Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của góc CHD. Chứng minh A, B, K thẳng hàng.. Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình l[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
NĂM HỌC 2008-2009 KHĨA NGÀY 18-06-2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau:
a) 2x2 + 3x – = (1) b) x4 – 3x2 – = (2)
c) 2x y (a) (3) 3x 4y (b)
+ = ⎧
⎨ + = − ⎩
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –x2 đường thẳng (D): y = x – một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính Câu 3: Thu gọn biểu thức sau:
a) A = 3− − 3+
b) B = x x x x 2x x
x x x x
⎛ + − − ⎞ + −
⎜ ⎟
⎜ − + + ⎟
⎝ ⎠
−
(x > 0; x ≠ 4) Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12+x22−x x1 =7
Câu 5: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D a) Chứng minh MA2 = MC.MD
b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B nằm đường tròn
c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác góc CHD
d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) Chứng minh A, B, K thẳng hàng
-oOo -
Gợi ý giải đề thi mơn tốn Câu (2 điểm):
a) 2x2 + 3x – = (1)
Cách 1: Phương trình có dạng a + b + c = nên phương trình (1) có hai nghiệm là: x1 = hay x2 = c
(2)Cách 2: Ta có Δ = b2 – 4ac = 32 – 4.2.(–5) = 49 > nên phương trình (1) có hai nghiệm phân
biệt x1 =
4
− −
= − x2 =
4 − +
= b) x4 – 3x2 – = (2)
Đặt t = x2, t ≥
Phương trình (2) trở thành t2 – 3t – = ⇔ t t
= − ⎡ ⎢ =
⎣ (a – b + c = 0) So sánh điều kiện ta t = ⇔ x2 = ⇔ x = ±
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x = x = –2 c) 2x y (a) (3)
3x 4y (b) + =
⎧
⎨ + = − ⎩
Cách 1: Từ (a) ⇒ y = – 2x (c) Thế (c) vào (b) ta được: 3x + 4(1 – 2x) = –1 ⇔ –5x = –5 ⇔ x =
Thế x = vào (c) ta y = –1 Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –1 Cách 2: (3) ⇔ 8x 4y ⇔ ⇔
3x 4y
+ =
⎧
⎨ + = − ⎩
5x
3x 4y
= ⎧
⎨ + = − ⎩
x
3.1 4y =
⎧
⎨ + = −
⎩ ⇔
x
y
= ⎧ ⎨ = −
⎩
Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –1 Câu (2 điểm):
a) * Bảng giá trị đặc biệt hàm số y = –x2:
x –2 –1
y = –x2 –4 –1 –1 –4 * Bảng giá trị đặc biệt hàm số y = x – 2:
x
y = x – –2
-3 -2 -1
-4 -3 -2 -1
x y
O
Đồ thị (P) (D) vẽ sau:
b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D) là:
–x2 = x – ⇔ x2 + x – = ⇔ x = hay x = –2 (a + b + c = 0)
(3)Câu (1 điểm):
a) A = 3− − 3+ = (2− 3)2 − (2+ 3)2 =2− 2− + Mà – > + > nên A = – – – = −2
b) B = x x x x 2x x
x x x x
⎛ + − ⎞ + −
−
⎜ ⎟
⎜ − + + ⎟
⎝ ⎠
− = x 12 2 x 12 (x 4)( x 2)
( x) ( x 2) x
⎛ + − ⎞ −
− +
− +
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) (x 4)( x 2)2 2 x ( x) ( x 2)
⎛ + + − − − ⎞ − +
⎜ ⎟
⎜ ⎡⎣ − ⎤⎦ + ⎟
⎝ ⎠
= x x (x x 2) = x
+ + − − + x
x = Câu (1,5 điểm): x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt
Cách 1: Ta có: Δ' = m2 + > với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Cách 2: Ta thấy với m, a c trái dấu nên phương trình ln có hai phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12+x22−x x1 =7
Theo a) ta có với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Khi ta có S = x1+x2 =2m P = x1x2 = –1
Do 2 ⇔ S2 – 3P = ⇔ (2m)2 + = ⇔ m2 = ⇔ m = ±
1 2
x +x −x x =7
Vậy m thoả yêu cầu toán ⇔ m = ± Câu (3,5 điểm):
a) Xét hai tam giác MAC MDA có: – ∠ M chung
– ∠ MAC = ∠ MDA (= sđAC»
2 )
Suy ΔMAC đồng dạng với ΔMDA (g – g)
⇒ MA MC
MD MA= ⇒ MA
2 = MC.MD
b) * MA, MB tiếp tuyến (O) nên ∠MAO = ∠ MBO = 900
* I trung điểm dây CD nên ∠ MIO = 900
Do đó: ∠ MAO = ∠ MBO = ∠ MIO = 900
⇒ điểm M, A, O, I, B thuộc đường đường kính MO
chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R(O) Do MO trung
ực AB ⇒ MO ⊥ AB
K
trịn c) ¾ Ta có MA = MB (tính
tr
O M
D C
A I
H
(4)Trong ΔMAO vng A có AH đường cao ⇒ MA2 = MH.MO Mà MA2 = MC.MD (do a))
⇒ MC.MD = MH.MO ⇒ MH MC MD MO= (1) Xét Δ MHC ΔMDO có:
∠M chung, kết hợp với (1) ta suy ΔMHC ΔMDO đồng dạng (c–g –c) ⇒ ∠ MHC = ∠ MDO ⇒ Tứ giác OHCD nội tiếp
¾ Ta có: + ΔOCD cân O ⇒ ∠ OCD = ∠ MDO + ∠ OCD = ∠ OHD (do OHCD nội tiếp)
Do ∠ MDO = ∠ OHD mà ∠ MDO = ∠ MHC (cmt) ⇒ ∠ MHC = ∠ OHD
⇒ 900 – ∠ MHC = 900 – ∠ OHD ⇒ ∠ CHA = ∠ DHA ⇒ HA phân giác ∠ CHD hay AB
là phân giác ∠ CHD
d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì ∠ OCK = ∠ ODK = 900)
⇒ ∠ OKC = ∠ ODC = ∠ MDO mà ∠ MDO = ∠ MHC (cmt) ⇒ ∠ OKC = ∠ MHC ⇒ OKCH nội tiếp
⇒ ∠ KHO = ∠ KCO = 900
⇒ KH ⊥ MO H mà AB ⊥ MO H ⇒ HK trùng AB ⇒ K, A, B thẳng hàng
-oOo -
ThS NGUYỄN DUY HIẾU