Bài soạn Đề thi HSG Tỉnh Toán 8

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 6 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Tính a/ A = 123 .9899100101 123 .9899100101 ++++ +++++++ b/ B = 423134846267.423133 423133846267.423134 + Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: 10 28 + 8 chia hết cho 72 b/ Cho A = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 2001 + 2 2002 B = 2 2003 So sánh A và B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố. Câu 3 (2 điểm) Ngời ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ? Câu 4 (3 điểm) Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a/ Tính độ dài BM b/ Biết BAM = 80 0 ; BAC = 60 0 . Tính CAM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 2 100 1 . 2 4 1 2 3 1 2 2 1 <++++ Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 6 Câu 1: Tính a/ = 101 51 51.101 = (1 điểm) b/ B = 1 423134846267.423133 423133846267846267.423133 = + + (1 điểm) Câu 2: a/ Vì 10 28 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 10 28 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 10 28 + 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm) b/ Có 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 2002 + 2 2003 => 2A A = 2 2003 1 => A = B 1. Vậy A < B. (1/2 điểm) c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau: p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k N; k > 0) + Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5 + Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại) Thử lại với p = 5 thoả mãn (1 điểm) Câu 3: Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em nh khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trớc 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh) (1 điểm) Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 4 . 10 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm giữa B và M => BC + CM = BM(1/2 điểm) => BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => CAM = BAM BAC => CAM = 80 0 60 0 = 20 0 (1/2 điểm) B C A MKK' c/ XÐt 2 trêng hîp: + NÕu K n»m gi÷a C vµ M tÝnh ®îc BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) + NÕu K n»m gi÷a C vµ B tÝnh ®îc BK = 4,5 (cm) (1/2 ®iÓm) C©u 5: Ta cã: 1 100 99 100 1 1 2 100 1 . 2 4 1 2 3 1 2 2 1 100 1 99 1 2 100 1 4 1 3 1 2 4 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 1 <=−<++++⇒ −< −< −< −<                  (1/2 ®iÓm) (1/2 ®iÓm) Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Thực hiện các phép tính: a/ 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 7 3 + + + + + b/ ( 1 + 2 + 3 + . + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) : +++ 6 1 5 1 4 1 3 1 Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng 36 36 - 9 10 chia hết cho 45 b/ Tính x, y, z biết rằng: = + = ++ = ++ 211 yx z zx y zy x x + y + z c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a 2 b 3 ) 10 + ( 3b 2 c 4 ) 15 = 0 Câu 3 (2 điểm) Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi đợc 5 4 quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ tra. Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ? Câu 4 (3 điểm) ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 90 0 ). Đờng cao Ah của tam giác ABC và đờng cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng minh AN = BC. Câu 5 (1 điểm) Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dơng. Chứng minh rằng tổng 25 số ấy là một số dơng Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 7 Câu 1: 5 2 5 3 8 1 6 1 4 1 5 8 1 6 1 4 1 2 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 7 1 3 / += + + + + + a = 1 (1 điểm) b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0 Do đó giá trị của biểu thức bằng 0. Câu 2: a/ Ta có 36 36 có tận cùng bằng 6 9 10 có tận cùng bằng 1 (1/4 điểm) Do đó 36 36 - 9 10 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho 45 (1/4 điểm) b/ Ta có: zyx zy x zx y zy x ++= + = ++ = ++ 211 (1) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta đợc: ( ) zyx zyx zyx ++= ++ ++ 2 (2) Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0. Nếu x + y + z 0 thì từ (2) suy ra: x + y + z = 2 1 (1/2 điểm) Khi đó (1) trở thành: 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 = = + = + z z y y x x Do đó: = = = = = = 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 z y x zx yy xx Có 2 đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2) (1/2 điểm) c/ Ta có: 2 10 . a 20 . b 30 + 3 15 . b 30 . c 60 = 0 Hai đơn thức ở vế trái đều không âm mà có tổng bằng 0 nên: = = = = 0. 0. 0 60 . 30 0 30 . 20 cb ba cb ba (1/4 điểm) Do đó b = 0, a và c tuỳ ý hoặc a = 0; c = 0 và b tuỳ ý hoặc a = 0; b = 0; c = 0. Câu 3: Ta có sơ đồ sau: A C B Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t 1 (phút) Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t 2 (phút) => t 2 - t 1 = 15 (phút) và v 1 = 4 km/h; v 2 = 3 km/h. (1/2 điểm) Ta có 3 4 2 1 = v v mà vận tốc và thờigian là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch nên: (1/2 điểm) 15 1 15 34 12 3 1 4 2 3 4 1 2 == === tttt t t => t 2 = 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ) (1/2 điểm) Vậy quãng đờng AB bằng: 1 . 