Luận án tiến sĩ bức xạ tự phát trong các hệ có cấu trúc khác nhau

Lời cảm ơn Luận án, dành tặng gia đình! Tơi biết ơn thầy Hồ Trung Dũng tận tình hướng dẫn tạo cho điều kiện thuận lợi suốt khoảng thời gian qua Được làm việc với dẫn dắt thầy may mắn lớn tơi q trình học tập từ bậc cao học lúc bảo vệ luận án Tôi biết ơn thầy Nguyễn Quốc Khánh động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận án Tơi biết ơn thầy Cao Huy Thiện hỗ trợ điều kiện làm việc tốt để tơi hồn thành luận án Tôi biết ơn thầy cô công tác môn Vật Lý Lý Thuyết Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp HCM truyền đạt cho kiến thức năm học trường Tôi biết ơn anh Huỳnh Thanh Đức bạn Đồn Trí Dũng thảo luận q báu cơng việc tình cảm chân thành Tôi xin chân thành cám ơn tất bạn bè động viên chia sẻ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập Một lần tơi xin chân thành nói lời tri ân! Tp Hồ Chí Minh, Tháng năm 2015 Lời cam đoan Luận án kết nghiên cứu thực làm nghiên cứu sinh trường Đại học Khoa học Tự nhiên–ĐHQG.HCM, với hai thầy hướng dẫn Tôi cam đoan luận án công trình nghiên cứu tơi Kết luận án mới, trung thực, không trùng lắp với nghiên cứu khác công bố công trình có tơi tham gia Trần Minh Hiến Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Các chữ viết tắt ký hiệu iii Bảng hình vẽ luận án vi Phần mở đầu Chương Mơ hình phát xạ 1.1 Lượng tử hóa trường điện từ có mặt vật chất 1.2 Tương tác hạt điện tích trường điện từ liên kết vật chất 1.3 Rã tự phát nguyên tử hai mức bị kích thích 1.3.1 Sự phụ thuộc vào thời gian hệ trường-nguyên tử 10 1.3.2 Cường độ xạ tự phát 15 Chương Cường độ phát xạ tự phát nguyên tử gần phẳng LHM 18 2.1 Hệ số điện môi, hệ số từ thẩm chiết suất vật liệu nghịch 20 2.2 Các phương trình 21 2.3 Kết thảo luận 24 2.3.1 Trường hợp khơng có hấp thụ 25 iv Mục lục 2.3.2 Hệ số truyền qua 27 2.3.3 Hiệu ứng siêu thấu kính 29 2.3.4 Định luật Snell 34 2.4 Kết luận 35 Chương Ảnh hưởng trường định xứ chế tương tác mạnh 37 3.1 Các phương trình 39 3.2 Buồng cộng hưởng phản xạ hoàn toàn 43 3.3 Buồng cộng hưởng dạng khe dải Lorentz 53 3.4 Buồng cộng hưởng dạng gương cầu Bragg 57 3.5 Kết luận 61 Chương Tốc độ rã tự phát nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn 63 4.1 Rã tự phát nguyên tử đặt môi trường 64 4.1.1 Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi hữu hạn 64 4.1.2 Nguyên tử đặt gần khối trụ điện môi dài vô hạn 67 4.2 Các mode cộng hưởng 70 4.3 Tính số cho ten xơ Green khối trụ vô hạn 72 4.4 Kết thảo luận 75 4.5 Kết luận 79 Phần kết luận, hướng phát triển 80 Danh mục cơng trình tác giả 83 Tài liệu tham khảo 84 v Mục lục Phụ lục A: Dẫn biểu