TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỂ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2010 − 2011 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau a. 2 6 4 2 4 2 2 4 x x x x − + − − = + b. 2 2 3 2 2 ( 2) 4( 1) 2 5 (2 1) 2x x x x x+ + + + + + = − + c. 256x 196x 2 2 2 x x 9 x x 9 − ≥ + + − + Câu 2. Cho hệ phương trình : ( ) 2 2 2 x y 2x 2y 2m x y 2 4 + − − = + − = a. Giải hệ khi m = 4 b. Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng : CD OE ⊥ Câu 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có 1 1 1 1 2ab bc ca Rr + + = Câu 5. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 a b c 1 b c a 1 c a b abc + + ≤ + + + + + + _____________________ Hết ____________________ Giáo viên ra đề: ĐẶNG NGỌC GIÁP ĐÁP ÁN ĐỂ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH Câu Ý Nội dung Điểm 1 (8.0đ) a 3.0đ §iÒu kiÖn 2 2x − ≤ ≤ Khi ®ã : 2 6 4 6 4 (1) 2 4 2 2 4 x x x x x − − ⇔ = + + − + 2 2 3 2 4 2 2 4 (2) x x x x = ⇔ + + − = + 2 3 4 2(2 )(2 ) (2 )( 4) 0 x x x x x = ⇔ + − + − + = 2 3 2 (4 2(2 ) ( 4) 2 ) 0 x x x x x = ⇔ − + + + − = 2 3 2 x x = ⇔ = 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 b 3.0đ Phương trình đã cho tương đương với 4 3 2 3 2 2 2 4 4 4( 3 3 1) 2 5 4 4 3x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + = − + ⇔ 2 2 2 2 ( 2 ) 8( 2 ) 5 2 5 0x x x x x x+ + + + + + + = Đặt 2 2 5t x x= + + , đk 2t ≥ Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 ( 5) 8( 5) 5 0t t t− + − + + = ⇔ 4 2 2 10 0t t t− + − = ⇔ 3 2 ( 2)( 2 2 5) 0t t t t− + + + = ⇔ 3 2 2 0 2 2 5 0 t t t t − = + + + = ⇔ 2t = vì 3 2 2 2 5 0t t t+ + + = vô nghiệm với 2t = ta có x = -1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 c 2.0đ +) x = 0 không là nghiệm của pt. 256 196 (1) 2 9 9 x 1 x 1 x x ⇔ − ≥ + + + − Đặt t = x 9 x + , 6t ≥ +) Bpt đã cho trở thành: t 2 – 30t + 225 ≤ 0 ⇔ t = 15 +) Bpt có hai nghiệm: 18915x −= và 18915x += 0.5 0.5 0.5 0.5 2 a 3.0đ HPT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 1 y 1 2m 2 x 1 y 1 4 − + − = + ⇔ − + − = đặt a x 1;b y 1= − = − ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b 2 1 a b 2m 2 a b 2 2 a b 4 ab 1 m 3 + = + = + ⇔ + = − + = = − (*) Khi m=4 ta có a b 2 a b 2 ab 3 ab 3 + = + = − ∨ = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } a;b 1; 3 , 3;1 , 1;3 , 3; 1⇔ ∈ − − − − Từ đó ra các nghiệm của hệ ban đầu : (2;-2),(-2;2),(0;4),(4;0) 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 b 2.0đ 3 3.0đ 3.0đ Gọi M là trung điểm của AC Vì E là trọng tâm tam giác ACD nên 3OE OA OC OD 2OM OD= + + = + uuur uuur uuur uuur uuuur uuur D là trung điểm của AB nên 2CD CA CB= + uuur uuur uuur Vì (O) ngoại tiếp ABC∆ nên OD AB;OM AC⊥ ⊥ , ABC∆ cân nên OD=OM Do đó , ( ) ( ) OD OM DM mà DM//BC OD OM BC+ ⊥ ⇒ + ⊥ uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur Ta có : ( ) ( ) 3OE.2CD OA OC OD CA CB= + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) ( ) 2OM OD CA CB 2OM.CB OD CA CB= + + = + + uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur ( ) 2OM.CB OD 2CB BA 2OM.CB 2OD.CB= + + = + uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur ( ) 2 OM OD CB 0= + = uuuur uuur uuur r 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 4 2.0đ Ta có 1 1 1 2 4 a b c p ab bc ca abc RS + + + + = = = 1 2 2 p Rpr Rr = 1.0 1.0 5 2.0đ Từ giả thiết 3 2 2 2 3 3 1ab bc ca a b c abc= + + ≥ ⇒ ≤ Nên ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a ≤ = = + + + + + + Tương tự ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 ; 1 b c a 3b 1 c a b 3c ≤ ≤ + + + + Cộng vế với vế các BĐT ta được điều phải CM Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c=1 0.5 1.0 0.5 . TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỂ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2 010 − 2011 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian. x= + + , đk 2t ≥ Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 ( 5) 8( 5) 5 0t t t− + − + + = ⇔ 4 2 2 10 0t t t− + − = ⇔ 3 2 ( 2)( 2 2 5) 0t t t t− + + + = ⇔ 3 2 2 0 2 2 5 0 t t t t − = + + + = ⇔ 2t