5 . 3 = 15 (km) Và ngời đó khởi hành lúc: 12 - 1 . 5 = 8 (giờ) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm) Ta có: )( )( gtCEAC gtBCNA NAC = BCE (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc cùng tù) (1) (1 điểm) Lại có: =+ =+ vCE vCC 1 32 1 32 C 2 = E (2) và AC = CE (gt) (3) (1 điểm) Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) Vậy AN = BC (1/2 điểm) Câu 5: (1 điểm) Trong 25 số đã cho, phải có ít nhất 1 số dơng vì nếu cả 25 số đều âm, thì tổng 4 số bât kì là âm, trái với đề bài. Tách riêng một số dơng đó, còn lại 24 số, chia thành 6 nhóm. Theo đề bài mỗi nhóm đều có tổng mang giá trị dơng nên tổn của 6 nhóm đó là số dơng. Vậy tổng của 25 số đó là số dơng. Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3 - 7x - 6 b/ Giải phơng trình: x 4 - 30x 2 + 31x - 30 = 0 Câu 2 (2 điểm) a/ Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 12 2 68 2 3 + + xx xx Câu 3 (2 điểm) A B C E N K a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) (ax + by) 2 b/ Chứng minh rằng: x 3m+1 + x 3n+2 +1 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n. Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 111 ++ cba Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Câu 1 a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3 - 7x - 6 = x 3 - 4x - 3x - 6 = x(x 2 - 2 2 ) - 3(x + 2) (1/2 điểm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x 2 - 2x - 3) = (x + 2)(x 2 - 1 - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 điểm) b/ x 4 -30x 2 + 31x - 30 = 0 <=> (x 2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) Vì x 2 - x + 1 = (x - 1/2) 2 + 1/4 > 0 (1/2 điểm) => (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=> = = =+ = 6 5 06 05 x x x x (1/2 điểm) Câu 2 a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên Vậy 2a, 2b nguyên. b/ Có A = 2 )1( 1 1 2 3 2 )1( 1)1(2)12 2 (3 + = ++ x x x xxx (1/2 điểm) Đặt y = 1 1 x => A = y 2 2y + 3 = (y 1) 2 + 2 2 (1/2 điểm) => min A = 2 => y = 1 1 1 1 = x => x = 2 Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm) Câu 3 a/ Ta có (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) (ax + by) 2 <=> a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 a 2 x 2 + 2axby + b 2 y 2 (1/4 điểm) <=> a 2 y 2 - 2axby + b 2 x 2 0 <=> (ay - bx) 2 0 (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng thức đúng. (1/4 điểm) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay y b x a = (1/4 điểm) b/ Ta có x 3m+1 + x 3n+2 + 1 = x 3m+1 - x + x 3n+2 - x 2 + x 2 + x + 1 (1/4 điểm) = x(x 3m - 1) + x 2 (x 3n - 1) + (x 2 + x + 1) (1/4 điểm) Ta thấy x 3m - 1 và x 3n - 1 chia hết cho x 3 - 1 do đó chia hết cho x 2 + x + 1 x 3m+1 + x 3n+2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 Câu 4 + Có S ABC = 2 1 BC . AA (1/2 điểm) + Có S HBC = 2 1 BC . HA (1/2 điểm) + Có S HAC = 2 1 AC . HB (1/2 điểm) + Có S HAB = 2 1 AB . HC (1/2 điểm) + AA' HA' ABC S HBC S = ; BB' HB' ABC S HAC S = ; CC' HC' ABC S HAB S = (1/2 điểm) A B C C' B' A' H => 1 ABC S ABC S ABC S HAB S HAC S HBC S == ++ Vậy 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA (1/2 điểm) Câu 5 Do a + b + c = 1 nên ++= ++= ++= c b c a c b c b a b a c a b a 1 1 1 1 1 1 (1/2 điểm) Vậy 922233 111 =+++++++++=++ b c c b a c c a a b b a cba Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3 Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Tính giá trị biểu thức: P = 23 625)625( + + [...]... (x33)3 = (x3 + x33)( x6 x36 + x66) = (x + x11)(x2 x12 + x22)( x6 x36 + x66) (1/4 điểm) a/ Với x chẵn thì x9, x99 đều chẵn x lẻ thì x9, x99 đều lẻ => x9 + x99 đều chẵn với mọi x nguyên dơng (1/4 điểm) 11 11 b/ Ta có x = 20 48 nên x + x = 2050 (1/4 điểm) Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100 Vậy P(2) chia hết cho 100 (1/4 điểm) 9 99 9 2 99 2 9 99 2 c/ Ta có N = P(4) = 4 +... Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c Chứng minh rằng phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 luôn luôn vô nghiệm Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 9 Câu 1 a/ P = ( 3+ 2)2 ( 3 2)2 = ( 3+ 3+ 2 (1/2 điểm) b/ Ta có: 2 )( 3 2 ) = 3 2 = 1 (1/2 điểm) VT = a b + a b b c b c (*) (1/4 điểm) Từ a + c = 2b => a = 2b... c = (**) b c b c (1/4 điểm) Thay b = a +c vào (**) ta có 2 2( a c ) a c = = VT = a + c 2c a c 2 điểm) 2 = VP (Đpcm) a + c Câu 2 a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6(7 - y2) Vì (2x + 2)2 0 => 7 - y2 0 => 7 y2 mà y Z => y = (1/4 (1/4 điểm) 0; ; 1 2 (1/4 điểm) + Với y = 1 => (2x + 2) = 6(7 - 1) 2x + 4x - 16 = 0 => x1 = 4; . = 123 . 989 9100101 123 . 989 9100101 ++++ +++++++ b/ B = 42313 484 6267.423133 42313 384 6267.423134 + Câu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: 10 28 + 8 chia hết. đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 6 Câu 1: Tính a/ = 101 51 51.101 = (1 điểm) b/ B = 1 42313 484 6267.423133 42313 384 626 784 6267.423133