Đang tải... (xem toàn văn)
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức [r]
(1)Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Tiết : Các ví dụ và phương pháp giải Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a a ( x 2+ ) − x ( a2+ ) b x −1+ x n +3 − xn Giải: a Dùng phương pháp đặt nhân tử chung a ( x 2+ ) − x ( a2+ ) = ax 2+ a −a x − x ¿ ax ( x −a ) − ( x − a )=( x − a ) ( ax − ) b Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức x −1+ x n +3 − xn ¿ x n ( x −1 ) + ( x − ) ¿ x n ( x − ) ( x2 + x +1 ) + ( x − )=( x − ) [ x n ( x 2+ x+1 ) +1 ] ( x − ) ( x n +2+ x n +1+ x n +1 ) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x8 + 3x4 + b x6 - x4 - 2x3 + 2x2 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử sử dụng đẳng thức x8 + 3x4 + = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng đẳng thức x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) 2 ¿ x [ ( x −2 x +1 ) + ( x −2 x+1 ) ] 2 2 2 x [ ( x −1 ) + ( x − ) ]=x ( x −1 ) [ ( x +1 ) +1 ] 2 x ( x − ) [ x +2 x +2 ] Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a2 b+4 ab2 − a2 c +ac − b2 c +2 bc − abc b x +2007 x 2+2006 x +2007 Giải: a.Dùng phương pháp tách hạng tử nhóm thích hợp: a2 b+4 ab2 − a2 c +ac − b2 c +2 bc − abc a2 b+4 ab2 − a2 c +ac − b c +2 bc − abc a2 b+4 ab2 − a2 c − abc+ac − b c +2 bc2 − abc=¿ 2ab ( a+2 b ) − ac ( a+ 2b ) +c ( a+2 b ) − bc ( a+2 ( a+2 b ) ( ab −ac +c − bc ) =( a+ 2b ) [ a ( b − c ) − c ( b −c ) ] ( a+2 b ) ( b −c ) ( a −c ) b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng đẳng thức ¿ ( x − x ) + 2007 x +2007 x +2007 x +2007 x +206 x +2007 x ( x − ) ( x2 + x +1 ) +2007 ( x + x+1 ) ( x + x+ )( x − x +2007 ) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a a3 +b 3+ c − abc b ( a+b +c )3 − a3 −b − c3 Giải: Sử dụng các đẳng thức (2) a3 +b 3=( a+ b ) ( a2 +b − ab ) ¿ ( a+b ) [ ( a+b )2 −3 ab ] ¿ ( a+b ) − ab ( a+b ) Do đó: 3 a +b + c − abc=¿ ¿ [ ( a+ b )3 +c ] − ab ( a+b ) − abc ¿ ( a+b +c ) [ ( a+b )2 − ( a+b ) c +c ] − ab ( a+b +c ) ( a+b+ c ) ( a 2+ b2 +c − ab − bc −ca ) b ( a+b +c )3 − a3 −b − c3 =[ ( a+ b+c )3 − a3 ] − ( b +c )3 ¿ ( b+ c ) [ ( a+ b+c )2 +a ( a+ b+c ) +a2 ] − ( b+c ) ( b2 − bc+c ) ( b+ c ) ( a 2+3 ab+ bc+ ca ) =3 ( b+ c ) ( a+ c )( a+ b ) Ví dụ 5: Cho a + b + c = Chứng minh :a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ ( a+b )3=− c ⇒ a3+ b3 +3 ab ( a+ b )=− c Giải: Vì a + b + c = ⇒ a 3+ b3 +c − abc=0 ⇒ a3 +b 3+ c 3=3 abc ab Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > Tính P= 2 a −b Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = ⇔ ( 4a - b)(a - b) = ⇔ a = b ab a2 Do đó P= 2 = = a −b 3a Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác và khác Chứng minh nếu: a b c x y z x2 y2 z2 + + =0 ; + + =1 thì ; + + =1 x y z a b c a b c a b c ayz+ bxz+ cxy + + =0⇒ =0 ⇒ ayz+ bxz+cxy =0 Giải: x y z xyz x y z x y z + + =1 ⇒ + + a b c a b c 2 x y z ayz+ bxz +cxy + + + =1 abc a b c x2 y2 z2 ⇒ + + =1 a b c ( ) Tiết -9 Bài tập vận dụng - Tự luyện Phân tích đa thức thành nhân tử : a x − x −12 b x 2+ x +15 c x −6 x −16 d x − x + x +3 Phân tích đa thức thành nhân tử : ( x − x ) −2 ( x − x ) −15 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 Cho a +| b + c + d = Chứng minh a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd) Chứng minh x + y + z = thì : (3) 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Chứng minh với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương Biết a - b = Tính giá trị biểu thức sau: 2 a ( a+1 ) −b ( b − )+ ab −3 ab ( a − b+1 ) ¿ x + y + z=1 x 2+ y 2+ z 2=1 Cho x,y,z là số thỏa mãn đồng thời: 3 Hãy tính giá trị biếu x + y + z =1 ¿ {{ ¿ thức P = ( x − )17 + ( y −1 )9 + ( z −1 )1997 10 a.Tính 12 − 22+3 − 2+ + 992 − 1002+ 1012 b.Cho a + b + c = và a2 + b2 + c2 = 53 Tính ab + bc + ca 11 Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = và xy + yz + zx = Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007 1 1 + + = 12 Cho số a,b,c thỏa điều kiện : a b c a+b+ c Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008) ==========o0o========== HƯỚNG DẪN: Phân tích đa thức thành nhân tử : a x − x −12= ( x − ) ( x+ ) b x 2+ x +15=( x+3 )( x +5 ) c x −6 x −16=( x+ )( x −8 ) d x − x + x +3=( x +1 ) ( x −2 x +3 ) Phân tích đa thức thành nhân tử : ( x − x ) −2 ( x − x ) −15=( x − x −5 )( x2 − x +3 ) Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 ¿ ( x − y )( x − a )( y −a )( x + y +a ) 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc ¿ ( a+b )( b+c ) ( c+ a ) 2 2 3.x y + xy + x z + xz + y z + yz2 + 2xyz ( x+ y )( y + z ) ( z+ x ) x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 2 ⇔ ( x −1 ) + ( y −3 ) ∨+ ( z − ) Từ a + b + c + d = ⇒ ( a+ b )3=− ( c+ d )3 Biến đổi tiếp ta :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd) Nếu x + y + z = thì : 3 x + y + z =3 xyz ⇒ ( x + y + z )( x + y + z )=3 xyz ( x 2+ y + z ) 5 2 ⇔ x + y + z − xyz ( xy+ yz+ zx ) =3 xyz ( x + y + z ) 5 2 ⇔ ( x + y + z ) −2 xyz ( xy + yz+zx )=6 xyz ( x + y + z ) ; () 2 −2 xyz ( xy +yz +zx )=xyz ( x + y + z ) Nhưng: ( x+ y+ z )2 =0 ⇒−2 xyz ( xy +yz +zx )=x + y 2+ z2 (**) (4) Thay (**) vào (*) ta được: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) 2 ¿ ( x +5 xy+ y ) Biến đổi a2 ( a+1 ) −b ( b − )+ ab −3 ab ( a − b+1 )=( a− b )2 ( a −b+ ) ¿ x + y + z=1 Từ x 3+ y3 + z 3=1 ¿{ ¿ 3 3 ⇒ ( x + y + z ) − x − y − z =3 ( x+ y )( y + z ) ( z+ x ) x+ y=0 ¿ y + z=0 ¿ ⇒ P=− z+ x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ 10 a Sử dụng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 b Sử dụng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 11 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = suy : x = y = z = 0;S = 12 Từ: 1 1 + + = : (a + b)(b + c)(c + a) = a b c a+b+ c Tính Q = (5) Chuyên đề 2: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N Tiết 10-12: Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ I.Một số dấu hiệu chia hết Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125 an an a1a0 2 a0 2 a0 0; 2; 4; 6;8 an an a1a0 5 a0 0;5 an an a1a0 4 ( hoÆc 25) a1a0 4 ( hoÆc 25) an an a1a0 8 ( hoÆc 125) a2 a1a0 8 ( hoÆc 125) Chia hÕt cho 3; an an a1a0 3 (hoÆc 9) a0 a1 an 3 ( hoÆc 9) NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( hoÆc 9) còng chÝnh lµ d phÐp chia tæng c¸c ch÷ sè cña N cho ( hoÆc 9) DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: A11 a a2 a4 a1 a3 a5 11 Cho A a5 a4 a3a2 a1a0 4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101 A a5 a4 a3a2 a1a0 A101 a1a0 a5 a4 a3 a2 a7 a6 101 II.Ví dụ Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để: a) 134 x y45 b) 1234 xy72 Gi¶i: a) §Ó 134 x y45 ta ph¶i cã 134 x y chia hÕt cho vµ y = hoÆc y = Víi y = th× tõ 134 x 409 ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 9 x 49 x 5 đó ta có số 13554 víi x = th× tõ : 134 x y9 ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +5 9 x 9 x 0; x 9 lúc đóta có số: 135045; 135945 b) Ta cã 1234 xy 123400 xy 72.1713 64 xy 72 64 xy 72 V× 64 64 xy 163 nªn 64 xy b»ng 72 hoÆc 144 + Víi 64 xy =72 th× xy =08, ta cã sè: 123408 + Víi 64 xy =14 th× xy =80, ta cã sè 123480 Tìm các chữ số x, y để N 7 x36 y51375 Gi¶i: Ta cã: 1375 = 11.125 VÝ dô N 125 y 5125 y 2 N 7 x362511 x 12 x 11 x 1 VËy sè cÇn t×m lµ 713625 VÝ dô A1991 1991 1991 a) Hái sè b) Tìm n để An 101 Gi¶i: 1991so1991 cã chia hÕt cho 101 kh«ng? (6) a) GhÐp ch÷ sè liªn tiÕp th× A1991 cã cÆp sè lµ 91;19 Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991 72 101 nªn A1991 101 b) An 101 n.91 n.19 72n101 n101 TIẾT 13– 14: II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT A.Tãm t¾t lý thuyÕt §Þnh lý vÒ phÐp chia hÕt: a) §Þnh lý Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, b 0 , đó có số nguyên q, r cho : a bq r víi r b , a lµ sã bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th¬ng sè vµ r lµ sè d Đặc biệt với r = thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ớc a, ký hiÖu a b VËy a b cã sè nguyªn q cho a = b.q b) TÝnh chÊt a) NÕu a b vµ bc th× a c b) NÕu a b vµ ba th× a = b c) NÕu a b , a c vµ (b,c) = th× a bc d) NÕu abc vµ (c,b) = th× a c TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu, mét tÝch - NÕu - NÕu - NÕu ¿ a⋮m b⋮m } ¿ ¿ a⋮m b⋮m } ¿ ¿ a⋮m b⋮m } ¿ → a+b ⋮ m → a− b ⋮ m → a b ⋮m - NÕu a ⋮ m→ a ❑n ⋮ m (n lµ sè tù nhiªn) 3.Một số tính chất khác: Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! A a A b và (a;b) = Aa.b B.Ví dụ: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: ( n2 +n −1 ) −1 ⋮ 24 Giải: A n2 n n n 1 n 1 n 4! 24 Bài tập tự luyện: Chứng minh (7) a n3 +6 n2 +8 n ⋮ 48 với n chẳn b n4 −10 n 2+ 9⋮ 384 với n lẻ Chứng minh : n6 +n − n2 ⋮ 72 với n nguyên CMR với số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho c) (a2 + a + 1)2 – chia hết cho 24 d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn) CMR với số tự nhiên n thì biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho Tiết 15– 16: §ång d thøc I.Lí thuyết đồng dư: a) §Þnh nghÜa : Cho sè nguyªn m > NÕu sè nguyªn a, b cho cïng sè d chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo môđun m KÝ hiÖu : a b(mod m) b) TÝnh chÊt a) a b(mod m) a c b c(mod m) b) a b(mod m) na nb(mod m) n n c) a b(mod m) a b (mod m) d) a b(mod m) ac bc(mod m) c) Một số đẳng thức: m m a b a b n n a b a b (n lẻ) n a b B (a ) b II.Ví dụ: 99 Chứng minh: 200 Giải: + = = 512 112(mod 200) (1) = 112 (mod 200) 112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200) 12 = 61917364224 24(mod 200) 112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200) 88(mod 200) (2) 99 Từ (1) và (2) + = 200(mod 200) hay 200 III,Bài tập tự luyện: Sử dụng đẳng thức và đồng dư ( 19611962 +19631964 + 19651966 +2 ) ⋮ ( 24 1917 +141917 ) ⋮19 ( 29 +299 ) ⋮200 ( 13123456789 −1 ) ⋮ 183 (8) ( 19791979 −19811981 +1982 ) ⋮ 1980 ( 3+32 +33 + +3 100) ⋮ 120 ( 22225555 +55552222 ) ⋮ Tiết 17– 18: QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1? B2: Giả sử Mệnh đề đúng với n = k Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + II.VÍ DỤ: n 2 n 1 Chứng minh với số nguyên dương n thì: 57 Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855 57 n2 n 1 - Giả sử Ak 57 nghĩa