Nhận xét: Ta nên nhớ mục đích là đánh giá Q m nên nhìn vào biểu thức trên ta có hai hướng để khai thác : Hướng thư nhất : Khai thác tử số dùng cauchy đánh giá về mẫu, hoặc hướng thứ hai[r]
Phần A: Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn I TÌM GTNN , GTLN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN KIẾN THỨC CƠ BẢN A= (a + b)2 + c c => MinA = c ⇔ a +b = B = -(a + b) + c c => MaxB = c ⇔ a +b = -A lớn ⇔ A nhỏ ⇔ B lớn B nhỏ với B > A B A+B Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số không âm x1 , x2 , , xn Ta có: x1 x2 xn n n x1.x2 xn Dấu xảy x1 x2 xn x1, x2 , , xn y1, y2 , , yn x1 y1 x2 y2 xn yn x12 x22 xn2 y12 y22 yn2 Ta có: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai Dấu xảy Bất đẳng thức Svac-sơ: x1 x2 x n y1 y2 yn x12 x22 xn2 x1 x2 xn y1 y2 yn y1 y2 yn với y1 , y2 , y3 , yn 0, n 2 x1 x2 x n y y2 yn Dấu xảy : Bất đẳng thức Cô si: a + b ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 * Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = x −5 − x 2 x −1 ¿ + −2 ¿ Giải : A = = = −2 x −5 − x x −6 x +5 ¿ Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) +4 (3 x 1) x −1 ¿2 + 1 −2 ¿ b với a, b dấu) Do −2 a b ¿ theo tính chất a ⇒ A - ** minA = - ⇔ 3x – = ⇔ x= Bài tập áp dụng: 1 1 A max A= x 2 2 A x 4x 5 x x 4x HD giải: Tìm GTLN BT : 1 1 A max A= x 3 A x 6x 17 x 3 8 x 6x 17 HD Giải: Tìm GTLN BT : A 2 x 2x (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức x − x+ x −2 x+ Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm 2 x2 x 1 x2 x x x 1 A = x − 2¿ ¿ x − 1¿ ¿ ¿ ¿ = + minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : 3( y 1) 8( y 1) y 1 y 1 1 y y y y y 1 y y 1 y 1 y2 A = minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x = Bài tập áp dụng: 1, Tìm GTNN GTLN bt: P x2 1 x x 1 y2 B =( y -1)2 + x x 2006 x2 x2 2x D x 2x 4, Tìm GTNN bt : a, x C x 5x 3, Tìm GTNN GTLN bt: Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = + 2, Tìm GTNN bt : c/ Các phân thức dạng khác: =3- y 3−4 x x 2+1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : A = x −4 x+ − x −1 x +1 = x − 2¿ ¿ ¿ ¿ -1 -1 Min A= -1 x = Tìm GTLN A = x 2+ − x − x −1 x 2+ =4- x +1 ¿ ¿ ¿ ¿ Bài tập áp dụng: 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: x A x 2 a, B b, x2 x 2 C 2, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: a, x2 4x x Với x > 0; b, D x5 x Với x > II TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A ⇒ x+y =1 x2 + 2xy + y2 = (1) 2 Mà (x – y) Hay: x - 2xy + y (2) minA = ⇒ x2 + y Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) x = y = Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A ) + A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = 2 2 x = y = Cách 3/ Sử dụng điều kiện cho để dưa biến Đặt x = 2 x2 + y = ( = + a y = + a)2 + ( - a Biểu thị x2 + y2 ta : - a)2 = => MinA = +2 a2 ⇔ a = ⇔ x=y 2 Bài tập 1: Tìm Min A = a ab b 3a 3b 2014 2 Cách Ta có: A= a 2a 1 b 2b ab a b 1 2011 = a 2a b 2b ab a b 2011 = 2 = a 1 b 1 a 1 b 1 2011 a 1 a 1 b 1 b 1 Min A = 2011 Cách 2: b 1 a 1 b 1 a b 1 b 1 2011 2 b 1 b 1 2011 2011 = a + b 0 a a b 1 b 0 2A 2 a ab b 3a 3b 2014 = a 2a b 2b a ab b 2.2 a b 4022 2 = a 1 b 1 a b 4022 Min 2A = 4022 a 0 a b 1 b 0 a b 0 => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: 2 Bài CMR : Min P = Với P = a ab b 3a 3b 2 Bài CMR: khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn ĐT: x y z x y z 15 0 2 VT x x y y z z 1= x-1 y z 1 Hướng dẫn Ta có: Bài 3: Có hay khơng số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau: 2 1) x y z x y z 22 0 2 2) x y z x 12 y 12 z 1994 Hướng dẫn Ta có: 1) VT x x y y z z 16 2 = x+2 y 1 z 1 2) VT = x x y 12 y z 12 z 1986 2 = x 1 y 3z 1986 1986 Bài 4: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : 2 a b c d a b c d (*) a b c d ab a b c a b c d a b c d 0 a b c d ab ac ad 0 a b c d ab ac ad 0 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 0 2 2 Ta có : a 2b a 2c a 2d a 0 Dấu “=” sảy : a 2b 2c 2d 0 a b c d 0 BÀI TẬP: 2a b c d e2 a b c d e Bài 1: Tìm số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2 Bài 2: Tìm số a, b, c, thỏa mãn : a b ab a b 2 Bài 3: Tìm số a, b, thỏa mãn : 4a 4b 4ab 4a 4b 0 III Các ý giải toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 ⇒ minA= ⇒ y=0 ⇒ x=2 2, Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn ⇔ A nhỏ B lớn ⇔ A Ví dụ : Tìm GTLN B nhỏ với B > x4 1 ( x 1) (Chú ý A> nên A lớn A nhỏ ngược lại) 1 ( x 1) x x 2x2 4 x 1 x Vậy A Ta có : A = x 1 A = x = Do maxA =1 x = 3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng BĐT biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > a.c > b d b) a > b c > a.c > b.c c) a > b c < a.c < b.c d) a > b a, b, n > a n > bn Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ⇒ 2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 13.13.4 2 x 3 y ⇔ 2 x y 0 3x ⇒ ⇒ Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = ================================================================ MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A= x y 4 , x y xy (1) Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x y ta có: xy xy Lại có: (2 ) 4 A= 8 x y xy Từ (1) (2) suy : Vậy Min A = Phân tích sai lầm: 4x y x y Đẳng thức sảy (1) Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL khơng có giá trị nhỏ KL sai 1 4 4x y A = x+y 5 y x x y Giải đúng: Vì x + y = nên 4x y 4x y 4x y 2 4 , y x y x y x Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm Ta có : 4x y x y x x y x y 1 x y 1 y Dấu “=” xẩy Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy dấu khơng Có hướng giải tốn 2, Sai lầm khơng sử dụng hết điều kiện toán: 2 1 1 A = x+ y y x VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : 1 x+ 2 x 2 x, x x x Ta có: Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm Từ (1) (2) =>A => Min A = y, 1 y+ 2 y 2 y y y Ta có: (2) x x 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy (1) x y y 1 y Đẳng thức sảy (2) Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) x+y 1 xy xy xy Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức si cho hai số dương ta có : 2 1 1 1 A = + x +y + x y 2 Khi đó: x + y = (x + y) – 2xy - = (1) Ta có : 1 25 25 2 2 8 x y x y xy (2) Từ (1) (2) =>A + +4 = =>Min A = x=y = 2 Lưu ý: Khi giải tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải tốn 3, Sai lầm chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN bt: A= x x 17 2 x x 17 x 3 8 Lời giải sai: A đạt Max x x 17 đạt Min Ta có : x Do Min x 17 8 x 3 Vậy Max A = x 3 Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử không đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử mẫu số dương x x 17 x 3 8 Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 nên tử mẫu A dương x y 2 xy x y 2 x y 2 Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN Khi MinA = Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) g(x,y) chưa c/m f(x,y) m với m hắng số Chẳng hạn: Từ x2 4x – => x2 đạt nhỏ x2 = 4x – (x – )2 = x =2 Đi đến x2 = x = Dễ thấy kết phải Min x2 = x =0 x + y =16 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 (1) x - y Ta lại có : x -2xy+y 0 (2) Từ (1) (2) => 2( x + y ) 16 => A = x2 + y2 8 2 Vậy Min A = x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số ngun … Có hướng giải toán 4, Sai lầm chứng minh điều kiện VD1: Tìm GTNN bt: A = x + x 1 1 1 x +2 x x 4 4 Lời giải sai : x + x = Vậy: Min A = 1 x (vơ lí ) P/tích sai lầm: sau c/m f(x) chưa trường hợp xảy f(x)= Lời giải đúng: ĐKTT x x 0 : A = x + x 0 => Min A = x 0 VD2: Tìm GTLN A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z số không âm x +y+ z =1 4x z+y x+y+z 1 4y z+x x+y+z 1 Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy x y 2 ta có : 4z x+y x+y+z 1 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x 1 64 Vậy Max A = 64 => Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” z+y = x y+x = z x+z = y x + z + y = x, y, z x y z 0 x + z + y = x, y, z ĐK để Max A = 64 : = x +y+ z 3 x.y.z Lời giải đúng: Ta có : ( vơ lí ) (1) = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z (2) 2 A A x y.z x +y z+x y+ z 9 Từ (1) (2) => hay: x +y = z+x = y+ z x y z x y z 1 2 x, y , z 0 Max A = VD3: Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b) x với x > 0, a, b số dương x a 2 ax x a x b 2 ax.2 bx 4 x ab x b bx Lời giải sai: Ta có: (x a)(x b) 4x ab 4 ab x x Do đó: Min A = ab x a b Phân tích sai lầm: Nếu a b khơng có: A = ab A (x a)(x b) x ax + bx + ab ab x (a b) x x x Lời giải : Ta có ab x 2 ab a b x Theo bất đẳng thức Cauchy : nên A ≥ ab + a + b = A A = a b chi ab x x x ab x VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 x y Tìm GTNN bt: A = x y VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk 1 1 0, 0 , y Do x > 0, y > nên x áp dụng bất đẳng thức côsi cho số x y 1 xy => Hay x 0, y 0 1 1 1 x y ta có: x y Mặt khác ta có: x > 0, y > => x y 2 xy 4 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: xy 2 4 Vậy: Min A = : x y 1 x y 4 x y 2 2 VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A x x x x 1 3 x x x x R 2 4 Ta có: 1 3 x x x x R 2 4 x x 1, x x ta có : Áp dụng BĐT Cơ- si cho số x x x x 2 x x x x 2 x x 2 x x 1 x 0 2 x x x x Max A = x y z A y z x với x, y, z > VD3 Tìm giá trị nhỏ : x y z x y z A 33 y z x y z x Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: x y z x y z 3 x y z y z x y z x Do x y z x y y z y x y 2 y z x y x z x x y x Cách : Ta có : Ta có (do x, y > 0) nên để x y z y z y 3 1 y z x z x x chứng minh ta cần chứng minh : (1) (1) xy + z – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị x y z nhỏ y z x Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng BĐT Cơsi tìm cực trị nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức 3x 0 x VD1 : Tìm giá trị lớn A x x , ĐKXĐ : 7 3x 0 3x x Bình phương hai vế ta có : A = + x áp dụng bất đẳng thức côsi cho x 3x ta có: Với 2 x x 3x 5 3x 2 x x hay A =>A Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x = 2 2 VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x x -x x (*) ĐKXĐ : Khi -x x 0 -x x 0 x x 0 x 1 x 0 -x x -x x x Từ (*) => => A > A = -x x -x x = -2x x 10 x 4 x 2 x 2 -x x -x x x x x 1 x = x x x 1 x = x2 x2 2 x x x 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 2 2 x x x x 0 A= BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số : y x x Bài 2: Tìm GTLN hàm số : y x x Bài 3: Tìm GTLN hàm số : A x 23 x 2 Bài 4: Tìm GTNN : A = -x x 21 -x x 10 A= x y z y z x với x, y, z dương x + y + z 12 Bài 5: Tìm GTNN : Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác khơng VD Tìm giá trị lớn biểu thức: Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có: A= A= x-9 5x = x-9 5x 1 x -9 x-9 3 x 3 6 1 5x 5x x 30 x - 3 x 18 x 9 Dấu “=” xảy VẬN DỤNG BDT A B A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN hàm số : y x x 1 x x Cách 1: y x x 1 x x 1 x 1 x Nếu: x < -1 y x x x x x y x x x x 2 Nếu: -1 x Nếu: x > y x x x x 2 x Vậy y nhỏ -1 x Cách : áp dụng BĐT Ta có : a b a b ( Dấu “=” sảy a.b 0 ) y x x x x 2 Vậy y nhỏ -1 x Bài 2: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : x A = x(4 -2x ) = – x 2 x 0 x xy 4 => Max A = 2 x = x 1 y 2 x.xy Cách 2: Ta có : A = Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x, xy 2 x xy x y x xy x xy x.xy 2 x.xy 2 4.2 ta có: Thay số ta có : x y =A 2 x xy x xy Vậy Max A =2 x 1 y 2 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: 2 Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y x x x 12 x 2 b, y x x x x 2 Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y x 20 x 25 x x 16 2 b, y 25 x 20 x 25 x 30 x Bài 3: Tìm giá trị nhỏ A x x x x Phần B: MỘT SỐ BT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a3 4b 4c3 3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) Hướng dẫn 4a b c a 2 Ta có: (1 b)(1 c) 4a b3 4c a b c 3 abc 3 Tương tự: => (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) Dấu xảy a = b = c =1 x y Q xy Bài Cho x, y Tìm GTNN biểu thức : Nhận xét: Ta nên nhớ mục đích đánh giá Q m nên nhìn vào biểu thức ta có hai hướng để khai thác : Hướng thư : Khai thác tử số dùng cauchy đánh giá mẫu, hướng thứ hai khai thác mẫu dùng cauchy đánh giá đưa tử sau rút gọn đến điều cần chứng minh Sau tơi khai thác theo hướng hai Ta có: 3 1 4x y y 4 xy x y y x y x y 16 16 27 16 27 Q Dấu xảy x 1; y 2 Chú ý : Biểu thức Q biểu thức đồng bậc nên cách giải cịn giải phương pháp hàm số, tơi xin trình bày hướng giải phần sau viết Bài Cho a, b, c ba số dương thoả mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3 1 3 3 a 3b b 3c c 3a Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (x y z) 33 xyz 9 x y z xyz xyz x y z (*) 1 P 3 3 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a Áp dụng (*) ta có Bài Chứng minh a, b, c abc 1: P 1 a b c b c a c a b Nhận xét: Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a, b, c : a2 b2 c2 a b c b c c a a b qua phép biến đổi Do để giải nhanh gọn toán ta phải thực phép đổi biến để đưa bất đẳng thức nguồn ban đầu 1 x , y , z xyz 1 a b c Đặt Bài toán trở thành chứng minh: P x3 yz y zx z xy x2 y2 z2 yz zx xy yz zx xy Để giải tiếp tục nhận xét điểm rơi x y z 1 Từ ta giải sau: x2 yz x yz y2 zx y zx z2 xy z x y xyz P 2 dấu xảy x y z 1 Cộng vế theo vế ta được: Tuy nhiên giải tốn cách sau: 1 bc a a2 a3 b c a b c b c bc b c Ta có : 1 2 1 a b c2 a b c b3 c a c a b 1 1 b c c a a b Tương tự: => Áp dụng bất đẳng thức Svac_so ta có: 1 1 1 cauchy 2 a b c a b c 1 1 1 2 b c c a a b , dấu xảy x y z 1 a, b.c a b c 3 2 2 2 a b c 1 Chứng minh rằng: b c c a a b Bài Cho Nhận xét: Với điều kiện cho biểu thức mẫu số bất đẳng thức cần chứng minh gợi ý cho ta nên thay mẫu số đánh giá mẫu Nếu học sinh khơng có kinh nghiệm khơng nhìn thấy điều Cụ thể sau Hướng dẫn a a a2 b2 c2 a a a 3 nhìn vào đích nhìn vào điều kiện cho ta hướng sau: Ta cố gắng chứng minh a2 3 2 2 2 a a a a a 2 27 a 1 a 3 a 1 a Thật vậy: 2 Cauchy 2a a a 2 2a a a 2 27 Tương tự: b2 3 c2 3 b; c 2 2 b1 b c 1 c a b c 3 2 c a a b Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được: b c Bài Cho a, b, c 0; abc 1 1 1 Chứng minh rằng: a b b c c a Hướng dẫn 3 a b a ab b Ta có : a b ab a b abc ab a b c => a b 3 a b 1 a b 3 3 3 c a3b3c 3 3 3 3 ab a3b 1 1 , tương tự ta có: a b b c c a => Dấu xảy a = b = c = Bài Cho số dương a, b, c : ab bc ca 3 1 1 2 a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) abc Chứng minh rằng: ab bc ca 3 (abc)2 abc 1 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: a (b c) abc a (b c) a (ab bc ca ) 3a Suy ra: 1 (1) a (b c) 3a 1 1 (2), (3) c (a b ) 3c Tương tự ta có: b (c a ) 3b Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab bc ca ( ) 2 a (b c) b (c a ) c (a b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc 1, ab bc ca 3 a b c 1, (a, b, c 0) Bài Cho a, b, c : abc 1 1 1 CMR : a 2b b 2c c 2a Hướng dẫn Ta có: a b2 2ab; b 2b a 2b 2 ab b 1 1 a 2b ab b 1 Tương tự => 1 1 1 2 a 2b b 2c c 2a ab b bc c ca a 1 1 ab b 1 ab b bc c ca a ab b ab c abc ab bca ab b Mặt khác: 1 1 2 2 => a 2b b 2c c 2a a b c 1 Phần MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi: x y z Bài 1: Cho x, y, z : 1 9x 9y 9z 3x y 3z x yz y 3x z 3z x y Chứng minh : x y z HD: Đổi biến a= ,b= ,c= Tổng sang tích, kết hợp chọn điểm rơi 64 x y z Bài 2: Cho x, y, z : x y z 1 Chứng minh : HD: 1 x x x y z x yz x x x x Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng kết hợp chọn điểm rơi 3 Bài 1: Cho ba số thực x, y, z 0 x y z 1 M x yz y zx z xy Tìm giá trị lớn biểu thức HD: x yz x yz x xyz , cauchy 3 Bài 2: Cho a, b, c 0, a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A a 46b c HD: Chọn điểm rơi cách : 3 3 3 3 3 giả sử : A = ( a ) (46b ) (c ) 4 2 , tìm , Kỹ thuật đổi biến : a2 2c2 c2 2b2 b2 2a2 3; ac cb ba Bài 1: HV Ngân hàng – D_2000) với a, b, c > 0, ab + bc + ca = abc (ÑHQGHN- y x x 1 2 2; 2 y z z x x y z với x, y, z > 0.(ĐH Nông nghiệp – A_2001) Bài 2: x y Kỹ thuật đánh giá mẫu số: 1 a b c , a, b, c 2abc Bài 1: Chứng minh : a bc b ca c ab b c 1 bc 2abc tương tự cho biểu thức , cộng vế HD: Ta có : a bc 2a bc 2abc CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ... y 1 z 1 2) VT = x x y 12 y z 12 z 1 986 2 = x 1 y 3z 1 986 1 986 Bài 4: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : 2 a b c d a b c d ... VD1: Tìm GTLN bt: A= x x 17 2 x x 17 x 3 ? ?8 Lời giải sai: A đạt Max x x 17 đạt Min Ta có : x Do Min x 17 ? ?8 x 3 Vậy Max A = x 3 Phân tích sai lầm: Kết lập luận... x -2xy+y 0 (2) Từ (1) (2) => 2( x + y ) 16 => A = x2 + y2 ? ?8 2 Vậy Min A = x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng