1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn tốt nghiệp một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lý lượng tử

45 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 45
Dung lượng 843,85 KB

Nội dung

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Tƣ ò ậ ế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ê tốt ứu, cung cấp nhữ o ọ sƣ ƣ o q ả H N ệ chắn ý T o ả ƣờ ậ oá ỏ ú đỡ đị ận tốt nghiệp Vậ ý ý ợ ƣ ng ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện ê ệ ú đỡ o ế ƣờ ọ ậ ậ Cuố ù L ệ q ý ố xin s đ s ê ỏi s thiế s ến c a thầ â ầ đầ ê è để ê ú đỡ c đ ê ứu khoa họ ê ậy oá oá mong nhậ đƣợc nhữ ậ đƣợ o ệ è ận đ ảm ! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Cù v is ê ƣ ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, Vậ ý ý vậ ý ƣợng tử” đƣợ ả phầ T trung th ế đề M t số sở oá â c T o ận ảo m t số ậ ọ ố ƣờ q ệ ù ê o ứ ệu c a m t số o ả ệu tham khảo đo ƣ ững kết đƣợ ê ứ o oá ố bấ ậ o o o ọ Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường o MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 Lý o ọ đề Mụ đ ê ứu ối ƣợ ê Nhiệm vụ P ƣơ ứu ứu ê ú Cấ ê ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3 S o 1.1.4 Hệ tr c chuẩn Toá oá ửt ê ợp tuyế é oá ê oá 1 Toá Toá ê ợ Cá é oá ê H Lý ê ế oá ị ê ế ể 1 Lý ết ế Hermite) 10 10 oá ề Lý oá 12 ễ 14 14 ể ễ 17 CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 B oá ề B oá ề B oá ề H ê e 21 ị ê ểu diễ oá 23 28 PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vậ ý ọ đ o ê To ữ o ệ ê ứ ụ đạ ƣ Vậ ý ƣ: đị ê ứ ƣ ng thời vậ ý sắc c o ƣời t s ể áđ để ấ ệ đạ - ò đƣợ ọ ê ê ệ đạ ế V ứ o ọ đề đề ế ản c ê ậ ý ề ố ọc, ọ ố oá He e ả ọ ố mở ể ật ý ại m o sâ ƣờ N o ê đƣợ ứ ầ ế e o o ọ ậ ế ê ƣợng tử ế i hạn ề ƣờng giải ọc ho c triết học sở oá ọ ị ê oá ê ê đ ng thời mở ƣ oá ệ ứ ƣợng tử ện m i vậ ý ê ê ọ ứu m i t o oá ải o ƣợ ƣờ đ sâ ậ ý ƣợ ƣ: vậ ý s e ấp dẫ ác Vậ ý ọc giao v i nhiề ƣ H ệ đạ ọ Cá Vậ ý ậ t số hiệ o ậ c a vậ ý nhữ ế đị ữ ề đế ú đẩy s tiến b c ậ ý đị ê từ cấ đ c để ả ậ ể ệ đại nhằm giả ọ ậ ế đời c a vậ ý o q ậ ý ầ định luậ vậy, s Vậ ý ứ đ ể đe ƣợng t đƣợ ể luậ q đƣợc nhiều hiệ ê o đế s ố q ứ ọ ậ ý ƣợ ế ƣ: ữ ứ ê M t s c sở to n học thường d ng vật lý lư ng t ậ ố ệ Mục đích nghiên cứu N ê ứu ọ ậ số sở oá ê ọ sử ụ số sở oá ọ ứ Đ i tư ng phạm vi nghiên cứu K H Toá oá H ê Lý e Hermite ị ê oá ế ểu diễ ậ M t số ê q Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số sở oá ọ ƣờ Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ Sử ụ Sử ụ ƣơ oá đọ ọ ƣơ ệ o ậ ý ả oá ọ Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận ù o ậ ý ƣợ o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ậ ý ạn chiều M ƣ ng, hay đƣợc hiể e xuất m ƣờ o đ o ê ý é ê t ƣờ ê o ạn chiều Cá ứu thập kỷ đầ F David Hilbert, Erhard Schmidt ể thiế á gian Hilbert s m nhấ đƣợ họ ƣợng tử ƣơ đo đƣợc H ọ mở r ng c hữu hạn ho e oả e oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều H E a kỷ 20 es R esz C ú ết ế đ i Fourier ê ƣơ ý â ết ergodic ữ ụ ừng phầ ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học Cá H o dụ e é tr q á số tr c giao â ọc ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ K ứ oá ể đƣợ ấp m t khung é biế đ i Fourier a giả việ ạn chiều C ú t số để hệ thố c o H e đ ữ m t ệm òq ọng é c a ọc ọ ƣợng tử 1.1.1 Khơng gian tuyến tính M ế ầ é â ậ é o â ấ đ ầ ƣờng c đị số é e é ọc é â e ọc v i m t số C ế m t é ệ ỏ T ấ ầ ậ X đƣợc gọi m ệ X số a ( a  T , T X ax ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X đị é phần c ã é x+y ể â ập số th c ho c phức, ê đề s : o oá : v ất kỳ x, y  X ta ầ x  y  y  x T ( x  y)  z  x  ( y  z ) ất kết hợp: v i x, y, z  X T ọ x  X cho x    x  x ầ e T ị 1.x  x.1  x v i x  X phần tử a(bx)   ab  x a  x  y   ax  ay  a  b  x  ax  bx T ầ x X a, b T x, y  X a T x X a, b T đố ( x)  X x  X cho ầ x    x   1   1  x  0.x  Ở ê ố q số ệ ữ ầ đị aX ế ế số a, b T Nế a c Nếu a số phứ ức [1,3] Cho hệ n e x1 , x2 , , xn  xn   X , e ơ: y  a1 x1  a2 x2   an xn  y  X , T  ƣợc gọ hợp tuyế Nếu a1 x1  a2 x2   an xn  a1 , a2 , , an ƣợc lại ai  e x1 , x2 , , xn ất m t n tạ ệ  xn  đƣợc gọ ụ thu c tuyế ệ e ê đƣợc gọ o đ c lập tuyế ệ số T ƣờng hợp T ƣờng hợp: T ƣờng hợp 1: n   k    x   khoảng  x  d , tứ s ấ đề hạt mọ đ ểm giếng bằ oá o ạt giếng S â ẫn v i ƣờng hợp n  ỏa ã T ƣờng hợp 2: n  , s  n x   ù  d    x    A sin  ê Vậ  n x    d    x   A sin  ả m t trạ ị ê ầ a hạt : n  n x  , n  1,2,3  , En  2md  d   n  x   A sin  2 Bài 2: Trong Sˆ x - biểu diễn, đ t Sˆx  ˆ x , Sˆ y  ˆ y , Sˆz  ˆ z T 2 tử Sˆx , Sˆ y , Sˆz ê a  z ứng v i trị ê -1 a ma trận  x  1 ƣơ ứng v chuẩ oá Lời giải Trong Sˆ x - biểu diễ trị ê  ị ê c a Sˆx Muốn vậy,  x phả 1 ạng: 0 x     1 T ệ thứ o oá a Sˆx , Sˆ y , Sˆz :  Sˆx Sˆ y  Sˆ y Sˆx  i   Sˆ y Sˆz  Sˆz Sˆ y  i ˆ ˆ ˆ ˆ  S z S x  S x S z  i Từ hệ thứ o oá ận thấy: 25 Sˆz Sˆ x Sˆ y ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  2iˆ z  ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  2iˆ x ˆ ˆ  ˆ ˆ  2iˆ x z y  z x V oá á ị ê  i  1 ả ạng:  i2 o ê ị ê a  i2  V 1 0 1 0 1 0 2   ,   ,  y 0 1 z 0 1   0 1    x2   Xé hợp 2i ˆ xˆ y  ˆ yˆ x    2iˆ x ˆ y  ˆ y  2iˆ x   ˆ yˆ z  ˆ zˆ y ˆ y  ˆ y ˆ yˆ z  ˆ zˆ y   ˆ yˆ zˆ y  ˆ zˆ y2  ˆ y2ˆ z  ˆ yˆ zˆ y  Suy ˆ xˆ y  ˆ yˆ x Tƣơ : ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  ˆ zˆ x  ˆ xˆ z t a b a  b   y   11 12  ,  z   11 12   b21 b22   a21 a22  D o ệ thức ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  a11 a  21 : a12       a11 a12     1  a a  a22   1    21 22  a   11  a21 Suy a11  a22  t a12   a11    a a22   21 :  y   a21 26 a12   a12  a22  ế He Sử dụ a  y   y : e  a12   a  *  21   a12 * a12  a21 Ta phả :  y  *  a12 t a12  e v i  i Tƣơ số th c bấ a12      y    i e ei   0 , suy ra:  ˆ z    i e ei   v i  l số th c bấ 0 e i     đƣợc:     Chọn     o oá : ˆ yˆ z  iˆ x , Sử dụng hệ thức phản Ta *  a21     e  i    đ :  i   0 1 ˆ y    , ˆ z   i    Vậy dạng c a oá Sˆx , Sˆ y , Sˆz Sx - biểu diễ : 1  ˆ 0 1 ˆ  i  Sˆx   , Sy   , Sz       1 1 0 2 i  Nếu gọi e ê ƣơ ị ê a Sˆ z Sx - biểu diễ a Sˆ z Sx - biểu diễ 27 : a X   b  i  a  a         i  b  2b  ib  a        ia  2b i a  ib  X  b    1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ N ƣ ậ ê đƣợc b  s c a Sˆ z cầ X i   , ứng v i trị ê  1  z  1 2.3 Bài to n nhóm bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q đị é oá *: a * b  a  b  ab, a, b Q a) Hỏ Q * ậ ? Tại sao? b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Lời giải ấ a) Dễ ần tử ị c a  Q,* Giả sử  Q,* lậ Xé ần tử nghị đảo b K ần tử 1  Q,* đ   1 * b  (1)  b  (1)b  1 ý Vậy  Q,* ậ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Gọi a, b, c  Q \ 1 , ần tử : (a * b) * c   a  b  ab  * c  a  b  ab  c  ac  bc  abc a *(b * c)  a *  b  c  bc   a  b  c  bc  ab  ac  abc 28 Suy  a * b  * c  a *  b * c  Vậ V i a  Q \ 1 é ọi phần tử nghị oá đảo c ết hợp b a 1 a  a   a   a  a *b  a * a   a  1 a  1 a  1 a  a 1  a   a a2   1 a 1 a 2 aa aa  1 a  , b  a  Tƣơ N ƣ ậy,  Q \ 1,* lậ Bài 2: Xâ ng bả â G  1, i v Lời giải N T G g m bốn phần tử 1, 1, i, i : 1.1  1.i  i.1  i  1. 1   1. i    i . 1  i i. i    i .i  i  1. 1   1.1  1 1. i    i .1  i  1.i  i. 1  i i.i  i  1  i . i   i  1 29 é â ƣờng T đƣợc bả â a G: -1 i -i 1 -1 i -i -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 Bài 3: Cho X a X i phần tử a2  e ị e Chứng minh A e X Lời giải ọi a, b  X ,  ab   ea  eb2  e Do đ M  ab  T  ab   a 2b 2  a 2b2  e ab = ba A e Vậy X Bài 4: Giả sử A o t b phậ ng c X Chứng minh A A A1  A aX Lời giải A1  a 1 | a  A Khi A T o A1  A aX V A1  A ê A A1  A ọi a  A M a  a.e1  A A1 ê A  A A1 Vậy A A1  A ọi a, b  A, Do đ a.b1  A A1  A Suy A Bài 5: Chứng tỏ tập hợp v é â ận ậ â ấ ả ể  Tính kín 30 ấ s : a X định thứ o oá Lời giải T eo đị o ?  a1 b1    a b   Giả sử: M    , N      c d    c1 d1   V i M , N  A, :  a b   a1 b1  M N      c d  c1 d1   aa  bc1 ab1  bd1    A  a1c  c1d b1c  dd1  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã  Tính chất kết hợp  a1 b1    a2  a b   Gọi M   , N  , P           c d    c1 d1    c2 V i M , N , P  A  a  M N .P     c b2    d   : b   a1  d   c1 b1    a2  d1    c2 b2  d   a (aa +c b)+c2 (ab1 +bd1 ) b2 (aa1 +bc1 )+(ab1 +bd1 )d   1   a2 (a1c +c1d )+c2 (b1c +d1d ) b2 (a1c +c1d )+(b1c +dd1 )d   a b    a1 b1   a2       c d    c1 d1   c2  M  N P  Do đ ậ ợ ậ A b2    d   é â ậ ỏ ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A :    a b    a b  M     c d     c d   M        Nê 31 ã ấ ế 1 0 ị: e    0 1 A t n phần tử  Tồn phần tử đối V i M  A : a b  ad  bc  c d det  M   ọi ma trận M  A đề C o ê ận nghị M 1  N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N  A é  d b    A ad  bc  c a  â â b1   aa1  bc1 ab1  bd1   d1   a1c  c1d b1c  dd1  b d  o oá Bài 6: Chứng tỏ tập hợ é ậ :  a b   a1 M N     c d  c1  a b  a   1   c1 d1   c  N M Ta kết luậ A ậ    x ận A     â ả ể ất sau:  Tính kín 32 0 0   0   , x, y  R  0    y 1 o oá Lời giải T eo đị đảo ?  0 0     0   x1 ; x, y  R  , N   0      0 y 1    x Gọi M     V i M , N  A 1 x M N   0  0 Do đ ậ ợ 0 0 y1  0   0  ; x , y  R 0 1    1 : 0   0   x1   y  ậ A 0 0 y1 é 0    x  x1  0    1  â ậ ỏ 0 0 y  y1 0  A 0  1 ã  Tính chất kết hợp    x Gọi: M      0 0     0   x ; x, y  R  , N   1 0      0 y 1    x P     V i M , N , P  A 1  x  M N .P      0 0 0 0 y1  0   0  ; x1 , y1  R  , 0    1  0  0   ; x2 , y2  R  0    y2  : 0 0   0   x1 0   y 1  33 0 0 y1 0      x2 0       0 0 0 y2 0  0  1  x x  x     0 0 y  y1  y2 0    0    x1     y     M  N P  1 x  0  0 Do đ ậ ợ ậ A é 0 0 y1 â 0  0  1 0    x2 0   1  ậ ỏ 0 0 y2 ã 0    0    ấ ế ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A 1 0 M  0  0 Nê A : 0 0  1 0   x  0    0 1 0 0  1 0   0   y  1 0 ị: e   0  0 n phần tử 0 0 1 0   x  0    0 1 0 0 0 0  0  0 1  Tồn phần tử đối V i M  A : det  M   C o ê 0 x 0 0 0 y ọi ma trận M  A đề   ận nghị 34 đảo 0 0 0  M 0  y 1 N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N  A 1 x M N   0  0 1 x  0  0 0   A 0  y 1 é ậ â 0 : 0 0   0   x1 0   y 1  0 0 y1 Ta kết luậ A Bài 7: Xâ   x 1 M     0 1   x 0   1 0 0 0 y1 0    x  x1  0    1  0 0 y  y1 0  0  1 0 0 0   N M 0  y 1 o oá ng bảng â S3 : a (12)(23)(321)4 b (123)(23)(12)11 Lời giải oá S3 đị ị phần tử Bả â ƣs : 12 (12) 123  213  123 Do đ : 1212  e Tiế ƣơ ta thu đƣợc bảng : 35 đƣợ e (12) (23) (31) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) 12 23 321 T (123) (321) 12 23321  123321321 321  e 123 2312 11 b T (123)  2312   12 .e.12   e 11 Bài 8: T ận D((12)) biểu diễ q S3 Lời giải N S3 ả â : e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) i phần tử ƣơ Trong biểu diễ q o e ơ sở tr c chuẩn ứng v i m t e e  e , 12   g2 , 13  g3 ,  31  g4 , 123  g5 , 132   g6 T : 36 D  g1  g  g1 g  D  g   ij  ei D  g  e j Từ đ đƣợc: 0 1  0 D  12     0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 1  0 0 0 0  0 0 37 PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ đạ đƣợc mụ ú oá oá ứu, ả ê đề T o đạ đƣợ C ú ê q ậ đƣợ o c hiệ ận, ết sau: i i thiệu, t ng kết m t số ý ết He oá e ê ị ê H ử, ý e ết ểu diễ C ú ê Do ý ị ê ế oá phứ ý oá ọ oá m t số ế đƣ ng hợ s ất đƣợc m t số dạng ý ê q V ận đƣợ đến vậ ý đƣợc b s o ắc chắ đƣợc ý, ch dẫn c a thầ ê ứ ỏi thiế s 38 e ểu diễ ậy, k đề thiệ ết H ậy, ạn để oá o ệ ƣ ý ết ê ê mong nhận ậ đƣợ o TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T Ho [2] Nguyễ Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ƣơ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sƣ ạm H N i Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, NXB World Scientific [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World Scientific 39 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng... Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ƣơ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ... PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ậ ý ạn chiều M ƣ ng,

Ngày đăng: 04/05/2021, 09:15

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w