Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
45
Dung lượng
843,85 KB
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Tƣ ò ậ ế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ê tốt ứu, cung cấp nhữ o ọ sƣ ƣ o q ả H N ệ chắn ý T o ả ƣờ ậ oá ỏ ú đỡ đị ận tốt nghiệp Vậ ý ý ợ ƣ ng ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện ê ệ ú đỡ o ế ƣờ ọ ậ ậ Cuố ù L ệ q ý ố xin s đ s ê ỏi s thiế s ến c a thầ â ầ đầ ê è để ê ú đỡ c đ ê ứu khoa họ ê ậy oá oá mong nhậ đƣợc nhữ ậ đƣợ o ệ è ận đ ảm ! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Cù v is ê ƣ ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, Vậ ý ý vậ ý ƣợng tử” đƣợ ả phầ T trung th ế đề M t số sở oá â c T o ận ảo m t số ậ ọ ố ƣờ q ệ ù ê o ứ ệu c a m t số o ả ệu tham khảo đo ƣ ững kết đƣợ ê ứ o oá ố bấ ậ o o o ọ Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường o MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 Lý o ọ đề Mụ đ ê ứu ối ƣợ ê Nhiệm vụ P ƣơ ứu ứu ê ú Cấ ê ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3 S o 1.1.4 Hệ tr c chuẩn Toá oá ửt ê ợp tuyế é oá ê oá 1 Toá Toá ê ợ Cá é oá ê H Lý ê ế oá ị ê ế ể 1 Lý ết ế Hermite) 10 10 oá ề Lý oá 12 ễ 14 14 ể ễ 17 CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 B oá ề B oá ề B oá ề H ê e 21 ị ê ểu diễ oá 23 28 PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vậ ý ọ đ o ê To ữ o ệ ê ứ ụ đạ ƣ Vậ ý ƣ: đị ê ứ ƣ ng thời vậ ý sắc c o ƣời t s ể áđ để ấ ệ đạ - ò đƣợ ọ ê ê ệ đạ ế V ứ o ọ đề đề ế ản c ê ậ ý ề ố ọc, ọ ố oá He e ả ọ ố mở ể ật ý ại m o sâ ƣờ N o ê đƣợ ứ ầ ế e o o ọ ậ ế ê ƣợng tử ế i hạn ề ƣờng giải ọc ho c triết học sở oá ọ ị ê oá ê ê đ ng thời mở ƣ oá ệ ứ ƣợng tử ện m i vậ ý ê ê ọ ứu m i t o oá ải o ƣợ ƣờ đ sâ ậ ý ƣợ ƣ: vậ ý s e ấp dẫ ác Vậ ý ọc giao v i nhiề ƣ H ệ đạ ọ Cá Vậ ý ậ t số hiệ o ậ c a vậ ý nhữ ế đị ữ ề đế ú đẩy s tiến b c ậ ý đị ê từ cấ đ c để ả ậ ể ệ đại nhằm giả ọ ậ ế đời c a vậ ý o q ậ ý ầ định luậ vậy, s Vậ ý ứ đ ể đe ƣợng t đƣợ ể luậ q đƣợc nhiều hiệ ê o đế s ố q ứ ọ ậ ý ƣợ ế ƣ: ữ ứ ê M t s c sở to n học thường d ng vật lý lư ng t ậ ố ệ Mục đích nghiên cứu N ê ứu ọ ậ số sở oá ê ọ sử ụ số sở oá ọ ứ Đ i tư ng phạm vi nghiên cứu K H Toá oá H ê Lý e Hermite ị ê oá ế ểu diễ ậ M t số ê q Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số sở oá ọ ƣờ Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ Sử ụ Sử ụ ƣơ oá đọ ọ ƣơ ệ o ậ ý ả oá ọ Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận ù o ậ ý ƣợ o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ậ ý ạn chiều M ƣ ng, hay đƣợc hiể e xuất m ƣờ o đ o ê ý é ê t ƣờ ê o ạn chiều Cá ứu thập kỷ đầ F David Hilbert, Erhard Schmidt