thức cường độ xạ 94 Phụ lục B: Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng 101 Phụ lục C: Dẫn biểu thức (3.9) 108 Phụ lục D: Dạng Lorentzian vạch cộng hưởng 111 D.0.1 Gương phản xạ hoàn toàn 111 D.0.2 Gương dạng khe dải Lorentz 113 Các chữ viết tắt ký hiệu Các chữ viết tắt LHM H.c Vật liệu thuận tay trái hay vật liệu nghịch (Left-handed Material) Liên hợp Hermit (Hermit conjugate) Các ký hiệu ρˆA (r) Thành phần kz véc tơ sóng lớp thứ (l) phẳng Hàm delta Dyadic Hàm delta Dirac Hàm delta Kronecker Hệ số điện môi chân không Hệ số điện môi môi trường Phần thực hệ số điện môi Phần ảo hệ số điện môi Ten xơ Levi-Civita Tốc độ rã tự phát chân không Hằng số Planck rút gọn Hệ số từ thẩm chân không Hệ số từ thẩm môi trường Phần thực hệ số từ thẩm Phần ảo hệ số từ thẩm Toán tử gradient Tần số chuyển mức nguyên tử Thế vô hướng Thế vơ hướng có diện vật chất vĩ mơ khơng có điện tích Tốn tử mật độ điện tích hạt ρˆN (r, ω ) Ảnh Fourier tốn tử mật độ điện tích nhiễu βl δ (r) δ (r) δλλ′ ǫ0 (r, ω ) ǫ(r, ω ) ǫR (r, ω ) ǫI (r, ω ) ǫijk Γ0 µ0 (r, ω ) µ(r, ω ) µR (r, ω ) µI (r, ω ) ∇ ωA ϕˆ ϕˆ M Các chữ viết tắt ký hiệu ˆ σ ˆ †, σ ˆz σ, ˆ A(r) ˆ B(r) ˆ , ω) B(r c d ˆA d ˆ D(r) ˆ M (r) D ˆ , ω) D(r (l) Ej Ehj ˆ E(r) ˆ || (r) E ˆ ⊥ (r) E ˆ M (r) E ˆ || (r) E M ˆ ⊥ (r) E M iv Các toán tử Pauli nguyên tử hai mức Thế véc tơ vị trí r Tốn tử từ trường cảm ứng Ảnh Fourier toán tử từ trường cảm ứng Tốc độ ánh sáng chân không Độ dày vật liệu LHM Tốn tử mơ men phân cực ngun tử Toán tử trường dịch Toán tử trường dịch liên kết với mơi trường Ảnh Fourier tốn tử trường dịch Điện trường lớp thứ (j ) gây mô men phân cực nguyên tử đặt lớp (l) Điện trường tán xạ bề mặt lớp thứ (j ) Toán tử điện trường Thành phần dọc toán tử điện trường Thành phần ngang toán tử điện trường Tốn tử điện trường liên kết với mơi trường Thành phần dọc toán tử điện trường liên kết với mơi trường Thành phần ngang tốn tử điện trường liên kết với môi trường Ảnh Fourier toán tử điện trường Thành phần dọc ảnh Fourier toán tử điện trường ⊥ ˆ (r, ω ) Thành phần ngang ảnh Fourier toán tử điện trường E ˆfλ (r, ω ) Các toán tử trường boson véc tơ ′ G(r, r , ω ) Ten xơ Green đặc trưng cho truyền từ vị trí r′ đến r ứng với tần số chuyển mức ω ∗ ′ G (r, r , ω ) Liên hợp phức ten xơ Green đặc trưng cho truyền từ vị trí r′ đến r ứng với tần số chuyển mức ω ′ G(r, r , ω ) Ten xơ Green biểu diễn qua đại lượng không thứ nguyên ImG(r, r′, ω ) Phần ảo ten xơ Green ˆ H Toán tử Hamilton ˆ , ω) E(r ˆ || (r, ω ) E ˆ , ω) H(r I (r, t) I ˆj (r, ω ) N k|| |l , |u Ảnh Fourier toán tử từ trường Cường độ xạ nguyên tử tọa độ không thời gian (r, t) Dyadic đơn vị Ảnh Fourier tốn tử mật độ dịng điện tích nhiễu Véc tơ sóng mặt phẳng xy Các trạng thái nguyên tử Các chữ viết tắt ký hiệu ˆ , ω) M(r Ảnh Fourier tốn tử từ hóa ˆ (r, ω ) M N ˆ || (r) P A ˆ ⊥ (r) P Ảnh Fourier tốn tử nhiễu từ hóa liên kết với hấp thụ Chiết suất mơi trường Tốn tử xung lượng tắc hạt điện tích thứ α Tốn tử phân cực hóa nguyên tử Thành phần dọc tốn tử phân cực hóa ngun tử Thành phần ngang tốn tử phân cực hóa ngun tử ˆ (r, ω ) P A Ảnh Fourier tốn tử phân cực hóa ngun tử n(r, ω ) p ˆα ˆ A (r) P A v Ảnh Fourier tốn tử nhiễu phân cực hóa liên kết với hấp thụ Tốn tử phân cực hóa liên kết với môi trường || ˆ (r) Thành phần dọc tốn tử nhiễu phân cực liên kết với mơi trường P M ⊥ ˆ (r) Thành phần ngang toán tử nhiễu phân cực liên kết với môi trường P M qα Điện tích hạt thứ α q rij Hệ số phản xạ lớp (i) (j ) sóng phân cực q ˆ rα Tốn tử vị trí hạt điện tích thứ α có khối lng m r , ă r o hàm cấp cấp hai theo thời gian tốn tử vị trí q tij Hệ số truyền qua lớp (i) (j ) sóng phân cực q ˆ, y ˆ , ˆz Các véc tơ đơn vị theo hướng x, y, z x |zA | Khoảng cách từ nguyên tử đến bề mặt vật liệu LHM |{1λ (r, ω )} Trạng thái kích thích đơn lượng tử Fock ˆ (r, ω ) P N ˆ PM (r) Bảng hình vẽ Bảng 2.1: Vị trí nửa độ rộng nửa cực đại ảnh 30 Chương Hình 2.1: Nguyên tử đặt gần phẳng LHM rộng vô hạn 22 Hình 2.2: Các phần thực ảo hệ số truyền qua tq2/0 vẽ theo k /kA 28 Hình 2.3: Cường độ phát xạ |F(r, rA , ωA )|2 (4πǫ0 /kA3 dA )2 dọc theo trục z hàm khoảng cách từ bề mặt-(1/2) tới điểm trường Các tham số zA = 5λA , d = 10λA 31 Hình 2.4: Cường độ phát xạ |F(r, rA , ωA )|2 (4πǫ0 /kA3 dA )2 dọc theo trục-z hàm khoảng cách từ bề mặt phân cách-(1/2) tới điểm trường Các tham số zA = 0.5λA , d = λA 33 Hình 2.5: Sự dịch nhịe ảnh hấp thụ giải thích từ góc độ định luật Snell 35 Chương Hình 3.1: Mơ hình buồng cộng hưởng với (a) gương phản xạ hoàn toàn, (b) gương dạng khe dãi Lorentz, (c) dạng gương cầu Bragg 41 ¯ ω ) = Γ/Γ0 cho mơ hình buồng Hình 3.2: Mật độ trạng thái trường Γ( cộng hưởng phản xạ hồn tồn có bán kính Rw (= R1 ) hốc lấp đầy chất điện môi dạng Drude–Lorentz 47 Hình 3.3: (a) Nửa độ rộng nửa cực đại, (b) tần số Rabi, (c) tỉ số chúng Ω/δωm hàm bán kính hốc RC /λT với giá trị khác hấp thụ vật chất 49 Hình 3.4: Tỉ số Ω/δωm cho (a) cố định độ dày tường buồng cộng hưởng (R1 − R2 )/λT = thay đổi độ hấp thụ tường; (b) cố định độ hấp thụ Bảng hình vẽ vii tường γw /ωT = 10−5 thay đổi độ dày 56 Hình 3.5: (a) Tỉ số Ω/δωm cho cấu hình 23 lớp Gương chứa 20 lớp xen kẽ có hệ số điện môi thấp εL , cao εH (b) Tỉ số Ω/δωm cố định γH /ωT = 10−3 thay đổi số lớp toàn phần L hệ Số lớp gương (L − 3) 58 ¯ ω ) = Γ/Γ0 cộng hưởng cụ Hình 3.6: Mật độ trạng thái trường Γ( thể buồng cộng hưởng lấp đầy chất điện mơi khơng hấp thụ có hệ số điện môi dạng Drude–Lorentz ε 60 Chương Hình 4.1: Nguyên tử đặt gần khối trụ điện mơi kích thước hữu hạn 65 Hình 4.2: Hàm dấu tích phân phương trình (4.21b) vẽ hàm kz theo đơn vị kA 71 Hình 4.3: Đường lấy tích phân mặt phẳng kz 72 Hình 4.4: Phần ảo hàm Green biểu diễn phương trình (4.21b), tính theo đơn vị kA vẽ hàm tọa độ nguyên tử rA /λA , tương ứng với hệ số R = 2λA , ǫ = 1.1 + i10−8 73 Hình 4.5: Phần ảo hàm Green biểu diễn phương trình (4.21b), tính theo đơn vị kA vẽ hàm tọa độ nguyên tử rA /λA tương ứng với hệ số R = 0.1λA , ǫ = 1.01 + i10−8 74 Hình 4.6: Tốc độ rã tự phát nguyên tử bị kích thích đặt vị trí zA = vẽ hàm khoảng cách từ nguyên tử đến tâm khối trụ rA /λA 75 Hình 4.7: Tốc độ rã nguyên tử vẽ hàm rA /λA với chiều cao khác khối trụ 77 Hình 4.8: Tốc độ rã tự phát gần biên theo phương trục đối xứng vẽ hàm zA /λA với χǫ = 0.1 + i10−8, H/λA = 10, R/λA = 0.1 78 Hình 4.9: Tốc độ rã tự phát gần biên nguyên tử di chuyển gần phía mặt đáy khối trụ vẽ hàm xA /λA 78 100 Dẫn biểu thức cường độ xạ ten xơ Green ta I (r, t) = j dk kA2 πǫ0 × ∞ t dt′ Cu(t′ ) ′ −i(ω−ωA )(t−t′ ) dω Im Gjk (r, rA , ω ) e (A.25) Phụ lục B: Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng Biểu thức tổng quát cho ten xơ Green phẳng cho [92] cho môi trường chất điện mơi Để thuận tiện cho tính tốn số, chúng tơi thực tích phân theo biến số góc rút biểu thức tường minh cho hàm Green cho trường hợp vật chất có tính chất điện lẫn tính chất từ Để xác định biểu thức tường minh ten xơ Green Trước tiên cần tìm biểu thức hệ số truyền t02 từ lớp thứ (0) đến lớp thứ (2) tương ứng cho sóng phân cực-s phân cực-p Ta có hệ số truyền từ lớp thứ (0) đến lớp thứ (2) theo biểu thức sau [92]: tq02 = Dq1 tq01 tq12 eiβ1 d1 = β0 q t β2 02 (B.1) Trong q q 2iβ1 d1 Dq1 = − r10 r12 e , (B.2) với q r01 q β0 − γ01 β1 q = = −r10 , q β0 + γ01β1 (B.3) q r12 q β1 − γ12 β2 q = −r21 , = q β1 + γ12β2 (B.4) tq01 = q q + r01 = γ01 β0 q t , β1 10 (B.5) tq12 = q q + r12 = γ12 β1 q t , β2 21 (B.6) 102 Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng p γ01 = ǫ0 ǫ1 p γ12 = ǫ1 , ǫ2 (B.7) s γ01 = µ0 µ1 s γ12 = µ1 µ2 (B.8) Thế biểu thức từ (B.2) đến (B.8) vào(B.1) ta dễ dàng thu [với β0 = β2 = ω /c2 − k ] q tq02 = − (r12 )2 eiβ1 d1 1− q (B.9) −β2 kˆ + k zˆ , (B.10) q (r12 )2 e2iβ1d1 = t20 Ta có ˆ+ e p2 (k ) = k2 ˆ− e p0 (−k ) = Suy [ β0 = β2 = k0 −β0 kˆ + k zˆ (B.11) ω /c2 − k ] ˆ− eˆ+ p2 (k ) e p0 (−k ) = k0 k2 ˆ z + zˆk) ˆ + k ˆzzˆ β22kˆ kˆ − β2 k (kˆ (B.12) Mà ˆk ˆ= ˆ + ky y ˆ )(kx x ˆ + ky y ˆ) k (kx x k2 ˆx ˆ + kx ky (ˆ ˆ+y ˆx ˆ ) + ky2 y ˆy ˆ , xy = kx x k ˆz = kˆ ˆ= ˆzk k k ˆ + ky y ˆ ) × zˆ = (kx x ˆ + ky y ˆ) = zˆ × (kx x k k (B.13) ˆ ˆz + ky y ˆ ˆz), (kx x (B.14) ˆ + ky zˆy ˆ ) (kx zˆx (B.15) 103 Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng Và + ˆ ˆ × zˆ) ˆ− ˆ)(k eˆs2 (k ) e s0 (−k ) = − (k × z = − = − = − k2 k2 ˆ × ˆz + ky y ˆ × zˆ]2 [kx x −ˆ y ˆ x ˆ − kx y ˆ )(ky x ˆ − kx y ˆ) (ky x (B.16) kx2 yˆ yˆ − kx ky (ˆyxˆ + xˆ yˆ ) + ky2 xˆ xˆ k2 Thay vào biểu thức ten xơ Green i q + i(β2 z−β0 zA ) G2 (k , ω ; z, zA ) = t02 eˆq2 (k ) eˆ− , q0 (−k ) e 2β0 q=p,s (B.17) ta G2 (k tp02 k −2β22 kx2 xˆ xˆ + kx ky (ˆxyˆ + yˆ xˆ ) + ky2 yˆ yˆ k2 k0 i iβ2 (z−zA) e , ω ; z, zA ) = 2β0 −β2 kx xˆ zˆ + ky yˆ ˆz − β2 kx zˆxˆ + ky zˆyˆ + k ˆzˆz ts02 ˆy ˆ − kx ky (ˆ ˆ+x ˆy ˆ ) + ky2 x ˆx ˆ yx + kx y k (B.18) , hay G02 (r, rA ; ωA ) ∞ i = (2π )2 × k dk 2β0 2π iβ2 (z−zA ) e dϕ eik ·r tp02 k −2β22 kx2 xˆ xˆ + kx ky (ˆxyˆ + yˆ xˆ ) + ky2yˆ yˆ k2 k0 −β2 kx xˆ zˆ + ky yˆ ˆz − β2 kx zˆxˆ + ky ˆzyˆ + k ˆzˆz ts02 ˆy ˆ − kx ky (ˆ ˆ+x ˆy ˆ ) + ky2 x ˆx ˆ yx + kx2 y k (B.19) 104 Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng Vì ta có Gxx (r, rA; ωA ) =dAx G02(r, rA ; ωA )dAx ∞ i = (2π )2 k dk 2β0 2π ik · r dϕ e × ∞ i = (2π )2 eiβ2 (z−zA) k dk 2β0 eiβ2 (z−zA) tp02 kx2 β22 k2 k0 k × 2π ts02 + k k2 tp02 kx2 β22 s y + t02 k2 k0 k k 2π dϕ kx2 eik dϕ ky2eik ·r ·r (B.20) Vì kx = k cosϕ ky = k sinϕ Từ ta viết lại biểu thức Gxx (r, rA ; ωA ) ∞ i Gxx (r, rA; ωA ) = (2π )2 k dk × 2β0 tp02 β22 k2 k0 k ts02 + k eiβ2 (z−zA) 2π dϕ k cos2 ϕeik ·r 2π dϕ k sin2 ϕeik ·r (B.21) Mà ta có 2π x + y + J0 k x2 + y , (B.22) x2 + y − cos 2ψ J2 k x2 + y (B.23) dϕ cos2 ϕ eik ·r =π cos 2ψ J2 k dϕ sin2 ϕ eik ·r =π J0 k 2π 105 Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng Để tiện lợi ta đặt a = k x2 + y từ viết lại biểu thức tường minh Gxx ∞ iπ Gxx (r, rA; ωA ) = (2π )2 k dk 2β0 eiβ2 (z−zA) tp02 β22 [cos 2ψ J2 (a) + J0 (a)] k2 k0 × +ts02 [J0 (a) − cos 2ψ J2 (a)]} (B.24) Và có 2π dϕ eik ·r = 2πJ0 k x2 + y , (B.25) 2π dϕ sinϕ eik ·r = 2πi cosψ J1 k x2 + y , (B.26) dϕ cosϕ eik ·r = 2πi sinψ J1 k x2 + y , (B.27) 2π 2π dϕ sinϕ cosϕ eik ·r = −π sin 2ψ J2 k x2 + y (B.28) Nên hồn tồn tương tự bước tìm Gxx ta có (B.29) Gyy (r, rA; ωA ) = Gxx (r, rA; ωA ), Gzz (r, rA; ωA ) = i (2π )2 ∞ k dk tp02 k × k2 k0 = ∞ 2πi (2π )2 2β0 2π eiβ2 (z−zA) dϕ eik ·r 2β0 p iβ2 (z−zA) t02 k e k2 k0 J0(a) dk, (B.30) 106 Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng Gxy (r, rA ; ωA ) =Gyx (r, rA; ωA ) ∞ i = (2π )2 k dk 2β0 tp02 β22 k2 k0 k × ∞ iπ =− (2π )2 2π dϕ k sinϕ cosϕ eik ·r 2π ts02 + k eiβ2 (z−zA) dϕ k sinϕ cosϕ eik ·r k dk 2β0 eiβ2 (z−zA) tp02 β22 k2 k0 , (B.31) tp02 k dk eiβ2 (z−zA) sin ψ J1(a), k2 k0 (B.32) × sin 2ψ J2(a) ts02 + Gxz (r, rA; ωA ) =Gzx (r, rA; ωA ) ∞ i = (2π )2 k dk 2β0 tp02β2 × − k2 k0 =− ∞ (4π ) eiβ2 (z−zA) 2π dϕ k cosϕ eik ·r 107 Rút biểu thức ten xơ Green cho phẳng Gyz (r, rA; ωA ) =Gzy (r, rA; ωA ) ∞ i = (2π )2 k dk 2β0 tp02 β2 × − k2 k0 =− ∞ (4π ) eiβ2 (z−zA) 2π dϕ k sinϕ eik ·r tp02 k dk eiβ2 (z−zA) cos ψ J1 (a) k2 k0 (B.33) Trong sin ψ = cos ψ = x x2 + y y x2 + y 2xy , (B.34) , (B.35) , (B.36) y − x2 cos 2ψ = y + x2 (B.37) sin 2ψ = x2 + y Phụ lục C: Dẫn biểu thức (3.9) (1) Chúng a có hn (kirl ) hàm Hankel cầu loại hay gọi hàm Bessel cầu loại ba h(1) (C.1) n (ki rl ) = jn (ki rl ) + iyn (ki rl ) với jn (kr) hàm Bessel cầu loại một, xem §10.1.2, trang 437 [3] (kr )n jn (kr) = 1− (2n + 1)!! 2 (kr ) 1!(2n + 3) + 2 (kr ) 2!(2n + 3)(2n + 5) (C.2) − ··· yn (kirl ) hàm Bessel cầu loại hai yn (kirl ) = − · · · · · (2n + 1) 1− (ki rl )n+1 2 (ki r l ) 1!(1 − 2n) + (k r )2 i l 2!(1 − 2n)(3 − 2n) −· · · (C.3) với n = 0, 1, 2, · · · (2n + 1)!! = · · · · · (2n + 1) Khi (ki rl ) → lúc ta có (ki r l ) −n (ki r l ) n+1 jn (ki rl ) → (2n + 1)!! yn (ki rl ) → −1 · · · · · (2n − 1) = −(2n − 1)!! (C.4) Ở gần cấp một, với n = 1, ta có ℑil = jn (ki rl ) = il (ki r l )n (2n + 1)!! = ki r l and = h(1) n (ki rl ) = jn (ki rl ) + iyn (ki rl ) = jn (kr) = (kr )n (2n + 1)!! kr→0 (kr )n−1 jn (kr) = kr (2n + 1)!! yn (ki rl ) = − (2n + 1)!! = − (ki rl )n+1 (ki l l )2 ki r l − i (ki r l )2 (C.5) −→ (C.6) (C.7) = n=1 d rjn (kr) d = jn (kr ) + r jn (kr ), dr dr (C.8) 109 Dẫn biểu thức (3.9) n(kr)n−1 n(kr)n d = kr jn (kr) = kr dr (2n + 1)!! (2n + 1)!! (C.9) Vì d krjn (kr ) kr d(kr) jn (kr) d[jn (kr)] (kr )n−1 n(kr)n−1 = + = + kr d(kr) (2n + 1)!! (2n + 1)!! (C.10) Khi ∂ℑil = d krjn (kr ) kr d(kr) d kr yn (kr ) kr n=1 yn (kr) d[yn (kr)] + kr d(kr) (2n + 1)!! (n + 1)(2n + 1)!! n(2n + 1)!! = − + = (kr )n+2 (kr )n+2 (kr )n+2 ki rl (1) il (C.11) = d(kr) ∂ n(kr)n−1 (kr )n−1 1 = + = + = (2n + 1)!! (2n + 1)!! 3 = [ρhn (ρ)] ρ dρ = ∂ d[ρjn (ρ)] ρ dρ = il n=1 +i ρ=ki rl +i Ngoài ta có, xem §8.4.1, trang 333 [3] P10 (z ) = z → P10 (cosθ) = cosθ → ⇒ ρ dρ n=1 (ki r l )3 (C.12) ρ=ki rl (ki r l )3 dP10 (cosθ) = −sinθ dθ dP10 (x) =− 1− = − − x2 dx √ P1 (cosθ) = − − cosθ = −sinθ dP11 (cosθ) = −cosθ dθ P11 (x) ⇒ d[ρyn (ρ)] = (C.13) (C.14) x2 (C.15) Ta có [53] n(n + 1) cos hn (kr)Pnm (cos θ) (mφ)ˆer sin kr d[rhn (kr )] dPnm (cos θ ) cos + (mφ)ˆeθ sin kr dr dθ m m sin Pn (cos θ) ∓ (mφ)ˆeφ cos sin θ Neo mn (k ) = (C.16) 110 Dẫn biểu thức (3.9) Khi n = Neo nm = Neo 1m = dP1m (cosθ) cos cos − sinθ (mφ)ˆer + (mφ)ˆeθ sin sin dθ ∓ m m sin P1 (cosθ) (mφ)ˆeφ (C.17) cos sinθ with m = Neo nm = Neo 10 = cosθ cos sin (0)ˆer − sinθ cos sin (C.18) (0)ˆeθ với m = Neo nm = Neo11 = − sinθ cos sin (φ)ˆer − cosθ cos sin (φ)ˆeθ ± sin cos (φ)ˆeφ (C.19) Ten xơ Green tán xạ hệ cầu L lớp có dạng [53] ′ GLL es (r, r ) st −order ik = 4π ik −→ = 4π = = ∞ n e,o n=1 m=0 e,o m=0 ik 4π (2 − δm ) (2 − δm ) 2n + (n − m)! n(n + 1) (n + m)! (1 − m)! (1 + m)! LL ′ N eo nm Neo nm CN LL ′ N eo 1m Neo 1m CN CNLL Neo 10N′eo 10 + Neo11N′ eo 11 e,o ik LL CN Ne10N′ e10 + Ne 11N′ e11 + No 10N′ o 10 + No11 N′o 11 (C.20) 4π (C.21) Khi r = r′, dA = dA eˆr , ta có ′ No10 |eˆr = N o10 |eˆr = − sinθ sin(0)ˆer = ˆr ⇒ No11 N′ o11 = sin2 θ sin2 φ No11 |eˆr = N′ o11 |eˆr = − sinθ sinφe ′ ′ Ne10|eˆr = N e10 |eˆr = − cosθ cos(0)ˆer ⇒ Ne10 N e10 = cos2 θ ′ ′ Ne11|eˆr = N e11 |eˆr = − sinθ cos(φ)ˆer ⇒ Ne11N e11 = sin θ cos φ (C.22) ik LL 4 CN sin θ (sin2 φ + cos2 φ) + cos2 θ 4π 9 iω LL CN = 6πc ′ GLL es (r, r )|r=r′ = (C.23) Phụ lục D: Dạng Lorentzian vạch cộng hưởng Với vị trí bất kỳ, ten xơ Green cấu hình nhiều lớp cầu đồng tâm chứa tổng hàm bessel Hankel cấp n đạo hàm chúng [53] Trong trường hợp đặc biệt nguyên tử đặt tâm lớp cầu, hàm Bessel Hankel cấp cho đóng góp Ở cần [3]: cos zil Jil = (tan zil − zil ), (D.1) zil cos zil (D.2) Yil = − (1 + zil tan zil ), zil eizil (D.3) Hil = − (i + zil ), zil cos zil (D.4) Jil′ = (− tan zil + zil + zil2 tan zil ), zil cos zil Yil′ = (1 + zil tan zil − zil2 ), (D.5) zil eizil Hil′ = (i + zil − izil2 ) (D.6) zil Chúng xem xét trường hợp gương phản xạ hoàn toàn gương dạng khe dải Lorentz cách riêng biệt D.0.1 Gương phản xạ hoàn toàn Sử dụng điều kiện (3.26), từ điều kiện (3.25) thu ¯ B (ω ) ≃ Re Γ Y21′ Im ′ (2ǫ + 1)2 J21 9ǫ5/2 (D.7) Từ phương trình (D.4) (D.5) suy Y21′ − z21 + z21 t = ′ − 1)t , J21 z21 + (z21 (D.8) 112 Dạng Lorentzian vạch cộng hưởng ω z21 = n(ω ) Rw , c ω t = tR + itI = tan[n(ω ) Rw ] c (D.9) (D.10) Với điều kiện (3.26), viết √ nI 2nR + O(n3I ) ≃ ǫI , nR ≃ ǫR + O(n2I ) , ω tR ≃ tan(nR Rw ) + O(n¯ 2I ), tI ≃ n¯ I (1 + t2R ) + O(n¯ 3I ) c (D.11) (D.12) Thế phương trình (D.8)–(D.12) vào phương trình (D.7), ta ¯ B (ω ) ≃ Re Γ 9ǫ5/2 (2ǫ + 1)2 ¯ I (1 + t2R )ǫ¯R (ǫ¯R − 2) n ¯ 2I [1 + 2n ¯ R tR + (ǫ¯R − 1)(1 + t2R )]2 × [n¯ R + (ǫ¯R − 1)tR ]2 + n −4n¯ R [n¯ R + (ǫ¯R − 1)tR ](1 + t2R ) −1 , (D.13) ¯ 3I bỏ Các vạch cộng hưởng ωm buồng số hạng tỉ lệ với n cộng hưởng tìm cách xác định nghiệm phức mẫu số phương trình (3.21) hoặc, cách gần ta tìm nghiệm mẫu số phương trình (3.22) Khi phần thực nghiệm phức cho ta vị trí vạch cộng hưởng phần ảo cho biết độ rộng vạch tương ứng Ở đây, sử dụng phương pháp khác, dùng điều kiện ¯B dΓ dω |ω=ωm = 0, cho phép hình dạng vạch cộng ¯ 2I mẫu số tính hưởng Để đơn giản, giữ lại số hạng tỉ lệ với n ¯B dΓ dǫ dω ǫ biến đổi theo ω cách chậm chạp so với tR , dω bỏ Khi ta thu ¯ R ( ωm ) n ¯ 2I (ωm )] tR (ωm ) = − + O[n (D.14) ǫ¯R (ωm ) − giá trị đỉnh trường cho biểu thức (3.30) Thực khai triển tR (ω ) quanh ωm mẫu số phương trình (D.13), giữ lại số hạng cấp hai theo (ω − ωm ), thấy số hạng cấp triệt tiêu vạch cộng hưởng có dạng Lorentzian với nửa độ rộng nửa cực đại cho (3.31) 113 Dạng Lorentzian vạch cộng hưởng D.0.2 Gương dạng khe dải Lorentz Với điều kiện (3.26), cách gần có viết Γ¯ B , biểu diễn phương trình (3.38), sau ¯ B (ω ) ≃ Re Γ ′ − k2 Y32′ H22 k3 Y32H22 Im ′ − k J′ H (2ǫ + 1)2 k3 J32H22 32 22 9ǫ5/2 (D.15) Sử dụng điều kiện |z22 |2 ≫ 1, |z32|2 ≫ 1, điều kiện bớt nghiêm ngặt giả thiết (3.36), phương trình (D.4)–(D.6), dẫn ′ J32 ≃ cos z32 (1 + z32 t), z32 cos z32 Y32′ ≃ (t − z32), z32 eiz22 ′ H22 ≃ −i (i + z22 ), z22 (D.16) (D.17) (D.18) t giống phương trình (D.10) Thế biểu thức vào phương trình (D.15) thu ¯ B (ω ) ≃ Re Γ ≃ Re ≃ Re 9ǫ5/2 ik3 (1 + z32 t) + k2 (t − z32 ) Im (2ǫ + 1)2 −ik3(t − z32 ) + k2(1 + z32 t) 9ǫ5/2 nw − int Re (2ǫ + 1)2 n − inw t 9ǫ5/2 (2ǫ + 1)2 n¯ I (|nw |2 + |n|2 ) + nwR nR (1 + t2R ) −1 , × (nR + nwI tR ) + (nI − nwR tR + nwI tI ) + 2(nR + nwI tR )nwR tI (D.19) 2 từ dòng thứ để rút kết cho dịng thứ hai, chúng tơi sử dụng hệ thức |z22| ≫ |k3 z32| ≫ |k2 |, hệ phương trình (3.36) Trái ngược với mơ hình gương phản xạ hồn tồn, có hai tham số nhỏ nI ≪ nwR ≪ 1, tích ba nhiều tham số nhỏ bỏ để từ dòng thứ hai dẫn kết dịng thứ ba Chúng tơi sử dụng phương trình (D.12) bỏ nI nwI , nhỏ ¯ I (|nw |2 + |n|2 ), phương trình (3.36) Bây lần nhiều so với n ¯B Γ |ω=ωm = để tìm tần số cộng hưởng sử dụng điều kiện ddω Để thực điều đó, số hạng ngoặc vng mẫu số, bình phương theo số hạng tham số nhỏ này, bỏ Kết cho Dạng Lorentzian vạch cộng hưởng 114 phương trình (3.39), nói chung có dạng Lorentzian với chiều cao độ rộng cho phương trình (3.40) (3.41) ... Với mối quan tâm cụ thể trình rã tự phát cấu trúc môi trường khác nhau, chọn tên đề tài luận án "Bức xạ tự phát hệ có cấu trúc khác nhau" Cấu trúc luận án gồm bốn chương Chương thứ giới thiệu... mức lượng thấp phát photon Nếu mức kích thích có lượng E2 mức thấp có lượng E1, photon phát có tần số ω lượng tương ứng ω = E2 − E1 Phát xạ tự phát trình nhiều ứng dụng cơng nghệ như: ống huỳnh... 1.3 Rã tự phát nguyên tử hai mức bị kích thích 1.3.1 Sự phụ thuộc vào thời gian hệ trường-nguyên tử 10 1.3.2 Cường độ xạ tự phát 15 Chương Cường độ phát xạ tự phát nguyên