ 0 được gọi là một nghiệm riênghay (tích phân riêng) của phương trình (8.26).

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

3.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y=f(x) (8.28) trong đó p(x), q(x), và f(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b).

Nếu f(x) = 0 thì phương trình y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y= 0 (8.29) được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (8.28) Rõ ràng phương trình thuần nhất có nghiệm tầm thường y= 0.

Nếu f(x) ̸≡ 0, thì phương trình (8.28) được gọi là phương trình không thuần nhất.

Trong phần tiếp theo ta nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất.

3.2.2 Định lý Nếu y 1 (x) và y 2 (x), với x ∈ (a, b) là các nghiệm của phương trình (8.29) thì hàm y(x) =C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) với C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý, cũng là nghiệm của phương trình (8.29).

Chứng minh Ta cóy ′ (x) =C 1 y 1 ′ (x) +C 2 y ′ 2 (x)và y ′′ x) = C 1 y ′′ 1 (x) +C 2 y ′′ 2 (x) Thay y ′ (x) và y ′′ (x) vào (8.29), nhờy 1(x) vày 2(x) là nghiệm của (8.29) ta nhận được (C 1 y 1 ′′ (x) +C 2 y 2 ′′ (x))

= 0 với mọix∈(a, b) Vì vậy y(x)là nghiệm của (8.29).

3.2.3 Định nghĩa Hai hàm y 1 (x),y 2 (x)được gọi là độc lập tuyến tính trên(a, b) nếu từ đẳng thức α 1 y 1(x) +α 2 y 2(x) = 0, với mọi x∈(a, b) suy ra α 1 =α 2 = 0.

Hai hàm y 1 (x),y 2 (x)không độc lập tuyến tính được gọi làphụ thuộc tuyến tính.

3.2.4 Ví dụ 1) Các hàm e αx , e βx với α ̸=β là độc lập tuyến tính trên R.

2) Các hàm sinαx và cosαx độc lập tuyến tính trên R.

3.2.5 Định nghĩa Một hệ hai nghiệm y 1 (x), y 2 (x) của phương trình (8.29) độc lập tuyến tính trên (a, b) được gọi là hệ nghiệm cơ sở của phương trình đó.

3.2.6 Định lý Cho y 1 (x) và y 2 (x), với x ∈ (a, b) là các nghiệm của phương trình (8.29) Khi đó,

1) y 1 (x), y 2 (x) độc lập tuyến tính trên (a, b) khi và chỉ khi y 1 (x) y 2 (x) y 1 ′ (x) y 2 ′ (x) ̸= 0, với mọi x∈(a, b).

2) Nếu y 1 (x), y 2 (x) là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) thì nghiệm tổng quát của phương trình đó là y(x) = C 1 y 1(x) +C 2 y 2(x), với C 1 , C 2 là hằng số tùy ý.

Chứng minh 1)Điều kiện cần Giả sử y 1 (x), y 2 (x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính trên (a, b) Đặt

Ta chứng minh detA(x) ̸= 0 với mọi x ∈ (a, b) Giả sử tồn tại x 0 ∈ (a, b) sao cho detA(x 0 ) = 0 Khi đó hệ phương trình

có nghiệm không tầm thường, tức là tồn tại α 1 , α 2 không đồng thời bằng không là nghiệm của hệ đó Theo Định lý 3.2.2 ta có y(x) = α 1 y 1(x) +α 2 y 2(x) cũng là nghiệm của phương trình (8.29) thoả mãn điều kiện đầu y(x 0 ) = 0 và y ′ (x 0 ) = 0. Bởi vì y = 0 cũng là nghiệm (tầm thường) của (8.29) nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta có y(x) = α 1 y 1 (x) +α 2 y 2 (x) = 0, với mọix∈(a, b). Điều này mâu thuẫn với sự độc lập tuyến tính của y 1(x), y 2(x) trên (a, b) Do đó detA(x)̸= 0 với mọi x∈(a, b). Điều kiện đủ Giả sử detA(x) ̸= 0 với mọi x ∈ (a, b) Nếu y 1 (x) và y 2 (x) phụ thuộc tuyến tính thì tồn tạiC sao cho y 1 (x) = Cy 2 (x) với mọix∈(a, b) Khi đó detA(x) y 1 (x) y 2 (x) y ′ 1 (x) y 2 ′ (x) y 1 (x) Cy 1 (x) y ′ 1 (x) Cy 1 ′ (x)

= 0 với mọix∈(a, b) Mâu thuẫn với detA(x)̸= 0 với mọi x∈(a, b).

2) Nếuy 1(x)vày 2(x),x∈(a, b)là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) thì từ khẳng định a) của Định lý 3.2.6 ta suy ra detA(x) y 1 (x) y 2 (x) y 1 ′ (x) y 2 ′ (x) ̸= 0 với mọix∈(a, b) Theo Định lý 3.2.2 thì y(x) =C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) là nghiệm của (8.29) với mọi hằng số C 1 , C 2 Giả sử u(x) là một nghiệm tùy ý của (8.29), ta cần chỉ ra tồn tại C 1 0 , C 2 0 sao cho u(x) = C 1 0 y 1 (x) +C 2 0 y 2 (x).

Thật vậy, lấy x 0 ∈ (a, b), đặt u(x 0 ) = u 0 và u ′ (x 0 ) = u ′ 0 Khi đó, từ detA(x 0 ) ̸= 0 suy ra hệ phương trình tuyến tính

C 1 y 1 ′ (x 0 ) +C 2 y ′ 2 (x 0 ) =u ′ 0 có duy nhất nghiệmC 1 0 , C 2 0 Do đó nghiệmy(x) = C 1 0 y 1 (x) +C 2 0 y 2 (x)thỏa mãn điều kiện đầu y(x 0 ) =u 0 và y ′ (x 0 ) = u ′ 0 Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm thì y(x) = C 1 0 y 1 (x) +C 2 0 y 2 (x) phải trùng với nghiệmu(x), tức làu(x) = C 1 0 y 1(x) +C 2 0 y 2(x). Định lý sau mô tả cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất y ′′ +p(x)y ′ +q(x) =f(x).

3.2.7 Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình (8.28) là tổng của một nghiệm riêng của nó với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (8.29).

Chứng minh Giả sử y ∗ là nghiệm riêng của (8.28) và y = C 1 y 1 +C 2 y 2 là nghiệm tổng quát của (8.29), trong đóy 1 , y 2 là hệ nghiệm cơ sở của (8.29) Đặt y=y+y ∗

Khi đó dễ dàng kiểm tra được y là nghiệm của phương trình (8.28) Ta còn phải chứng minh y là nghiệm tổng quát Thật vậy, giả sử y 0 là một nghiệm tùy ý nào đó của phương trình không thuần nhất (8.28) Khi đó, vì y ∗ và y 0 là nghiệm của phương trình (8.28) nên ta có y 0 ′′ +p(x)y 0 ′ +q(x)y 0 =f(x) và y ∗′′ +p(x)y ∗′ +q(x)y ∗ =f(x) suy ra

Như vậy y 0 −y ∗ là nghiệm của phương trình thuần nhất (8.29) Do vậy tồn tại

Do đó, y=y+y ∗ là nghiệm tổng quát của (8.29).

Ta dễ dàng chứng minh được định lý sau.

3.2.8 Định lý Nếu y 1 (x), y 2 (x), x ∈(a, b) là các nghiệm riêng tương ứng của hai phương trình y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y=f 1(x) y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y=f 2 (x) thì y=y 1 +y 2 là nghiệm riêng của phương trình y ′′ +p(x)y ′ +q(x)y=f 1 (x) +f 2 (x).

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

3.3.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có dạng y ′′ +py ′ +qy =f(x) (8.30) trong đó p, q là các hằng số thực, f(x) là hàm liên tục trên (a, b).

3.3.2 Cách giải Phương trình (8.30) là trường hợp riêng của (8.28), vì vậy các kết quả về nghiệm của nó là đã biết Đối với phương trình này việc tìm nghiệm tổng quát của nó là đơn giản hơn, mà chúng ta trình bày sau đây. Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y ′′ +py ′ +qy = 0 (8.31)

Người ta chứng minh được phương trình (8.31) luôn có nghiệm có dạng y = e kx với k là một hằng số phức Chúng ta tìm nghiệm có dạng này Ta có y ′ = ke kx , y ′′ =k 2 e kx Thay vào (8.31) ta nhận được phương trình k 2 +pk+q = 0, (8.32) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (8.31) Khi đó xẫy ra các trường hợp sau

1) Nếu ∆ = p 2 −4q > 0 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k 1 ̸= k 2 Khi đó phương trình thuần nhất có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tínhy 1 =e k 1 x vày 2 =e k 2 x Theo Định lý 3.2.6 ta có nghiệm tổng quát của (8.31) là y=C 1 e k 1 x +C 2 e k 2 x

2) Nếu ∆ = p 2 −4q = 0 thì phương trình đặc trưng có nghiệm bội (thực) k 0 = −p

2 Khi đó phương trình thuần nhất có nghiệm riêng y 1 =e k 0 x Nghiệm riêng y 2 độc lập tuyến tính với y 1 là y 2 (x) =y 1 (x)

Nghiệm tổng quát của (8.31) là y=C 1 e k 0 x +C 2 xe k 0 x

3) Nếu ∆ =p 2 −4q

Tiêu đề	Giải tích
Tác giả	Vũ Thị Hồng Thanh, Đinh Huy Hoàng, Trần Văn Ân, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Nguyễn Huy Chiêu, Trần Đức Thành, Nguyễn Thị Quỳnh Trang, Đậu Hồng Quân
Trường học	Trường Đại học Vinh
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2018
Thành phố	Vinh

Định dạng
Số trang	285
Dung lượng	0,91 MB