Một số tính toán trên iđean chiều không và vành tọa độ của đa tạp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Chánh Tú Đà Nẵng - 2019 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG Kí hiệu f1 , , fs Ý nghĩa Iđêan sinh đa thức f1 , , fs kn Không gian afin n− chiều k V (f1 , , fs ) Đa tạp afin xác định f1 , , fs IV Iđêan tập điểm V LT (f ) Hạng tử dẫn đầu đa thức f LT (I) Tập hạng tử dẫn đầu đa thức f ∈ I LT (I) f G Iđêan sinh phần tử LT (I) Phần dư phép chia f cho G S(f, g) S−đa thức f g k[V ] Vành tọa độ đa tạp V dim k[x1 , , xn ]/I Số chiều vành k[x1 , , xn ]/I m(p) Bội điểm p k[V ] Vành tọa độ đa tạp V Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Vành đa thức biến 1.1.2 Vành đa thức nhiều biến 1.2 Iđêan 11 1.3 Đa tạp afin 13 1.3.1 Không gian afin 13 1.3.2 Đa tạp afin 14 MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHƠNG VÀ VÀNH TA 16 2.1 C s Grăobner 16 2.1.1 Thứ tự đơn thức, thuật toán chia 16 2.1.2 C s Grăobner 20 2.1.3 Tiêu chuẩn Buchberger 23 2.1.4 Thuật toán Buchberger 26 2.2 Tính tốn vành tọa độ 29 2.2.1 Vành tọa độ 29 2.2.2 Tính số chiều vành tọa độ 31 2.3 Tính tốn iđêan chiều không 35 2.3.1 Vành địa phương 35 2.3.2 Bội tính bội điểm iđêan chiều không vành địa phương 36 Kết luận 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cùng với phát triển tốn học đại nói chung hình học đại số nói riêng, đại số tính tốn phần mềm toán học cung cấp công cụ thúc đẩy phát triển lý thuyết này, mở ứng dụng quan trọng khác Trong i s tớnh toỏn, c s Grăobner úng vai trị quan trọng Lý thuyết nhà tốn học người Áo Bruno Buchberger đưa luận văn tiến sĩ năm 1965 hướng dẫn ngi thy Wolfgang Grăobner S hỡnh thnh lý thuyt c s Grăobner da vo vic m rng thut toỏn chia hai đa thức biến sang trường hợp đa thức nhiu bin S dng c s Grăobner cng nh cỏc ứng dụng hướng nghiên cứu hình học đại số Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng s Grăobner, vi s hng dn ca PGS TS Nguyn Chánh Tú, chúng tơi chọn đề tài “MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHƠNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu tính tốn iđêan tập điểm, tính tốn vành tọa độ vành a phng da vo c s Grăobner v mt s kiến thức khác Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, tổng hợp trình bày lý thuyết cách có hệ thống Đóng góp đề tài Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan tương đối hệ thống vành địa phương, vành tọa độ, s Grăobner nhm nghiờn cu mt s tớnh 1 x y x2 xy x2 y 1 x y x2 xy x2 y x x x2 xy α x2 y β y y xy x2 y 3x 3x2 x2 x2 α x2 y γ β δ xy xy x2 y 3x β 3x2 ε x2 y x2 y β 3x2 δ y2 µ α = 9x + 6y β = 18 + 9xy γ = 6xy + 9x2 δ = 18x + 9x2 y ε = 27x + 18y µ = 27x2 + 18xy Từ bảng nhân ta tìm ma trận mx   0 0 18  1   0 mx =  0   0  0 0 −u det(mx − uI) =  0    0 9  0 0 0 Ta có: 0 0 0 18 −u −u 0 −u 0 −u 0 0 0  0  0 = (u2 − 12)(u2 − 3)2 −u Tiếp theo ta tính điểm thuộc V (I) sau:   √     y =    y − =  √ ⇔ y=−    −x3 + 9x + 6y =    −x3 + 9x + 6y = 40 Từ suy điểm thuộc V (I) √ √ √ √ √ √ √ √ V (I) = {p1 = (− 3; 3), p2 = ( 3; − 3), p3 = (2 3; 3), p4 = (−2 3; − 3)} Gọi m1 , m2 , m3 , m4 bội điểm p1 , p2 , p3 , p4 ∈ V (I) Khi áp dụng Mệnh đề 2.3.8 ta có: det(mx − uI) = (−1)d ⇔ (u2 − 12)(u2 − 3)2 = (−1)6 (u + √ p∈V (I) 3)m1 (u − √ (u − f (p))m(p) √ √ 3)m2 (u − 3)m3 (u + 3)m4 √ √ √ √ √ √ √ √ ⇔ (u+ 3)2 (u− 3)2 (u−2 3)(u+2 3) = (u+ 3)m1 (u− 3)m2 (u−2 3)m3 (u+2 3)m4 Dựa vào Mệnh đề 2.3.8 ta thấy m1 = m2 = 2; m3 = m4 = Vậy √ √ √ √ √ √ √ √ điểm (− 3; 3) ( 3; − 3) có bội 2, điểm (2 3; 3) (−2 3; − 3) có bội 41 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt kết sau: Tổng hợp, trích dẫn cách có hệ thống số định nghĩa, định lí, mệnh đề, liên quan n c s Grăobner, vnh ta , vnh a phương cách tính số chiều vành tọa độ, tính bội điểm Đưa mt s vớ d minh v c s Grăobner, tính số chiều vành tọa độ tính bội điểm thuộc đa tạp Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực cịn nhiều hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý xây dựng quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại s mỏy tớnh, c s Gră obner, Nh xut bn ĐH Quốc Gia, Hà Nội [2] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo Dục [3] Ngơ Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ Tiếng Anh [4] David A.Cox, John Little, Donal O’Shea Ideals (2000), Ideals, Varieties, and Algorithms, An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, (Third edition) Springer [5] David A.Cox, John Little, Donal O’Shea (2000), Using algebraic Geometry (Second edition), Springer [6] Siegfried Bosch (2013), Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer 43 ... bị vành đa thức, iđêan, đa tạp liên quan đến vấn đề chương II Chng II: Trỡnh by v c s Grăobner, vnh tọa độ tính số chiều vành tọa độ, vành địa phương, iđêan chiều khơng tính bội điểm thuộc đa tạp. .. vnh tọa độ 2.2.1 Vành tọa độ Định nghĩa 2.2.1 Cho V đa tạp k n IV iđêan tập điểm V Khi vành thương k[X]/IV gọi vành tọa độ đa tạp V kí hiệu k[V ] Ví dụ 2.2.2 1) Nếu V = k n IV = nên ta có vành tọa. .. ——————————– NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa