Bài soạn SKKN rất hay

Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên Mục lục Trang Phần I : Mở đầu 2 Phần ii : nội dung Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu 4 Chơng II: Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lợng dạy học nội dung đang quan tâm. Biện pháp 1 : Các dạng phơng trình cơ bản 5 Biện pháp 2: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên I. Phơng pháp 1 : Phơng pháp tổng quát: 14 II. Phơng pháp 2 : Sử dụng tính chẵn lẻ 15 III. Phơng pháp 3 : Phơng pháp phân tích 15 IV. Phơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức 17 V. Phơng pháp 5 : Phơng pháp loại trừ 20 VI. Phơng pháp 6 : áp dụng tính chia hết 21 VII. Phng Phỏp 7 : Phng Phỏp La Chn Modulo ( hay cũn gi l xột s d tng v ) 22 VIII. Phơng pháp 8 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố 24 IX. Phơng pháp 9 : Đa về dạng tổng 25 X .Phơng pháp 10: Lùi vô hạn( hay cũn gi l phng phỏp xung thang) 25 XI. Phơng pháp 11: Sử dụng tính chất nghiệm của phơng trình bậc 2 28 XII. Phng Phỏp 12: S Dng Mt Mnh C Bn Ca S Hc 29 Biện pháp 3 : Bài tập luyện tập rèn t duy sáng tạo 37 Phần III: Thực nghiệm s phạm 43 Phần IV : Kết luận 51 Phần V: Tài liệu tham khảo 52 Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 1 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên Phần I : mở đầu 1. lý do chọn đề tài Trong quá trình học toán ở trờng THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Ngời thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi ngời thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi t duy logic giải các bài toán. Là một giáo viên dạy toán ở trờng THCS trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chơng trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhng cha đủ. Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy ngời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thờng nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phơng pháp nào cho phù hợp. Các dạng toán về số học ở chơng trình THCS thật đa dạng phong phú nh: Toán về chia hết, phép chia có d, số nguyên tố, số chính phơng, phơng trình nghiệm nguyên. Đây là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhng cha đa ra phơng pháp giải chung. Hơn nữa phơng trình nghiệm nguyên có rất nhiều trong các đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong các đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh . Song khi giải các bài toán này không ít khó khăn phức tạp. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán và cha có nhiều phơng pháp giải hay. Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên Trong quá trình viết đề tài do điều kiện và kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong đợc sự đóng góp, chỉ đạo của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu : - Đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh t duy sáng tạo khi học và giải toán . - Biết cách định hớng và giải bài tập ngắn gọn. - Phát huy trí lực của học sinh tìm hiểu cách giải hay, phát triển bài toán mới. - Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử. - Qua đó nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở bậc THCS. Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 2 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Căn cứ vào vai trò và tầm quan trọng của đề tài, về tình hình học tập của học sinh tôi thấy cần nghiên cứu ba nội dung lớn : - Các dạng phơng trình cơ bản. - Các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên. - Luyện tập và rèn t duy sáng tạo cho học sinh khi giải bài tập về phơng trình nghiệm nguyên Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu. Để đánh giá đợc khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phơng án tối u truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh trong đội tuyển của trờng nh sau: Bài 1: ( 6 đ ) a)Tìm x, y Z biết x y + 2xy = 6 b) Giải phơng trình nghiệm nguyên: 5x 7y = 3 Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 1 + x + x 2 + x 3 = 2 y Kết quả thu đợc nh sau: Dới điểm 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10 Điểm 5 - 10 SL % SL % SL % SL % 6 60 4 40 0 0 4 40 Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có