Gäi D vµ E lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC.[r]
(1)Phòng giáo dục Đề thi học sinh giái líp 9
Thä xu©n THCS Năm học: 2006 - 2007
Trờng THCS Nam Giang Môn thi: toán
(Thi gian làm 150 phút – không kể thời gian giao ) bi
CâuI- (4đ) : Tính giá trị cđa biĨu thøc : 1, 5 3 2912
2, 2 + 14
C©u II- (5đ) : Giải phơng trình sau : 1,
1
x
x
+
1
x =
2
2
x
2, 2
x
x + 4
x
x =
3, x4 – 3x3 + 4x2 –3x +1 = 0
Câu III- (3đ) :
1, Cho a,b,c số dơng , chứng minh : 12
a +1
1
b +2
1
c + abc 32
2, Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã :
1
n - n >
1
1
n
Câu III (3đ) : Tìm giá trị nhỏ hàm số : a, y =
9
1
2
x x
x x
b, y =
2
3
x - 4
Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông A ,đờng cao AH Gọi D E lần lợt là hình chiếu điểm H AB AC Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
a, Tính độ dài đoạn DE
b, Chøng minh r»ng AD AB = AE.AC
c, Các đờng thẳng vng góc với DE D E lần lợt cắt BC M N Chứng minh M trung điểm BH ; N trung điểm CH
d, TÝnh diÖn tÝch tứ giác DENM
(2)-&*& -Đáp án biểu chấm
môn: toán
Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a,(2®)
5 3 2912 = 5 3 (2 5 3)2 (0,5 ®) = 5 3 53 (0,5®)
= 5 6 (0,25®)
= 5 ( 5 1)2
(0,5®) = 5 51 (0,25®)
= b (2®)
3
2 + 14 =
2
3 14 (
2 (0,5®)
=
2
3 10 28
4 (0,25®)
=
2
) ( )
(
(0,5®) =
2
3 (0,5®)
= 2
(0,25đ)
Câu II: (5điểm) Giải phơng trình sau. a (1,5đ)
1 1
1
x x
x x
- Tỡm c
ĐKXĐ: x (0,5đ) - Giải tìm nghiệm x = ĐKXĐ (1đ)
x = - §KX§ b 2 4
x x x
x (1,5®)
Trang - Biến đổi đa phơng trình dạng
| x – 1| + | x – | = (0,5đ) - Xét trờng hợp phơng trình (0,5đ) - Tìm nghiệm x = 0; x = (0,5đ)
c (2®) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + =
Lý luận x = nghiệm phơng trình có nghiệm x chia vế cho x2 ta đợc:
x2 – 3x + -
x
+ 12
x = (0,5®)
- Đa phơng trình dạng: ( x2 +
2
1
x ) – (x + x
(3)- Đặt đợc ẩn phụ đa phơng trình dạng (Đặt y = x +
x
) y2 – 3y + = 0 (0,5®)
- Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = (0,25đ) - Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y cỏc trng hp (0,25)
Nghiệm phơng trình x = (0,25đ) Câu III: (3điểm)
a.(1,5đ) Cho a,b,c số dơng Chứng minh rằng: ( 12
a + ) (
1
b + ) (
1
c + ) abc 32
- áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho số dơng (1đ)
2
1
a + 2
1 a = a
2
2
1
b + b b 2 2
c c c
2
( 12
a + ) (
1
b + ) (
1
c + ) abc 32
(0,25®) DÊu “=” x¶y a = 1; b =
2
; c = 2
1
(0,25®)
Trang b.(1,5®) Chøng minh r»ng víi mäi n N ta cã
1 1 n n n
- Biến đổi
n n n n n n n n ) )( ( = n n1
1
(0,25đ) - So sánh đợc:
n n1
1 > n (0,5®)
- Từ suy ra:
1 1 n n n C©u IV:(3điểm)
Tìm giá trị nhỏ hàm số: a (2®) y =
(4)=
18
11
1
2
x
x (0,25®)
=
14 ) (
11
1
2
x (0,25®)
- Lý luận đợc y
14 ) (
11
2
x max (0,25đ)
- Tìm
14 ) (
11
2
x max = 14 11
x = -1 (0,25đ) - đợc y =
7 14 11
x = -1 (0,5®)
b.(1®) y =
2 |
x + | - - Lý luận đợc
2 |
x + | x (0,25®)
Trang
|
x + | - - (0,25®)
y = - x = - (0,5đ) Câu V: (5đ)
V hình ghi giả thiết kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính DE = (cm) (1đ)
b.(1đ) Chứng minh hệ thức dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông (1đ) c (2đ) Gọi I giao điểm AH DE thì:
ID = IE = IA = IH (0,5®)
MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ)
MD = MH MDH cân M MDH = MHD
MDB = MBD (0,5®)
MBD c©n ë M ta cã MD = MB
MB = MH (= MD) vËy M trung điểm BH Chứng ming.thì N trung ®iĨm cđa HC (0,5®) d (0,5®) Tõ c©u c suy ra:
DM =
2
BH =
2
= 2(cm) EN =
2
HC =
2
= 4,5(cm) (0,25®)
S DENM =
2
(DM + EN) DE =
2
(2 + 4,5) = 19,5 (cm2) (0,25®)
(5)