Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Phương pháp hàm số giải toán MỞ ĐẦU Định nghĩa hàm số khái niệm liên quan đến hàm số trình bày chương trình sách giáo khoa lớp 10 Nhưng để hiểu rõ tính chất ứng dụng hàm số cần có kiến thức giải tích mà cụ thể đạo hàm hàm số Kiến thức đạo hàm ứng dụng đạo hàm trình bày chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 đầu lớp 12 Dùng đạo hàm hàm số giúp tìm GTLN, GTNN , xét khoảng đồng biến , nghich biến hàm số xét tính lồi lõm đồ thị hàm số Từ ứng dụng đạo hàm hàm số giúp giải số tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét hội tụ dãy số chứng minh bất đẳng thức Trong viết tìm hiểu số ứng dụng phương pháp hàm số vào giải toán Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải tốn I- Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) ln đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm phương trình f(x) = k D không nhiều f(x) = f(y) x = y với x, y D Chứng minh: a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức f(a) = k Nếu x > a f(x) > f(a) = k suy phương trình vơ nghiệm Nếu x < a f(x) < f(a) = k suy phương trình vơ nghiệm b) Nếu x > y f(x) > f(y) suy phương trình f(x) = f(y) vơ nghiệm Nếu x < y f(x) < f(y) suy phương trình f(x) = f(y) vơ nghiệm 2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch biến) hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D số nghiệm phương trình f(x) = g(x) không nhiều Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức f(a) = g(a) Nếu x > a f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy phương trình vơ nghiệm Nếu x < a f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy phương trình vơ nghiệm 3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) khoảng (a;b) phương trình f(x) = có nghiệm có tối đa nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = - x Giải: Tập xác định D= R Phương trình tương đương với 3x + x - = Xét hàm số f(x ) = 3x + x - Hàm số xác định liên tục R f’(x) = 3x.ln3 + > x R Vậy hàm số f(x) đồng biến R Mặt khác phương trình có nghiệm x =1 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 1: Giải phương trình: log x 11 x 2 Bài tập 2: Giải phương trình: x (13 x ).3x 9x2 36 � x2 x � Ví dụ 2: Giải phương trình : log3 � � x 3x �2x 4x � Giải: Tập xác định D = R Phương trình cho tương đương với log ( x x 3) ( x x 3) log3 (2 x2 x 5) (2 x2 x 5) (*) Xét hàm số f(t) = log t t Hàm số xác định liên tục khoảng(0;+ ) > t > Vậy hàm số f(t) đồng biến khoảng(0;+ ) f’(t) = t ln Phương trình (*) f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5) x2 +x + = 2x2 + 4x + x = - v x = - 3 �x y y 3x Bài tập 1: Giải hệ phương trình � 2x y � 3 �x y y 3x Bài tập 2: Giải hệ phương trình � 3x y � � � x 10 y Bài tập 3: Giải hệ phương trình � � y 10 x Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 2 Phương pháp hàm số giải toán 3 � �x y y 3x Bài tập : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm � 2 �x x y y m Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + Giải: Tập xác định D = R Phương trình cho tương đương với 3x - 2x - = Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > x R Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = x =1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + x Bài tập 2: Giải phương trình: x log3 (1 2x) cos x cos x Bài tập 3: Giải phương trình: cos x 3.4 �x y y y � Ví dụ 4: Giải hệ phương trình �y z z z �z x x x � Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - f’(t) = 3t2 + 2t + > t R Vậy hàm số f(t) đồng biến R Giả sử x = maxx,y,z hay x y x z suy x = f(y) f( z) = y x= f(y) f(x) = z Từ ta có y z y x Suy f(y) f(z) hay z x Do x y z x từ x = y = z = �x 3x ln( x x 1) y �3 Bài tập 1: Giải hệ phương trình �y y ln( y y 1) z �z 3z ln( z z 1) x � �2x3 x2 18 y y � 3 Bài tập 2: Giải hệ phương trình �2 y y 18 z z �2z3 3z2 18 x x � �x x x y �3 Bài tập 3: Giải hệ phương trình �y y y 2z �z z 2z 2x2 � Ví dụ 5: Giải bất phương trình x x �1 Giải: Tập xác định D = - 6; 7 Xét hàm số f(x) = x x 1 x (- 6; 7) Ta có f’(x) = x6 7 x Vậy hàm số f(x) đồng biến đoạn - 6; 7 Mặt khác f(3) = Do bất phương trình tương đương với f(x) f(3) x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 3; 7 Bài tập 1: Giải bất phương trình x 3x2 6x 16 x Bài tập 2: Giải bất phương trình 6 3 x 2x Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải toán II - Sử dụng GTLN,GTNN hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khoảng (a;b) 1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn a;b f ( x ) �m �max f ( x ) a ;b a ;b f ( x ) �m 2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) m có nghiệm thuộc đoạn a;b max a ;b f ( x ) �m 3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) m có nghiệm thuộc đoạn a;b a ;b f ( x ) �m 4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) m nghiệm với x a;b a ;b f ( x ) �m 5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) m nghiệm với x a;b m aax ;b Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải tốn phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình chứa tham số Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau x 21 x x m a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) có nghiệm phân biệt Giải : Tập xác định D= -7;3, Xét hàm số f ( x ) x 21 x x , ta có 3(2 x ) f '( x ) , f’(x) = x= - (Loại) v x = 21 x x Ta có bảng biến thiên hàm số f(x) -7 x + f’(x) 15 f(x) -30 10 f ( x ) �m �max f ( x ) - 30 m 15 a) Phương trình có nghiệm 7;3 7;3 b) Phương trình có nghiệm - 30 m < 10 m = 15 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 10 m < 15 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + - 3m = a) Có nghiệm �� 0; b) Có nghiệm thuộc đoạn � � 3� � 2t 5t 11 Giải : Đặt t = cos2x với - t Phương trình trở thành m 2t 2t 5t 11 Xét hàm số f(t) = 2t 4t 12t 7 Ta có f '(t ) , f’(t) = t = (Loại) v t = Bảng biến thiên (2t 3) 2 t -1 1/2 f’(t) + 18/5 f(t) 7/2 Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải toán f (t ) �m �max f (t ) 7/2 m a) Phương trình có nghiệm 1;1 1;1 �� � 2 � 0; �thì 2x � 0; �hay �t �1 Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn b) Khi x � � 3� � � �� �1 � 0; ;1 hay 7/2 < m 18/5 phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn � � � 3� � �2 � � Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x m x x Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x 4 x 3x ( m 3) x Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 91 1 x ( m 2)31 1 x 2m Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 4x m x x m Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x 2x 24 x x m Bài tập 6: Tìm m để phương trình x x x2 m có nghiệm thuộc đoạn �1 � ;1 � �2 � � Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn � � ; � �4 4� � sin x + cos x + cos 4x = m Bài tập 8: Tìm m để phương trình x x m.( x 4) x2 x x 14 m có 4 x nghiệm thực Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x 3x m x 3 x Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm m 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 2 1 Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: x 3mx nghiệm x x 1 Giải: BPT � 3mx x 2, x �1 � 3m x x f x , x �1 x x � 2 0 x x �2 x � Ta có f � x ≠ � � x x x2 �x � x Suy f x đồng biến khoảng (1; + ) f x f 1 3m � m YCBT � f x 3m, x �1 � x� Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình x (4 x ) m( x 4x 2) �0 nghiệm với 2; � giá trị x � � � Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình x x �x x m nghiệm x � 4, 6 Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình x x 18 x x �m m nghiệm x � 3, 6 Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải tốn Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x x 12 m x x có nghiệm x xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn Giải: Chú ý: Nếu tính f � x x Thủ thuật: Đặt g x x x x 12 � g � 0 x 12 x 1 h x x x � h� 0 5 x 4 x Suy ra: g x tăng; h x > giảm hay tăng h x g x tăng Suy � f x f x m có nghiệm h x � m �� f x ; max f x � f ; f � 15 12 ;12 � � � 0;4 � 0;4 � Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx � x 2m Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 3x �m x x �x y � y � x Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm � �x 13 y 13 15m 10 x y � 1 Giải: Đặt u x x ; v y y ta có x 13 x 3x �1 x u 3u x x x x 1 1 u x x x x �2 x x ; v y y �2 y y u v5 uv5 � � �� uv m u v u v 15m 10 � � Khi hệ trở thành � u , v nghiệm phương trình bậc hai f t t 5t m Hệ có nghiệm � f t m có nghiệm t1 , t thỏa mãn t1 �2; t �2 Lập Bảng biến thiên hàm số f t với t �2 t t f� � f t +� –2 – – 5/2 +� + +� 22 7/4 m ۣ�ڳ Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm ۣ m 22 Bài tập 1: Chứng minh m > hệ phương trình sau có nghiệm �y x m �x e e y ln(1 x ) ln(1 y ) � � �x y 4 Bài tập 2: Tìm m để hệ: � � x y �m có nghiệm x; y thỏa mãn điều kiện x �9 (m tham số) Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải tốn III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN hàm số để chứng minh bất đẳng thức 1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) f(a) < f(x) < f(b) với x (a;b) 2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng (a;b) f(a) > f(x) > f(b) với x (a;b) 3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) f(a) f(x) f(b) với x a;b 4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng (a;b) f(a) f(x) f(b) với x a;b Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức cách xét hàm số �� sin x 0; � với x �� � 2� x sin x � x , với x �� 0; � Giải: Xét hàm số f(x) = � cos x � 2� cos2 x cos x cos x (1 cos x ) �� 0; � f '( x ) , x �� � 2� cos x cos x cos x cos x �� 0; � Từ f(x) > f(0) sin x x đpcm Do hàm số f(x) đồng biến khoảng � � 2� cos x Bài tập 1: Chứng minh x2 a) cos x , với x ≠ 2! x3 b) x sin x , với x > 3! x2 x4 c) cos x , với x ≠ 2! 4! x3 x5 d) sin x x , với x > 3! 5! e) ex + x , x R x f) ln x , với x > x ≠ e e x ln x , với x > x ≠ e g) x 1 Ví dụ 1: Chứng minh cos x sinx � h) � � � cosx , với x �(0; ) �x � Bài tập 2: Chứng minh 2 b) tan x sin x x , với x c) x (2 cos x ) 3sin x , với x > �� 0; d) sin x � x , với x �� � 2� � a) sin x tan x x , với x Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải toán e) x (1 x ) sin x �4 x (1 x ) , với x (0;1) Bài tập 3: Chứng minh rằng: a) e x xe x , với x > b) e x x x e x , với x > x c) x.e e x , với x > d) e x (1 x )1 x , với x > Bài tập 4: Chứng minh a) ln x ln x , với x > x x b) ln x , với x > 1 x c) x �x ln x , với x > x2 với x � 0; Bài tập 5: Chứng minh rằng: �� 0; a) sin tan x �x , với x �� � 4� � �� 0; b) tan sin x �x , với x �� � 3� � d) ln cos x ln 2 Ví dụ 2: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình 12x 6mx m A x12 x22 Giải : 12 Tìm m để m2 đạt GTNN, GTLN m Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải toán m m + + m m m Bài tập 1:Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x ax Tìm m để P x14 x24 a2 đạt GTNN Bài tập 2: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x (a 1) x a Tìm GTNN 1 P x1 x2 �x y � �x y � Ví dụ 3: Tìm GTNN f ( x; y ) � � � �, với x,y≠ x � �y x � �y Giải: Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN P sin x sin x sin x 3sin x Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc Phương pháp hàm số giải tốn 2 Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN P 2sin x 21cos x �x y � �x y � �x y � P Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN �y x � �y x � �y x �, với x,y≠ � � � � �� 1 cos x 4 Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN P cos x cos x cos x Ví dụ 4: Cho x, y ≥ thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức y xy P xy x Giải: Nếu x = từ giả thiết x2 + y2 = ta có y = Suy P = 1 Nếu x đặt y = tx, t ≥ Từ giả thiết ta có x2 + y2 = x2 + t2x2 = x t2 4t x 2tx 3t 2t Ta có P = 2tx x 3t 2t 12t 4t 3t 2t Xét hàm số f(t) = , f ’(t) = , f ’(t) = t = v t = (Loại) 2 (3t 2t 1) 3t 2t Bảng biến thiên t + f ’(t) + f(t) -1 Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - đạt t = x = 1; y = Max(P) = đạt x = 0; y = Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y2 = Tìm GTNN, GTLN 2( x 6xy ) P 2xy y Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện xy y - Tìm GTNN x2 y3 biểu thức P y x Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = Tìm GTLN,GTNN A = x2 - xy + y2 Giải: Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 10 Phương pháp hàm số giải