biện pháp giải phơng trình nghiệm nguyên đạt hiệu quả. Lời giải thờng dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận . Cũng với bài toán trên nếu học sinh đợc trang bị các phơng pháp Giải phơng trình nghiệm nguyên thì chắc chắn sẽ có hiệu quả cao hơn. 4-Phạm vi và đối tợng nghiên cứu: - áp dụng vào việc giảng dạy các chuyên đề trong trờng học hoặc bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các lớp chọn, lớp chuyên PTTH. - Cụ thể, tôi áp dụng vào việc ôn thi HSG cấp Huyện cho 10 em học sinh Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định. - Thời gian nghiên cứu có hạn mặc dù đợc sự góp ý chân thành của nhiều giáo viên có chuyên môn cao, song vẫn còn nhiều điều bỏ ngỏ để tiếp tục khai thác và đi sâu hết dạng toán này. Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 3 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên Phần II - Nội dung Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu - Căn cứ vào định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc xác định trong Bộ luật giáo dục năm 2005, Điều 28 đã ghi Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm tong lớp học, môn học. Bồi dỡng phơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. - Nội dung kiến thức có liên quan đến đề tài : Ngoài phơng trình bậc nhất hai ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyên thờng không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải phù hợp, điều đó có tác dụng rèn luyện t duy toán học mêm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Trong chơng trình cơ bản của SGK Toán THCS có đa giải phơng trình tìm nghiệm nguyên nhng dới dạng bài tập với số lợng không nhiều. Hơn nữa nhu cầu giải phơng trình rất phong phú. Trong các kỳ thi HSG và thi vào 10 các trờng chuyên, lớp chọn gần đây có đề cập đến nhiều dạng toán này. - Xác định mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kĩ năng của vùng kiến thức cần nghiên cứu : Phơng trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phơng trình một ẩn, nhiền ẩn, bậc nhất, bậc cao. Để giải phơng trình đó, ta thờng dựa vào cách giải một số phơng trình cơ bản và một số phơng pháp sẽ đợc trình bày ở phần sau - Điều tra thực trạng việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa ph- ơng: Những năm học trớc đây khi cha thực hiện đề tài này,gặp dạng toán giải phơng trình nghiệm nguyên mặc dù thuộc đối tợng học sinh khá, giỏi nhng một số em vẫn còn lúng túng hoặc có em nắm đợc phơng pháp nhng không biết cách trình bày. Nhìn chung việc giải toán về phơng trình nghiệm nguyên với các em cha thật đồng đều, qua khảo sát ban đầu chỉ có : + 30% số học sinh giải đợc bài tập dễ và trung bình. + 5% số học sinh giải đợc bài khó. + Số còn lại các em cha nắm đợc các phơng pháp giải hoặc giải đợc nhng cha diễn đạt đ- ợc lời giải. Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 4 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên Chơng II: Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lợng dạy học nội dung đang quan tâm. Phơng trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phơng trình một ẩn, nhiều ẩn. Nó có thể là phơng trình bậc nhất hoặc bậc cao. Không có cách giải chung cho mọi phơng trình, để giải các phơng trình đó thờng dựa vào cách giải một số phơng trình cơ bản và một số phơng pháp giải nh sau: Biện pháp 1 : Các dạng phơng trình cơ bản I-Ph ơng trình nghiệm nguyên dạng : ax + by = c (1) với a, b, c Z 1.Các định lí: a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ớc của c. b.Định lí 2: Nếu (x 0 , y 0 ) là một nghiệm nguyên của phơng trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) đợc cho bởi công thức: = += t d a yy t d b xx 0 0 Với t Z, d = (a,b) 2.Cách giải: a.Tiến hành qua 5 bớc sau: (cách giải chung) Bớc 1: Tìm d = (a,b) Khi đó ax + by = c a 1 x + b 1 y = c 1 Với a = da 1 ; b = db 1 ; c = dc 1 ; (a 1 ; b 1 ) = 1 Bớc 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a 1 và b 1 Giả sử : 1 a > 1 b Ta có a 1 = 1 b q 0 + r 1 b 1 = r 1 q 1 + r 2 r 1 = r 2 q 2 +r 3 Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 5 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên r n-2 = r n-1 + r n Với r n = 1 Bớc 3: Tính a 0 + k a a a 1 . 1 1 1 2 1 + + + = n m Bớc 4: Lấy nghiệm riêng (x 0 ; y 0 ) của phơng trình a 1 x + b 1 y = 1 sao cho : x 0 = m x 0 = n hoặc y 0 = n y 0 = m Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp đợc (x 0 , y 0 ) Bớc 5: x 0 = c 1 x 0 ; y 0 = c 1 y 0 là nghiệm riêng của phơng trình a 1 x + b 1 y = c 1 nghiệm tổng quát của phơng trình là: x = x 0 + b 1 t y = y 0 a 1 t (với t Z ) Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 5x 7y = 3 Hớng dẫn: Ta nhận thấy (5, 7) = (7, 3) = 1 . Vậy phơng trình có nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành các bớc: - Viết thuật toán Ơclit cho 2 số 5 và 7 7 = 5.1 + 2 n m = 1 + 2 1 = 2 3 5 = 2.2 + 1 - Tìm nghiệm riêng của phơng trình 5x 7y = 1 (x 0 , y 0 ) = (3, 2) - Tìm nghiệm riêng của phơng trình 5x 7y = 3 là (x 0 , y 0 ) = (9, 6) nghiệm tổng quát của phơng trình là: Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 6 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên x = 9 7t hay x = 7t + 2 y = 6 5t y = 5t + 1 (t Z ) Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên 6x 14 y = 12 Hớng dẫn: Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 pt có nghiệm ta tiến hành giải nh sau: Bớc 1: 6x 14 y = 12 3x 7y = 6 Bớc 2: Viết thuật toán Ơclit cho 3 và 7 7 = 3.2 + 1 Bớc 3: Tính n m = q 0 = 2 = 1 2 Bớc 4: Tìm nghiệm riêng của phơng trình 3x 7y = 1 là (x 0 , y 0 ) = (-2; -1) Bớc 5: Xác định nghiệm riêng của pt 3x 7y = 6 là (x 0 ; y 0 ) = (-12; -6) Nghiệm tổng quát của phơng trình 6x 14 y = 12 là x = -12 7t hay x = 7t + 2 y = -6 3t y = 3t (t Z ) * Nhận xét: Trên đây là phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c Tuy nhiên khi đi vào bài toán cụ thể bằng các kiến thức về chia hết biết khéo léo sử dụng sẽ cho lời giải ngắn gọn. b.Cách giải thông thờng khác (3 bớc) Bớc 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y) Bớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bớc 3: Thay y vào x sẽ tìm đợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Hớng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 x = 2 57 y x = 3 2y + 2 1 y Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 7 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên Do x, y nguyên 2 1 y nguyên. Đặt 2 1 y = t với (t Z ) y = 1 2t x = 3 2(1- 2t) + t = 5t + 1 Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình là: x = 5t + 1 y = -2t +1 (t Z ) Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên 6x 15 y = 25 Hớng dẫn: Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25 Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình. 5x + 7y = 112 Hớng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 x = 5 7112 y = 22 - y + 5 22 y Do x, y nguyên 5 22 y nguyên hay (2 2y) 5 2(1-y) 5; (2 , 5) = 1 (1-y) 5 hay (y-1) 5 . Đặt y-1 = 5t (t Z ) y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 7t lại có x > 0; y > 0 5t + 1 > 0 t > - 5 1 21 7t > 0 t < 3 t = { } 2;1;0 Nếu t = 0 x = 21; y = 1 Nếu t = 1 x = 14; y = 6 Nếu t = 2 x = 7; y = 11 Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 8 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên II. Ph ơng trình nghiệm nguyên dạng a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c (2) Với a, c Z (i = 1,2n); n 2 1.Định lý: Điều kiện cần và đủ để phơng trình (2) có nghiệm là (a 1 , a 2 ,a n ) \ c 2.Cách giải: Đa phơng trình về 1 trong 2 dạng sau: a. Có một hệ số của một ẩn bằng 1 Giả sử a 1 = 1. Khi đó x 1 = c a 2 x 2 a 3 x 3 - - a n x n với x 1 , x 2 ,., x n Z Nghiệm của phơng trình là: (c - a 2 x 2 a 3 x 3 - - a n x n , x 2 ,., x n ) với x 2 ,., x n nguyên bất kỳ b. Có hai hệ số là hai số nguyên tố cùng nhau Giả sử ( a 1 , a 2 ) = 1. Khi đó pt (2) a 1 x 1 + a 2 x 2 = c - a 3 x 3 - - a n x n Giải phơng trình theo 2 ẩn x 1 , x 2 Ví dụ 4: Giải phơng trình trên tập số nguyên 6x + 15y + 10 z = 3 Hớng dẫn: Phơng trình 6x + 15y + 10 z = 3 có nghiệm nguyên vì (6 ,15, 10) = 1 và 1/3 Cách 1 : Ta biến đổi 6x + 15y + 10 z = 3 x + 10(y + z) + 5 ( x+ y) = 3 Đặt t = y + z, k = x + y với( t, k Z). Ta có: x + 10 t + 5k = 3 Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình x = 3- 10 t 5k y = - 3 + 10 t + 6k ( t, k Z) z = 3 9 t 6k Cách 2: 6x + 15y + 10 z = 3 6 (x + z) + 15 y + 4 z = 3 Đặt x + z = t ta có 6t +15 y + 4z = 3 15 y + 4z = 3 6t Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 9 Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên Ta có cặp số (-1; 4) là nghiệm riêng của pt 15 y + 4z = 1 nên (-3 + 6t; 12 24 t) là nghiệm riêng của phơng trình 15 y + 4z = 3 6t Do đó nghiệm tổng quát là: y = -3 + 6t + 4k (k Z) z = 12 24t 15 k lại có t = x + z x = t z x = -12 = 25t + 15 k Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình 6x + 15y + 10 z = 3 là: x = -12 = 25t + 15 k y = -3 + 6t + 4k với ( t, k Z) z = 12 24t 15 k III. Ph ơng trình nghiệm nguyên đ a về dạng g (x 1 , x 2 ,., x n ) . h (x 1 , x 2 ,., x n ) = a (3) Với a Z 1.Cách giải: Đặt g (x 1 , x 2 ,., x n ) = m (với m là ớc của a) h(x 1 , x 2 ,., x n ) = a m Giải hệ: g (x 1 , x 2 ,., x n ) = m h(x 1 , x 2 ,., x n ) = a m tìm đợc x 1 , x 2 ,., x n thử vào (3) ta đợc nghiệm của phơng trình. 2.Chú ý: -Nếu a = 0 ta có g (x 1 , x 2 ,., x n ) = 0 h(x 1 , x 2 ,., x n ) = 0 -Nếu a = p với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x 1 , x 2 ,., x n ) = p 1 h(x 1 , x 2 ,., x n ) = p 2 Với 1 + 2 = a Ví dụ 5: Tìm x, y Z biết x y + 2xy = 6 Hớng dẫn: Ngời thực hiện: Tô Thị Bình 10 [...]... = 0 1 2 y = -1 (y+1) = 0 x=1 Vậy nghiệm của phơng trình là ( x = 1 ; y = -1) V- Phơng trình nghiệm nguyên mà các ẩn có vai trò bình đẳng Khi làm toán ta thờng gặp một số bài toán mà trong đó các ẩn bình đẳng với nhau Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể ở đây ta nghiên cứu đến 1 phơng pháp giải toán này: Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần... (Dùng phơng pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái của phơng trình) Ta có 2x2 + y 2 2xy + 2y 6x + 5 = 0 y 2 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 4x + 4 = 0 (y x + 1)2 + (x 2 )2 = 0 Vậy y x + 1 = 0 hay x2=0 x=2 y=1 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là x = 2 ; y = 1 Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : (x 1) (y+1) = (x+ y)2 Hớng dẫn: Ta có (x-1) (y+1) = (x+ y)2 (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2... phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Không có phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên nhng để giải nó ngời ta thờng áp dụng một số phơng pháp sau hoặc kết hợp các phơng pháp tuỳ theo từng bài cụ thể Sau đây là một số phơng pháp thờng dùng I Phơng pháp 1: Phơng pháp tổng quát - Biểu thị ẩn này theo ẩn kia - Tìm mẫu là ớc của tử - Đa về công thức nghiệm tổng quát 14 Ngời thực hiện: Tô Thị... + x) = 105 x Hớng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + 1 lẻ 5y chẵn y chẵn 2 x + y + x2 + x = 2 x + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn 2 x lẻ 2 x =1x=0 Thay x = 0 vào phơng trình ta đợc (5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y 104 = 0 15 Ngời thực hiện: Tô Thị Bình Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình nghiệm nguyên y = 4 hoặc y... dng tỡm c ỏp s : nghim phng trỡnh l ri tỡm ra ) Ghi chỳ : Vic p Dng BDT vo bi toỏn nghim nguyờn rt ớt dựng vỡ n ý dựng BDT rt d b "l" nu ngi ra khụng khộo lộo Tuy nhiờn cng cú vi trng hp dựng BDT khỏ hay Ta n vi Vớ D sau Vớ D 6 : Gii phng trỡnh nghim nguyờn dng sau vi l cỏc s ụi khỏc nhau Gii: p dng BDT quen thuc sau : Vỡ khỏc nhau Ln lt th cỏc giỏ tr ca ta tỡm c ỏp s : v cỏc hoỏn v Dng 4 : p dng... Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Hớng dẫn: Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x 4 y2 + 4y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x + 1 (2x2 + x ) 2 - (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) 2 - (2y+ 1)2 = x(x-2) Ta thấy: Nếu x> 0 hoặc x< - 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0 Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0 Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x2 + x) . toán . - Biết cách định hớng và giải bài tập ngắn gọn. - Phát huy trí lực của học sinh tìm hiểu cách giải hay, phát triển bài toán mới. - Giúp học sinh tự. x, y nguyên 5 22 y nguyên hay (2 2y) 5 2(1-y) 5; (2 , 5) = 1 (1-y) 5 hay (y-1) 5 . Đặt y-1 = 5t (t Z ) y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 7t