UBND HUYỆN H KHÊ PHÒNG GD&ĐT H KHÊ ĐỀÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI)) Bài 1: 1. Giải hpt: 2 2 1 2 x y xy x y xy − − = − − = 2. Cho phương trình x 2 – 2mx -16 + 5m 2 = 0 a) Tìm m để pt có nghiệm. b) Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của A = x 1 (5x 1 + 3x 2 – 17) + x 2 (5x 2 + 3x 1 – 17) Bài 2: 1. Thu gọn biểu thức: 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 A + + − + + − = + + − − + − − 2. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 1 2 2 x y z B xy x yz y zx z = + + + + + + + + Bài 3: 1) Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 26 6 2009 a b b c c a a b c ab bc ca − − − + + ≥ + + + + + 2) Cho a > 0 và b < 0. Chứng minh: 1 2 8 2a b a b ≥ + − Bài 4: chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn 2 2 2 2 2 33 31 8 100 x xy y z x xy z+ − + − = + = Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD (M, D thuộc BC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh: BE = CF. Bài 6: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Giả sử tồn tại điểm M thuộc cạnh BC và N thuộc cạnh CD sao cho chu vi tam giác CMN bằng 2 và góc BAD bằng 2 lần góc MAN. Tính các góc của hình thoi ABCD. Bài 7: Cho a, b là các số dương thỏa mãn 2 1. 1 1 a b a b + = + + Chứng minh: 2 1 8 ab ≤ UBND HUYỆN H KHÊ PHÒNG GD&ĐT H KHÊ ĐÁP ÁN ÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI)) ĐÁP ÁN Bài 1: 1. 2 2 2 2 ( 1)(1 ) 0 1 2 2 x y x y xy x y xy x y xy + − = − − = − ⇔ − = − = . Từ đó suy ra nghiệm của hệ pt là: (-1; 1), (-1; 2), (2; 1). 2a. Ta có ∆’=16 – 4m 2 Suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi -2 ≤m≤2 b. Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của pt ta có x 1 + x 2 = 2m và x 1 x 2 = 5m 2 – 16. Do đó A = -34m + 64. Do -2 ≤m≤2 nên-4 ≤ A ≤ 132. Bài 2: 2A = B = 1 Bài 3: 1) Nhân 2 vào 2 vế rồi chứng minh theo biến đổi tương đương. 2) Biến đổi tương đương. Bài 4: Giả sử tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn hpt. Nhân 2 vế của pt 1 với 8 rồi cộng với pt 2 ta được 5(2x 2 -5xy + 5y 2 ) = (x – y) 2 + 348. Vế trái chia hết cho 5. Vế phải chia cho 5 dư 3, 4, hoặc 2 suy ra mâu thuẫn. Bài 5: Tam giác CFM đồng dạng với tg CDA, tg BED đồng dạng với tg BMA; kết hợp với gt AD là pg góc A và M là tđ của BC suy ra ddiepcm. Bài 6 : Trong nửa mp bờ AD không chứa C lấy E sao cho AE = AM và góc DAE bằng góc ABM. Từ đó ta cm được ABCD là hình vuông. Bài 7 : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 a b b a b a b b a b a b a b + = ⇔ = − ⇔ = + + + + + + − ⇔ = Từ đó suy ra đpcm. . GTNN của A = x 1 (5x 1 + 3x 2 – 17) + x 2 (5x 2 + 3x 1 – 17) Bài 2: 1. Thu gọn biểu thức: 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 A + + − + + − = + +. KHÊ PHÒNG GD&ĐT H KHÊ ĐỀ ÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI)) Bài 1: 1. Giải hpt: 2 2