ể thiế á gian Hilbert s m nhấ đƣợ họ ƣợng tử ƣơ đo đƣợc H ọ mở r ng c hữu hạn ho e oả e oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều H E a kỷ 20 es R esz C ú ết ế đ i Fourier ê ƣơ ý â ết ergodic ữ ụ ừng phầ ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học Cá H o dụ e é tr q á số tr c giao â ọc ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ K ứ oá ể đƣợ ấp m t khung é biế đ i Fourier a giả việ ạn chiều C ú t số để hệ thố c o H e đ ữ m t ệm òq ọng é c a ọc ọ ƣợng tử 1.1.1 Khơng gian tuyến tính M ế ầ é â ậ é o â ấ đ ầ ƣờng c đị số é e é ọc é â e ọc v i m t số C ế m t é ệ ỏ T ấ ầ ậ X đƣợc gọi m ệ X số a ( a T , T X ax ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X đị é phần c ã é x+y ể â ập số th c ho c phức, ê đề s : o oá : v ất kỳ x, y X ta ầ x y y x T ( x y) z x ( y z ) ất kết hợp: v i x, y, z X T ọ x X cho x x x ầ e T ị 1.x x.1 x v i x X phần tử a(bx) ab x a x y ax ay a b x ax bx T ầ x X a, b T x, y X a T x X a, b T đố ( x) X x X cho ầ x x 1 1 x 0.x Ở ê ố q số ệ ữ ầ đị aX ế ế số a, b T Nế a c Nếu a số phứ ức [1,3] Cho hệ n e x1 , x2 , , xn xn X , e ơ: y a1 x1 a2 x2 an xn y X , T ƣợc gọ hợp tuyế Nếu a1 x1 a2 x2 an xn a1 , a2 , , an ƣợc lại ai e x1 , x2 , , xn ất m t n tạ ệ xn đƣợc gọ ụ thu c tuyế ệ e ê đƣợc gọ o đ c lập tuyế ệ số T ƣờng hợp T ƣờng hợp: T ƣờng hợp 1: n k x khoảng x d , tứ s ấ đề hạt mọ đ ểm giếng bằ oá o ạt giếng S â ẫn v i ƣờng hợp n ỏa ã T ƣờng hợp 2: n , s n x ù d x A sin ê Vậ n x d x A sin ả m t trạ ị ê ầ a hạt : n n x , n 1,2,3 , En 2md d n x A sin 2 Bài 2: Trong Sˆ x - biểu diễn, đ t Sˆx ˆ x , Sˆ y ˆ y , Sˆz ˆ z T 2 tử Sˆx , Sˆ y , Sˆz ê a z ứng v i trị ê -1 a ma trận x 1 ƣơ ứng v chuẩ oá Lời giải Trong Sˆ x - biểu diễ trị ê ị ê c a Sˆx Muốn vậy, x phả 1 ạng: 0 x 1 T ệ thứ o oá a Sˆx , Sˆ y , Sˆz : Sˆx Sˆ y Sˆ y Sˆx i Sˆ y Sˆz Sˆz Sˆ y i ˆ ˆ ˆ ˆ S z S x S x S z i Từ hệ thứ o oá ận thấy: 25 Sˆz Sˆ x Sˆ y ˆ xˆ y ˆ yˆ x 2iˆ z ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x ˆ ˆ ˆ ˆ 2iˆ x z y z x V oá á ị ê i 1 ả ạng: i2 o ê ị ê a i2 V 1 0 1 0 1 0 2 , , y 0 1 z 0 1 0 1 x2 Xé hợp 2i ˆ xˆ y ˆ yˆ x 2iˆ x ˆ y ˆ y 2iˆ x ˆ yˆ z ˆ zˆ y ˆ y ˆ y ˆ yˆ z ˆ zˆ y ˆ yˆ zˆ y ˆ zˆ y2 ˆ y2ˆ z ˆ yˆ zˆ y Suy ˆ xˆ y ˆ yˆ x Tƣơ : ˆ yˆ z ˆ zˆ y ˆ zˆ x ˆ xˆ z t a b a b y 11 12 , z 11 12 b21 b22 a21 a22 D o ệ thức ˆ xˆ y ˆ yˆ x a11 a 21 : a12 a11 a12 1 a a a22 1 21 22 a 11 a21 Suy a11 a22 t a12 a11 a a22 21 : y a21 26 a12 a12 a22 ế He Sử dụ a y y : e a12 a * 21 a12 * a12 a21 Ta phả : y * a12 t a12 e v i i Tƣơ số th c bấ a12 y i e ei 0 , suy ra: ˆ z i e ei v i l số th c bấ 0 e i đƣợc: Chọn o oá : ˆ yˆ z iˆ x , Sử dụng hệ thức phản Ta * a21 e i đ : i 0 1 ˆ y , ˆ z i Vậy dạng c a oá Sˆx , Sˆ y , Sˆz Sx - biểu diễ : 1 ˆ 0 1 ˆ i Sˆx , Sy , Sz 1 1 0 2 i Nếu gọi e ê ƣơ ị ê a Sˆ z Sx - biểu diễ a Sˆ z Sx - biểu diễ 27 : a X b i a a i b 2b ib a ia 2b i a ib X b 1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ N ƣ ậ ê đƣợc b s c a Sˆ z cầ X i , ứng v i trị ê 1 z 1 2.3 Bài to n nhóm bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q đị é oá *: a * b a b ab, a, b Q a) Hỏ Q * ậ ? Tại sao? b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Lời giải ấ a) Dễ ần tử ị c a Q,* Giả sử Q,* lậ Xé ần tử nghị đảo b K ần tử 1 Q,* đ 1 * b (1) b (1)b 1 ý Vậy Q,* ậ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Gọi a, b, c Q \ 1 , ần tử : (a * b) * c a b ab * c a b ab c ac bc abc a *(b * c) a * b c bc a b c bc ab ac abc 28 Suy a * b * c a * b * c Vậ V i a Q \ 1 é ọi phần tử nghị oá đảo c ết hợp b a 1 a a a a a *b a * a a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a2 1 a 1 a 2 aa aa 1 a , b a Tƣơ N ƣ ậy, Q \ 1,* lậ Bài 2: Xâ ng bả â G 1, i v Lời giải N T G g m bốn phần tử 1, 1, i, i : 1.1 1.i i.1 i 1. 1 1. i i . 1 i i. i i .i i 1. 1 1.1 1 1. i i .1 i 1.i i. 1 i i.i i 1 i . i i 1 29 é â ƣờng T đƣợc bả â a G: -1 i -i 1 -1 i -i -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 Bài 3: Cho X a X i phần tử a2 e ị e Chứng minh A e X Lời giải ọi a, b X , ab ea eb2 e Do đ M ab T ab a 2b 2 a 2b2 e ab = ba A e Vậy X Bài 4: Giả sử A o t b phậ ng c X Chứng minh A A A1 A aX Lời giải A1 a 1 | a A Khi A T o A1 A aX V A1 A ê A A1 A ọi a A M a a.e1 A A1 ê A A A1 Vậy A A1 A ọi a, b A, Do đ a.b1 A A1 A Suy A Bài 5: Chứng tỏ tập hợp v é â ận ậ â ấ ả ể Tính kín 30 ấ s : a X định thứ o oá Lời giải T eo đị o ? a1 b1 a b Giả sử: M , N c d c1 d1 V i M , N A, : a b a1 b1 M N c d c1 d1 aa bc1 ab1 bd1 A a1c c1d b1c dd1 Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã Tính chất kết hợp a1 b1 a2 a b Gọi M , N , P c d c1 d1 c2 V i M , N , P A a M N .P c b2 d : b a1 d c1 b1 a2 d1 c2 b2 d a (aa +c b)+c2 (ab1 +bd1 ) b2 (aa1 +bc1 )+(ab1 +bd1 )d 1 a2 (a1c +c1d )+c2 (b1c +d1d ) b2 (a1c +c1d )+(b1c +dd1 )d a b a1 b1 a2 c d c1 d1 c2 M N P Do đ ậ ợ ậ A b2 d é â ậ ỏ ợ Tồn phần tử đơn vị V i M A : a b a b M c d c d M Nê 31 ã ấ ế 1 0 ị: e 0 1 A t n phần tử Tồn phần tử đối V i M A : a b ad bc c d det M ọi ma trận M A đề C o ê ận nghị M 1 N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N A é d b A ad bc c a â â b1 aa1 bc1 ab1 bd1 d1 a1c c1d b1c dd1 b d o oá Bài 6: Chứng tỏ tập hợ é ậ : a b a1 M N c d c1 a b a 1 c1 d1 c N M Ta kết luậ A ậ x ận A â ả ể ất sau: Tính kín 32 0 0 0 , x, y R 0 y 1 o oá Lời giải T eo đị đảo ? 0 0 0 x1 ; x, y R , N 0 0 y 1 x Gọi M V i M , N A 1 x M N 0 0 Do đ ậ ợ 0 0 y1 0 0 ; x , y R 0 1 1 : 0 0 x1 y ậ A 0 0 y1 é 0 x x1 0 1 â ậ ỏ 0 0 y y1 0 A 0 1 ã Tính chất kết hợp x Gọi: M 0 0 0 x ; x, y R , N 1 0 0 y 1 x P V i M , N , P A 1 x M N .P 0 0 0 0 y1 0 0 ; x1 , y1 R , 0 1 0 0 ; x2 , y2 R 0 y2 : 0 0 0 x1 0 y 1 33 0 0 y1 0 x2 0 0 0 0 y2 0 0 1 x x x 0 0 y y1 y2 0 0 x1 y M N P 1 x 0 0 Do đ ậ ợ ậ A é 0 0 y1 â 0 0 1 0 x2 0 1 ậ ỏ 0 0 y2 ã 0 0 ấ ế ợ Tồn phần tử đơn vị V i M A 1 0 M 0 0 Nê A : 0 0 1 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 y 1 0 ị: e 0 0 n phần tử 0 0 1 0 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Tồn phần tử đối V i M A : det M C o ê 0 x 0 0 0 y ọi ma trận M A đề ận nghị 34 đảo 0 0 0 M 0 y 1 N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N A 1 x M N 0 0 1 x 0 0 0 A 0 y 1 é ậ â 0 : 0 0 0 x1 0 y 1 0 0 y1 Ta kết luậ A Bài 7: Xâ x 1 M 0 1 x 0 1 0 0 0 y1 0 x x1 0 1 0 0 y y1 0 0 1 0 0 0 N M 0 y 1 o oá ng bảng â S3 : a (12)(23)(321)4 b (123)(23)(12)11 Lời giải oá S3 đị ị phần tử Bả â ƣs : 12 (12) 123 213 123 Do đ : 1212 e Tiế ƣơ ta thu đƣợc bảng : 35 đƣợ e (12) (23) (31) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) 12 23 321 T (123) (321) 12 23321 123321321 321 e 123 2312 11 b T (123) 2312 12 .e.12 e 11 Bài 8: T ận D((12)) biểu diễ q S3 Lời giải N S3 ả â : e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) i phần tử ƣơ Trong biểu diễ q o e ơ sở tr c chuẩn ứng v i m t e e e , 12 g2 , 13 g3 , 31 g4 , 123 g5 , 132 g6 T : 36 D g1 g g1 g D g ij ei D g e j Từ đ đƣợc: 0 1 0 D 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 37 PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ đạ đƣợc mụ ú oá oá ứu, ả ê đề T o đạ đƣợ C ú ê q ậ đƣợ o c hiệ ận, ết sau: i i thiệu, t ng kết m t số ý ết He oá e ê ị ê H ử, ý e ết ểu diễ C ú ê Do ý ị ê ế oá phứ ý oá ọ oá m t số ế đƣ ng hợ s ất đƣợc m t số dạng ý ê q V ận đƣợ đến vậ ý đƣợc b s o ắc chắ đƣợc ý, ch dẫn c a thầ ê ứ ỏi thiế s 38 e ểu diễ ậy, k đề thiệ ết H ậy, ạn để oá o ệ ƣ ý ết ê ê mong nhận ậ đƣợ o TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T Ho [2] Nguyễ Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ƣơ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sƣ ạm H N i Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, NXB World Scientific [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World Scientific 39 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng... Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ƣơ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ... PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ậ ý ạn chiều M ƣ ng,