là 57 Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8 Vì + ( giả thiết qui nạp) và 57.8 57 Ak+1 57 Vậy theo nguyên lí qui nạp A = + 57 *Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n n0 Thì ta kiểm tra mệnh đề đúng n = n0? III.BÀI TẬP: Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì: ( 52 n+1 +2n +4 +2n +1 ) ⋮ 23 11 + 12 133 ( 5n +2+ 26 5n +8 2n +1 ) ⋮ 59 ( 22 n+1 +33 n +1 ) ⋮ 5 ( 22 n+2 +24 n+ 14 ) ⋮ 18 Tiêt 19-20 LUYỆN TẬP A=1 ab c ⋮ 1025 B=abca= (5 c+1 )2 E=ab cho ab2= ( a+b )3 A = ab=( a+b )2 HD: ab=( a+b )2 ⇔ ( a+b ) ( a+b −1 ) =9 a ≤ 92 ⇒ (a + b) và (a + b) = 9k ⇒ k = ⇒ a + b = ⇒ 9a = 9.8 = 72 ⇒ a = và b = B = abcd=( ab+ cd )2 ⇒ 99x = (x + y)(x + y - 1) HD: Đặt x=ab ; y=cd 992 x=99(1) ¿ x <99(2) Xét khả : ¿ ¿ ¿ ¿ (9) (1) ⇒ B = 9801 (2) ⇒ ¿ x+ y=9 k x+ y − 1=11 l ¿ ¿ ¿ x + y=11 k ¿ x + y −1=9l ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ B=2025 ¿ B=3025 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ ĐS: B = 9801;2025;3025 C=abcdef = ( abc+def ) aa a ⏟ bb b cc c +1= dd d + ⏟ ⏟ H=abcd cho ⏟ n n n ( n ) Tìm xyy 1+ z=z Tính giá trị biểu thức: 1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy 3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy 4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 5/ Cho x + y = m và x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m và n 6/ a) Cho a +b +c = và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4 b) Cho a +b +c = và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4 Tiết 21-22 I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ Chứnh minh : (Với a , b 0) (BĐT Cô-si) Giải: ( a – b ) = a - 2ab + b a + b 2ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b 0) Giải: ( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab + 4ab ( a + b ) 4ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b 0) Giải: 2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) 2(a + b) ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: + = .(Với a.b > 0) Giải: Do ab Hay + Đẳng thức xảy a = b (10) Chứng minh: .(Với a.b < 0) Giải: + = - Do - -2 Hay + - Đẳng thức xảy a = -b Chứng minh: (Với a , b > 0) Giải: + - = = + Đẳng thức xảy a = b Chứng minh rằng: Giải: 2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) 2(a +b +c) 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ab+bc+ca Đẳng thức xảy a = b;b = c;c = a a = b= c Tiết 23-26 A B A B 0 Cần lưu ý tính chất: A ≥0 Đẳng thức xảy và A = Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp B.Bài tập vận dụng: Chứng minh các bất đẳng thức sau a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc 2 2 2 a +b + c + d + e ≥ a ( b +c +d +e ) ( x − )( x − ) ( x − )( x − ) +10 ≥ a + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 > 2a + 12b + 4c a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 2 x – xy + y 2 x + xy + y -3x – 3y + x2 + xy + y2 -5x - 4y + 3 x + x y + xy +y 4 x + x y + xy +y với x + y 4 2 2 2 a + b +c ab +bc +ca (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b ac +bd bc + ad với ( a b; c 16 19 a2 + 9b2 + c2 + d) a +b a+ b ≥ 2 2 a +b +c a+ b+c ≥ 3 a b c b a c + + ≤ + + b c a a c b 12 ab a+b ≥ 9+ab a b c 1 + + ≥ + + bc ca ab a b c ( ) ( ) (với a b c > 0) ( Với a,b > 0) (Với a,b,c > 0) ===========o0o=========== HƯỚNG DẪN: (11) Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức là A và VP bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì thêm qui ước này dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT ; Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: có dấu thì cần tìm điều kiện các biến để đẳng thức xảy A – B = ( a+2 c −2 b )2 4A – 4B = ( a −2 b )2 + ( a− c )2 + ( a− d )2+ ( a− e )2 A – = ( x − )( x − ) ( x − )( x − ) +9 = ( Y +3 )2 A – B = ( a −1 )2 + ( b −3 )2 +3 ( c −1 )2 +1 A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2 A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 + Bài 7: Bài 8: A – B = ( a −2 b )2 + ( b − )2 Bài 9: .x – xy + y -3x – 3y + = ( x − )2 − ( x −1 ) ( y − )+ ( y − )2 Biến đổi tiếp bài Tương tự bài x4 + x3y + xy3 +y4 = ( x − xy + y ) ( x + y )2 Tương tự bài 11 Xem ví dụ A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b; c d) = ( c − d ) ( a −b ) Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: Bài 18: x2 – xy + y2 = ( x− y y2 + ) A-B= ( a2+ b2 ) − ( a+ b ) Xem bài tập 16 A - B = (a-c)(b-a)( (Với a Bài 19: A-B= b ( a −3 ) +a ( b − ) 9+ ab b c 0) ( Với a,b > 0) Bài 20: A-B= ( ab− bc )2 + ( bc −ac )2+ ( ac −ab )2 abc (Với a,b,c > 0) ===========o0o=========== Tiết 27-30 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG 4ac-b b 4ac-b b P ax + bx +c = a x MinP = x=4a 2a Suy 4a Khi 2a Nếu a > : a c+b b P ax + bx +c = a x 4a a Nếu a < : a c+b b MaxP x= 4a 2a Suy Khi Một số ví dụ: Tìm GTNN A = 2x + 5x + (12) 25 25 2( x x ) 7 16 16 Giải:A = 2x2 + 5x + = = 25 56 25 31 2( x ) 7 2( x ) 2( x ) 8 MinA 31 Khi x Suy Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 25 2( x x 16 Giải: A = -2x2 + 5x + = 25 56 25 2( x )2 2( x 8 Suy MinA 25 )7 16 = 81 ) 2( x )2 81 Khi x Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + MinB = : Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - 10 GTLNC = 10 khi: BÀI TẬP: Tìm GTNN Ax x 2008 Tìm GTLN B = + 3x - x2 Tìm GTLN D = 2007 x x Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Tìm GTNN G = x 10 x 25 x 12 10 Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y 11 Tìm GTNN C = ( x −1 )2 − 4|3 x − 1|+ 12 Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3) 13 Tìm GTNN K = x + y - xy +x + y HƯỚNG DẪN A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 MinA = 2001,75 x = 2,5 B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) = G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12 10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16 11 C = ( x −1 )2 − 4|3 x − 1|+ * Nếu x C = (3x - 3) + * Nếu x < C = (3x + 1) + 12 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 13 K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - Tiết 31-36 (13) * Một phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski Các bất đẳng thức khác sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi liệt kê các bất đẳng thức vào đây a2 +b ≥ ab (a,b>0) (BĐT Cô-si) ( a+b )2 ≥ ab ( a2 +b2 ) ≥ ( a+b )2 a b + ≥2 ;a , b>0 b a 1 + ≥ ; a ,b> a b a+ b a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ca ( ax+ by )2 ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2+ y ) ( Bu nhi a cop xki) a2 b2 ( a+b ) + ≥ x y x+ y a2 b2 c2 ( a+b+ c ) + + ≥ x y z x+ y+z ab bc ca + + ≥ a+ b+c (Với a,b,c > 0) Ví dụ 9:Chứng minh c a b ab bc ca Giải:2A - 2B = +2 +2 − a− b −2 c c a b b c a c b a = a + − + b + − +c + − c b c a a b a b + ≥2 ; a , b> Ta có:2A - 2B a ( −2 ) +b ( −2 ) +c ( 2− ) ≥ Vậy A Áp dụng bất đẳng thức b a ( ) ( ) ( ) B.Đẳng thức xảy a = b = c > Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : xy + 2 ≥8 x +y 2 ( 1 ) Giải: xy + 2 = xy + 2 =2 xy + 2 ≥2 2 x +y x +y x +y x +2 xy + y =8 Đẳng thức xảy ( x + y )2 2 a b2 c a c b + + ≥ + + Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : b2 c a2 c b a 2 2 2 a b a b a b c b c b c a c a c Giải: + ≥ =2 ; + ≥ =2 ; + ≥ =2 b c c c a a a b b b c c a a b ¿ x= y= Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b c a c b 2+ + ≥2 + + c b a b c a 2 a b c a c b ⇒ + 2+ ≥ + + b c a c b a ( ) ( ) Đẳng thức xảy a = b = c Bài tập: ( 1a + b1 + 1c ) ≥ Cho a,b,c là số dương.Chứng minh ( a+b +c ) Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) Cho các số a,b biết a + b = Chứng minh a) a + b b) a + b Cho số dương a,b,c và a + b + c = Chứng minh: + + (14) Cho x , y , z 0và x + y + z Chứng minh rằng: + + + + Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a + b + 14 Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + ) Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0 Cho a,b,c là số dương 1 1 1 + + ≥ + + , a+3 b b+3 c c +3 a a+2 b+ c b+2 c+ a c +2 a+ b Chứng minh : 10 Cho a,b,c là số dương Chứng minh : 11 12 13 14 a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c a+ c b+ a Chứng minh: a + b với a + b a b c + + ≥ Với a,b,c > b+c c +a a+b Chứng minh: a +b4 + c ≥abc ( a+b+ c ) Bài 28: Cho x ≥ ; y ≥ ; z ≥ ; Chứng minh: Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz 15 1 1 + + + + + + n+1 n+2 2n+1 2n+ n+1 Cho A = Chứng minh A >1 HƯỚNG DẪN: ( ba + ba )+( ac + ca )+( bc + ac )≥ 3+2+2+2=9 A = 3+ Áp dụng (a + 1) 2a a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) b) Áp dụng câu a Xem bài + + + + = + + = + + = A = + = ( + ) + + = ( vì 2ab (a+b) ) B = + = 3( +) + (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) + ; + ; + Cộng theo vế BĐT trên ta Đpcm Ta có: + = ( + ) b c b c + = + ≥2 ac ab a c b a c a c a + = + ≥ ab bc b a c b ( ( ) ) Cộng vế bất đẳng thức trên ta đpcm Đẳng thức xáy và a = b = c.(Hãy kiểm tra lại) 10 Áp dụng BĐT a2 b2 c2 ( a+b+ c ) + + ≥ x y z x+ y+z (15) 11 a + b ( a + b ) 12 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + = (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra: a b c + + ≥ b+c c +a a+b 13 Áp dụng BĐT ví dụ cho số a +b4 + c tiếp tục áp dụng lần nửa cho số a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm 14 Áp dụng BĐT ( x+ y )2 ≥ xy Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM 15 A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1 + ≥ ; a ,b> Với cặp số a b a+ b hạng thích hợp có đpcm Ví dụ 8: a2+ 12 a+9 Với a − 2 a −a − 0,5 a +a+2 a − : + (a 1+ 0,5 a a+2 a ( −a ) a Rút gọn Biếu thức B= b Thực phép tính: ± 2.) Giải: 2 ( a+3 ) a + 12 a+9 a+ ¿ = ( a+ )( a− ) a −2 a −a − 0,5 a + a+2 a − a 2+ 2a+ a+2 : + = ⋅ + b 1+ 0,5 a a+ a ( −a ) a+2 a −8 a ( 2− a ) a +2 a+ a −2 ¿ − = = ( ) ( ) ( a− ) ( a +2 a+ ) a a −2 a a −2 a x 2+ y − xy x 3+ y Ví dụ 9: Thực phép tính: A= 2 : 2 ( Với x x −y x + y −2 xy a B= Giải: ( x − y )2 x + y − xy x +y x + y − xy A= : 2 = ⋅ x2 − y2 x + y −2 xy ( x − y ) ( x+ y ) ( x + y ) ( x 2+ y − xy ) x−y (x + y ) x + x + x+ Ví dụ 10: Cho biểu thức : A= x − x +2 x − x +1 2 3 2 a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh A không âm với giá trị x Giải: 4 x + x + x+ x + x + x+1 = 2 x − x +2 x − x +1 x − x + x + x − x +1 ( x +1 ) ( x3 +1 ) x ( x +1 ) + ( x +1 ) ¿ 2 = x ( x − x +1 ) + ( x − x+ ) ( x − x +1 )( x2 +1 ) ( x +1 )2 ( x2 − x +1 ) ( x+ )2 = ( x − x+ )( x +1 ) ( x 2+1 ) ( x +1 )2 ; ( x+1 )2 ≥ ; x2 +1>0 ⇒ A ≥ b A= x +1 A= ± y) (16) a5+ a6 +a 7+ a8 −5 −6 −7 −8 a + a +a +a Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : với a = 2007 Giải: 8 a +a + a +a a + a +a +a = −6 −7 −8 1 1 a +a +a +a + + + a5 a a7 a8 8 a5 + a6 +a7 +a8 a ( a +a +a + a ) = a3 +a2+a1 +1 a3 +a 2+a+1 a8 a13 ( 1+ a+a2 +a ) 13 =a ⇒B=200713 a +a + a+1 B= −5 Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : x −25 y −2 : x −10 x +25 x y − y − Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x − 3| Giải: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x − 3| ⇔ ( x −3 y )2+|x − 3|=0 ⇔ x=3 y x=3 ⇔ ¿ x=3 y=1 ¿{ ( x − ) ( x+5 ) ( y −2 )( y +1 ) x −25 y −2 : = ⋅ 2 y−2 x −10 x +25 x y − y − x ( x −5 ) ( x +5 ) ( y +1 ) 8 ¿ = =− x ( x −5 ) ( −2 ) C= Bài tập: 13 Chứng minh Biếu thức ( x +a ) (1+ a ) +a2 x 2+1 P= ( x −a ) (1 − a ) +a2 x 2+1 không phụ thuộc vào x 14 Cho biểu thức M = x −2 x +2 x − x2 −3 x +6 x +2 x − a Tìm tập xác định M b Tính giá trị x để M = c Rút gọn M 15 Cho a,b,c là số đôi khác Chứng minh : b −c c −a a −b 2 + + = + + a − b b − c c − a ( a −b ) ( a − c ) ( b −a )( b − c ) ( c −a )( c −b ) | x+10| 16 Cho biểu thức : B = x + x −9 x +9 x −10 a Rút gọn B b Chứng minh : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 ⋮ 16 với n a Rút gọn biểu thức : A= y x +3 y − xy x +9 − − xy +2 x −3 y −6 xy +2 x +3 y +6 x − -2 b Cho Biếu thức : A = Z ( 2 2+ x 4x − x x −3 x − − : 2− x x −4 2+ x x − x3 ) với x -3; x 3; (17) a Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A > c Tìm giá trị A trường hợp |x − 7|=4 (18) 19 a.Thực phép tính: 1 16 + + + a.A = − x + 1+ x + 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 16 1 − a − a +9 a2+ − 1 a + a2 − a + b Rút gọn C = 20 Cho a,b,c là số đôi ab bc ac + + Tính S = ( b− c ) ( c − a ) ( a− b ) ( c − a ) ( b −c ) ( a −b ) 2a − b b − a + −3 21 Tính giá trị biểu thức : a− b a+b 10 a2 −3 b2 −5 ab=0 ∧9 a2 −b ≠ 22 Cho a + b + c = và a2 +b 2+ c 2=1 x y z = = Chứng minh xy + yz + zx = a Nếu a b c biết: b.Nếu a3 + b3 + c3 = Tính giá trị a,b,c 23 Bài 11: Cho Biếu thức : A= a −1 −a + a −1 a+1 a Tính giá trị A a = -0,5 b Tính giá trị A : 10a2 + 5a = 24 25 26 27 1 + + =1 1+ x + xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx 2 2 a +3 ab a −5 ab −3 b a − an+ bn +ab + = Chứng minh đẳng thức sau: 2 2 a − b ab − a − b bn − a − an+3 ab 1 1 Thực phép tính: − 1− 1− − 2 2008 1 Tính tổng : S(n) = + + + ( n −1 ) ( n+2 ) Chứng minh xyz = thì: ( 28 )( )( ) ( ) Rút gọn tính giá trị biểu thức : 2 a −12 a +17 a− a −2 Biết a là nghiệm Phương trình : |a −3 a+ 1|=1 A= (1+ ba )(1+ bc )(1+ ac )=8 29 Gọi a,b,c là độ dài cạnh tam giác biết rằng: 30 Chứng minh tam giác đó là tam giác Chứng minh a,b là số dương thỏa điều kiện: a + b = thì : ( b− a ) a b − = 2 b − a −1 a b + 3 31 Thực phép tính: A= 32 33 x − yz y − xz z − xy + + ( x + y ) ( x+ z ) ( x + y ) ( y + z ) ( y + z )( x + z ) a3 +b3 +c −3 abc Rút gọn biểu thức : A = a+ b+c Chứng minh biểu thức sau luôn dương TXĐ: B= 34 ( 1− x ) 1+ x : [( 1− x3 1+ x +x −x 1−x 1+ x )( )] Rút gọn Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A= x (x +5)+ y ( y +5)+2(xy −3) x ( x+6)+ y ( y+ 6)+ xy (19) 35 Cho số a,b,c thỏa mãn đẳng thức: a+b − c a+ c − b b+c −a = = c b a ( a+b )( b+ c )( c +a ) abc xy − z yz − x2 zx − y A= Chứng minh : xy +2 z yz+ x xz+2 y Tính giá trị biểu thức P = 36 Cho biểu thức : x + y + z = thì A = HƯỚNG DẪN: 2 13 ( x +a ) (1+ a ) +a x +1 1+ a+a2 = P= ( x −a ) (1 − a ) +a2 x 2+1 1− a+ a2 14 M= 15 x −2 x +2 x − x2 −3 x +6 x2 +2 x − ( x +3 ) ( x − ) ¿ x+ b −c 1 c−a 1 = + = + = ( a −b ) ( a − c ) a − b c − a ( b− a ) ( b − c ) b − c a −b a− b 1 = + = ( c − a ) ( c − b ) b −c c − a 16 a.Rút gọn B = | x+10| x + x −9 x +9 x −10 = | x+10| ( x −1 ) ( x +10 ) ( x +1 ) ; ( x> −10 lx ≠1 ) ( x −1 ) ( x 2+1 ) ¿ − ( x+ 10 ) ; ( x <−10 ) ( x −1 ) ( x+10 ) ( x +1 ) ¿ ¿ ¿ ¿¿ b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 ¿ [ n ( n+1 ) ] x +3 y − xy x2 +9 A= − − 17 xy +2 x −3 y −6 xy +2 x +3 y +6 x − x+ y − xy x 2+ ¿ − − = xy +2 x −3 y −6 xy +2 x+3 y +6 x −9 ( x − ) ( x+3 )( y +2 ) 18 2+ x x 2 − x x −3 x x − − : = a.A = 2− x x −4 2+ x x − x3 x − 4x >0 ⇔ x>3 b.A > ⇔ x−3 |x − 7|=4 ⇒ x=11 ¿ x=3 c ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ( ) (20) x = 11 ⇒ A= 121 x = ⇒ A không xác định 19 1 16 32 + + + = a.A = − x + 1+ x + 16 32 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1− x 1 − a − a +9 a2+ − =−1 b Rút gọn C = 1 a + 2 a − a +9 ab bc ac + + 20 S= ( b− c ) ( c − a ) ( a− b ) ( c − a ) ( b −c ) ( a −b ) ab ( a − b ) + bc ( b −c ) +ac ( c − a ) − ( a −b )( b − c )( c −a ) ¿ = =−1 ( a− b ) ( b − c )( c −a ) ( a− b ) ( b − c ) ( c −a ) 21 Từ: 10 a2 −3 b2 −5 ab=0 ∧9 a2 −b ≠ ⇒ ab=3 b2 − 10 a2 (1) 2a − b b − a a2 −15 ab −6 b + − 3= Biến đổi A = (2) a− b a+b a2 − b2 22 Thế (1) vào (2) ; A = - Từ a + b + c = và a2 +b 2+ c 2=1 suy ra: ab + bc + ca = (1) a Nếu x y z = = a b c suy : 2 x y z x+ y+ z = = = =x + y + z a b c a+b+ c ⇒ ( x + y + z ) =x + y + z Suy xy + yz + zx = b Áp dụng ( a+b +c )3 − ( a3 +b 3+ c )=3 ( a+ b ) ( b+c ) ( c +a ) Từ a3 + b3 + c3 = Suy ra: ( a+b )( b +c )( c+ a )=0 Từ đó tính a , b , c 23 24 Xem bài 21 Từ xyz = Biến đổi 25 Chứng minh : 26 27 1 + + 1+ x+ xy 1+ y + yz 1+ z +zx y yz ¿ + + 1+ y + yz 1+ y+ yz 1+ y+ yz a2 +3 ab a2 −5 ab −3 b a2 − an+ bn +ab a+b + = = 2 2 a −9b ab − a − b bn − a − an+3 ab b − a 1 1 − 1− 1− − 2 2008 1997 1999 1999 1999 ¿ = = .1998 1998 1998 3996 ( )( ) ( ) 1 + + .+ 5 ( n −1 )( n+2 ) 1 1 1 n ¿ − + − + − = 5 n −1 n+ 2 ( n+ ) a3 −12 a2 +17 a −2 A= =2 a − a+1 a −2 ( 28 )( ) (21) |a2 − a+1|=1 ⇔ 29 30 a=0 ; a=3⇒ A=1 ; A=− ¿ a=1 ; a=2⇒ A=−5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ( a −b )2 ( b −c )2 ( c −a )2 b c a 1+ 1+ 1+ =8 ⇔ + + =0 a b c ab bc ca ( )( )( ) Rút gọn ( a − b ) ( a2 +b − ) ( b− a ) a b − = 2 = b − a −1 a b + ab ( b2 +b+1 ) ( a2+ a+1 ) x − yz x y y − xz y z = − = − 31 = ( x + y ) ( x+ z ) x+ z x+ y ( x + y ) ( y + z ) x + y y +z z − xy z x = − Cộng vế A = ( x + z ) ( y+ z ) y + z x+ z 32 33 34 35 36 a3 +b3 +c −3 abc a+ b+c a3 +b 3+ c − abc= ( a+b+ c ) ( a2+ b2 +c − ab − bc −ca ) TXĐ: x ≠ ±1 ;B = 1+ x A= x (x +5)+ y ( y +5)+ 2(xy −3) ( x + y +6 )( x + y −1 ) = x ( x+ 6)+ y ( y+ 6)+ xy ( x + y +6 )( x + y ) a+b − c a+ c − b b+c −a = = Từ: c b a a+b − c a+ c − b b+c −a +2= + 2= +2 Suy ra: c b a a+b+ c a+ c+ b b+c +a = = Suy ra: c b a A= Suy ra: a + b + c = a = b = c P = -1 P = Từ: x + y + z = suy ra: x 3+ y3 + z 3=3 xyz A= M N M =63 x y z2 −16 xyz ( x 3+ y 3+ z ) + ( x y3 + y z 3+ z3 x ) N=9 x y z 2+ xyz ( x + y 3+ z3 ) + ( x y 3+ y z + z x ) =========o0o========= (22)