Ví dụ 4: ( Sử dụng Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng - chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cauchy ).. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = abc.[r]
(1)MỘT SỐ KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC VÀ TÌM MAX−MIN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Lê Trung Tín
(Giáo viên trường THPT Hồng Ngự 2, tỉnh Đồng Tháp)
A
Bất đẳng thức cauchy (Bất đẳng AM-GM)
Với số thực a1, a2, , an khơng âm ta có:
a1+a2+ .+an≥n n √
a1a2 an
Dấu “=” xảy a1 =a2 = .=an
Ví dụ 1:(Sử dụng Kỹ thuật thêm lượng, biểu thức hỗ trợ)
1 Chứng minh với a, b, c >0 ta có:
a b+c+
b c+a +
c a+b ≥
3
2 ( Bất đẳng thức Nesbitt)
2 Chứng minh x >0, y >0thì
x+
(x−y)(y+ 1)2 ≥3
3 Cho
x2+xy+y2 = 3
y2+yz+z2 = 16 Chứng minh bất đẳng thức sau xy+yz+zx≤8
4 Choa, b, c >0và a+b+c= Chứng minh
1 + a
1 + b
1 + c
≥64
Bài tập tương tự:
1 Chứng minh với a, b, c >0 ta có:
a2
b+c+ b2
c+a + c2
a+b ≥
a+b+c
2 Chứng minh với a, b, c, d >0 ta có:
a b+c +
b c+d +
c d+a +
d
(2)Ví dụ 2: (Sử dụng Kỹ thuật côsi ngược dấu)
Cho số dương a, b, cthỏa mãn a+b+c= Chứng minh
a +b2 +
b +c2 +
c +a2 ≥
3 Bài tập tương tự:
1 Cho số dươnga, b, c thỏa mãn √ab+√bc+√ca= Chứng minh
a2 a+b +
b2 b+c+
c2 c+a ≥
1
2 Cho số dươnga, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d= Chứng minh
a +b2 +
b +c2 +
c +d2 +
d
1 +a2 ≥2
3 Cho số dươnga, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d= Chứng minh
a +b2c+
b +c2d +
c +d2a +
d
1 +a2b ≥2
4 Cho số dươnga, b, c, d Chứng minh
a3
a2+b2 +
b3
b2+c2 +
c3
c2+d2 +
d2
d2+a2 ≥
a+b+c+d
5 Cho số dươnga, b, c thỏa mãn a+b+c= Chứng minh
a+ 1 +b2 +
b+ 1 +c2 +
c+ 1 +a2 ≥3
6 Cho số không âma, b, c thỏa mãn a+b+c= Chứng minh
a2 +b2 +
b2 +c2 +
c2 +a2 ≥
3
(Đề thi hsg lớp 12 cấp năm 2006 -2007)
Ví dụ 3: (Sử dụng Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức cauchy)
1 Cho
(
a, b, c >0 a+b+c≤
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S =a+b+c+1 a +
1 b +
1 c
2 Cho
(
a, b, c >0 a+b+c≤
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S =
r
a2+
b2 +
r
b2+
c2 +
r
c2+
(3)Bài tập tương tự:
1 Cho
x, y, z >0
xyz = Chứng minh bất đẳng thức sau x3
(1 +y)(1 +z)+
y3
(1 +z)(1 +x) +
z3
(1 +x)(1 +y) ≥
4 (IMO shortlist 1998)
2 Cho
a, b, c, d≥0
ab+bc+cd+da = Chứng minh bất đẳng thức sau a3
b+c+d + b3
c+d+a + c3
d+a+b + d3
a+b+c ≥
3 (IMO shortlist 1990)
3 Chox, y, z >0 Chứng minh bất đẳng thức sau
x3 yz +
y3 xz +
z3
xy ≥x+y+z (Canada MO 2002)
4 Choa, b >0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S = a√+b ab +
√ ab a+b
5 Cho
a, b, c >0 a+b+c≤
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S =a2+b2+c2+ a +
1 b +
1 c
6 Cho
x, y, z >0
xyz = Chứng minh bất đẳng thức sau x2
1 +y + y2
1 +z + z2
1 +x ≥
7 Cho
x, y, z >0
x+y+z ≤1 Chứng minh
S =
r
x2+
x2 +
r
y2+
y2 +
r
z2+
z2 ≥
√ 82
8 Cho tam giácABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức
T = sinA+ sinB+ sinC+ sinA +
1 sinB +
1 sinC
(Lưu ý: sinA+ sinB+ sinC ≤ 3√3 )
9 Cho
a, b, c≥0
a2+b2+c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
T =a+b+c+ abc
10 Cho a, b, c, d >0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S = a b+c+d+
b c+d+a+
c d+a+b+
d a+b+c+
b+c+d
a +
c+a+d
b +
d+a+b
c +
(4)Ví dụ 4: (Sử dụng Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng -chọn điểm rơi bất đẳng thức cauchy)
1 Cho
a, b, c≥0
a+b+c= Tìm giá trị lớn biểu thức S =√3a+b+√3b+c+√3
c+a
2 Cho
a, b, c, d >0
a+b+c+d= Tìm giá trị lớn biểu thức S =√32a+b+√32b+c+√3 2c+d+√3 2d+a
3 Cho
a≥2, b≥9, c≥1945
a+b+c= 2000 Tìm giá trị lớn biểu thức P =abc
Bài tập tương tự:
1 Cho
a, b, c >0
a+b+c= Tìm giá trị lớn biểu thức
S=√4a+ +√4b+ +√4c+ ≥3√5
2 Cho
a >1
b >1 Tìm giá trị lớn biểu thức S=a√b−1 +b√a−1
3 Cho
a, b, c≥0
a+b+c= Tìm giá trị lớn biểu thức S =√a+b+√b+c+√c+a
4 Cho
a, b, c, d, e≥0
a+b+c+d+e= Tìm giá trị lớn biểu thức S =p5
(a+b)(c+d+e) +p5
(b+c)(d+e+a) +p5
(c+d)(e+a+b) +p5
(d+e)(a+b+c) +p5
(e+a)(b+c+d)
5 Chứng minh với a∈[−1; 1] ta ln có bất đẳng thức
S =√5 1−a5+√41−a4+√3 1−a3+√1−a2+√1 +a2+√31 +a3+√4 1 +a4+√1 +a5
6 Choa≥2, b≥6, c≥12 Tìm giá trị lớn biểu thức
S = bc √
a−2 +ca√3
b−6 +ab√4
x−12 abc
7 Chox, y >0 Tìm giá trị lớn biểu thức
S = (x+y)
3
(5)Ví dụ 5: (Kỹ thuật cân hệ số bất đẳng thức cauchy)
Cho
x, y, z ≥0
xy+yz+zx= Chứng minh
10x2+ 10y2+z2 ≥4
Bài tập tương tự:
1 Cho
x, y, z ≥0
xy+yz+zx= Chứng minh
3x2+ 3y2+z2 ≥10
2 Cho
x, y, z ≥0
xy+yz+zx= Tìm giá trị nhỏ
P =k(x2+y2) +z2, với k số
3 Cho
x, y, z, t≥0
xy+yz+zt+tx = Tìm giá trị nhỏ
P = 5x2+ 4y2+ 5z2+t2, với k số
4 Cho
x, y, z ≥0
x+y+z = .Tìm giá trị nhỏ P =x2+y2+z3
Bất đẳng thức Schwartz - Bouniakovski (Svacsơ - Bunhiacôpxki)
Với số thực a1, a2, , an, b1, b2, , bn ta có
(a21+a22+ .+a2n)(b21+b22+ .+b2n)≥(a1b1+a2b2+ .+anbn)2
Dấu “=” xảy a1
b1
= a2 b2
= .= an bn
Hệ quả: Với số thực a1, a2, , an b1, b2, , bn>0ta có
a21 b1
+a
2
b2
+ .+a
2
n bn
≥ (a1 +a2+ .+an)
2
b1+b2+ .+bn
Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức svacsơ
Ví dụ 1: (Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Svacsơ - Bunhiacôpxki)
Cho
(
a, b, c >0 a+b+c≤
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S =
r
a2 +
b2 +
r
b2+
c2 +
r
c2 +
(6)Bài tập tương tự
1 Cho
a, b, c >0
a+b+c≥6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S =
r
a2 +
b+c+
r
b2 +
c+a +
r
c2+
a+b
2 Cho
a, b, c >0 √
a+√b+√c≥3√2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S =
r
a2+
b2 +
r
b2+
c2 +
r
c2+
a2
3 Choa, b, c >0thỏa mãn a+b+c+√abc ≥10 Chứng minh
r
8 a2 +
9b2
2 + c2a2
4 +
r
8 b2 +
9c2
2 + a2b2
4 +
r
8 c2 +
9a2
2 + b2c2
4 ≥6 √
6
4 Choa, b, c >0thỏa mãn a(1 +
r
a
2) +b(1 +
r
b
2) +c(1 +
r
c
2)≥12 Chứng minh
r
16 a2 +
5b2 + c 2+ 19a3 + r 16 b2 +
5c2 + a + 19b3 + r 16 c2 +
5a2
4 + b +
19c3
8 ≥3 √
29
5 Choa, b, c >0thoả mãn a+b+c= Chứng minh
r
(1−b)(1−c)
a +
r
(1−c)(1−a)
b +
r
(1−a)(1−b)
c ≥2
√
Ví dụ 2: (Kỹ thuật cân hệ số bất đẳng thức Svacsơ - Bunhiacôpxki)
1 Chox, y, z ≥0vả x+y+z = Tìm giá trị nhỏ S =x2+ 2y2+ 3z2
2 Chox1, x2, x3, x4 ≥ vả
1 ≤ x
2
1+x22+x23 +x24 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
nhất
A= (x1−2x2+x3)2+ (x2−2x3+x4)2 + .+ (x2−2x1)2+ (x3 −2x4)2
Bài tập tương tự:
1 Choa1, a2, , an>0 Chứng minh
S = a1
+
a1+a2
+ .+ n
a1+a2+ .+an <4 a1 + a2
+ .+ an
2 Choa1, a2, , an∈R Chứng minh
S =a21+
a1+a2
2
2
+ .+
a1+a2+ .+an
2
<4
a21+a22+ .+a2n
3 Cho số thực x, y, z thoả mãn
x≥y≥z ≥1 2y+ 3z ≥6 11x+ 27z ≥54
Tìm giá trị lớn
P(x, y, z) = x2 +
2008 y2 +
(7)Phương pháp đưa biến bất đẳng thức
Bài tốn: Với điều kiện K (nếu có) Chứng minh
P(x, y, z, )≥A(hoặc P(x, y, z, )≤A)
Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau:
• Biến đổi P(x, y, z, )≥f(t) (hoặc P(x, y, z, )≤f(t) ) với t∈D
• Chứng minhf(t)≥A với t∈D (hoặc f(t)≤A với t∈D)
Một số kiến thức thường sử dụng:
1 Bất đẳng thức Cauchy
2 Bất đẳng thức Schwartz - Bouniakovski Các đẳng thức sau:
• (x+y+z)2 =x2+y2+z2+ 2(xy+yz+zx)
• x3+y3 +z3 = (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz −zx) + 3xyz
4 Nếu P(x, y, z) có giá trị khơng đổi hốn vị vòng quanh biếnx, y, z, tức
P(x, y, z) = P(z, x, y) = P(y, z, x)
thì khơng tính tổng qt ta giả sử x= min(x, y, z)hoặc x= max(x, y, z) Nếu P(x, y, z) có giá trị khơng đổi hốn vị biếnx, y, z, tức
P(x, y, z) =P(x, z, y) =P(y, x, z) =P(y, z, x) =P(z, x, y) =P(z, y, x)
thì khơng tính tổng qt ta xếp biến sau x≥y≥z
Ví dụ 1: (Đưa biến số t với t=h(x, y, , z)) Chox, y, z >0 Chứng minh x3+y3 ≥x2y+y2x.
2 Chox, y, z >0thỏa mãnx2+y2+z2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
P =x3+y3+z3 −3xyz
3 Cho
(
a, b, c >0 a+b+c≤
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =a+b+c+
1 a +
1 b +
1 c
4 Cho
(
a, b, c >0 a+b+c≤
2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
r
a2+
b2 +
r
b2+
c2 +
r
c2+
(8)5 Với mọix, y, z >0và xyz ≥1 Chứng minh
x
p
x+√yz +
y
p
y+√zx + z
p
z+√xy ≥ √
6 Cho
x, y, z ≥0
x+y+z = Tìm giá trị lớn P = x
1 +x2 +
y +y2 +
z +z2
7 Cho
x, y, z ∈(0; 1)
xyz = (1−x)(1−y)(1−z) Chứng minh x
2+y2+z2 ≥
4
8 Cho số không âm phân biệta, b, c Chứng minh
(a2+b2+c2)
1 (a−b)2 +
1 (b−c)2 +
1 (c−a)2 ≥
11 + 5√5
Ví dụ 2: (Đưa biến x (hoặc y, z)) Cho
x+y+z =
x, y, z ≥0 Chứng minh xy+yz+zx−xyz ≥ 27
2 Cho
x+y+z =
x, y, z ≥0 Chứng minh +xyz ≥2(xy+yz+zx)
3 Cho
x, y, z ∈[0; 2]
x+y+z = Chứng minh x
3+y3+z3 ≤9.
Ví dụ 3: (Đưa dần biến)
1 Chox, y, z ∈[0; 2] Chứng minh x3+y3+z3 ≤5xyz
2 Cho
x+y+z =