Nguyen ham

[r]

CHƯƠNG III

CHƯƠNG III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

ỨNG DỤNG

05/02/21

1./ Khái niệm nguyên hàm

1./ Khái niệm nguyên hàm

Bài 1: NGUYÊN HÀM

Bài 1: NGUYÊN HÀM

2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp

2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp

3./ Một số tính chất nguyên hàm

VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) a) f(x) = 2x

b) f(x) = cosx Giải :

a)Ta có nên F(x) = b) Ta thấy

nên F(x) = sinx

khi ta nói F(x) nguyên hàm f(x)

khi ta nói F(x) nguyên hàm f(x)

x

x ) 2

( ' 

x

x x) cos (sin ' 

1./ Khái niệm nguyên hàm

05/02/21

Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) được gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K.

Câu hỏi :

1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? 2 Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ?

Trả lời :

1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y=

2 Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y =

x

2

cos

10 ln

1

x

1./ Khái niệm nguyên hàm

Chú ý:

Chú ý:

• Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu

hay

• Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F ngun hàm f (a;b) chứng minh

F’(a) = f(a) F’(b) = f(b)

Do F nguyên hàm f đoạn [a;b]

) ( )

( )

(

lim f a

a x

a F x

F

a x

 



 

) ( )

( )

(

lim f b

b x

b F x

F

b x

 



 

1./ Khái niệm nguyên hàm

05/02/21

ĐỊNH LÝ 1

ĐỊNH LÝ 1

Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K.

Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f trên tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K.

1./ Khái niệm nguyên hàm

Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) thì họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu là

trong f(x)dx vi phân F(x).

Ký hiệu dùng nguyên hàm bất kỳ hàm số f

f ( x )dx F ( x ) C ,C   .

 

1./ Khái niệm nguyên hàm

1./ Khái niệm nguyên hàm

( f ( x )dx )'  f ( x )

05/02/21

2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp

2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp

C

dx 

0

C x

dx

dx 

  1  

C x

dx

x  

1 ln

) 1 (

1

  

 



 





 dx x C

cos( kx b )

sin( kx b )dx C ,k 0.

k



   



x

x a

a dx C( 0 1 )

ln a 

   

 kx

kx e

e dx C

k

 



sin( kx b )

cos( kx b )dx C

k



  



2 1

dx tan x C

cos x  

 2

1

dx cot x C

sin x  



2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp

05/02/21 10

[f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx af ( x )dx a f ( x )dx

  



  

 

Định lý 2: Nếu f,g hai hàm số liên tục K , với a số thực khác thì:

f ( x )dx ' f ( x ) f ( t )dt F ( t ) C

f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C f ( u )du F ( u ) C

[ ] 

 

  

 

 

 

3./ Một số tính chất nguyên hàm

3./ Một số tính chất nguyên hàm

Chú ý:

Chú ý: Nêu f ( x )dx F ( x ) C thì

1

f ( ax b )dx f ( ax b )d( ax b ) a

1

F ( ax b ) C a

 

   

  



 

C x

u dx

x u

x u

 

 '(( )) ln ( )

C x

x dx

 



C dx

 





C x

n n dx

x n n

n

 

 

 1

C x

n n x

dx n n

n   



 1

3./ Một số tính chất nguyên hàm

05/02/21 12

Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai:

e dx e  C

.

A x x

sin xdx cos x  C

. C

2dx 2x  C

. B

   C

2 x xdx

. D

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

3 3

f ( x )  x  3x  5 x

3

1

1

3 3 5 (3 ) (5 )

)

(x x x x x x x

f      

f (x)dx [x  (3x)  (5x)3 ]dx

1

1

1

C x

x x

C x

x x

 

 

 



 

 

 

3

3 4

3

3

1

4

1

3

4

4 3

2

4

4 3

3

Giải

05/02/21 14 x x 2

f ( x ) ( 3  2 )

2

2 (3 ) 2.3 .2 (2 )

) 2 3

( )

(x x x x x x x

f     

x x

x 2.6 4

9  



C dx

x f

x x

x

 

 

 ( ) ln9 9 2. ln6 6 ln4 4

Vậy

Ví dụ 2:

Ví dụ 2: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

Giải

Vậy

3

2

sin x 2 f ( x )

3 sin x

 

   

  

 



x x

x x

x

f 2 2

3

sin 1 3

2 3

sin sin

3

2 sin

) (

C x

x dx

x x

 

  

  

 



 sin3 3sin2 13 cos 32 cot

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

Giải

05/02/21 16

Vậy

3 x x

f ( x ) sin 6 sin

3 3

 

3 sin 6

3 sin

8 )

(x x x

f  

x x

x

sin 2

) 3 sin

4 3

sin 3

(

2   



f (x)dx ( 2sin x)dx

C x

C x

 

 

 

cos 2

) cos

( 2 Ví dụ 3:

Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

Giải

C b ax a dx b

ax    

sin( ) cos( )

C e

a dx

eaxb  axb 

 C b ax a dx b

ax    

cos2(1 ) tan( )

C b ax a b ax dx    

 ln

) ( ) ( ) (             

 ax b C

a dx b ax C b ax a dx b

ax    

cos( ) sin( )

C b ax a dx b

ax    

sin2(1 ) cot( )

a 0

 

Bảng nguyên hàm mở rộng

05/02/21 18

Vậy

2

1 f ( x )

2 x x 3

   ) )( ( ) ( 2        x x x x x f ) 1 ( ) )( ( )] ( ) [( 2            x x x x x x ] 1 [ ) (        dx x dx x dx x f C x x C x x          / ln ] / ln [ln

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số: Giải

Vậy

1 f ( x )

2 sin x cos x

   ) cos( 2 cos sin ) (        x x x x f ) ( sin 2 )] cos( [ 2        x x C x x dx dx x

f    



 

 21 cot(2 8 )

) ( sin 2 ) (  

Ví dụ 5:

Ví dụ 5: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

Giải

05/02/21 20

x x

f ( x ) e e 2dx

   | | ) ( )

( 2 2

x x

x x

x

x e e e e e

e x f           Xét x x

2 2 x x

e e 0 x 0

2 2         C e e dx e e dx x f e e x f x x x x x x            

 ( ) ( ) 2( )

)

( 2 2 2

x x

2 2

e e 0 x 0

     C e e dx e e dx x f e e x f x x x x x x              

 ( ) ( ) 2( )

)

( 2 2 2

Ví dụ 6:

Ví dụ 6: tìm ngun hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

Giải

Giải

3 2

x 3x 2 f ( x )

x( x 2 x )

     2 ) 1 ( 4 2 1 ) 1 2 ( 2 3 ) (          x x x x x x x x x f

Ta có 2 2

) ( ) (       x c x b x a x x cx x bx x

a    



 ( 1)2 ( 1)

Cho x=0 a=1 , x=-1 c=-1 , x=1 b=-1 Do                  2 ) ( 1 1 ) ( x x x x x x x x x C x x x dx x

f     

  ( ) 2ln | | ln

Ví dụ 7:

Ví dụ 7: tìm nguyên hàm hàm số: tìm nguyên hàm hàm số:

Giải