Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 1: Quy tắc cơ bản của phép đếm

ĐẠI SỐ TỔ HP Chương I QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Môn đại số tổ hợp (có sách gọi giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy tượng mà không thiết phải liệt kê trường hợp Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc phép đếm, quy tắc cộng quy tắc nhân a) Quy tắc cộng : Nếu tượng có m cách xảy ra, tượng có n cách xảy hai tượng không xảy đồng thời số cách xảy tượng hay tượng : m + n cách Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giải Có : + = cách chọn Ví dụ Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ? Giải Có : b) + + = 13 cách chọn Quy tắc nhân : Nếu tượng có m cách xảy ra, ứng với cách xảy tượng tiếp đến tượng có n cách xảy số cách xảy tượng “rồi” tượng : m × n Ví dụ Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt đường hàng không Hỏi có cách chọn phương tiện giao thông để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về? Giải Có : × = cách chọn Ví dụ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ? Giải Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký Vậy có : 2) 15 × 14 × 13 = 2730 cách chọn Sơ đồ Người ta dùng sơ đồ để liệt kê trường hợp xảy toán có tượng liên tiếp tượng có trường hợp Chú ý ta dùng sơ đồ để kiểm tra kết Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo muốn biết ba môn Toán, Lý, Hóa học sinh thích môn theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh ghi laø : T H L L H T H T L H L H T L T Caùc dấu hiệu chia hết – Chia hết cho : số tận 0, 2, 4, 6, – Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 276) – Chia hết cho : số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 1300, 2512, 708) – Chia hết cho : số tận 0, – Chia hết cho : số chia hết cho chia heát cho – Chia heát cho : số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 15000, 2016, 13824) – Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) – Chia hết cho 25 : số tận 00, 25, 50, 75 – Chia hết cho 10 : số tận Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho Giải Gọi : n = abc số cần lập m = a′b′c′ số gồm chữ số khác m′ = a1 b1c1 số gồm chữ số khác mà chia hết cho Ta có : tập số n = tập số m – tập số m′ * Tìm m : có cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có cách chọn b′ (vì b′ ≠ a′ ), có cách chọn c′ (vì c′ ≠ a′ c′ ≠ b′ ) Vậy có : × × = 100 số m * Tìm m′ : chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho laø {0, 4, 5} , {1, 3, 5} , {2, 3, 4} • Với {0, 4, 5} : có cách chọn a1, cách chọn b1, cách chọn c1, × × = số m′ • Với {1, 3, 5} : có 3! = số m′ • Với {2, 3, 4} : có 3! = số m′ Vậy có : + + = 16 số m′ Suy có : 100 – 16 = 84 số n Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p nhiều, ta làm sau : Số cách chọn thỏa p số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p Người ta gọi cách làm dùng “phần bù” Bài Có tuyến xe buýt A B Có tuyến xe buýt B C Hỏi : a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ? c) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B cho tuyến xe buýt không lần ? Giải a) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Do đó, theo quy tắc nhân, có x = 12 cách từ A đến C, qua B b) Có 12 cách từ A đến C, qua B có 12 cách quay Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách từ A đến C, qua B c) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C; để tránh lại đường cũ, có cách từ C quay B cách từ B quay A Vậy có : x x x = 72 caùch Bài Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc ? Giải Có cách chọn cho ngày Vậy, số cách chọn cho ngày tuần : 46 = 4096 cách Bài Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn : a) Có thể thăm bạn nhiều lần ? b) Không đến thăm bạn lần ? Giải a) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy Vậy, có : b) 127 = 35831808 cách Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Đêm thứ hai, chọn 11 bạn lại để đến thăm : có 11 cách Đêm thứ ba : 10 cách Đêm thứ tư : cách Đêm thứ năm : cách Đêm thứ sáu : cách Đêm thứ bảy : cách Vậy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách Bài Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga tới nhà ga khác? Giải Nhà ga : có 10 cách chọn Nhà ga đến : có cách chọn Vậy có : 10.9 = 90 cách chọn Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? Giải a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ Vậy có : b) 6.3.2.2.1.1 = 72 cách Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu Vậy có : c) ( × × × × 1) = 40 cách Số cách chọn để cặp nam nữ không ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề Vậy có : 72 – 40 = 32 cách Bài Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường Đại học Quốc gia TP HCM 1999 Giải Đánh số ghế theo hình vẽ 12 11 10 7 a) Gheá 10 11 V Số cách xếp chỗ 12 5 4 3 2 V Vậy số cách xếp học sinh ngồi cạnh đối diện phải khác trường : 12 12 × × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800 b) Ghế 12 11 10 Số cách xếp chỗ ngồi 12 10 2 Vậy số cách xếp học sinh ngồi đối diện phải khác : 12 × × 10 × × × × × × × × = 33177600 Bài Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đôi khác : a) gồm chữ số ? b) gồm chữ số nhỏ 400 ? c) gồm chữ số chẵn ? d) gồm chữ số chia hết cho ? Giải Đặt a) n = abc Có cách chọn a, cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vậy có : b) Chọn a = hay a = 3, có cách Sau đó, có cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vậy có : c) × × = 120 số 2.5.4 = 40 số nhỏ 400 Vì n chẵn, có cách chọn c (c = hay c = 6) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b ≠ a, b ≠ c) Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn d) Vì n chia hết cho 5, có cách chọn c (c = 5) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b ≠ a, ≠ c) Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho Bài Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997 Giải Gọn n = a1a a 3a a số in vé Số cách chọn a1 10 (a1 0) Số cách chọn a2 Số cách chọn a3 Số cách chọn a4 Số cách chọn a5 Vậy số vé gồm chữ số khác : 10 × × × × = 30240 Bài Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đôi khác Hỏi có cách chọn Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Gọi số cần tìm n = a1a a Số cách chọn a3 (do a3 chẵn) Số cách chọn a7 (do a7 ≠ ≠ 5) Số cách chọn a 10⎫ ⎪ Số cách chọn a ⎬ (do a4, a5, a6 đôi khác nhau) Số cách chọn a ⎪⎭ Số cách chọn a1 10 (do n dãy số nên a1 0) Số cách chọn a2 10 Vậy số cách chọn : × × 10 × × × 10 × 10 = 2880000 Bài 10 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số Đại học Y Hà Nội 1997 Giải Gọi số cần tìm n = a1a a với ≤ a1 ≤ a6 lẻ X = {0, 1, , 8, 9} Đặt • Trường hợp : a1 lẻ a1 ∈ {1, 3, 5} có cách chọn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} \ {a1 } coù cách chọn a2 ∈ X\ {a1 , a } có cách chọn a3 ∈ X\ {a1 , a , a } có cách chọn a4 ∈ X\ {a1 , a , a , a } có cách chọn a5 ∈ X\ {a1 , a , a , a , a } có cách chọn • Trường hợp : a1 chẵn a1 ∈ {2, 4} có cách chọn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} có cách chọn Tương tự a2, a3, a4, a5 có × × × cách chọn Do số số n thỏa yêu cầu toán : (4 × + × 5) x × × × = 36960 Bài 11 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lập số có chữ số từ X mà chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần Giải Xét hộc có ô trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc (do a1 ≠ 0) Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống chữ số Vậy số số thỏa yêu cầu toán : × × × × = 5880 Baøi 12 Người ta viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành Đại học Huế 1999 Giải Gọi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Số cần tìm n = a1a 2a 3a a 5a a) a6 ∈ {1, 3, 5} có cách chọn a1 ∈ X\ {0, a } có cách chọn a2 ∈ X\ {a , a1 } có cách chọn a3 ∈ X\ {a , a1 , a } có cách chọn a4 ∈ X\ {a , a1 , a , a } có cách chọn a5 ∈ X\ {a , a1 , a , a , a } có cách chọn Số số lẻ cần tìm : × × × × = 288 b) Số số gồm chữ số (a1 0) : × × × × × = 720 Số số gồm chữ số mà a1 = : × × × × = 120 Vậy số số gồm chữ số (a1 ≠ 0) lấy từ X 720 – 120 = 600 Mà số số lẻ 288 Vậy số số chẵn : 600 – 288 = 312 Cách khác Có 5! Số chẵn với a6 = Có 2.4.4! số chẵn với a6 = hay a6 = Vậy số số chẵn thỏa ycbt 5! + 2.4.4! = 312 Bài 13 Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6, Đại học Y Hà Nội 1999 Giải Đặt X = {0, 2, 3, 6, 9} n = a1a 2a 3a a • (a1 ≠ 0) Trường hợp a1 lẻ a1 ∈ {3, 9} có cách chọn a5 ∈ {0, 2, 6} có cách chọn a2 ∈ X\ {a1 , a } có cách chọn a3 ∈ X\ {a1 , a 5, a } có cách chọn a4 ∈ X\ {a1 , a , a , a } có cách chọn Vậy có : ã ì ì ì = 36 số n chẵn Trường hợp a1 chẵn a1 ∈ {2, 6} có cách chọn a5 ∈ {0, 2, 6} \ {a1 } có cách chọn Tương tự số cách chọn a2, a3, a4 × × Vậy có : × × × = 24 số Vậy số số n chẵn : 36 + 24 = 60 số Cách 2: Có 4! Số chẵn với a5 = Có 2.3.3! số chẵn với a5 = hay a5 = Vậy số số chẵn thỏa ycbt 4! + 2.3.3! = 60 Bài 14 Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Giải Gọi n = a1a a 6a (a1 ≠ 0) Neáu a1 + a2 + … + a6 số chẵn để n lẻ a7 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} Neáu a1 + a2 + … + a6 số lẻ để n lẻ a7 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} Vậy chọn a1, a2, a3, a4, a5, a6 có cách chọn a7 để tổng chữ số n số lẻ Mà số cách chọn (i = 1, ) : Số cách chọn a1 a2 a3 a4 a5 a6 10 10 10 10 10 Do số số n thỏa yêu cầu toán × 105 × = 45 × 105 Baøi 15 Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho Giải Gọi n = a1a a (a1 ≠ 0) Để n chia hết cho a7 = hay a7 = • Trường hợp a7 = Số cách choïn a1 a2 a3 a4 a5 a6 Vậy có : × × ì ì ì soỏ ã Trường hợp a7 = Số cách chọn Vậy có : a1 a2 a3 a4 a5 a6 8 × × × × × số Do số số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho : (9 + 8) × × × × × = 114240 Baøi 16 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a) Có số chẵn có chữ số khác đôi b) Có số có chữ số khác chia hết cho c) Có số có chữ số khác chia hết cho Đại học Huế 2000 Giải a) • Goïi n = a1a 2a 3a (a1 ≠ 0) Nếu a1 chẵn Số cách chọn • a1 a4 a2 a3 2 a1 a4 a2 a3 3 Nếu a1 lẻ Số cách chọn Vậy số số chẵn có chữ số khác : × × × + × × × = 48 + 108 = 156 b) • Gọi m = a1a 2a (a1 ≠ 0) Nếu a3 = Số cách chọn • a1 a2 a1 a2 4 Nếu a3 = Số cách chọn Vậy số số m chia hết cho : 20 + 16 = 36 c) Goïi k = a1a 2a với a1 + a2 + a3 = 9, a1 ≠ Xeùt X1 = {0, 4, 5} ⊂ X a1 a2 a3 2 a1 a2 a3 a1 a2 a3 Số cách chọn Xét X2 = {2, 3, 4} ⊂ X Số cách chọn Xét X3 = {1, 3, 5} ⊂ X Số cách chọn Vậy số số k chia hết cho laø : + + = 16 Baøi 17 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi lập số có chữ số khác mà số không chia hết cho Đại học Lâm Nghiệp 1999 Giải Gọi số cần tìm n = a1a 2a (a1 ≠ 0) n chia heát cho ⇔ a1 + a2 + a3 bội số • Số số n chọn từ X × × = 100 Số cách chọn • a1 a2 a3 5 Các tập X có phần tử mà tổng chia hết cho X1 = {0, 1, 2} , X2 = {0, 1, 5} , X3 = {0, 2, 4} , X4= {0, 4, 5} X5 = {1, 2, 3} , X6 = {1, 3, 5} , X7 = {2, 3, 4} , X8= {3, 4, 5} Số số n chia hết cho chọn từ X1, X2, X3, X4 : × × × = 16 số Số số n chia hết cho chọn từ X5, X6, X7, X8 : × × × = 24 số Vậy số số n chia hết cho : 16 + 24 = 40 số Do số số n không chia hết cho : 100 – 40 = 60 số (còn tiếp) PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG (Trung tâm bồi dưỡng văn hóa luyện thi đại học Vónh Viễn) ... chọn Số số lẻ cần tìm : × × × × = 288 b) Số số gồm chữ số (a1 0) : × × × × × = 720 Số số gồm chữ số mà a1 = : × × × × = 120 Vậy số số gồm chữ số (a1 ≠ 0) lấy từ X 720 – 120 = 600 Mà số số lẻ... chọn a2 Số cách chọn a3 Số cách chọn a4 Số cách chọn a5 Vậy số vé gồm chữ số khác : 10 × × × × = 30240 Baøi Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn,... = 60 số Cách 2: Có 4! Số chẵn với a5 = Có 2.3.3! số chẵn với a5 = hay a5 = Vậy số số chẵn thỏa ycbt 4! + 2.3.3! = 60 Bài 14 Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Giải Gọi n = a1a