Mét sè trong c¸c ®¹i biÓu quen biÕt nhau vµ sè cßn l¹i kh«ng quen biÕt nhau... Mét sè trong c¸c ®¹i biÓu quen biÕt nhau vµ sè cßn l¹i kh«ng quen biÕt nhau.[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo phú thọ
kú thi chän häc sinh giái líp t.h.c.s cấp tỉnh năm học 2002 2003
Đề thi môn toán
Thi gian lm bi: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 20 tháng 03 năm 2003
-Bµi 1: Giải phơng trình:
a, 2004 2003 2004 20030
x
b, 3
1
2 x
x 5 6
1
2 x
x + 4005 4010006
2
x
x = 2004
1001 Bµi 2:
1 Ba sè cã tỉng lµ 2003, cã tÝch lµ - 2003 vµ cã tỉng tích hai ba số -1 Tìm tất ba số
2 Trờn mặt phẳng cho 2028 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm thuộc đờng trịn Chứng minh ln ln vẽ đợc ba cung trịn có hai đầu mút hai số điểm cho, chia mặt phẳng thànhba phần: Phần thứ có 20 điểm, phần thứ hai có điểm, phần thứ ba có 2003 im
Bài 3:
a, Tìm tất sè h÷u tØ x cho 2004
x
x số nguyên
b, Trong hội nghị có 2003 đại biểu Một số đại biểu quen biết số lại khơng quen biết Chứng minh có đại biểu có số ngời quen hội nghị số chẵn
Bµi 4:
Cho tam giác ABC có bán kính đờng trịn nội tiếp độ dài đờng cao ha, hb, hc
a, CMR: ha, hb, hc số nguyên tam giác ABC l tam giỏc u
b, Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau: P =
b a h
h
1
+ hb 2hc
1
+ hc 2ha
1
-Hä vµ tên thí sinh: Số báo danh:
Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm.
Đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp t.h.c.s cấp tỉnh môn toán
năm học 2002 2003 Ngày thi: 20 tháng 03 năm 2003
-Bài 1(3điểm): Giải phơng trình:
a, 2004 2003 2004 20030
x
b, 3
1
2 x
x 5 6
1
2 x
x + 4005 4010006
2
x
x = 2004
(2)Đáp án B.®iĨm
a, (1,5 ®): Ta cã: A =
20042 2003 2004 2 2003
= 20032 20031 2003 20031 0,25®
= ( 20031)2 + ( 20031)2 0,25®
= 20031 20031
= 2003
0,25đ Do phơng trình cho tơng đơng với:
x 20030
0,25®
x 2003 0,25®
x = 2003 0,25®
b, (1,5đ): Ta phải có điều kiện xk với k = -1, -2, -3, , -2003 Khi ta có:
) )( (
1
x
x +( 2)( 3)
1
x
x + +( 2002)( 2003)
x
x =
2004 1001
0,25®
2004 1001 2003
1 2002
1
1 2
1 1
x x x x x
x
0,25®
2003 1
1
x
x = 2004
1001 0,25®
) 2003 )(
1 (
2002
x
x =2004
1001 0,25®
(x+1)(x+2003) = 4008 0,25®
x2 + 2004x – 2005 =
x= 1, x= -2005
KL: Nghiệm phơng trình là: x= 1, x= -2005
0,25đ
Bài 2(2điểm):
1.Ba sè cã tỉng lµ 2003, cã tÝch lµ - 2003 có tổng tích hai ba số -1 Tìm tất ba số Êy
Trên mặt phẳng cho 2028 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm thuộc đờng trịn Chứng minh ln ln vẽ đợc ba cung trịn có hai đầu mút hai số điểm cho, chia mặt phẳng thànhba phần: Phần thứ có 20 điểm, phần thứ hai có điểm, v phn th ba cú 2003 im
Đáp án B.®iĨm
1.(1.25đ): Theo đề ta cần tìm số a, b, c cho:
a + b + c = 2003, abc = -2003, ab + bc + ca = -1 0,25đ Rõ ràng a, b, c nghiệm phơng trình: (x - a)(x - b)(x - c) =
Hay: x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x – abc = 0 0,25®
Hay: x3 – 2003x2 – x + 2003 = 0
(x - 2003)(x2 - 1) = 0 0,25®
x = 2003, x = 1, x = -1 0,25® KL: Bé ba số thỏa mÃn toán là: 2003, 1, -1 hoán vị chúng 0,25đ
2.(0,75): Ly điểm O tùy ý nằm mặt phẳng chứa điểm cho, nối với 2028 điểm ta đợc đoạn thẳng, có đoạn thẳng dài nhất, kí hiệu OA Rõ ràng 2028 điểm cho thuộc hình trịn (O,OA)
(3)Vẽ tiếp tuyến đờng tròn A cho tiếp tuyến quay quanh A đến gập điểm đầu tiên, kí hiệu B, ta đợc 2026 điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AB
0,25® Từ giả thiết suy 2026 điểm lại nhìn AB dới góc khác
nhau: 3 20 21 23 24 2026
Dùng cung chứa góc ,, đoạn thẳng AB, cho:
20 21, 23 24, 2003
Đfcm
0,25đ
Bài 3(2điểm):
a, Tìm tất số h÷u tØ x cho 2004
x
x số nguyên
b, Trong mt hội nghị có 2003 đại biểu Một số đại biểu quen biết số cịn lại khơng quen biết Chứng minh có đại biểu có số ngời quen hội nghị mt s chn
Đáp án B.điểm
a,(1,5) Ta cần tìm số hữu tỉ x để: x2 + x + 2004 số phơng. 0,25đ
Giả sử x = qp với p, q số nguyên (p, q) = số hữu tỉ cần tìm, Khi đó: (qp )2+
q p
+ 2004 = n2 ,(n N)
0,25®
Ta cã p2 + pq + 2001pq2 = n2q2 Suy ra, p2 chia hÕt cho q,
do p chia hết cho q q = 1, x số nguyên Đa tốn về: Tìm x Z, cho: x2 + x + 2004 = n2.
