Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh bất đẳng thức và ứng dụng I - đặt vấn đề. 1. Lý do chọn đề tài: Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó. Để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. Có nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ta phải căn cứ vào các đặc thù của từng bài toán mà sử dụng phơng pháp cho thích hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau, cũng có bài phải kết hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí. Các phơng pháp thờng hay đợc sử dụng đó là phơng pháp dùng định nghĩa, phơng pháp biến đổi tơng đơng, phơng pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết, phơng pháp phản chứng, phơng pháp chứng minh quy nạp Trong môn đai số ở trờng trung học cơ sở do kiến thức học sinh (HS) tích lũy đợc cha nhiều, vậy nên giáo viên (GV) cần phải chú ý hớng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm s pham, phải có lòng tận tâm và phơng pháp đúng đắn. đây là một cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phơng pháp, ph- ơng pháp chứng minh các bài toán về bất đẳng thức nói riêng và phơng pháp giải các bài toán đại số nói chung. Nhằm rèn luyện và phát triển cho HS năng lực t duy khoa học. Biết đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tợng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt bằng gợi ý. Chứng minh bài toán nh thế nào là thể hiện kinh nghiệm và năng lực s phạm của ngời giáo viên trong quá trình dạy học Bởi vậy muốn bồi dỡng và phát triển đối tợng học sinh Khá, Giỏi bản thân ngời dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán và tìm ra các phơng pháp GV: Lê Đăng Năm 1 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh giải hợp lí nhất dễ hiểu, dễ vận dụng nhất. Nhằm bộ trợ và nâng cao kịp thời cho các em những kiến thức cần thiết. ở bất đẳng thức mỗi bài toán, với những đặc điểm riêng, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp . Điều đó có tác dụng rèn luyện tính t duy toán học linh hoạt và sáng tạo của ngời học. Do đó mà các bài toán về bất đẳng thức có mặt trong đề thi các kì thi tuyển học sinh giỏi, thi vào các trờng chuyên trên toàn quốc rất nhiều. Không những thế chứng minh bất đẳng thức là một đề tài lí thú của Đại số, mãi mãi là đối tợng nghiên cứu của Toán học. Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài Bất đẳng thức và ứng dụng . Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu nhất để có một phơng án đúng đắn, hợp lí giúp học sinh tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức và ứng dụng của nó một cách chủ động, sáng tạo và có hiệu quả có hứng thú nhất trong quá trình học. Bất đẳng thức và ứng dụng của nó rất phong phú về dạng toán, nhng ở đề tài này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và phơng pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó. 2. Phạm vi và giới hạn bài viết: Bài viết giới thiệu bất đẳng thức và ứng dụng dành cho các đối tợng học sinh lớp 8, lớp 9 góp phần nâng cao chất lợng đại trà và bồi dỡng học sinh khá giỏi. (Để bài viết không quá dài, tôi không trình bày chi tiết lời giải, đối với một số bài toán đặc trng sẽ đợc phân tích cụ thể và khai thác bài toán). II- Nội dung. A. Chứng minh bất đẳng thức. Bài toán 1: GV: Lê Đăng Năm 2 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh Chứng minh rằng x 2 x + 1 > 0, với mọi giá trị của x. a) Phân tích, tìm lời giải. Vế trái của bất đẳng thức là một đa thức bậc hai với hệ số cao nhất dơng, ta có thể biến đổi nó thành tổng bình phơng của một nhị thức và một số: x 2 x + 1 = (x - 2 1 ) 2 + 4 3 > 0 b) Khai thác bài toán. 1. Từ lời giải ta thấy x 2 x + 1 4 3 , đẳng thức xẩy ra khi x = 2 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của x 2 x + 1 bằng 4 3 2. Xét đa thức ax 2 + bx + c, ta có ax 2 + bx + c = a(x + a b 2 ) 2 - a acb 4 4 2 Nếu a > 0 thì ax 2 + bx + c - a acb 4 4 2 Nếu a < 0 thì ax 2 + bx + c - a acb 4 4 2 . Bài toán 2: Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca. a) Phân tích, tìm lời giải. Dựa vào đặc điểm của các hạng tử ở hai vế, ta xét hiệu hai vế và phân tích hiệu đó thành tổng các bình phơng. Ta có a 2 + b 2 + c 2 (ab + bc + ca) = = 2 1 (a 2 2ab + b 2 ) + 2 1 (b 2 2bc + c 2 ) + 2 1 (c 2 2ca + a 2 ) = 2 1 [(a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 ] 0 b) Khai thác bài toán. GV: Lê Đăng Năm 3 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh 1. Ta có thể chứng minh bài toán này bằng nhiều phơng pháp khác nhau: Phơng pháp biến đổi tơng đơng, Phơng pháp phản chứng Sau đây là phơng pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết . Ta có ab ba + 2 22 tơng tự bc cb + 2 22 , . 2 22 ca ac + Cộng vế với vế các bất đẳng thức (cùng chiều) ta đợc a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca. 2. Đề xuất những bài toán mới từ bài toán đã giải bằng cách - Xét trờng hợp đặc biệt: Với c = 1 ta có a 2 + b 2 + 1 a 2 + b 2 + ab + a + b +1 - Kết hợp với hằng đẳng thức (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab +2bc + 2ca, Suy ra 33 222 2 cbacba ++ ++ Bài toán 3: Cho a, b là hai số dơng. Chứng minh rằng 2 . 22 2233 bababa ++ + a) Phân tích, tìm lời giải. Dựa vào đặc điểm của các biểu thức ở hai vế, ta thấy vế trái (VT) phân tích đợc thành tích các nhân tử, trong đó có nhân tử chung với vế phải (VP). Từ đó ta sử dụng phơng pháp dùng định nghĩa: Xét hiệu hai vế và phân tích hiệu đó thành tích các nhân tử. Ta có VT VP = 4 ))(( 2 ))(( 2222 bababababa ++ ++ = = 0)( 4 )( 2 + ba ba b) Khai thác bài toán. 1. Có thể giải bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng hoặc phản chứng. 2. Từ lời giải bài toán ta thấy không nhất thiết là cả a và b là hai số dơng mà chỉ cần a + b 0 là ta có 2 . 22 2233 bababa ++ + 3. Mở rộng bài toán: Với n, m N và a + b 0 ta có 2 . 22 mmnnmnmn bababa ++ + ++ 4)Xét bài toán liên với bài toán đã cho : Với n, m N và a + b 0 ta có GV: Lê Đăng Năm 4 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh a n + m + b n + m a n b m + a m b n Bài toán 4: Cho a và b là hai số dơng. Chứng minh rằng n nn baba + + 22 với mọi số tự nhiên n 2; a) Phân tích, tìm lời giải. Kết luận của bài toán gợi cho ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp toán học. Với n = 2 việc kiểm nghiệm là dễ dàng. Giả sử với n = k ta có k kk baba + + 22 (1) Ta phải chứng minh 1 11 22 + ++ + + k kk baba (2) Nhân hai vế của (1) với 0 2 > + ba ta đợc ( ) ( ) 1 22 . 2 + + ++ k kk bababa Để chứng minh (2) ta chứng minh. ( ) ( ) 2 . 22 11 kkkk ba baba + + + ++ (3) Ta thấy (3) a k+1 + b k+1 ab k + a k b (phần khai thác bài toán 3) b) Khai thác bài toán. 1) Bài toán vẫn đúng với a + b 0 và với mọi số tự nhiên n. 2) Khi n chẵn ta có. n nn nn ba ba ba + + = + 222 với a, b bất kì. 3) Xét trờng hợp đặc biệt : Với a + b = 2 ta có a n + b n 2 Bài toán 5: Cho các số a, b, x, y, liên kết với nhau bởi hệ thức : a + b = 2xy. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức x 2 a (1) y 2 b (2) là đúng. a) Phân tích, tìm lời giải. Chú ý đến các biểu thức đã cho trong bài : x 2 , y 2 , 2xy. Từ đó ta có x 2 + y 2 2xy = a + b Chứng tỏ không thể đồng thời xẩy ra x 2 < a và y 2 < b t đó ta giả nh sau. Giải: Giả sử (1) và (2) đều không đúng, nghĩa là x 2 < a và y 2 < b, suy ra x 2 + y 2 < a + b = 2xy. Do đó x 2 + y 2 2xy < 0 hay (x y) 2 < 0. Vô lí ! Vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức (1), (2) là đúng. b) Khai thác bài toán. GV: Lê Đăng Năm 5 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh Bằng phơng pháp tơng tự ta có : Nếu a + b = 2xy; b + c = 2yz ; c + a = 2zx thì ít nhất một trong ba bất đẳng thức x 2 a, y 2 b, z 2 c là đúng. Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số dơng. Chứng minh rằng 2 < + + + + + bc c ab b ca a a) Phân tích, tìm lời giải Cả ba phân số ở vế trái đều nhỏ hơn 1, tử số và mẫu số của chúng có đặc điểm riêng. Từ những đặc điểm đó ta sử dụng tính chất của phân số để có: bca ba ca a ++ + < + ; cab cb ab b ++ + < + ; abc ac bc c ++ + < + Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh. b) Khai thác bài toán. Từ cách giải bài toán trên ta rút ra một số ví dụ tơng tự. 1) 2 < ++ + + ac c cb b ba a 2) 2 < ++ + ++ + ++ + ++ bad d adc c dcb b cba a 3) 3 < ++ + + ++ + + ++ + + ++ + bad ad adc dc dcb cb cba ba Bài toán 7: Chứng minh rằng với moi x ta có. .2 1 1 3 2 2 2 ++ + xx x a) Phân tích, tìm lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh là một bất đẳng thức kép, nghĩa là ta phải chứng minh hai bất đẳng thức : 1 1 3 2 2 2 ++ + xx x (1) Và .2 1 1 2 2 ++ + xx x (2) Dễ thấy x 2 + x + 1 > 0, do đó (1) 3(x 2 + 1) 2(x 2 + x + 1) = (x - 1) 2 0 Và (2) 2(x 2 + x + 1) (x 2 + 1) = (x + 1) 2 0. b) Khai thác bài toán. 1. Ta có thể chứng minh theo phơng pháp sau đây (phơng pháp miền giá trị). Gọi y là một giá trị của 1 1 2 2 ++ + xx x , nghĩa là phơng trình y = 1 1 2 2 ++ + xx x có nghiệm. y(x 2 + x + 1) = x 2 + 1 hay (y 1)x 2 + yx + (y 1) = 0 có nghiệm. GV: Lê Đăng Năm 6 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh Từ đó = y 2 4(y 1) 2 0 (3y - 2)(2 y) 0 2 3 2 y . Vậy .2 1 1 3 2 2 2 ++ + xx x 2. Từ lời giải ta có Giá trị nhỏ nhất của 1 1 2 2 ++ + xx x là 3 2 khi x =1 ; Giá trị lớn nhất của 1 1 2 2 ++ + xx x là 2 khi x = -1; B. Một số ứng dụng của bất đẳng thức. a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức. Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) = -2x 2 + 2x 1 . a) Phân tích, tìm lời giải. Theo cách giải của bài toán 1, ta biến đổi f(x) = -2(x 2 x + 4 1 ) - 2 1 = -2(x - 2 1 ) 2 - 2 1 2 1 . f(x) = - 2 1 khi x = 2 1 . Vậy max f(x) = - 2 1 b) Khai thác bài toán. Từ cách giải bài toán ta suy ra một số kết quả nh sau : 1) f(x) = 2x 2 2x + 1 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 1 khi x = 2 1 . 2) )( 1 xf có giá trị nhỏ nhất bằng -2 khi x = 2 1 3) F(x) = ax 2 + bx + c, có giá trị nhỏ nhất khi a > 0 và min F(x) = - a acb 4 4 2 . F(x) có giá trị lớn nhất khi a < 0 và max F(x) = - a acb 4 4 2 Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức g(x) = 1 22 2 2 ++ xx xx a) Phân tích, tìm lời giải. Dựa vào đặc điểm của tử thức và mẫu thức của g(x) ta biến đổi g(x) = 22 1 3 1 )222(3 2 2 2 22 ++ = ++ ++ xx x xx xxx (do 0 1 3 2 2 ++ xx x ) ,đẳng thức xẩy ra khi x = 0. Từ đó min g(x) = -2 GV: Lê Đăng Năm 7 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh Ta cũng có g(x) = 2 11 1 3 2 ++ x x Mà 4 3 ) 1 2 1 ( 4 311 1 2 2 ++=++ x x x Nên g(x) 4 2 = 2, đẳng thức xẩy ra khi x = -2. Vậy max g(x) = 2. b) Khai thác bài toán. Có thể giải bài toán bằng phơng pháp miền giá trị. Bài toán 10: Cho x, y thỏa mãn x + y = 2a (a dơng, không đổi). Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + y 2 . a) Phân tích, tìm lời giải. Ta nhận thấy các biểu thức x 2 + y 2 và x + y có mối liên quan đặc biệt. áp dụng bất đẳng thức. 2 22 22 + + yxyx ta có x 2 + y 2 2a 2 . Đẳng thức xẩy ra khi x = y = a. Vậy min (x 2 + y 2 ) = 2a 2 . b) Khai thác bài toán. 1) Có thể giải bài toán bằng cách khác nh sau. Vì x + y = 2a nên y = 2a x. Từ đó x 2 + y 2 = x 2 + (2a x) 2 = 2x 2 4ax + 4a 2 = = 2(x a ) 2 + 2a 2 2a 2 . Đẳng thức xẩy ra khi x = y = a. Vậy min (x 2 + y 2 ) = 2a 2 . 