DE THI HSG MAY TINHHONG LINH

[r]

Phòng Giáo dục - Đào tạo Kú thi chän häc sinh giái thÞ líp giải toán Hồng lĩnh máy tính casio năm học 2009 2010.

Thời gian làm : 90 phút Đề THI Và ĐáP áN

-

Câu 1: a) TÝnh tæng S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x >1, n >1; nN ) b) TÝnh S x = 2; n = 19 (Tính xác S)

Sơ lợc cách giải: điểm

Ta có: 2,0

b) Khi x = 2; n = 19 Khi S = 437 185 1,0

Đáp số: a)

1 1

n

n

x

nx x

S

x

   



b) S = 437 185

Câu 2: a) Tìm số có chữ số abcd thỏa mãn: 94(abcd +ab +ad +cd +1) = 217(bcd +b+ d) b) Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x – 3)(x – 4)

Sơ lợc cách giải: điểm

a) Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra:

1

2

1

3

1

4 a

b c

d

  

 

 

2; 3; 4;

a b c d

 thoà mÃn chữ sè

1,

0,5 b) V× f(x) = x4+ax2+bx+c chia hÕt cho g(x) = (x - 1)(x – 3)(x – 4)

f(x) =(x - 1)(x – 3)(x – 4)h(x) 0,5

Cho x= 1; ; ta đợc hệ :

1

9 81

16 256

a b c

a b c

a b c

   



   

    

0,5

Giải hệ ta đợc a = - 45; b = 140; c = - 96 0,5

Đáp số: a)abcd = 2347 b) a =-45 ; b =140 ; c = -96 Câu 3: a) Tìm x để: P =

4

2

4 16 56 80 356

2

x x x x

x x

   

  đạt giá trị nhỏ nhất.

b ) Cho : x6 + y6 = 10,1003 x12 + y12 = 200,2002 Hãy tính gần giá trị biểu thức x18 + y18

Sơ lợc cách giải: điểm

a) Ta cã

2

256

4( 5) 4.256 64

2

P x x

x x

     

  VËy Pmin = 64

x¶y x = hc x = -

0,5 0,5

b) Đặt

6

2

6

10,1003 200, 2002

a b m

x a

a b n

y b

  

  





 

  



 



18 18 3 ( )3 3 ( )

x y a b a b ab a b

       

2 2

3 ( ) ( )

( ) 3( )

2

a b a b m n

a b a b    m m 

     

1,0 0,5

Thay số ta đợc: S = 2517,926714 0,5

Đáp số: a) x = x = - , Khi P = 64 b) S = x18 + y18 = 2517,92671

C©u 4: a/ Tìm số có chữ số cho abca b c  3

b/ Tìm số xxyy cho xxyy số chớnh phng

Sơ lợc cách giải: điểm

a) Ta cã 100abc999100a b c  3 999 0,5 a b c

     0,5

Thử máy tính ta đợc giá trị 83 512 (5 2)3

    0,5

2

1

1 1

)

1

n

n n

n n n

x

nx

x x

a S xS x x x nx nx S

x x



 

 

          

 



b) Ta cã xxyy k2 1100 k2 9999 34 k 99

   0,5

Mặt khác dể thấy xxyy11 nên k2 11 k 11



  k = 44, 55, 66, 77, 88, 99 0,5

Thử máy tính ta đợc số 882 7744

0,5

Đáp số: a) abc512 b)xxyy7744 Câu Tính giá trị biểu thức:

3 3 3 3

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2007 2008

A        (Kết chớnh xỏc)

Sơ lợc cách giải: điểm

Tính số máy tính ta đợc: Sau cộng giấy ta đợc kết 0,5

A = 56 324 955 053 0,5

Đáp số: A = 56 324 955 053

C©u 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho lập phương số ta số tự nhiên có chữ số cuối

chữ số chữ số đầu chữ số 1:

11 11

n  Nêu sơ lược cỏch gii

Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm

Hàng đơn vị có 13 1

 có chữ số cuối Với số a13 có 713 357911 có chữ số

cuối Ta có

a 1100 11000 11 104

 11 10 11 10 11 10 11 10

3 a 10,xxx… 22,xxx… 47,xxx… 103,xxx… 222,xxx… 479,xxx… 1032,xxx…

Như vậy, để số lập phương có số đầu chữ số phải bắt đầu số: 10x; 22x; 47x; 103x; 222x; 479x; (x = 0, 1, 2, , 9)

Thử số: Các số ta Vậy số n nhỏ cần tìm là: n = 10371 n3 = 1115480294811

0,25

0,25

Đáp số n = 10371

Câu 7: a) Cho biết chữ số cuối bên phải số 134473411viết hệ thập phân

b) Tìm số dư r1 phép chia (239334)63 cho 793 số dư r2 phép chia (19234)2008 cho 793

Sơ lợc cách giải: 1,0 điểm

a) Ta có: 134473411 4473411 (mod 1000) 447 44711  10034

 

  0,25

11 34 11

744 001 (mod 1000) 447 (mod 1000)

 

= 3

447 447 623 809(mod 1000) 367.809(mod 1000) 903(mod 1000)

    

  0,25

b) Thực phép lấy đồng d ta đợc:

+ 23933463 64163mod 793 173 mod 7939  220 mod 7933  389 mod 793 

    0,25

+Làm tơng tự

1000 

2008 2008 1000

19234 202 mod 793 202 202  mod 793 198.361 mod 793

     

100

10 100

198 361  mod 793 198.562 mod 793 198.562 256 mod 793

   0,25

Đáp số a) 903 ; b) r1 = 389 ; r2 = 256

Câu 8: Cho tam giác ABC (Hình vẽ) a) Tính diện tích tam giác ABC theo S1 , S2 S3 BiÕt diƯn tÝch c¸c tam gi¸c KPI = S1, diƯn tÝch tam gi¸c MIE = S2

diƯn tÝch tam giác NHI = S3 MN//AB; PE//BC; KH//AC (Hình vẽ) b) Tính diện tích tam giác ABC (hình bên),

biÕt S16,88cm S2; 2 6, 41cm S2; 3 13, 25cm2

(diện tích làm trịn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy)

B

1

S S2

A

C N

E P

H

K M

I

3

Sơ lợc cách giải: 4,0 điểm a) Dựa vào tính chất tam giác đồng dạng: Tỷ số đồng dạng bậc

cña tû sè diện tích Nên ta gọi S diện tích tam gi¸c ABC 0,5 LËp luËn S1 S2 S3 PK AK BP 1

AB AB AB

S  S  S    

2,0

 32

S S S S

    0,5

b) Thay số ta c S = 77,34900192 1,0

Đáp số: a) S S1  S2  S32; b) S = 77,34002 cm2

Cõu 9: Cho nửa hình trịn đờng kính AB, AC, BC tiếp xúc đơi một, AB = 5cm, AC = 1,5cm Vẽ hình trịn tiếp xúc với hình trịn trên(hình vẽ)

Tính bán kính hình tròn vẽ thêm

Sơ lợc cách giải: 1, điểm

Gi x bán kính đờng trịn cần tìm Hạ HI vng gúc vi AB

Đặt ; ' '' ; ' ; ''

2 2

a a b b

AB a AC b   OA OA O O   OO   OO 

' ; ; ''

2 2

b a a b

O H  x OH   x O H   x

¸p dơng hệ thức lợng tam giác vuông ta có:

       

2

' ' ' ' ' '

2 a b

O I  OI  O I OI O I OI  O O O I OI    O I OI

 

=  

2 2 2

2( )

'

2

b a b a a b a b

x x a b x O I OI x

a b

  

   

         

   



   

(1) 0,25

Tơng tự ta tính đợc: '' ' 2( ) 2

a b a b

O I O I x

a

 

   (2) 0,25

Lấy (1) + (2) ta đợc '' '' 2( ) 2( )

2

b a b a b b

O I OI OO x

a b a

 

 

      



 

0,25

2 b x

a b a b

a b a

 

 

 

Thay a = 5cm; b =1,5 cm ta đợc x = 105

158cm = 0,66456

0,25

Đáp số: 0,66456 cm

Câu 10: TÝnh tæng S = 1.2.3.4  2.3.4.5  3.4.5.6   302.303.304.305

 

Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm

Ta có k23k k k( 1)(k2)(k3)k23k 1  k k( 1)(k2)(k3) k23k

  0,25

Cho k = 1, 2,… 1000 ta đợc

S = 12 22 32 3022 3(1 3 302) 302.303.605 3.302.303

6

        

=9 364 114 0,25

Đáp số: S = 364 114

Ghi chú:+ Mọi cách giải khác cho thang điểm.

+ Nếu chưa có sơ lược cách giải mà đáp số cho thang điểm đáp số

_O''

_O' _O

_A _B

_H _G

_C

I

x x