GA BOI DUONG HSGTOAN 8

CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I.. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ 3.[r]

CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Bài Tính giá trị biểu thức

a) A = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x x = 14

b) B = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 x = 9

c) C = 3650651 3154.651 1054 105

1 651

1 315

1

2   

Bài 2:

1 Rút gọn biểu thức :A (4x2 y2)(2x y)(2x y)

   

2 Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1)

3 Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 + 2x + 3

Bài 3:

1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m:

2

(2 5) (2 5) 40

A m  m 

2 Chứng minh hiệu hai số nguyên liên tiếp số lẻ Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x +4).

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = x2 – 4x +5

Bài 4:

1 Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy

2 Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn chia hết cho 9,

với n giá trị nguyên

3 Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = - x2 + 6x +1.

4 Chứng minh (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2

II HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG A Áp dụng đẳng thức

1 Bình phương tổng: A B2 A2 2AB B2

  

 =A B2 4AB

2 Bình phương hiệu: A B2 B A2 A2 2AB B2

 

  

 = AB2  4AB

3 Hiệu hai bình phương: A2  B2 A BAB

4 Lập phương tổng: AB3 A33A2B3AB2 B3 A3B33ABAB

5 Lập phương hiệu: A B3 A3  3A2B3AB2  B3 A3 B3 3ABA B

6 Tổng hai lập phương: A3 B3 A BA2 AB B2 A B3 3AB.(A B)  

    

 

7 Hiệu hai lập phương: A3 B3 A BA2 AB B2 (A B)3 3AB.(A B)  

    

 

* Một số đẳng thức tổng quát

1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)

3 a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)

4 (a + b)n = an + nan-1b +

2

) ( n n

an-2b2+…+

2

) ( n n

a2bn-2 +nabn-1 + bn

5 (a -b)n = an - nan-1b +

2

) ( n n

an-2b2-

…-2

) ( n n

a2bn-2 +nabn-1 - bn

Bài tập1: Chứng minh đẳng thức sau : ABC2 A2B2C22ABBCAC

2 ABC3 A3B3C33AB .BC  AC

3 2A2 B2 A B2 A B2

    

4 A2 B2 .X2 Y2 AX BY2 AX BY2

  

  

Bài tập Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005

A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = …

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264

B = 264 – – 264

B = -

* Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải

a/ A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + > 3

Dấu “ =” xảy  x – =  x =

Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x =

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16

Dấu “ =” xảy  x – =  x =

Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -16 x =

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - 7

Dấu “ =” xảy  x – =  x =

Vậy giá trị lớn biểu thức A - x =

* Chú ý:

 Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m số.

- Chỉ dấu “=” xảy ra.

- Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA )  Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A < t với t số. - Chỉ dấu “=” xảy ra.

- Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c

Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac

a2 + b2 + c2- ab - bc – ac =

2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac =

( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0

( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0

( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = 0

a = b hay b = c hay c = a a = b = c

* Chú ý:

Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức

(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n

 19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1

 133 ( n N)

Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19

Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 19.6n  19

Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1

 133 = 112 11n + 12.122n

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n

 133

Vì (144n – 11n)

 (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

* Chú ý:

Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức

an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1) (an – bn)  (a- b)

Bài tập Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

Giải

2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0

 ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

 ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 = 0

 x = - ; y = -3; z =

* Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức

(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 7: Cho x =    số chữ

n

15 11

; y =    số chữ

n

19 11

Chứng minh xy + số phương.

Ta cĩ : y =    số chữ

n

19 11

=    số chữ

n

15 11

+ = x +

Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2

hay xy + =    số chữ n

2 17 11

số phương

=

CH Ủ Đ Ề II:

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1/ Đặt nhân tử chung , dùng đẳng thức , nhóm hạng tử 2/Tách hạng tử

3/ Thêm bớt hạng tử 4/ Phương pháp hệ số bất định 5/ Phương pháp đổi biến 6/ Phương pháp xét giá trị riêng

I/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a/ x4 + x3 + 2x 2 + x +1

Giải / x4 + x3+ 2x 2 + x +1 = ( x4 + x2 + ) + (x3 + x )

= ( x +1) 2 + x ( x 2+1)

= ( x +1) ( x 2+x +1)

b/ x3 + 2x 2y + xy2 - 9x = x( x 2 + 2x y + y2 - )

= x( x+ y -3)( x+ y +3)

c/ a3+ b3+c3- 3abc = (a+b )3- 3a2 b – 3ab2 + c3- 3abc

= [ (a+b )3+ c3 ] -3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[( a+b)2 - c(a+b) + c 2 - 3ab]

d/ (a+b+c)3 - a3- b3-c3 = [ (a+b)+c]3 - a3- b3-c3

= (a+b)3+ c3 +3c(a+b)(a+b+c) - a3- b3-c3

=a3+ b3+ 3ab(a+b)+ c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3- b3-c3

= 3(a+b)(ab+ac+bc+c2 ) = 3(a+b)(b+c)(c+a)

e/ x2(y-z)+y2 (z-x)+z2(x-y) = x2 (y-z)+y2 z-xy2 +xz2- yz2

=x2(y-z)+yz(y-z)-x(y2 - z2 ) =(y-z)(x2 +yz-xy-xz)

=(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc

= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)

= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)

= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab)

= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

=

2

(a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]

Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

=>

2

(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0

=>   

     

  

0 ) ( ) ( ) (

0

2

2 b c a c

b a

c b a

=>   

 

  

c b a

c b

a

Áp dụng nhận xét vào giải số dạng tốn: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.

II/Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên)

Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,khơng có dạng đẳng thức,cũng khơng nhóm hạng tử ta biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử để nhóm hạng tử

Ví dụ : 3x2 -8x+4 = 3x2 -6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)

Hay tách 4x2 -8x+4 - x2 = (2x-2)2 - x2 =

Chú ý: Trong cách ta tách hạng tử -8x thành hạng tử -6x -2x,các hệ số thứ thứ gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ xuất nhân tử chung x-2

Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b1x +b2x cho b1.b2 =a.c

Trong thực hành ta thực sau: 1/ Tìm tích a.c

2/phân tích a.c thừa số nguyên cách 3/ Chọn hai thừa số có tổng b

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x2 -4x-3

Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do ta phân tích -4x thành -6x + 2x

Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự

Ví dụ : Phân tích đa thức : x3 - x2 -4 đa thức có nghiệm ngun phải là

ước ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 nghiệm đa thức đa thức có chứa nhân tử x – ta tách đa thức thành :

x3 - x2 -4 = x3 -2 x2+ x2 -4 = x2(x-2) +(x-2)(x+2) =

Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên đa thức ta ý định lí sau :

1/ Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức đa thức cố chứa nhân tử x -1

Ví dụ : Phân tích đa thức x3- 5x2 +8x -4 ta thấy -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa

nhân tử x – ta tách sau: x3 - x2- x2+8x -4 = x2(x-1) – 4(x-1)2`

2/Nếu đa thức có tổng hệ số bậc chẳn tổng hệ số bậc lẻ -1 nghiệm đa thức đa thức chứa nhân tử x +1

Ví dụ: Phân tích đa thức x3- 5x2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 nghiệm đa

thức đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích sau :

x3- 5x2 +3x +9 = x3+ x2- 6x2 +3x +9 = x3+ x2 - 6x2-6+3x +3

=x2 (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) =

Trong trường hợp đa thức khơng có nghiệm ngun ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng minh rắng đa thức có hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ có phải có dạng qp p ước hệ số tự q ước dương hệ số cao Ví dụ : Phân tích đa thức 3x3- 7x2 +17x -5 ta thấy số ±1 ,±5 nghiệm

của đa thức ,xét số ±31 , ±35 ta có13 nghiệm đa thức đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử sau :

3x3- 7x2 +17x -5 = 3x3- x2 -6 x2 +2x + 15x-5 =x2 (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=.

Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a, x2 - 2x - = (x – 3)( x + 1)

b, 4x2 - 4x – = (2x – 3)(2x + 1)

c, 6x2 - 11x + = (3x – 1)(2x – 3)

d, 2x2 + 3x - 27 = (x – 3)(2x + 9)

e, 3x2 - 8x + = (x – 2)(3x – 2)

g, 2x2 -5xy + 3y2 = (x – 3y)(2x – y)

h, 2x2 - 5xy - 3y2 = (x – 3y)(2x + y)

i, 2x2 + 5xy - 7y2 = (2x + 7)(x – y)

3/ Phương pháp thêm bớt hạng tử:

a/Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ : Phân tích da thức 4x4 +81 ta thêm bớt 36x2 ta có

4x4 +81 = 4x4 +36x2 +81 -36x2 = (2x2+9)2 – (6x)2 =

Nhận xét : Trong trường hợp dùng cho đa thức có hai hạng tử b/ Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung

Ví dụ : Phân tích đa thức x5` +x -1 ta thêm bớt x4 ,x3,x2 sau:

x5` +x -1 = x5`+x4 +x3+x2 -x4 -x3-x2 +x -1

= (x5`-x4 +x3)+(x4 -x3+x2 ) –(x2 -x +1 ) = .

Chú ý : Các đa thức có dạng x3m1+ x3 n 2+1 chứa nhân tử x2 +x +1

Ví dụ : x7 + x5`+1; : x7 +x2 +1 ; x+ x5`+1; x+ x8+1

4/Phân tích đa thức thành nhân tử cách nhẩm nghiệm KiÕn thøc liªn quan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

(cã thĨ ¸p dụng đ/v bậc cao hơn)

*1, f(x) cã nghiÖm x = α ⇔ f(α) =  f(x) = (x - α).g(x)

*2, Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực đợc với ∀ x  R )

x a b c d

α

a1

= a = a α +bb1 = b1 α +cc1 = c1 α +dd1 ¦(d)

*3, Nghiệm hữu tỉ đa thức (nếu có) có dạng - Ư

+(a)

*4, Đặc biệt:

f(x) có tổng hệ số không f(1) =

f(x) có tổng hệ số bậc chẳn tổng hệ số bậc lẻ f(- 1) =

VD1: f(x) = x3 + 3x2 -

F(x) cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng f(x) cã nghiÖm x =

x -

1 4

VËy f(x) = (x - 1)(x2 + 4x + 4)

= (x - 1)(x + 2)2

Trình bày:

C1, x3 + 3x2 - C2, x3 + 3x2 -

= x3 - x2 + 4x2- = x3 - + 3x2 -3

= x2(x - 1) + 4(x2 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2-1)

= (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x2 + x + + 3x + 3)

= (x - 1)(x + 2)2 = (x - 1)(x + 2)2

VD2: f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x -

¦(-3) = { -1 ; ; - ; }

¦(2) = { ; } Nghiệm hữu tỉ có là: ; - ; ; ± ± ±

2

Thư nghiƯm: f(1/

2) =  f(x) cã nh©n tư (x - 1/2) hay (2x - 1)

Trình bày:

f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3

= 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

Bài tập Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử

a, x3 - x2 - = ( x – )( x2 + x + )

b, 2x3 – 5x2 – x + 6 = ( x + )( x – )( 2x – )

c, 3x3 + 5x2 - 5x + 1 = ( 3x – )( x2 + 2x – )

d, 2x4 - 3x3 + 2x2 – = ( x – )( 2x + )( x2 – x + )

e, 2x4 + x3 - 4x2 + x – 6 = ( x + )( 2x – )( x2 + )

f, x5 - 6x3 + x2 + 8x – 4 = ( x – )( x – )( x + )( x2 + x + 1)

g, x4 + 2x3 + x2 + x + 1 = ( x + )( x2 + x - )

h, 2x3 – 3x2 + 3x - 1 = ( 2x – )( x2 - x + )

i, 3x3 – 14x2 + 4x + = ( 3x + )( x2 - 5x + )

5 Phương pháp hệ số bất định.

Nếu đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun ,cũng khơng co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất nh

Tổng quát : dạng bậc ba

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (1)

= (x + m)(ax2 + b' x + c' ) (*)

= ax3 + (am + b' )x2 + (b' + c' )x + c'm (2)

Đồng hai đa thøc (1) vµ (2) ta cã : am + b' = b

b' + c' = c  b'= ? , c'= ? , m = ? c'm = d

Thay b' , c' , m vµo (*) ta có dạng phân tích

Chú ý : Ta cần chọn nghiệm nguyên nên ta chọn trớc giá

trị c m cho c m = d’ ’ VD1: f(x) = x3 + 4x2 + 5x + (1)

= (x + m)(x2 + b'x + c' )

= x3 + (m + b')x2 + (b'm + c' )x + c'm (2)

m + b' = m = m = Tõ (1) vµ (2)  b'm + c' =  b' = Hc c’ = c'm = c' = b’ =

f(x) = (x + 1)(x2 + 3x + 2) Hc f(x) = (x + 2)(x2 + 2x + 1)

= (x + 1)2(x + 2) = (x + 1)2(x + 2)

Trình bày : f(x) = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2

= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 3x + 2)

= (x + 1)2(x + 2)

( Bµi nµy cã thĨ dïng pp nhÈm nghiÖm.)

VD2 : f(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x +

Đa thức nghiệm hữu tỉ, nên f(x) pt thành d¹ng : (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ( Nªn chän b = , d = )

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng đa thøc ta cã :

a+c =

ac + b + d =  a = b = d = ; c = ad + bc =

bd =

Trình bày : f(x) = x4 + x3 + x2 + 5x3 + 5x2 + 5x + x2 + x + 1

= x2(x2 + x + 1) + 5x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 + 5x +1)

Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách trờng hợp bất đắc dĩ

Dựa vào kết pt để trình bày theo pp thêm, bớt

Bµi tập Bài 1: Pt đt thành nhân tử

a, x4 + 324 = ( x2+ 6x + 18 )( x2- 6x + 18 )

b, 4x4 + 4x3 +5x2 + 2x + 1 = ( 2x2+ x + 1)2

c, x4 - 8x + 63 = ( 1x2+ 4x + )( 1x2- 4x + )

d, 3x2 + 22xy +11x +37x +7y2 + 10

= ( x+ 7y + )( 3x+ y + )

H

ớng dẫn : d, dạng pt : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' )

Bµi2: Pt đt thành nhân tử

a, 4x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2

b, 3x2 – 22xy – x + 8y + 7y2 + 1

= (3x – y – 1)(x – 7y – 1) c, 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1)

Bài 3: Phân tích đa thức x4 -6x3+12x2 -14x +3 Nếu đa thức phân tích thành

nhân tử có dạng (x2 +ax +b )(x2 + cx +d ) phép nhân cho ta kết quả

x4 +(a+c)x3+(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

đồng đa thức vứi đa thức cho ta điều kiện a+c = -6

ac+b+d = 12 ad+bc = -14 bd =

Xét bd =3 với bd Z  b { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trở thành a +c = -6

ac = a+ 3c = -14

 2c = -14 – (-6)  c = -4  a= -2 đa thức phân tích thành (x2 -2x +3 )(x2 -4x + )

I V/ Phương pháp đổi biến

Ta đặt đa thức biến khác để làm gọn đa thức dễ giải Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2 +10x)(x2 +10x + 24 )

đặt x2 +10x + 12 =y  (y-12)(y+12) +128 = y2 -16 = (y-4)(y+4) =

VD1: f(x) = x4 - 8x2 + 12 Đặt : x2 = t

f(t) = t2 - 8t + 12

= (t - 2)(t - 6) Thay t = x2

f(x) = (x2 - 2)(x2 - 6)

VD2: f(x) = (x2 +x)2 + 4x2 + 4x - 12

= (x2 + x)2 + 4(x2 +x) - 12 Đặt x2 + x = t

f(t) = t2 + 4t - 12

= ( t - 2)( t + 6) Thay t = x2 + x

f(x) = (x2 + x - 2)(x2 + x + 6)

= (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 6)

VD3: f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12

C1, Đặt x2 + x = t

f(t) = (t + 1)(t + 2) -12 = t2 + 3t + - 12

= t2 + 5t - 2t - 10

= t(t + 5) - 2(t + 5) = (t + 5)(t - 2)

f(x) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2)

= (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)

C2, Đặt x2 + x + = y

f(t) = t(t +1) - 12 = t2 + t -12

= (t - 3)(t + 4)

f(x) = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4)

= (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)

Tỉng qu¸t:

B1, ViÕt f(x) = f(g(x)) = f(t) Víi t = g(x)

B2 Ptđt f(t) Thành nhân tử

B3, Thay t = g(x) vµo f(t), råi pt

Bài tập 1:

Phân tích đa thức thành nhân tử a, (x2 + 3x + 1)2 + 2x2 + 6x – 13

= (x2 + 3x + 1)2 +2(x2 + 3x + 1) – 15

= t2 + 2t – 15

= (t + 5)(t – 3)

= (x2 + 3x + 6) (x2 + 3x - 2)

b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) +128

= t (t + 24) + 128 = t2 + 24t + 128

= t2 + 16t + 8t + 128

= (t + 16)(t + 8)

= (x2 + 10x + 16) (x2 + 10x + 8)

= (x + 8)(x + 2)( x2 + 10x + 8)

c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) -

= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 3

= t (t + 2) – = t2 + 2t – 3

= (t + 1)2 – 4

= (t + 3)(t – 1)

= (x2 + 5x + 7)(x2 + 5x + 3)

d, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1

C1, 

        

 2 61 12 x x x x x                       

 2 12

x x x x x Đặt x x = t t2 =

2

2

x x  -

= x2 (t2 + 6t + 9) = x2 (t + 3)2

=    2

2 2

2 3 1

     x x x x x x

C2, ( thêm bớt dùng đẳng thức (a + b + c)2 )

= x4 + 9x2 + + 6x3 – 2x2 – 6x

Bài 2: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.

Ta thấy : x – y + y – z + z – x = => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)

Bài 3: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.

Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3

Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có:

(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)

(y2+z2)

Bài : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3.

= (x+y)3 + (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3

= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3.

= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3

Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c =>x+y+z = a+b+c

=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz

V/ Phương pháp giá trị riêng.

Trong phương pháp nhân tử chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử

Ví dụ: Phân tích đa thức P = x2 (y-z)+ y2 (z-x) + z2 (x-y)

Giả sử ta thay x =y P= y2(y-z)+ y2(z-x) = 0

Tương tự ta thay y z ; zbởi x P khơng đổi ( P = ) P chia hết cho x-y chia hết cho y-z chia hết cho z – x P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)

Ta thấy k số đẳng thức

P = x2(y-z)+ y2(z-x) + z2 (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) vứi x,y,z nên ta gán

cho x,y,z giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta

4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2)  k = -1 P = -(x –y)(y-z)(z-x)

Chú ý : Khi chọn giá trị riêng x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi khác cho ( x –y)(y-z)(z-x) 

VI/ Bài tập áp dụng :

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a/ x2 -2x -4y2 -4y b/ a(a2 +c2 + bc )+b(c2 +a2 + ac ) +c(a2 +b2 + ab )

c/ 6x2 -11x +3 d/ 2x2 +3x -27 e/x3+5x2 +8x +4 f/ x3 -7x

+6

g/2x3-x2 +5x +3 h/ x3-7x2 -3.

Bài2: a/ (x2 +x )- 2(x2 +x ) -15 b/ / x2 +2xy+y2 -x-y -12

c/ (x2 +x +1)(x2 +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24

e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a4

f/ (x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2+(xy+yz+xz)2

Bài3: Dùng phương pháp sô bất định: a/ 4x4 +4x3+5x2+2x+1 b/x4 -7x3+14x2 -7x+1

c/ (x+1)4 +(x2 +x +1) e/x4 x3-x +63

Bài 4:

Cho x2 + y2 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y

2( x6 + y6 ) - 3( x4 + y4 )

Bài 5:

Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10.

Tính giá trị biểu thức x3 + y3

Bài 6:

1 Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3

2 Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3.

3 Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = + 3ab.

Bài 7:Chứng minh biểu thức dương: a) A= 16

  x

x

b)

 

y y

B

Bài 8: Tìm Min Max biểu thức sau:

a)

  x x

M

b) 10  

 y y

N

Bài 9: Thu goïn:

a) 2 122 124 1  

 .232 1 264 b) 5352325434 . 

2 5

128 128 64

64   

Bài 10:

1 CMR: a + b + c = 2p b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a).

2 CMR a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca a = b = c.

3 Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + = 0.

Bài 11:

1 Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3

2 Tính x3 + y3,biết x + y = xy = 2

3 Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = – 3ab.

Bài 12:

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) x2 - 2x -1 b) 4x2 + 4x + 5

Bài 13:

Tìm giá trị lớn biểu thức: a) 2x - x2 - 4 b) -x2 - 4x

* HD: đưa biểu thức cho dạng A2 -A2

Ví dụ: a)A= x2 - 2x -1= ( x – )2 – -  MaxA = -2 Dấu “ =’’xảy  x=1

HS làm phần khác tương tự Bài 14:

Cho x - y = Tính:

a) x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37

b) x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) – 95

 HD: Rút gọn biểu thức làm xuất x-y  VD:

a, x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37 = x2+2x+y2-2y-2xy +37

= (x2 +2xy+y2) +(2x-2y ) +37

= ( x-y)2 + 2( x-y) +37

= 49 +14 +37 = 100 Bài 15:

Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c

Chứng minh: a3 - 3ab + 2c = 0

* Lưu ý mối liên hệ x2 + y2 = ( x+y)2 – 2xy

x3+y3 = ( x+y) (x2 + y2 – xy)

a3 - 3ab + 2c = (x + y)3- 3(x + y)( x2 + y2) +2(x3 + y3)

= x3+y3 +3x2y+ 3xy2 - 3x3-3xy2-3x2y -3y3 + 2x3 + 2y3

a, x4+ = ( x2 + )2 – 4x2

= ( x2+ 2x + )( x2- 2x + 2)

b, x4+ 64 = ( x2 + )2 – 16x2

= (x2+ 4x + )( x2- 4x + 8)

c, ( x2 – )2 + 36 = x4 – 16x2 + 100

= ( x2 + 10 )2 – 36x2

= ( x2+ 6x + 10 )( x2- x + 10 )

d, 64x4 + 1 = ( 8x2 + 1)2 – 16x2

= ( 8x2+ 4x + )( 8x2- 4x + 1)

e, (1 + x2)2 – 4x(1 – x2) = (1 - x2)2 + 4x2 – 4x(1 – x2)

= [(1 – x2) – 2x]2

= (x2 + 2x – 1)2