Bài soạn đề thi hsg toan

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN ( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề ) Câu 1(4đ): Cho biểu thức: A = 2 4 4x x x− − + a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A. b. Rút gọn biểu thức A. Câu 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức: A = 3 3 7 5 2 7 5 2+ + − Câu 3(4đ): Cho hàm số y = 2 2 2 1 2 1x x x x+ + − − + a. Vẽ đồ thị của hàm số. b. Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y. Câu 4(4đ): Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + + Câu 5(6đ): Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự tại M,N. Chứng minh rằng: a. AM.BN = IM 2 = IN 2 ; b. 2 2 2 1 IA IB IC bc ca ab + + = ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM. Câu Nội dung Điểm 1 a.Biến đổi biểu thức được: A = 2 ( 2) 2x x x x− − = − − Điều kiện xác định của A là: 2 2 2 0 4x 4 1 x x x x x x ≥ − ≥  ⇔  ≥ − +  ⇔ ≥ b. Nếu x 2≥ thì ( 2) 2x x− − = Nếu 1 x ≤ <2 thì ( ( 2)) 2x 2x x− − − = − 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ 2 3 3 3 3 7 5 2 1 3 2 6 2 2 (1 2) 1 2 + = + + + = + = + Tương tự: 3 7 5 2 1 2− = − Do đó: A = 1+ 2 1 2+ − = 2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,75 đ 0,5 đ 3 a. y = 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 x x x x + − − = + − − Lập bảng xét dấu x -1 1 x +1 - 0 + + x - 1 - - 0 + Với x ≤ 1 thì y = (- x -1) – ( 1- x) = -2 Với -1 < x < 1 thì y = ( x +1) – ( 1- x) = 2x Với x ≥ 1 thì y = ( x +1) – ( x - 1) = 2 Đồ thị của hàm số được vẽ trên hình 1. 0,25 đ 0,25đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ y 2 -1 o 1 x -2 b. Trên đồ thị ta thấy: min y = -2 1x⇔ ≤ − ; max y = 2 x⇔ > 1 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 4 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ≥ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ac + 2bd ⇔ 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ≥ ac + bd. (2) Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh. Nếu ac + bd ≥ 0 thì (2) tương đương với (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2abcd ⇔ a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 ≥ a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2abcd ⇔ (ad – bc) 2 ≥ 0 (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) được chứng minh. 0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 5 Gt ABCV có BC = a, AC = b, AB = c (I) nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại M,N. Kl a. AM.BN = IM 2 = IN 2 ; b. 2 2 2 1 IA IB IC bc ca ab + + = A 0,25 đ Vẽ hình. M â B N C a. Ta có · · · µ 90 2 C AMI INB AIB   = = = +  ÷  ÷   o AMIV ( . ),AIB g g AIBV V INBV (g.g) Nên các tam giác AMI và INB đồng dạng. Suy ra: IM AM BN IN = Do đó: AM.BN = IM.IN = IN 2 = IM 2 b. Đặt AM = m, BN = n, IN = IM = x. Do AMIV AIBV nên: AM AI AI AB = ⇒ IA = AM.AB = m.c 2 AI m bc b ⇒ = (1). Tương tự 2 IB n ca a = (2) Xét tam giác MIC vuông tại I, ta có IC 2 = CM 2 – IM 2 . Do IM 2 = m.n (câu a) và CM = CN nên IC 2 = ( b – m )( a – n) – mn = ab – bn – am + mn - mn = ab – bn – am. Do đó 2 1 IC n m ab a b = − − (3). Từ (1), (2), (3) suy ra . 2 2 2 1 IA IB IC bc ca ab + + = 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ I . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN ( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề ) Câu 1(4đ): Cho biểu thức: A =