Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa (Q) vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng.. 36[r]
(1)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011
LLUUYYỆỆNNTTHHII ððẠẠII HHỌỌCC
C
CHHUUYYÊÊNN ððỀỀ ::TTOOẠẠ ððỘỘ TTRROONNGG KKHHÔÔNNGG GGIIAANN
Sinh viên : Phan Sỹ Tân Lớp : k16kkt3
✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯
GGGGOOOOOOOOD LUCKDD LUCKDD LUCKDD LUCKD A - Hệ Thống Công Thức
I TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
❅ ❅ ❅
❅. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc với với ba vectơ đơn vị i j k, ,
(i = j = k =1)
❅ ❅ ❅
❅. ( )
1; ;2 a
a a a a ⇔ =a i +a j +a k
; M(x;y;z)‹OM =xi +y j +zk
❅ ❅ ❅
❅. Tọa độ vectơ: cho u x y z v x y z( ; ; ), ( '; '; ')
❈❈❈❈ u= ⇔ =v x x y'; =y z'; =z'
❈ ❈❈
❈ u v± = (x±x y'; ±y z'; ±z') ❈
❈❈
❈ ku=( ;kx ky kz; )
❈ ❈❈
❈ u v. =xx'+yy'+zz' ❈
❈❈
❈ u⊥ ⇔v xx'+ yy'+zz' 0=
❈ ❈❈
❈ u = x2+y2+z2
❈ ❈❈
❈ ; ; ( ' ' ; ' ' ; ' ' ) ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y
u v
y z z x x y
= − − −
∧ =
❈ ❈❈ ❈ u v,
cùng phương‹[ , ] 0=
u v
❈ ❈❈
❈ cos( ), =
u v
u v u v
❅ ❅ ❅
❅..Tọa độ điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
❈ ❈❈
❈ . =( − ; − ; − )
B A B A B A
AB x x y y z z 2.AB= (xB −xA)2 +(yB −yA)2 +(zB −zA)2
❈❈❈❈ G trọng tâm tam giác ABC ta coù:
xG=
3
A B C x +x +x ;
yG=
3
A B C y + y + y ;
zG=
3
A B C z +z +z
❈❈❈❈ M chia AB theo tỉ số k: ; ; ;
1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M trung điểm AB: ; ;
2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
(2)
❈❈❈❈ ABC tam giác‹AB∧AC
∫0
S=1
2 AB∧AC
❈❈❈❈ ABCD tứ diện‹AB∧AC
.AD
∫0, VABCD=1 ,
6 AB∧AC AD
, VABCD=1
3SBCD h (h đường cao tứ
diện hạ từ đỉnh A)
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
I. M ặ t ph ẳ ng
Mặt phẳng a xác định bởi: {M(x0;y0;z0), n=( ; ; )A B C
} Phương trình tổng quát mặt phẳng a:Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0‹ Ax+By+Cz+D=0
số mặt phẳng thường gặp:
Maët phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0
a) Mặt phẳng qua ba điểm A,B,C: co ùn(ABC) =[AB AC, ]
b) a//bflnα =nβ
c) a^bflnα =uβ
và ngược lại d) a//dfluα =ud
e) a^dfl
d nα =u
II Đ ươ øn g th aú ng
Đường thẳngD xác định bởi:{M(x0;y0;z0),u∆
=(a;b;c)}
  Â
Â.Phương trình tham số:
0 0
x x at y y bt z z ct
= + = + = + ; ÂÂ ÂÂ ÂÂ
ÂÂ .Phương trình taéc:x x0 y y0 z z0
a b c
− − −
= =
ÂÂÂ ÂÂÂ ÂÂÂ
ÂÂÂ Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1
2 2
0
A x B y C z D A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
1 ( 1; 1; 1)
n = A B C
,n2 =(A B C2; 2; 2)
laø hai VTPT vaø VTCP u∆ =[n n1 2]
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0 y z = =
; Oy: 0 x z = =
; Oz: 0 x y = = b/ (AB):uAB =AB
; c/ D1//D2fl
1 u∆ =u∆
; d/ D1^D2fl
1 u∆ =n∆
II I. G oùc - K h/ C
Góc hai đường thẳng
❁ cos(D,D’)=cosj= ' '