toán Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = Tìm GTLN,GTNN A = x4 + y4 x2y2 1 Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y) Tìm GTLN A x y Giải: Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 11 Phương pháp hàm số giải toán 1 y2 2 x y Bài tập 2: Cho số thực không âm x,y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm GTLN, GTNN 2 biểu thức P x y y 3x 25xy Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = Tìm GTNN P x Bài tập 3: Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y 4xy �2 Tìm GTNN biểu 4 2 2 thức A x y x y x y Ví dụ 7: Cho hai số x,y (0;1) thảo mãn x + y = Tìm GTNN biểu thức f ( x; y ) x y y x Giải: Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 12 Phương pháp hàm số giải toán �a, b, c �0 Chứng minh rằng: ab bc ca 2abc � 27 �a b c Ví dụ 8: Cho � Giải: a b c 2a bc a a 2a bc a a 2a u f u Đồ thị y f u 2a u a a với �u bc � b c 1 a đoạn thẳng với a a � giá trị đầu mút f a a �� � � � � 27 f a 2a a 1 2a a 4 27 3 �7 27 2 0; a �và f ; f a � Do đồ thị y f u đoạn thẳng với u �� �4 27 � 27 nên f u � Đẳng thức xảy � a b c 27 �a, b, c �0 Chứng minh rằng: a b c abc �4 a b c � Bài tập 1: Cho � Bài tập 2: Chứng minh rằng: a b c ab bc ca �4, a, b, c � 0, 2 Ví dụ 9: Cho x,y,z > Tìm giá trị lớn biểu thức P xyz x y x yz y xz z xy Giải : Áp dụng trình tự bước sau ( x y)2 +) xy � , dấu xảy x = y A 2n A 2m � Bn Bm A n A m � An Am +) Nếu cho A, B > 0, m n > A < 2B +) Nếu cho m n > 0, A mn thi +) x y x y x yz y xz ( x y )( x z ) ( x y )( y z ) ( x y ) ( x y ) ( x y ) ( x y ) xy ( x y )(1 x)(1 y) ( x y ) ( x y ) xy ( x y)2 (2) 2 � � ( x y) � z ( x y) � ( x y) � � � ( x y) ( x y )2 Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 13 Phương pháp hàm số giải toán z xy (3) z ( x y) z (1 z ) � +) z xy � ( x y ) � ( z 1) 2� z � � � 2 z (1 z ) , đặt t z , t Xét hàm số +) P � z 1 ( z 1) 2(t t t 1) 2(t 2t 6t 2t 1) , f '( t ) (t 1)2 (t 1)3 1 f '(t ) � (t ) 2(t ) � t t t f (t ) �f (2 3) ? f (t ) MaxP Maxf (t ) f (2 3) ? Bài tập 1: Cho a,b,c>0 a b2 c Chứng minh a b c 3 � 2 2 b c c a a b Ta biết tiếp tuyến hàm số y=f(x) điểm khoảng lồi ln nằm phía đồ thị tiếp tuyến điểm khoảng lõm ln nằm phía đồ thị nên ta có nhận xét sau Nhận xét:Nếu y=ax+b tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x ) điểm A( x0 ; y0 ) ( A điểm uốn) , tồn khoảng I chứa điểm x0 cho f ( x ) �ax b x �I f ( x ) �ax b x �I Ví dụ 10: Cho a, b, c a b c Cmr : a b c �2(a b3 c ) Giải: Bđt cần chứng minh � a 2a b 2b3 c 2c3 �0 � f (a ) f (b) f (c) �0 với f ( x ) x x3 Ta thấy đẳng thức xảy a b c Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x là: y=8x-16 Ta có: f ( x) (8 x -16) x x3 x 16 ( x 2) ( x x 4) �0 x f (� x) 8 x� 16 f (a ) f (b) f (c) 8( a b c) 48 đpcm a (b c ) b(c a ) c (a b) � Bài tập 1: Cho a,b,c>0 Cmr: 2 2 a (b c) b (c a ) c ( a b) (b c a) (c a b ) (a b c ) � Bài tập 2: Cho a,b,c>0 Cmr : (b c) a (c a ) b (a b) c 1 a b c )3 Bài tập 3: Cho a, b, c Cmr: (a b c)( ) �4( a b c bc ca ab Giáo viên : Đinh Bạt Vinh - Trường THPT Nghi Lộc 14 Phương pháp hàm số giải toán IV - Ứng dụng định lí Lagrăng 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn a;b có đạo hàm khoảng f ( b) f ( a ) (a;b) tồn giá trị c (a;b) cho f '( c ) ba Chú ý: Định lý Lagrăng dùng để chứng minh bất đẳng thức dùng để chứng minh phương trình có nghiệm x (a;b) 2) Hệ quả: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n .Nếu pt f ( n ) ( x) có k nghiệm Pt f ( n 1) ( x ) có nhiều (k+1) nghiệm Ví dụ 1: Cho số thực a,b,c số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0 Chứng minh phương trình a.sin n x b.cos n x c.sinx+c=0 ln có nghiệm (0; ) a 5c b (*) n2 n2 sin n x cos n+2 x sin x sin x Xét hàm số f ( x) a [0; ] ta thấy f(x) b c c n2 n2 thoả mãn đk đ/l Lagrang [0; ] Mặt khác ta lại có: b a 5c f (0) ;f( ) n2 n2 � f (0) f ( ) (do (*) ) Theo đ/l Lagrang pt f’(x) có nghiệm (0; ) 2 n n+1 hay pt: a.sin x.cosx+cos x sinx+c.sin x.cosx+c.sinx.cosx=0 � sinx.cosx(asin n x b.cos n x csinx+c)=0 � a.sin n x b.cos n x c.sinx+c=0 (vì sinx, cosx >0 (0; ) ) có nghiệm (0; ) (đpcm) 2 ba b ba ln Ví dụ 2: Cho 0