2) Ta xem x, y là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật thì x 2 + y 2 là bình phơng độ dài đờng chéo . Từ đó suy ra : trong các hình chữ nhật có chu vi không đổi, hình vuông là hình có độ dài đờng chéo ngắn nhất. B. ứng dụng bất đẳng thức giải phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt. Bài toán 11: Giải phơng trình 4 x + 2 x = 3 x + 1. a) Phân tích, tìm lời giải. Đễ dàng thấy khi x > 0 thì 4 x > 3 x và 2 x > 1, do đó 4 x + 2 x > 3 x + 1. T- ơng tự, khi x < 0 thì 4 x < 3 x và 2 x < 1 do đó 4 x + 2 x < 3 x + 1; x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình. b) Khai thác bài toán. 1) Mở rộng xét phơng trình a x + c x = b x + d x với a > b > 0 và c > d > 0, GV: Lê Đăng Năm 8 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh Tơng tự ta có phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0. 2) Xét phơng trình a 1 x + a 2 x + +a n x = b 1 x + b 2 x + b n x với a i > b i (i = 1, , n). Ta cũng có kết quả: x = 0 là nghiệm duy nhất. Bài toán 12: Giải hệ phơng trình x 2 + y 2 + z 2 = 1 (1) xy + yz + zx =1 (2) a) Phân tích, tìm lời giải. Các vế của hai phơng trình có liên quan đặc biệt. Từ (1), (2) ta có x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx . Nhng ta lại có bất đẳng thức x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx (bài toán 2). Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z. Từ đó ta đợc hệ phơng trình có hai nghiệm. x = y = z = 3 3 Và x = y = z = 3 3 b) Khai thác bài toán. 1) Tơng tự ta xét hệ phơng trình x 2 + y 2 + z 2 = a xy + yz + zx = a (a > 0) Hệ này có hai nghiệm x = y = z = 3 3a Và x = y = z = 3 3a 2) Xét hệ phơng trình x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx (I) ax + by + cz = d (II) Dựa vào bất đẳng thức ta có (I) x = y = z, thay vào (II) ta giải đợc hệ này. III - Kết luận. Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh vừa nắm đợc tri thức mới, vừa nắm đợc phơng pháp chiếm lĩnh tri thức đó để phát triển t duy tích cực sáng tạo, do đó khi dạy học giáo viên cần phải phát huy tối đa tính tích cực, chủ động trong việc chiếm lĩnh tri thức cho học sinh. Biết đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ GV: Lê Đăng Năm 9 Trờng THCS Kỳ Thịnh Kỳ Anh Hà Tĩnh những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tợng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt bằng gợi ý. Chứng minh bài toán nh thế nào là thể hiện kinh nghiệm và năng lực s phạm của ngời giáo viên trong quá trình dạy học. Cần tạo cho học sinh thói quen không dừng lại ở kết quả đạt đợc mà phải phân tích, mỗ xẽ và khai thác để có dạng toán mới với cách giải tơng tự thông qua việc hớng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong giải toán, phát triển tốt t duy và nâng cao năng lực sáng tạo cho học sinh. Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi tích lũy đợc trong quá trình dạy học sinh giải các bài toán về bất đẳng thức, ứng dụng của bất đẳng thức nói riêng cũng nh hớng dẫn học sinh giải toán nói chung, xin đợc trao đổi và rất mong sự góp ý của các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn ! GV: Lê Đăng Năm 10 . Kỳ Anh Hà Tĩnh bất đẳng thức và ứng dụng I - đặt vấn đề. 1. Lý do chọn đề tài: Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó. Để giải đợc các bài. từng bài toán mà sử dụng phơng pháp cho thích hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau, cũng có bài