u u u u
;
Góc hai mp
❁ cos(a,a’)=cosj= ' '
n n n n
;
Góc đường thẳng mp
❁ sin(D,a)=siny= n u n u KHOẢNG CÁCH
Cho M (xM;yM;zM), a:Ax+By+Cz+D=0,D:{M0(x0;y0;z0), u∆
}, D’ {M’0(x0';y0';z0'), u'∆
}
❁Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a: d(M,a)=
2 2
M M M
Ax By CZ D A B C
+ + +
+ +
❁ Khoảng cách từ M đến đường thẳng D: d(M,D)=[MM u1, ]
u
(3)
LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 ❁ Khoảng cách hai đường thẳng: d(D,D’)=[ , '] '0
[ , ']
u u M M u u
III PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)
Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 R= 2
a +b +c −d Â
ÂÂ
 d(I, α)>R: α∩(S)=« ÂÂ
ÂÂÂÂ
ÂÂ d(I, α)=R: α∩(S)=M (M gọi tiếp điểm)
❁ Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α tiếp diện mặt cầu (S) M
khi nα
=IM
)
ÂÂÂ ÂÂÂÂÂÂ
ÂÂÂ Nếu d(I, α)<R α cắt mc(S) theo đường trịn (C) có phương trình giao củaα (S) Để tìm tâm H bán kính r (C) ta làm sau:
a Tìm r = R2 -d I2( ,α)
b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng D qua I, vng góc với a
+H=D∩a (toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình D với a)
B - Bài Tập+ Lời Giải
Caâu 1:
Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : x y
2x z
− − =
− − =
cho giao
tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) : x2 +y2+z2+2x 2y 2z 0− + − = đường trịn có bán kính r =
GIẢI
Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) =
(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n
⇔ + − − − − =
° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R =
° (P) cắt (S) theo đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r =
2
d(I; P) R r
⇔ = − =
2 2
m 2n m n 2m 6n
(m 2n) m n
− − − + − −
⇔ =
+ + +
2
4m 7n 2m 5n 4m.n
⇔ − − = + +
2
5m 22m.n 17n
⇔ + + =
° Cho n 5m2 22m 17 m hay m 17
5
= ⇒ + + = ⇔ = − = −
° Vậy, có mặt phẳng (P):
(P ) : x y z (P ) : 7x 17y 5z
+ − − =
− + − =
(4)Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) đường thẳng (d) : x y z
2
− + −
= =
−
1 Tìm điểm M thuộc (d) để thể tích tứ diện MABC Tìm điểm N thuộc (d) để thể tích tam giác ABN nhỏ
GIẢI
1 Phương trình tham số (D):
x 2t
y t
z 2t
= +
= − −
= +
° M ( )∈ ∆ ⇒ M(1 2t; t; 2t)+ − − +
° AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)= = −
° [AB; AC] ( 3; 6; 6) = − − = −3(1; 2; 2)− = −3.n
, với n (1; 2; 2) = −
° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n
: (ABC): x + 2y – 2z – =
° SABC [AB; AC] ( 3)2 ( 6)2 62
2 2
= = − + − + =
° Đường cao MH tứ diện MABC khoảng từ M đến (ABC):
1 2t 2( t) 2(3 2t) 4t 11
MH d(M(ABC))
3 4
+ + − − − + − − −
= = =
+ +
° Thể tích tứ diện MABC V 4t 11
3
+
⇔ = =
5 17
4t 11 t hay t
4
⇔ + = ⇔ = − = −
° Vậy, có điểm M cần tìm là: M 3; 1; hay M 15 11; ;
2 2
− − −
2 N ( )∈ ∆ ⇒ N(1 2t; t; 2t)+ − − +
° SABN [NA; NB] 32t2 128t 146 (4t 8)2
2 2
= = + + = + + ≥
ABN
3
maxS 4t t
2
⇒ = ⇔ + = ⇔ = −
° Vậy, điểm N cần tìm N(-3; 0; 1)
Câu 3:
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) mặt cầu (S):
2 2
2x 2y z
(d) : ; (S) :x y z 4x 6y m
x 2y 2z
− − + =
+ + + − + =
+ − − =
Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho MN =
(5)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011
Mặt cầu (S): (x 2)− +(y 3)− +z2 =13 m− có tâm I(-2; 3; 0), bán kính R IN= = 13 m− , với m < 13
° Dựng IH MN⊥ ⇒ MH HN 4= =
2
IH IN HN 13 m 16 m
⇒ = − = − − = − − , với m < -3
° Phương trình tham số đường thẳng (d):
x t
y t
2
z t
=
= +
= − +
° (d) có vectơ phương u 1; ; 11 1(2; 1; 2)
2
= =
qua điểm A(0; 1; -1)
° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6) = − = −
° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d): 2
2 2
[AI; u] 3 6 6 81
h
u 2 2
+ +
= = = =
+ +
° Ta coù: IH = h
m 3 m
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ m = −12 (thỏa điều kiện)
° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12
Câu 4:Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q) : 2x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (Q) mặt phẳng (xOy) (P) tạo với mặt phẳng tọa độ tứ diện tích
36
125
Giaûi Phương trình mặt phẳng (xOy): z =
° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định (Q) (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = ⇔(P) : 2mx my (m n)z 5m 0− + + − =
° Giao điểm A, B, C (P) trục Ox, Oy, Oz có tọa độ:
5 5m
A ; 0; , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 m n
−
+
° Thể tích tứ diện OABC 125
36
1 5m 125
V OA.OB.OC
6 m n 36
⇔ = = =
+
m n 3m m 1, n
m n m
m n 3m m 1, n
+ = = =
⇔ + = ⇔ ⇒
+ = − = = −
° Vậy, có phương trình mặt phẳng (P):
1
(P ) : 2x y 3z (m 1; n 2)
(P ) : 2x y 3z (m 1; n 4)
− + − = = =
− − − = = = −
Caâu
H N
M
(6)Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q) : 2x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (Q) mặt phẳng (xOy) (P) tạo với mặt phẳng tọa độ tứ diện tích
36
125
Giải
Phương trình mặt phẳng (xOy): z =
° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định (Q (xOy) có dạng:
m(2x – y + z – 5) – nz = ⇔(P) : 2mx my (m n)z 5m 0− + + − =
° Giao điểm A, B, C (P) trục Ox, Oy, Oz có tọa độ:
5 5m
A ; 0; , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 m n
−
+
° Thể tích tứ diện OABC 125
36
1 5m 125
V OA.OB.OC
6 m n 36
⇔ = = =
+
m n 3m m 1, n
m n m
m n 3m m 1, n
+ = = =
⇔ + = ⇔ ⇒
+ = − = = −
° Vậy, có phương trình mặt phẳng (P):
2
(P ) : 2x y 3z (m 1; n 2)
(P ) : 2x y 3z (m 1; n 4)
− + − = = =
− − − = = = −
Caâu 6:
Trong khơng gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) :
2 z y
1
x +
= =
− mặt phẳng (
α): 2x – y – 2z =
Giaûi
Goïi A(a; 0; 0) ∈Ox
° Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) d(A; ) 2 2a2 2 2a
3 2
α = =
+ +
° (α ) qua M (1; 0; 2)0 − có vectơ phương u (1; 2; 2) =
° Đặt M M0 1 =u
° Do đó: d(A; α ) đường cao vẽ từ A tam giác AM M0 1
0
2
AM M
[AM ; u]
2.S 8a 24a 36
d(A; )
M M u
− +
⇒ ∆ = = =
° Theo giả thiết: d(A; α ) = d(A; α )
2
2 2
2
2a 8a 24a 36 4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0
3
4(a 3) a
− +
⇔ = ⇔ = − + ⇔ − + =
⇔ − = ⇔ =
(7)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011 Câu 7:
Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S): (P): 2x 2y z m+ + − −3m ;= (S) : (x 1)− +(y 1)+ 2+(z 1)− =9
Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm xác định tọa độ tiếp điểm
Giaûi
(P) : 2x 2y z m+ + − −3m 0=
2 2
(S) : (x 1)− +(y 1)+ +(x 1)− =9 có tâm I(1; -1; 1) bán kính R =
(P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I, (P)] R=
2
2
2
2 2
m 3m m
2.1 2.( 1) 1.1 m 3m m 3m 9
m
m 3m
2
+ − = =
+ − + − −
⇔ = ⇔ + − = ⇔ ⇔
= − + − = −
+ +
° Vậy, (P) tiếp xúc (S) m = -5 hay m = 2, (P): 2x + 2y + z – 10 = ° Đường thẳng (d) qua I vng góc với (P) có phương trình:
x y z
2
− + −
= =
° Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ:
x 2x 2y z 10
y x y z
z
2
=
+ + − =
⇒ =
− + −
= =
=
° Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2)
Câu 8: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G vng góc với OG b) Mặt phẳng (P) câu (1) cắt trục Ox,Oy,Oz A,B,C CMR: ABC tam giác ñều
( )
) ( ) ê P (1;1;1; )
a Do OG ⊥ P n n n =OG=
( ) :1(P x 1) 1(y 1) 1(z 1) 0 hay P( ) :x y z 3 0
⇒ − + − + − = + + − =
0
) ì Ox : (3; 0; 0)
0
y
b V A
z
=
⇒
=
Tương tự : B(0; 3; 0) àv C(0; 3; 0)
(8)Câu 9: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ñiểm I( 0;0;1) K( 3;0;0)
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K tạo với mặt phẳng (xOy) góc 300 Giải:
Giả sử mặt phẳng cần có dạng :
( ) ( )
0
( )
( ) ( )
( ) : 1( , , 0)
( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1
3 1
1 1 . 3 2
( ) ( ; ;1) à (0; 0;1) os30
3 . 2
( ) : 1
3 3 2 1 2
xOy xOy
xOy
x y z
a b c
a b c
x y z
Do I c v K a
b
n n
n v n c b
b n n
x y z
α α
α
α α α
α α
+ + = ≠
∈ ⇒ = ∈ ⇒ = ⇒ + + =
⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±
⇒ ± + =
Câu 10: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình:
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
+ − = − − − =
Lập phương trình mặt phẳng qua ( )d1 song song với (d2)
Giải:
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(1; 1; 1); (1; 2; 2) . ( 4; 3; 1)
(4;3;1)
d d Q d d
Q
Do u u n u u
Hay n
= − − = − ⇒ = = − − −
=
Mặt khác:
1
(2; 1; 0) ; (0; 25;11)
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0
I d J d
Q x y z hay Q x y z
− ∈ − ∈
⇒ − + + + = + + − =
Câu 11: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình:
5 2
7 0 ( ) : 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z d y t v
x y z z t
= +
+ + − =
= −
+ + − =
= −
(9)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011
Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ) (d v1 d2)
Giải: Giả sử mặt phẳng cần lập (Q) ta có:
1
( ) ( )
(5;1;5) ; (5; 2; 0) (0;1; 5)
à . (0;1; 5) ( ) : 3( 5) 5( 1) 5 0
( ) : 3 5 25 0
Q d
M d N d MN
v n u MN Q x y z
hay Q x y z
∈ ∈ ⇒ = −
= = − ⇒ − + − + − =
+ + − =
Câu 12: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) ñường thẳng (d):
( ) :P x+ + − =y z 7 0 ;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =
− + =
Giải:
ðường thẳng ( )d′ cần tìm giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa (d) có VTCP n( )P
( ) ( ) ( ) ( )
ó : (1; 4; 2) M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5)
( ) : 6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0
6 5 7 0
ình hình chiê u ( ) :
7 0
d Q d P
Ta c u v n u n
Q x y z hay x y z x y z
H d
x y z
= − ∈ ⇒ = = − −
⇒ + − − + = − − + =
− − + =
′ ′
⇒
+ + − =
Câu 13: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0 ñường thẳng:
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d = − = + v d − = = −
−
a) CM: ( ) (d v1 d2)chéo
(10)
( ) ( )
( ) ( )
1 2
( ) ( ) 1 1 2 2
( ) ( )
1 2
) ó : ( 1;2;3) (1;1;2) à (0;3; 1) ; (4;0;3) (4; 3;4) . . 23 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= − = − ∈ ∈
⇒ = − ⇒ = − ≠ ⇒
1
) ( ) ( 2; 7;5) à ( ) (3; 1;1)
2 7 5
: ( ) :
5 8 4
b GS d P A A v d P B B
x y z
KQ AB
∩ = ⇒ − ∩ = ⇒ −
+ − −
⇒ = =
− −
Câu 14: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =
+
= =
+ − =
a) CM: ( ) (d1 v d2)chéo
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt ( ), (d1 d2)và song song với
( ) : 4 7 3
1 4 2
x− y− z −
∆ = =
−
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
1 2
( ) ( ) 1 1 2 2
( ) ( )
1 2
) ó : (1;2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1) (0;2;1) . . 8 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ ∈
⇒ = ⇒ = − ≠ ⇒
( ) ( )
1 1 2 2
2 1 2
2 1 2
( )
1
) ( ; ; ) à ( ;1 ;1 )
( ; 2 2 2 ;1 3 )
1 3 1
1 2 2
2; 1 2;3; : 1; 1; 4
4 7 3
: ( ) :
1 4 2
b GS d d A A t t t v d d B B t t t
AB t t t t t t
t t t t t t
Do d song song u AB
t t A B
x y z
KQ d
∆
∩ = ⇒ − + ∩ = ⇒ − +
⇒ = − − − + −
− − − − −
∆⇒ ↑↑ ⇒ = =
⇒ = = ⇒ −
− − −
⇒ = =
−
Câu 15: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng ( ), (d1 d2)và mặt phẳng (P) có
(11)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011
1 1 2 2 2
( ) : à ( ) :
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d + = − = − v d − = + =
−
( ) : 2P x− −y 5z + =1 0
a) CM: ( ) (d1 v d2)chéo tính khoảng cách chúng
b) Viết phương trình đường thẳng∆vng góc với (P), cắt ( ),(d1 d2) Giải:
( ) ( )
( ) ( )
1
1
( ) ( ) 1 1 2 2
( ) ( )
1 2
) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1;2) ; (2; 2;0) (3; 3; 2) . . 62 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ − ∈
⇒ = − − ⇒ = − ≠ ⇒
1 2
1
. .MN 62 ó : ( )
195 .
u u
Ta c d d d
u u
→ = =
1 1
2 2 2
2 2
( )
) (2 1; 3 1; 2) à
( 2; 5 2; ) ( 2 3; 5 3 3; 2 2)
2 3 5 3 3 2 2
( ) (2; 1; 5)
2 1 5
1 4 3
: ( ) :
2 1 5
P
b GS d A A t t t v d B
B t t t AB t t t t t t
t t t t t t
Do P n AB
x y z
KQ
∩ ∆ = ⇒ − + + ∩ ∆ =
⇒ + − − ⇒ = − − − − − − −
− − − − − − −
∆ ⊥ ⇒ − − = ↑↑ ⇒ = =
− −
− − −
⇒ ∆ = =
− −
Câu 16:Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz cho mp( ) :2α x+ −y 2z+15=0 ñiểm J(-1;-2;1) Gọi I ñiểm ñối xứng J qua ( )α Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết cắt ( )α theo đường trịn có chu vi 8π
Giải: Gọi I(a;b;c) ta có:
( )
2 3
1 2 1
IJ ( 1; 2; 1). IJ n
2 3
2 1 2
a b
a b c
a b c Do
c b
α = +
+ + −
= + + − ↑↑ ⇒ = = ⇒
= − −
−
Nhưng trung ñiểm M IJ lại nằm ( )α nên ta có : b= -4 I (-5;-4;5) Ta tính ñược khoảng cách từ I ñến ( )α IO’=3
Vì C=2πR0=8π nên R0=4 =>
2 2
' '
R=IA IO +AO = + =
(12)trình là:
(P): x+2y-4=0 (Q): x+2y+6=0 Giải:
Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q))
Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 5⇒R= Lúc PT mặt cầu có dạng: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=5
Vì C ñi qua O(0;0;0) nên: a2+b2+c2 =5⇒I∈( ) :S x2+y2+z2 =5 Mặt khác: Mặt phẳng song song cách ñều (P) (Q) có PT:
(α): ( 4) ( 6)
2
x y x y
x y
+ − + + +
= + + =
Do 2 2 2
2 1 0 ( )
( ) ( ) :
( ) 5
x y
I
I S
I S x y z
α
α + + =
∈
⇒ ∈ ∩
∈ + + =
( Cốñịnh )
Câu 18 :Trong KG cho mặt cầu (S) ñi qua ñiểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Và mặt cầu (S’) ñi qua ñiểm: '( ; 0; 0),1 '(0; ; ),1 '(1;1; 0), '(0;1;1)
2 2
A B C D
Tìm độ dài bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu Giải:
Lần lượt ta lập PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là: x2 + y2 +z2 +2ax+2by+2cz+ =d 0
• Với (S) ta có: 2
1
1
; 0(1)
1 2
3 2
c d
a d
a b c d x y z x y z
b d
a b c d
+ + =
+ + =
⇒ = = = − = ⇒ + + − − − =
+ + =
+ + + + =
• Với (S’) 2
1
0
1 7
0 ; ; 2 0(2)
2 4 2
2 2
2 2
a d
b c d a c b d x y z x y z
a b d b c d
+ + =
+ + + =
⇒ = = = = − ⇒ + + + − + − =
+ + + =
+ + + =
Từ (1) (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường trịn giao tuyến có PT: ( ) : 9α x+ +y 9z− =4 0
(13)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011
2 2 2
9
( ) : 1 1 1 3
( ) ( ) ( )
2 2
x y z C
x y z
+ + − =
− + − + − =
Câu 19 : Trong hệ trục Tð Oxyz cho đường thẳng có PT:
5 2
( ) : à ( ) : 2
0
x t x s
d y t v d y
z z s
= = −
= − = −
= =
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 I cách d2 khoảng Biết
rằng mặt cầu (S) có bán kính Giải: Vì I thuộc d1 nên I( t;-t;0)
2
2
2
. ( 2; 0;1)
( ) ó (5 ; 2; 0) ( )
(5; 2; 0)
6 30 45
. ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3
5 0 (0; 0; 0)
5 (5; 5; 0)
d u IM
u
d c IM t t d I d
Qua M u
t t
u IM t t t d I d
t I
t I
= −
⇒
= − − ⇒ → =
−
− +
= − + − − + ⇒ → = =
= ⇒
⇒
= ⇒ −
Vậy có PT mặt cầu thõa mãn ñk toán là:
2 2
1
2 2
2
( ) : 25
( ) : ( 5) ( 5) 25
S x y z
S x y z
+ + =
− + + + =
Câu 21:Trong hệ trục Tð Oxyz cho ñiểm: A(0;-1;1) B( 1;2;1)
Viết PT mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung đường thẳng AD
ñường thẳng trục Ox Giải:
Lập PT ñường thẳng ñi qua AB ta có:
( ) : 1 3
1
x t
AB y t
z
=
= − +
=
Gọi M t t( ; 3 −1;1)∈(AB) Và N(s;0s0) thuộc Ox ⇒MN = −(t s t;3 −1;1)
(14)
Sử dụng :
Ox
MN AB
MN
⊥
⊥
Ta tìm
1 t= =s Ta tìm : ( ; 0;1) ,1 ( ; 0; 0)1 ( ; 0; )1
3 3
M N ⇒O trung ñiểm MN
Và
2
MN
R= =
Vậy: ( 3)2 ( 1)2 1
2 4
x− + y + z− =
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) ñường thẳng (d) có phương trình:
(P): 2x−y− 2z− = 0; (d): 1 2
1 2 1
x y+ z−
= =
−
1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ñường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) khoảng vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính
2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Giải:
1/ ðường thẳng (∆) có phương trình tham số là: 1 ;
2
x t
y t t R
z t
= −
= − + ∈
= +
Gọi tâm mặt cầu I Giả sửI(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆)
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) khoảng nên:
| 2 1 2 4 2 2 | | 6 5 |
( ; ) 3
3 3
t t t t
d I ∆ = − + − − − − = + = ⇔
2 3
7 3
t t
=
= −
⇒ Có hai tâm mặt cầu: 2 8; ; 7; 17; 1
3 3 vµ 3 3 7
I− I − −
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính nên mặt cầu có bán kính R = Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
2 2 2
2 1 8 7 17 1
25 25
3 3 3 vµ 3 3 3
x y z x y z
+ + − + − = − + + + + =
2/ ðường thẳng (∆) có VTCP u = −( 1;2;1)
; PTTQ: 2 1 0
2 0
x y
x z
+ + =
+ − =
Mặt phẳng (P) có VTPT n=(2; 1; 2)− −
(15)LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011
Góc đường thẳng (∆) mặt phẳng (P) là: sin | 2 2 2 | 6
3 3 6
− − −
α = =
⇒ Góc mặt phẳng (Q) mặt phẳng (Q) cần tìm cos 1 6 3
9 3
α = − =
Giả sử (Q) qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z− 2) = (m2+ n2 > 0)
⇔ (2m + n)x + my + nz + m− 2n = Vậy góc (P) (Q) là:
2
| | 3
cos
3
3 5 2 4
m
m n mn
α = =
+ +
⇔m2 + 2mn + n2 = ⇔ (m + n)2 = ⇔m = −n
Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y−z + =
Câu 23: (1,0ñiểm) Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = 0.Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P)
Giải
Gäi (Q) mặt phẳng cần tìm
Ta cú AB ( 2,4, 16)= − −
phương với = − −
a ( 1,2, 8)
mp(P) có VTPT = −
1
n (2, 1,1)Ta có
[ n ,a] = (6 ;15 ;3) , Chän VTPT mặt phẳng (Q) =
2
n (2,5,1)
Mp(Q) chứa AB vuông góc với (P) ®i qua A nhËn =
2
n (2,5,1)lµ VTPT cã pt lµ: 2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0⇔ 2x + 5y + z − 11 =
Bai2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình
+ =
= + =
t z
t y
t x
3 1
2 1
Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt
Giải:
Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H n (P)
Giả sử điểm I hình chiếu cđa H lªn (P), ta cã AH ≥HI=> HI lín AI
Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ ph¸p tuyÕn
) ; ;
( t t t
H d
H∈ + + H hình chiếu A d nên AH d AH.u=0 (u =(2;1;3)là véc t¬ chØ
ph−¬ng cđa d) ⇒H(3;1;4)⇒ AH(−7;−1;5)
VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =
7x + y -5z -77 =