4x2 + 4x + 8016 = 4n2
(2n)2 – (2x + 1)2 = 8015
0,25®
(2n – 2x - 1)(2n + 2x + ) = 8015 Ta cã: 8015 = 8015 = 1063 = 1145 = 35 229
= (-1) (-8015) = (-5) (-1063) = (-7) (-1145) = (-35) (-229)
0,25đ Lần lợt cho (2n + 2x + 1) (2n – 2x - 1) giá trị trên, ta đợc giá
trÞ cđa x tháa m·n lµ: 2003, 399, 284, -400, -285, -49, 48, -2004 0,5®
b,(0,5đ): Nếu A B quen ta gọi cặp quen biết Khi m số cặp quen biết x1, x2, , x2003 số ngời quen biết ngời
thø nhÊt, thø hai, , thø 2003 th×:
x1 + x2 + + x2003 = 2m (1)
0,25®
Giả sử x1, x2, , x2003 số lẻ, vế trái (1) l s
lẻ nên suy 2m số lẻ Điều mâu thuẫn chứng tỏ có nhÊt mét sè xi (i = 1, 2, , 2003) số chẵn, ta có đpcm
0,25đ
Bài 4(3®iĨm):
Cho tam giác ABC có bán kính đờng tròn nội tiếp độ dài đờng cao ha, hb, hc
a, CMR: ha, hb, hc số nguyên tam giác ABC tam giác
b, Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P =
b a h
h
1
+ hb 2hc
1
+ hc 2ha
1
Đáp án B.điểm
a, (1,25): Gi S l din tích tam giác ABC, r bán kính đờng tròn nội tiếp a, b, c độ dài ba cạnh tơng ứng với chiều cao ha, hb, hc
(4)Ta cã: 2S = (a + b + c)r = a + b + c = = b hb = c hc (do r = 1)
Suy ra: = 2S / a; hb = 2S / b; hc = 2S / c
Do đó: 1
c b a h h
h (1)
0,25đ
Không tính tổng quát, giả sử hb hc r = nên ha, hb, hc>
2
Và ha, hb, hc số nguyên nên hb hc 3
0,25®
Suy ra:
c b a h h
h
1 1
1
c
h
3
hc3 hc = 3 0,25®
Theo (1) ta cã 32
b a h
h nªn 3(ha + hb) = 2hahb, hay
(2ha- 3)(2hb - 3) = = = 3
Suy = hb = hc = a = b= c Do tam giác ABC
0,25®
b, (1,75®): Ta cã ( ) 1 19
z y x z y
x víi x, y, z > ( DÊu “=” x¶y vµ chØ x = y = z ) (*)
( NÕu hs c«ng nhËn c«ng thøc cho 0,25đ)
0,5đ áp dụng (*), ta có: (ha+ 2hb)(1/ha + 1/2hb ) 0,25®
Suy ra:
b a h
h
1
b a h
h
1
(1) 0,25®
T¬ng tù, ta cã
c b h
h
1
c b h
h
1
(2)
a c h
h
1
a c h
h
1
(3)
0,25đ
Từ (1), (2) (3), ta cã: P
3 3
c b a h h
h
DÊu “ =” x¶y dấu = 1), (2) (3) xảy ra, tức là: = hb, hb = hc, hc = = hb = hc
0,25đ
Vậy: GTLN P
3
tam giác ABC 0,25đ
(5)-Hết -Sở giáo dục đào tạo
kú thi chän häc sinh giái líp t.h.c.s cấp tỉnh năm học 2003 2004
Đề thi môn toán
Thi gian lm bi: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02 tháng 03 năm 2004
-Bµi (2điểm):
a,Chứng minh p số nguyên tố lớn (p-1)(p+1) chia hết cho 24
b,Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: xy 2x 3y + =
Bài (2điểm):
Cho số a, b, c khác đôi khác thỏa mãn điều kiện: a3 + b3 + c3 = 3abc
TÝnh tÝch:
b a
c a c
b c b
a c
b a b
a c a
c b
Bài (2điểm):
1 Tỡm a phng trình: x + 2ax = 3a – có nghiệm nhất.
2 Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c tháa m·n ®iỊu kiƯn f(x) 1 víi x
1;1
Tìm giá trị lớn biểu thức: 4a2 + 3b2
3
Bài (1,5 điểm):
Trên hai tia Ox Oy góc xOy có hai điểm A B (AOx,BOy) chuyển động
sao cho OA – OB = m (m độ dài cho trớc) Chứng minh rằng: Đờng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vng góc với AB ln qua điểm cố định
Bµi (2,5®iĨm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi ha, hb, hc đờng cao; ma, mb, mc
các đờng trung tuyến ứng với cạnh BC, CA, AB R, r lần lợt bán kính đ-ờng trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:
r r R h m h m h m
c c b
b a
a
-Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh:
Ghi chó: C¸n bé coi thi không giải thích thêm.
Đáp án §Ị thi häc sinh giái líp t.h.c.s cÊp tØnh môn toán
năm học 2003 2004 Ngày thi: 02 tháng 03 năm 2004