TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM ĐỀ THI HỌC KỲ II TỔ TOÁN – TIN NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút Bài (2,0 điểm): Cho biểu thức: P Q x 1 x với x 0; x x 1 x 1 1) Tính giá trị biểu thức P với x 2) Rút gọn biểu thức Q 3) Tìm giá trị x thỏa mãn P4 Q Bài (2,0 điểm) 1) Giải tốn lập hệ phương trình phương trình Quãng đưòng AB dài 160 km Hai xe khởi hành lúc từ A để đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai 48 phút Tính vận tốc xe thứ hai 2) An đứng mặt đất cách chân tòa nhà 25 mét An ngước nhìn lên đỉnh tịa nhà, tia nhìn tạo với mặt đất góc 72 Tính chiều cao củu tịa nhà biết vị trí mắt An cách mặt đất mét (Kết làm tròn đến hàng phần trăm) Bài ( 2,5 điểm ) 2 x y 1) Giải hệ phương trình 4 x y 1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P : y x đường thẳng d : y mx , với m tham số m a) Khi m , tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d parabol P b) Tìm tất giá trị khác tham số m để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x2 x12 1 Bài (3,0 điểm ) Cho đường tròn (O) với đường kính BC Gọi A điểm cung BC Lấy M điểm thuộc đoạn BO (M khác B O ) Kẻ ME vng góc với AB E MF vng góc với AC F 1) Chứng minh năm điểm A, E, F , O M nằm đường tròn 2) Gọi D điểm đối xứng với M qua EF Chứng minh tứ giác DAFE hình thang cân 3) Đường thẳng vng góc với OD D cắt BC K Chứng minh E, F , K thẳng hàng Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm, thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a a b b c c -HẾT - NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN GIẢI x Bài (2,0 điểm): Cho biểu thức: P Q với x 0; x x 1 x 1 x 1 1) Tính giá trị biểu thức P với x 2) Rút gọn biểu thức Q 3) Tìm giá trị x thỏa mãn P Q Hướng dẫn 1) Ta có: P ĐKXĐ: x 0; x x 1 1 Thay x (thỏa mãn) vào biểu thức P ta có: P 1 1 1 Kết luận: Với x giá trị biểu thức P x 2) Ta có: Q 1 ĐKXĐ: x 0; x x 1 x 1 x x 1 Q x Q Q x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 với x 0; x x 1 1 3) Ta có: P x 4 Q x 1 Kết luận: Q x 1 1 0 x 1 x 1 x4 x 4 0 x 1 x 2 x 1 mà x x x 2 0 x Do x x Kết hợp đkxđ:ta x x Kết luận: với x x thỏa mãn đề Bài (2,0 điểm) 1) Giải toán lập hệ phương trình phương trình Qng đưịng AB dài 160 km Hai xe khởi hành lúc từ A để đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai 48 phút Tính vận tốc xe thứ hai 2) An đứng mặt đất cách chân tịa nhà 25 mét An ngước nhìn lên đỉnh tịa nhà, tia nhìn tạo với mặt đất góc 72 Tính chiều cao củu tịa nhà biết vị trí mắt An cách mặt đất mét (Kết làm trịn đến hàng phần trăm) NHĨM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Hướng dẫn x x 1) Gọi vận tốc xe thứ hai (km/h) ( ) Ta có vận tốc xe thứ x 10 (km/h) 160 Thời gian xe thứ là: (h) x 10 160 Thời gian xe thứ hai là: (h) x Vì xe thứ đến B sớm xe thứ hai 48 phút (h) nên ta có phương trình: 160 160 x x 10 160.5 x 10 160.5.x x x 10 800 x 8000 800 x x 40 x x 40 x 8000 x 10 x 2000 x 40 x 50 x 40 (thỏa mãn); x 50 (loại) Vậy vận tốc xe thứ hai 40 km/h 2) D A 1m B 72° 25m E C Gọi chiều cao bạn An AB CE m ; Khoảng cách từ chỗ bạn An đứng đến chân tòa nhà AE BC 25 m 25.tan 72 Trong DAE vng E , ta có: DE AE.tan DAE Suy chiều cao tào nhà là: CD EC DE 25.tan 72 77,94 (m) Vậy chiều cao tòa nhà xấp xỉ 77,94 mét Bài ( 2,5 điểm ) 2 x y 1) Giải hệ phương trình 4 x y 1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P : y x đường thẳng d : y mx , với m tham số m a) Khi m , tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d parabol P b) Tìm tất giá trị khác tham số m để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x2 x1 1 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI Hướng dẫn https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 2 x y 1) x 0; y 1 4 x y 1 x a Đặt a 0 y 1 b 2a 3b 4a 6b 10 7b Khi hệ phương trình trở thành : 4a b 4a b 4a b b 1 b ( tmđk a ) 4a a x 1 x 1 x 1 ( tmđk x 0; y ) y 1 y y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 2) P : y x d : y mx m 0 a) Ta thấy m thỏa mãn điều kiện m Khi m , d : y x Hoành độ giao điểm d P nghiệm phương trình: x 3x x 3x Phương trình có : 3 4.1.1 3 3 x2 Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 14 3 Với x1 Ta y1 3 73 ; 2 14 3 73 Với x2 Ta y2 2 3 73 ; 2 3 73 Vậy m , đường thẳng d parabol P cắt hai điểm ; 3 73 ; b) P : y x d m 0 + Hoành độ giao điểm d P : y mx nghiệm phương trình: x mx x mx * NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Phương trình có : m 4.1.1 m Để d P cắt hai điểm phân biệt phương trình (*) có hhai nghiệm phân biệt m m m 2; m Kết hợp với điều kiện m ta m 2; m x1 x2 m + Theo hệ thức Viet ta có x1 x2 + Vì x1 nghiệm phương trình (*) nên ta có x12 mx1 x12 mx1 + Theo ta có : x2 x1 1 x2 mx1 1 x2 mx1 mx1 x2 m 1 m ( tmđk m 2; m ) Vậy m = Bài (3,0 điểm ) Cho đường tròn (O) với đường kính BC Gọi A điểm cung BC Lấy M điểm thuộc đoạn BO (M khác B O ) Kẻ ME vng góc với AB E MF vng góc với AC F 1) Chứng minh năm điểm A, E, F , O M nằm đường tròn 2) Gọi D điểm đối xứng với M qua EF Chứng minh tứ giác DAFE hình thang cân 3) Đường thẳng vng góc với OD D cắt BC K Chứng minh E, F , K thẳng hàng Hướng dẫn 1) Chứng minh năm điểm A, E, F , O M nằm đường trịn Ta có: A ME vng góc với AB E D AEM 90 MF vng góc với AC F AFM 90 A điểm cung BC OA BC O AOM 90 K Mà AEM ; AFM ; AOM nhìn đoạn AM điểm A, E , F , O, M nằm đường trịn đường kính AM 2) Chứng minh tứ giác DAFE hình thang cân D điểm đối xứng với M qua EF EF DF MF đường trung trực DM DE EM (1) EF DM 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EAF F E B M O C 90) AE MF AEFM hình chữ nhật (vì (2) AEM AFM EAC EM AF DEF FAE (c c c) (vì: DF AE MF ; DE AF EM ; EF cạnh chung) EAF 90 ADEF tứ giác nội tiếp EDF Mà A; E; F nằm đường trịn đường kính AM D thuộc đường trịn đường kính AM NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ADM 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AM ) AD MD Từ (1) (3) AD // EF DAFE hình thang Ta lại có DF AE DAFE hình thang cân 3) Chứng minh E, F , K thẳng hàng 45 Ta có: ABO vng cân O ABO BAO (3) Xét đường trịn đường kính AM có: EAO sđ EO (hai góc nội tiếp chắn cung ) EDO 45 Do ABO EDO KDE EDO 90 KDE 45 Mà KD OD D KDO ABO KDE KDE 180 BEDK nội tiếp Mặt khác: KBE ABO 180 KBE KED (hai góc nội tiếp chắn cung) (4) KBD DAC (cùng bù với DBC ) Tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn (O) KBD (5) Từ (4) (5) KED DAC DEF 180 KED DEF 180 Mà: DAFE hình thang cân DAC E, F , K thẳng hàng Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm, thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a a b b c c Hướng dẫn * Tìm Pmin Vì a b c a b c a a ; b b ; c c P a a b2 b c c a a b2 b2 c c 2a 2b 2c a b c P Dấu “=” xảy a , b, c 0; 0; 1 ; 0; 1; ; 1; 0; Vậy Pmin a, b, c 0; 0; 1 ; 0; 1; ; 1; 0; * Tìm Pmax P a a b2 b c2 c a a 1 b b 1 c c 1 a 1 b 1 c 1 b c 4 Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: a 1 b 1 c 5a 5b 5c 5 P a a b c b c 4 4 4 a 1 a 4a a b 1 Dấu “=” xảy b 4b b a b c 4c c c 1 c Vậy Pmax a b c a NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... c a NHÓM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ... 90 ADEF tứ giác nội tiếp EDF Mà A; E; F nằm đường trịn đường kính AM D thuộc đường trịn đường kính AM NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/6505005586512 29/ ADM 90 ... nhà 25 mét An ngước nhìn lên đỉnh tịa nhà, tia nhìn tạo với mặt đất góc 72 Tính chiều cao củu tịa nhà biết vị trí mắt An cách mặt đất mét (Kết làm trịn đến hàng phần trăm) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI