Bài giảng toan10_BT_Vecto_2

Vấn đề 1: VECTƠ – TỔNG, HIỆU VECTƠ, TÍCH VECTƠ VỚI SỐ A- Tóm tắt cơ sở lý thuyết: I- VECTƠ: 1- Định nghĩa 2- Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ ngược hướng. 3-Độ dài vectơ 4- Hai vectơ bằng nhau – Hai vectơ đối nhau – Vectơ không. II- TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ: 1- Định nghĩa2- Tính chất 3- Các qui tắc cơ bản: 4-Công thức cần nhớ: + Trung điểm + Trong tâm tam giác II− TÍCH MỘT SỐ VỚI VECTƠ: 1− Định nghĩa 2−Tính chất 3− Hệ thức trung điểm− Hệ thức trọng tâm. B- Luyện tập: I- Chứng minh hai vectơ bằng nhau: Phương pháp: 1- Dùng định nghĩa: a cuøng höôùng b a b a b   = ⇔  =   r r r r r r 2- Đưa về hình bình hành rồi áp dụng tính chất hình bình hành. Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh : = uuuur uuur MN QP . Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm M và trên phần kéo dài cạnh AC về phía C lấy điểm N, sao cho BM = CN. Đoạn thẳng MN cắt BC tại E. Chứng minh: = uuur uuur ME EN . Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC, các điểm M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, DB. Chứng minh: = uuur uuur MF NE . Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BD, CD. Chứng minh : Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi = uuuur uuur MN NP II- Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp: 1- Biến đổi vế phức tạp để có vế đơn giản 2- Dùng phép tương đương. 3- Dùng quan hệ bắc cầu. Bài 1. Cho tứ giác ABCD .M, N là trung điểm của AD, BC, O là trung điểm của MN. Chứng minh a) →→→→ +=− DBACCDAB ; b) )( 2 1 )( 2 1 →→→→→ +=+= DBACDCABMN c) →→→→→ =+++ OODOCOBOA ; d) →→→→→ =+++ MOMDMCMBMA 4 . Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh: a) D D+ = + uuur uuur uuur uuur AB C A CB b) D D+ = + uuur uuur uuur uuur AC B A BC Bài 3: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh: D A D+ + = + uuur uuur uuur uuur uuur AB C E CB E . Bài 4: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: D + + = + + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A BE CF AE BF CD AF BD CE . Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh 0+ + = uuuur uuur uuur r AM BN CE . 1 Qui tắc 3 điểm + Tổng + Hiệu Qui tắc hình bình hành Bài 6: Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm , H là trực tâm , O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh: a) 2= uuur uuuur AH OM b) 2+ + = uuur uuur uuur uuur HA HB HC HO c) + + = uuur uuur uuur uuur OA OB OC OH Bài 7: Cho 4 điểm A,B,C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh: nếu = uuur uuur AB CD thì = uuur uuur AC BD b) Chứng minh: 2+ = + = uuur uuur uuur uuur uur AC BD AD BC I J c) Gọi G là trung điểm của IJ. CMR: + + + = uuur uuur uuur uuur ur GA GB GC GD O d) Gọi P, Q là trung điểm của AC và BD; M, N là trung điểm của AD và BC . Chứng minh IJ. PQ, MN có chung trung điểm. Bài 8: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: 2( ) 3+ + + = uuur uur uur uuur uuur AB AI JA DA DB Bài 9: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. a) CMR: 2 0+ + = uur uur uur r IA IB IC b) Với 1 điểm O bất kỳ. CMR: 2 4+ + = uuur uuur uuur uur OA OB OC OI III. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔( 0, ) ( , / 0) α β α β ∃ ≠ = ⇔ ∃ + = uuur uuur uuur uuur r k AB k AC AB AC Bài 1:Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho: 2 3 0+ − = uuur uuur uuur r OA OB OC .Chứng tỏ rằng A,B,C thẳng hàng. Bài 2: Cho ∆ABC với I, J , K lần lượt được xác định bởi: 1 2 , , 2 = = − = − uur uur uuur uur uuur uuur IB IC JC JA KA KB a) Tính , , AC uur uur uuur uuur IJ IK theo AB (HD: 4 3 = − uur uuur uuur IJ AB AC ) b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB) Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = 1 2 AF, AB = 1 2 AE. Ch. minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. Bài 4: Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: 3 0+ = uur uur r IA IC , 2 3 0+ + = uur uur uuur r JA JB JC Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng. Bài 5: Cho ∆ABC . Lấy các điểm M N, P: 2 2 0− = + = + = uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r MB MC NA NC PA PB a) Tính , uuuur uuur uuur uuur PM PN theo AB va AC b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm các điểm M, N định bỡi hệ thức 3 4 0MA MB+ = uuur uuur r và 3 0NB NC− = uuur uuur r a). Chứng minh M, G, N thẳng hàng. b) Biểu diễn AC uuur theo AG uuur và AN uuur . IV. Chứng minh 2 điểm trùng nhau Phương pháp: Cách 1: A trùng B ⇔ ∃M/ = uuur uuur MA MB . Cách 2: A trùng B ⇔ 0AB = uuur r 1. Cho ∆ABC , vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS. Chứng minh: ∆RIP và ∆JQS có cùng trọng tâm. 2. Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm. 3. Cho các tam giác ABC, A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác. CMR: 2 . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm . 4. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2 3 0A B A C ′ ′ + = uuur uuuur r , 2 3 0B C B A ′ ′ + = uuuur uuur r , 2 3 0C A C B ′ ′ + = uuur uuur r . Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm. 5. Cho lục giác ABCDEF. M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EF, FA. Chứng minh ∆MPR và ∆NQS có cùng trọng tâm. 6. Cho ABC ∆ và ''' CBA ∆ có chung trọng tâm G gọi 321 ,, GGG là trọng tâm các tam giác ',',' ABCCABBCA .Chứng minh 321 GGG ∆ cũng có trọng tâm G 7. Cho tam giác ABC. Gọi A’,B’,C’ là các điểm xác định bởi →→→ =+ OCABA '2009'2008 , →→→→→→ =+=+ OBCACOABCB '2009'2008,'2009'2008 . CMR: ABC ∆ và ''' CBA ∆ cùng trọng tâm 8. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi G 1 , G 2 , G 3, G 4 lần lượt là trọng tâm các tam giác ∆ABC, ∆BCD, ∆CDA, ∆DAB. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác G 1 G 2 G 3 G 4 9. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho: AA BB CC AB BC AC ′ ′ ′ = = CMR: các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Theo hướng phân tích một véc tơ theo hai vectơ không cùng phương 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB=2MC. Chứng minh: 1 2 3 3 AM AB AC= + uuuur uuur uuur 2. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho 2CN NA= uuur uuur . K là trung điểm của MN. Chứng minh: a) 1 1 4 6 AK AB AC= + uuur uuur uuur b) 1 1 4 3 KD AB AC= + uuur uuur uuur 3. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: a) 1 2 AM OB OA= − uuuur uuur uuur b) 1 2 BN OC OB= − uuur uuur uuur c) ( ) 1 2 MN OC OB= − uuuur uuur uuur 4. Cho ∆ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. CMR: a) 2 4 3 3 AB CM BN= − − uuur uuur uuur b) 4 2 3 3 AC CM BN= − − uuur uuur uuur c) 1 1 3 3 MN BN CM= − uuuur uuur uuur 5. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD uuur uuur theo các vectơ AB vaø AF uuur uuur . 6. OABC là hình thang, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ AM uuuur theo các vectơ , ,OA OB OC uuur uuur uuur . 7. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 3 , 3 , 0MB MC NA CN PA PB= = + = uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r . a) Tính ,PM PN uuur uuur theo ,AB AC uuur uuur . b) CMR: M, N, P thẳng hàng. 8. Cho ∆ABC. Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. a) CMR: 1 1 1 0AA BB CC+ + = uuur uuur uuuur r b) Đặt 1 1 ,BB u CC v= = uuur uuuur r r . Tính , ,BC CA AB uuur uuur uuur theo u vaø v r r . 9. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Tính ,AI AF theo AB vaø AC uur uuur uuur uuur . b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính AG theo AI vaø AF uuur uur uuur . 3 10. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. a) CMR: 2 1 3 3 AH AC AB= − uuur uuur uuur và ( ) 1 3 CH AB AC= − + uuur uuur uuur b) Gọi M là trung điểm của BC. CMR: 1 5 6 6 MH AC AB= − uuuur uuur uuur . 11. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B. a) CMR: 5 0HA HB HC− + = uuur uuur uuur r b) Đặt ,AG a AH b= = uuur uuur r r . Tính ,AB AC uuur uuur theo a vaø b r r . TẬP HỢP ĐIỂM THOÃ MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) MA MB MA MB+ = − uuur uuur uuur uuur b) 2 2MA MB MA MB+ = + uuur uuur uuur uuur 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) 3 MA MB MC MB MC 2 + + = + uuuur uuur uuur uuur uuur b) MA BC MA MB+ = − uuur uuur uuur uuur (HD: dựng hình bình hành ABCD) 3. Cho ∆ABC. a) Xác định điểm I sao cho: 3 2 0IA IB IC− + = uur uur uur r . b) CMR đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức: 2 2MN MA MB MC= − + uuuur uuur uuur uuuur luôn đi qua một điểm cố định. c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3 2HA HB HC HA HB− + = − uuur uuur uuur uuur uuur d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 3KA KB KC KB KC+ + = + uuur uuur uuur uuur uuur 4. Cho ∆ABC. a) Xác định điểm I sao cho: 3 2 0IA IB IC+ − = uur uur uur r . b) Xác định điểm D sao cho: 3 2 0DB DC− = uuur uuur r . c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − = − − uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur . 4 . điểm xác định bởi →→→ =+ OCABA &apos ;20 09&apos ;20 08 , →→→→→→ =+=+ OBCACOABCB &apos ;20 09&apos ;20 08,&apos ;20 09&apos ;20 08 . CMR: ABC ∆ và '''. uuur r k AB k AC AB AC Bài 1:Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho: 2 3 0+ − = uuur uuur uuur r OA OB OC .Chứng tỏ rằng A,B,C thẳng hàng. Bài 2: Cho ∆ABC với I,