Thông tin tài liệu
NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN CÔNG PHÁ BẤT ĐẲNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn MỤC LỤC PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1 I Bất đẳng thức AM-GM II Các bất đẳng thức phụ hay dùng III Một số tốn sử dụng AM-GM thơng thường: A Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM B Sử dụng đẳng thức: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c + 2(ab + bc + ca) C Sử dụng bất đẳng thức phụ D Vài bất đẳng thức mạnh bất đẳng thức AM-GM $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Kĩ dự đoán điểm rơi: II Kĩ biến hóa: 13 $3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 17 23 23 I Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 23 II Một số dạng hay dùng đề thi đại học 23 III Một vài ứng dụng 23 $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 28 I Làm quen với dạng biểu diễn khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 28 II Kĩ thuật chọn điểm rơi 29 III Kĩ thuật thêm bớt 32 IV Kĩ đưa đại lượng giống 34 V Kĩ đổi biến số 36 VI Kĩ nhân; chia đại lượng vào tử mẫu 38 VII Kết hợp nhiều kĩ 39 PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45 $1: TƯ TƯỞNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45 $2: KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 54 $3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 59 PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ 62 $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN 62 $2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DO TÍNH ĐỐI XỨNG 66 $3: BẤT ĐẲNG THỨC CÙNG BẬC VỚI HAI BIẾN 69 $4: MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 71 PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN 73 $1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN 73 $2: KĨ NĂNG ĐƯA VỀ MỘT BIẾN 82 I Kĩ thuật dồn biến 82 II Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đằng thức phụ ý tưởng nhỏ 87 PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 96 I Dạng sử dụng loại bất đẳng thức 98 II Phương pháp dồn biến bất đẳng thức lượng giác 101 PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI 107 Một số tính chất tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức 107 Sử dụng tam thức bậc để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 108 Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức 116 Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức tam giác 132 PHẦN VII: “VÙNG BIỂN” CHƯA ĐƯỢC KHAI THÁC $1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÊN BIẾT 136 136 I BÀI TOÁN I: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 136 II BÀI TOÁN II: TỬ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 140 III BÀI TOÁN III : TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR 144 IV BÀI TOÁN IV: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 148 V TƯ TƯỞNG BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG KHAI TRIỂN ABEL 151 VI KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG SOS 154 $2: MỘT PHƯƠNG PHÁP “LẠ” PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC 156 162 $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” 162 $2: 131 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI 168 $3 : TUYỂN TẬP CÁC CÂU BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2005 – 2014 240 $4 : BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG 252 PHẦN IX: ĐÀO SÂU VÀ MỞ RỘNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG $1: PHƯƠNG PHÁP SOS SUY RỘNG 257 257 Phương pháp S.S 262 Phương pháp S.O.S hoán vị 265 $ 2: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ NHỮNG MỞ RỘNG 267 I Bất đẳng thức Jensen tổng quát 267 II Bất đẳng thức Karamata 269 III Bất đẳng thức Muirhead 270 $3: BẤT ĐẲNG THỨC VORNICU-SCHUR 272 PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ 276 PHẦN XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI 295 $1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC 295 $2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 301 I Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức tích phân 301 A Cơ sở lý thuyết 301 Công phá Bất đẳng thức B Bài tập minh họa II Sử dụng dãy số để chứng minh số bất đẳng thức ba biến đối xứng $3: BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN Lovebook.vn 301 305 308 I Một số kĩ thuật đặc trưng với bất đẳng thức bốn biến 308 II Bất đẳng thức n biến 314 PHẦN XII: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG TRÊN CẢ NƯỚC 324 PHẦN A ĐỀ BÀI 324 PHẦN B LỜI GIẢI 328 PHẦN XIII: TUYỂN TẬP VÀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TỐN KHĨ 354 $1: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BÀI THI TST (2000-2014) 354 $2: BÀI TẬP TỔNG HỢP 380 $3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 434 PHỤ LỤC I : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN VẬT LÍ 437 PHỤ LỤC II : MỘT SỐ TỪ NGỮ TIẾNG ANH HAY DÙNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC 443 PHỤ LỤC III : TIỂU SỬ MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC ĐƯỢC ĐẶT TÊN CHO CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI KẾT 446 455 456 PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC $1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TỐN “CŨ” Phần tơi xoay quanh tốn từ tổng hợp số kiến thức quan trọng cho bạn ! Bài toán 1: Cho x ≥ z ≥ y > Tìm giá trị nhỏ của: x z − xyz xyz + x 2xyz + z P= + + 3xyz + x + z x z + z + xyz x z + x “Chém gió”: Khi gặp tốn này, bạn đọc có hướng suy nghĩ gì? Đó điều tơi muốn bạn biết Khi gặp tốn bất đẳng thức, đừng có hoảng sợ, cố gắng vạch hướng mà theo Đừng có nháp hay suy nghĩ viển vơng mà thân chưa biết làm Với tốn 1, tơi thấy ý tưởng đầu tiên: dùng đạo hàm cho biến, lẽ biến x, y, z không ràng buộc vào đẳng thức Tuy nhiên, lại phức tạp cho việc xét dấu đạo hàm Vậy ta có nên theo hướng đó, hay nói cách khác, ta phải làm bây giờ? Chưa biết phải làm gì, tơi xin đưa “form” chung cho toán bất đẳng thức sau: Đọc kĩ đề, mắc nối giả thiết kết luận với Thử dự đoán dấu xảy Lựa chọn phương pháp theo trình tự: Công cụ mạnh: Phương pháp dồn biến Phương pháp phân tích bình phương Bất đẳng thức Schur Bất đẳng thức cổ điển: Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức Jensen … Phối hợp kĩ năng: Tách, ghép, đổi biến, bất đẳng thức phụ, … Đây “form’’ chung dành cho đa số tốn, nằm suy nghĩ Điều mà nhấn mạnh đây: đa số khơng phải tất Ví dụ bước hai, dự đoán dấu bằng, nhiều người nói rằng: dự đốn dấu coi giải 50% tốn Điều không sai chưa đủ: Trước dự đoán, ta cần đặt câu hỏi: Dự đoán dấu để làm (mục đích); dự đốn liệu có khơng (tính sai), tốn nên dự đoán (đối tượng) Để trả lời câu hỏi này, đưa số tiêu sau: - Một là: Chỉ nên dự đốn có hình thức đơn giản, để mục tiêu khơng bị tốn q nhiều vào việc dự đốn Ví tốn chả lao đầu vào việc tìm dấu xảy Như vậy, cần nhấn mạnh mục tiêu một: nên dự đốn dấu hay khơng? - Hai là: Theo kinh nghiệm thấy, hầu hết tốn có dấu xảy khi: Hoặc biến biên (nằm giả thiết) Hoặc hai biến Khi thay vậy, ta biến, dùng đạo hàm để tìm dấu dễ dàng hơn! Nhưng tất - Ba là: Dự đốn dấu để làm gì? (mục tiêu) Thì bạn đánh giá, bất đẳng thức bài, sau viết, bạn phải kiểm tra có xảy dấu hay khơng? Ví dụ dấu xảy ba biến x, y, z mà bạn lại xuất đánh giá xyz>0 bất đẳng Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thức chắn bạn làm kiểu lời giải sai Kinh nghiệm bạn thấy rõ phương pháp cân hệ số Ở bước ba, “form”của là: từ công cụ mạnh đến công cụ yếu Tại lại nghĩ thế? Đơn giản ta phải xác định mục tiêu ta: giải tốn khơng phải tìm lời giải tốn Hai điều khác nào? Ý mà muốn bạn hiểu là: + Giải tốn: tìm kết tốn, tìm cách chứng minh kết luận phải theo chất Tức là, dù cách giải dài hay ngắn phải suy luận logic + Tìm lời giải toán: định nghĩa bao trùm giải tốn, tức ta phải tìm lời giải hay, đẹp mắt, nhiều không theo suy luận logic Chắc chắn rằng, tìm lời giải phức tạp giải tốn Trong kì thi tuyển sinh đại học, thứ mà cần “giải toán” Nếu bạn nắm rõ gốc gác vấn đề cần suy luận thơng thường để tìm giải đáp Tuy nhiên, bước ba này, đâu phải theo “form”, ví dụ họ cho bất đẳng thức hai biến đối xứng chả “ngu” mà nghĩ tới kĩ thuật dồn biến, … Điều mà muốn nhắc nhờ: đừng quy tắc, linh hoạt tốt Với đống công cụ, ta cần chọn công cụ cho hợp lý???? Quay lại tốn 1, bạn có ý tưởng chưa? Đây tốn “cũ” Vì tơi nói vậy? Tơi nói khơng lần: Tốn học khơng đơn cơng thức, mà tinh tế liều lĩnh Sau thời gian suy nghĩ vẩn vơ, ta có cách biến đổi kinh hoàng: a=x−y b= y+ z ⇒ a; b; c > (∗) c = 2y + { x Khi đó, tốn trở thành: Bài tốn 2: Cho a; b; c > Tìm giá trị nhỏ của: a b c P= + + b+c c+a a+b Quá quen thuộc ! Nhưng có phép biến đổi (*)? Đó nhờ vào giả thiết x ≥ z ≥ y > 0, xuất nhiều lần tích xyz với can đảm, nhạy cảm Bài tốn 2, nhìn qua có lời giải sau: Lời giải 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số: (a + b + c)2 a2 b2 c2 P= + + ≥ ab + ac bc + ba ca + cb 2(ab + bc + ca) Áp dụng bất đẳng thức phụ: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) ⇒P≥ ≥ = 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) Dấu “=” xảy khi: a = b = c 1 ⇔ x − y = y + = 2y + z x 2y = x − z ⇔{ 1 y= − z x 1 y= − z x ⇔{ x− = − z z x Có thể lấy ví dụ thỏa mãn đề: x = 2, = ; z = Các bạn bị “nhiễm độc” lời giải mà khơng suy nghĩ Tại ta có lời giải Vì q quen thuộc, xuất q nhiều lần? Thế nhưng, khẳng định rằng: Chúng ta theo lời giải chưa giải tốn (xem lại khái niệm giải mà tơi đặt nhé) Bản chất lời giải toán chưa mở Hãy quay lại “form” suy ngẫm Điều mà thấy, chắn biến a;b;c không phụ thuộc vào nhau, nên hướng nghĩ đạo hàm theo biến bỏ qua ! Lời giải 2: Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta xét: a b c P = f(a; b; c) = + + b+c c+a a+b b c ⇒ fa′ (a; b; c) = − − (a + b)2 b + c (c + a) b c ⇒ fa′ (a; b; c) ≥ − − =0 b + c (c + b)2 (c + b)2 Suy ra: f(a;b;c) đồng biến [b; +∞) b b c 2b c ⇒ P ≥ g(b; c) = + + = + b + c c + b b + b c + b 2b 2x b ⇒ P ≥ f(x) = + ,x = ≥ 1 + x 2x c Xét hàm số f(x) [1; +∞) có: f ′ (x) = − ≥ 0, ∀x ≥ (1 + x) 2x Do đó, ta thu được: P ≥ f(x) ≥ f(1) = Bài tốn có biến độc lập với ta nghĩ tới phương pháp sử dụng đạo hàm để làm giảm biến số Tiếp tục theo hướng giảm biến số, ta có phương pháp mạnh: Lời giải 3: Đặt: b+c t= Xét hiệu: b c 2t M= + − c+a a+b a+t (b − c)t b t t c M=( − )−( − )= ( − ) c+a t+a t+a b+a a+t c+a b+a t(b − c)2 ⇒M= (a + t)(a + b)(a + c) b c 2t ⇒M≥0⇒ + ≥ c+a a+b a+t a b c a 2t a 2t ⇒P= + + ≥ + = + b + c c + a a + b b + c a + t 2t a + t x a ⇒ P ≥ f(x) = + ,x = x+1 t Xét hàm số f(x) (0; +∞) có: f ′ (x) = − (x + 1)2 ′ (x) ⇒f =0⇔x=1 Lập bảng biến thiên ta thu được: P ≥ f(x) ≥ f(1) = Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Lời giải hai cách rõ ràng Cách ba sử dụng tư tưởng dồn biến: b+c b+c ∗ Bước 1: f(a; b; c) ≥ f (a; ; ) 2 a ∗ Bước 2: Cùng bậc a, t nên đặt x = t ∗ Bước 3: Khảo sát hàm f(x) Khá quen thuộc tơi nói rõ Những toán nên nghĩ qua phương pháp này: Bài tốn ba biến, đối xứng, hình thức đơn giản, nghĩ tới phương pháp dồn biến Ngoài hai hướng (mục tiêu đưa biến) hướng thứ hai đánh giá đồng thời có nhiều hướng Khi đối xứng, ta có lời giải: Lời giải 4: Xét hiệu: a b c P− = + + − b+c c+a a+b 2a − b − c 2b − c − a 2c − a − b ⇒P− = ( + + ) 2 b+c c+a a+b 1 1 1 ⇒ (P − ) = (a − b) ( − ) + (b − c) ( − ) + (c − a) ( − ) b+c a+c c+a b+a a+b c+b (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 ⇒ (P − ) = + + (a + c)(b + c) (b + a)(c + a) (c + b)(a + b) ⇒P≥ Lời giải đơn giản ngắn gọn, dựa tư tưởng phân tích bình phương SOS Bài toán đối xứng, đặc biệt đạng phân thức, có dấu biến có hướng nghĩ sử dụng phương pháp phân tích bình phương SOS Khi biến dạng đối xứng, ta hướng suy nghĩ cũ: Lời giải 5: Đặt: p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc a b c a(a + b)(a + c) + b(b + c)(b + a) + c(c + a)(c + b) ⇒P= + + = (a + b)(b + c)(c + a) b+c c+a a+b p − 2pq + 3r ⇒P= pq − r P ≥ ⇔ 9r ≥ 7pq − 2p3 Theo bất đẳng thức Schur bậc ba ta có: 9r ≥ 4pq − p3 Lại có: 4pq − p3 ≥ 7pq − 2p3 ⇔ p2 ≥ 3q ⇔ (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Do đó, ta có: 9r ≥ 4pq − p3 ≥ 7pq − 2p3 ⇒P≥ Bài toán đối xứng ba biến, có hướng nghĩ đổi biến để dùng bất đẳng thức Schur Khi học phương pháp đánh giá tồn phần, tơi có đưa ví dụ, ta thử áp dụng xem cho không? Tìm số k để có: Ta tìm được: k = Do đó, ta có lời giải : a ak ≥ b + c 2(ak + b k + c k ) a ≥ b+c 3 a2 (a2 + b2 + 3 c2) (∗) 3 (∗) ⇔ a2 + 2a b + 2a c ≥ 3a2 b + 3a2 c Đến đây, đơn áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 3 3 2 2 {a + a b + a b ≥ a b a2 + a c + a c ≥ a2 c (*) Áp dụng thêm hai lần đem cộng ba bất đẳng thức lại ta thu được: P≥ Quay sang góc nhìn hồn tồn khác với độc lập, tính đối xứng ta cịn thấy bất đẳng thức bất đẳng thức bậc Vì ta giả sử: a + b + c = Bài tốn có dạng: 𝐟(𝐚; 𝐛; 𝐜) ≥ 𝟎 ⇔ 𝐟(𝐤𝐚; 𝐤𝐛; 𝐤𝐜) ≥ 𝟎 ta giả sử đại lượng thích hợp khơng đổi Khi đó, toán trở thành: Cho a; b; c > 0, a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của: a b c P= + + 3−a 3−b 3−c Có lời giải cho hướng tập Chắc chắn rồi, có hai hướng đi: Lời giải 7: Ta chứng minh: x ∀x ∈ (0; 3) ⇒ ≥ x − (∗) 3−x 4 Thật ta có: (∗) ⇔ 4x ≥ (3x − 1)(3 − x) ⇔ 4x ≥ −3x + 10x − ⇔ 3(x − 1)2 ≥ Áp dụng (*) ta có: a ≥ a− 3−a 4 b ≥ b− 3−b 4 c {3 − c ≥ c − 3 3 ⇒ P ≥ (a + b + c) − = − = 4 4 Sự xuất số bạn hiểu Đây phương pháp đánh giá tồn phần mà tơi đề cập Cơng phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Bài tốn có g(a) + g(b) + g(c)=0, cần chứng minh: f(a) + f(b) + f(c)≥ 𝟎 ta tìm k để: 𝐟(𝐚) ≥ 𝐤𝐠(𝐚) Lời giải 8: x (0; 3) có: 3−x ′′ (x) f ′ (x) = ⇒ f = ≥ , ∀x ∈ (0; 3) (3 − x)2 (3 − x)3 Do đó, theo bất đẳng thức Jensen ta có: 𝑎+𝑏+𝑐 P = f(a) + f(b) + f(c) ≥ 𝑓 ( ) = 𝑓(1) = 𝑋ét hàm số f(x) = Bài tốn có tổng tích a;b;c có f(a) + f(b) + f(c), ta nghĩ tới bất đẳng thức Jensen Bài toán quy tốn Bài tốn lại có 7, lời giải với tư tưởng khác hoàn tồn Mỗi tư tưởng đúc kết cơng cụ, phương pháp Chúng ta cần qquan sát tinh tế, suy luận theo lối mòn, dẫn tới đích Mỗi đóng khung lưu ý mà bạn đọc cần để ý, ơn lại số dạng toán mà ta học chương trước Và đây, tiếp tới 123 tốn khiến bạn có nhìn khác bất đẳng thức Còn nữa… 3 Sử dụng phương pháp tam thức bậc chứng minh bất đẳng thức Ngoài khả tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức, phương pháp tam thức bậc hai dùng để chứng minh số bất đẳng thức Chúng ta cần nhớ lại Với tam thức bậc hai f ( x ) ax bx c với a a Muốn chứng minh f ( x ) 0,x R , ta chứng minh a Muốn chứng minh f ( x ) 0,x R , ta chứng minh f ( x ) 0, x Muốn chứng minh , ta chứng minh f ( x ) 0, x Muốn chứng minh , ta chứng minh f x có nghiệm chọn cách sau: Chỉ nghiệm cụ thể f ( x ) Chỉ số mà a f ( ) Chỉ số , cho f ( ) f ( ) Chúng ta qua ví dụ để hiểu rõ Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a b c Chứng minh rằng: a ab 2abc Lời giải Từ giả thiết ta rút b a c Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: a a(3 a c ) 2ac(3 a c ) , tương đương với f (a) (2c 1)a2 (2c2 5c 4)a Ta thấy f (a) tam thức bậc a có hệ số a2 ln dương c nên ta có (2c2 5c 4)2 18(2c 1) (2c 1)2(c2 4c 2) (2c 1)2(3c 4c 2) (2c 1)2(c 2) Vậy nên, theo định lí dấu tam thức bậc hai, ta có f (a) 2 Bài toán chứng minh xong Dấu đẳng thứcc xảy a , b 1, c Ví dụ Chứng minh với số thực a, b ta có (a 2)(b2 2) 3(ab a b) Lời giải Nhận xét bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức bậc hai theo a b Ta viết lại bất đẳng thức sau: f (a) (b2 2)a 3(b 1)a 2b2 3b Ta có f (a ) tam thức bậc hai với hệ số a ln dương có biệt thức Cơng phá Bất đẳng thức Lovebook.vn a 9(b 1) 4(b 2)(2b 3b 4) 2 (b 1)2 (8b2 4b 23) Do đó, theo định lí dấu tam thức bậc hai, ta có f (a ) Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a b Ví dụ Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện xyz x y z Chứng minh ta có x y z xy yz zx Lời giải Để ý rằng, từ giả thiết, ta rút biến theo biến lại, thay vào bất đẳng thức cần chứng minh, bất đẳng thức bậc hai theo biến Do đó, ta nghĩ đến phương pháp tam thức bậc hai Khơng tính tổng qt, ta giả sử z min{x, y, z} , ta có xyz x y z z 3z z Từ giả thiết, ta rút x yz , ta cần chứng minh y z yz yz yz yz ( y z ) yz y z yz y z yz Hay tương đương f ( y ) (1 z z ) y ( z z 4) y ( z 2)2 Ta có f ( y ) tam thức bậc hai có hệ số y z z z(1 z ) biệt thức y ( z z 4)2 4(1 z z )( z 2) z ( z 1) (5z 8) z ( z 1)2 (5 8) 3z ( z 1) Nên đó, theo định lí dấu tam thức bậc hai, ta có f ( y ) 0, y Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x y x y 2, z hốn vị Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau 3( x x 1)( y y 1) 2( x y xy 1), x , y R Dấu "=" xảy nào? Chọn HSG Quốc gia, Quảng Trị, 2014 - 2015 Lời giải Để ý coi biến cố định, chẳng hạn y , bất đẳng thức bất đẳng thức bậc hai theo x Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (3 y y )x (3 y y )x y y 3 Ta có hệ số x 3 y y y 2 2 x ( 3 y y )2 4( 3 y y )(1 y y ) 3 y 18 y 33 y 18 y 3( y y 1)2 Do đó, theo định lí dấu tam thức bậc hai, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y 3 Nhận xét: Đây tốn khó (ngồi cách nêu trên, bạn đọc thử sức giải toán theo cách khác), phương pháp tam thức bậc hai thể hiệu Lần tơi gặp này, tơi giải phương pháp tam thức bậc hai lời giải dài dịng phức tạp Tơi xin trình bày lại lời giải cho người tham khảo, thấy tính đặc sắc phương pháp Sau khai triển, rút gọn bất đẳng thức cần chứng minh tương đương x y xy 3( x y )2 3xy( x y ) 3( x y ) 0, hay f (P , S ) P2 P 3S 3SP 3S Nếu coi f (P , S ) tam thức bậc hai theo P ta có P (1 3S )2 4(3S 3S 1) 3S 18S - Nếu S P nên f (P ) Do ta cần xét trường hợp S - Trong trường hợp S , lại coi f (P , S ) tam thức bậc hai theo S , ta có S 9(1 P )2 12(P2 P 1) 3P2 30P + Nếu P S nên f ( S ) Do ta cần xét P đủ + Nếu P P P tức (P 1)2 16P hay P2 10P 4P , S 3 P2 10P 12P 0, nên suy f ( S ) + Nếu P P P , ý S 4P nên S P ta có f ( S ) 6S 3P 12 P 3P 3(P P 1) 0, S P Do f ( S ) hàm đồng biến [2 P ;) , nên f ( S ) f (2 P ) , tức f ( S ) P2 P 3 4P 6P P P (P P 1)2 Bất đẳng thức cuối ln nên tốn chứng minh xong Đẳng thức xảy x y 3 Ví dụ Cho x , y , z số thực khơng âm Chứng minh ta có 3(1 x x2 )(1 y y )(1 z z ) xyz x y 2z Lời giải Dự đoán đẳng thức xảy x y z Quan sát biểu thức vế phải, rõ ràng biểu thức vế phải biểu thức bậc hai theo biến Ta chọn z làm biến chẳng hạn (chọn x , y được, tính đối xứng bất đẳng thức này) Khi vế phải cịn xy tham số Vế trái biểu thức bậc hai theo z xuất đại lượng (1 z z ) , (1 x x )(1 y y ) tham số Nếu ta đánh giá (1 x x )(1 y y ) biểu Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn thức phụ thuộc vào xy khả thành công dùng phương pháp tam thức bậc hai cao hơn, vế trái vế phải biểu thức bậc hai theo biến z tham số xy Ta thử xem sao? Một lẽ tự nhiên nhất, dự đoán đẳng thức, nên ta đánh giá AM-GM sau để đưa đại lượng (1 x x )(1 y y ) xy : (1 x x )(1 y y ) (2x x )(2 y y ) xy (*) Khi ta cần phải chứng minh 3xy(1 z z ) xyz x y 2z Tuy nhiên, bất đẳng thức lại không đúng, chẳng hạn cho xy Điều chứng tỏ đánh giá AM-GM (*) “quá đà” làm “lỏng” bất đẳng thức Như vậy, ta cần phải có đánh giá chặt Chú ý theo AM-GM xy x2 y2 , nên ta hi vọng bất đẳng thức chặt sau đúng: (1 x x )(1 y y ) x2 y2 Thế nhưng, thật may mắn, bất đẳng thức thật, ta có 2(1 x x )(1 y y ) (1 x y ) ( x y )2 (1 x )2(1 y )2 Do đó, ta đưa tốn chứng minh 3(1 x y )(1 z z ) 2(1 xyz x y 2z ) , tương đương f ( z ) (3 x y ) z (3 2xy 3x y ) z 3x y Đây tam thức bậc hai theo z có hệ số z dương, mặt khác (3 2xy 3x y )2 4(3 x y )(1 3x y ) (1 xy )4 Nên theo định lí dấu tam thức bậc hai, ta có f ( z ) 0, z Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x y z Ví dụ Cho số thực a, b, c , d Chứng minh bất đẳng thức: (a b c d)2 3(a2 b2 c2 d2 ) 6ab Lời giải Rõ ràng đa thức bậc hai Một cách tự nhiên, ta mong muốn đưa bất đẳng thức dạng tam thức bậc ẩn Vì bất đẳng thức đối xứng với hai biến a, b nên ta đưa tam thức bậc theo biến a b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 2a(b c d ) (b c d )2 3(a2 b2 c2 d2 ) 6ab 2a2 2a(c d 2b) (b c d )2 3(b2 c2 d2 ) Xét f (a) 2a2 2a(c d 2b) (b c d)2 3(b2 c2 d2 ) Ta thấy hệ số a2 2 có biệt thức (c d 2b)2 2[(b c d )2 3(b2 c2 d )] (c b)2 (d b)2 2(c b)(d b) 2(c d )2 3(c d )2 Vậy nên f (a) 0, a, b, c , d R Cịn nữa… Cơng phá Bất đẳng thức Lovebook.vn PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Bất đẳng thức hai hay nhiều biến số gần xuất thường xuyên đề thi đại học Và bất đẳng thức hai biến đơn giản bạn học tốt phần khác toán Kinh nghiệm gặp bất đẳng thức hai biến số gì? Khơng phải với hai biến số thơi đâu, ba biến Ln có hai mục tiêu chính: Hoặc làm giảm biến dùng đạo hàm, sử dụng loại bất đẳng thức để đánh giá đồng thời chúng Nói đơn giản thực khơng dễ Một tốn ln có nhiều phương pháp giải, bạn tự đặt câu hỏi người ta hình thành phương pháp chưa? Thì với bất đẳng thức hai biến, đại đa số hình thành từ cách giải hệ phương trình hai ẩn số? Vì vậy? Chúng ta tìm hiểu chúng xem $1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN Tư tưởng chung: Từ điều kiện toán rút biến theo biến kia, tìm tập xác định biến xét hàm số tập xác định Bài 1: Cho x; y ∈ R thỏa mãn: y ≤ 5, x − 5x = y + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: P = (x + y)(x + 4) x − 5x = y + Phân tích: Trước giải này, tơi chưa nghĩ vội Tơi thử đặt câu hỏi hệ { (x + y)(x + 4) = m giải nào, thấy phương trình có bậc y nên rút y theo x Tức phương pháp Lời giải: Từ giả thiết ta suy ra: x − 5x − = y − ≤ ⟹ (x + 1)(x − 6) ≤ ⟹ −1 ≤ x ≤ Ngoài ra: P = (x + x − 5x − 1)(x + 4) = f(x) Với f(x) = x − 17x − 1, −1 ≤ x ≤ ⟹ f ′ (x) = 3x − 17 Lập bảng biến thiên cho f(x) [−1; 6] suy ra: 17 f ′ (x) = ⟺ x = ±√ 17 −9 − 34√51 f(x) ≥ f (−√ ) = { f(x) ≤ f(6) = 113 Như ta có kết luận: GTLN P = 113 x = 6, y = −9 − 34√51 −√51 14 + 5√51 GTNN P = x = ,y = 3 Bài 2: Cho x + 2y = 2, x; y ∈ [−1; 1] Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn P = x + xy + y Lời giải: Ta có: x = − 2y, x ∈ [−1; 1] ⟹ y ∈ [ ; ] Mà giả thiết y ∈ [−1; 1] đó: y ∈ [ ; 1] 2 P = (2 − 2y)2 + (2 − 2y)y + y = f(y) Với f(y) = 3y − 6y + , ≤ y ≤ f ′ (y) = 6y − ⟹ f ′ (y) = ⟺ y = f(y) ≥ f(1) = 1 11 Lập bảng biến thiên cho f(y) [ ; 1] ta có: { f(y) ≤ f ( ) = Như ta có kết luận: GTNN P = x = 0; y = 11 x = 1; y = 4 𝐁à𝐢 𝟑: Cho xy − x = y, y ∈ [ ; ] Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: P = (x + y)(3x − 35) Lời giải: x y= x−1 ≤ x ≤4 Từ giả thiết ta suy được: 3x − 35x P = f(x) = { x−1 2x(x − 5)(3x − 7) Ta có: f ′ (x) = ⟹ f ′ (x) < 0, ∀𝑥 ∈ (3; 4) (x − 1) −368 f(x) ≥ f(4) = Do f(x) nghịch biến [3; 4] nên: { f(x) ≤ f(3) = −117 Kết luận: −368 GTNN P = x = 4, y = 3 GTLN P = −117 x = 3, y = −21 𝐁à𝐢 𝟒: Cho 3(xy + x − 1) = 2y , y ≤ , x ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: 20 3 3√3x − − 16 P= + 2(6 − 5x)√6 − 5x y+1 Phân tích: Đại lượng y biểu thức P xuất nên ta nên rút y theo x Lời giải: Điều kiện: y ≠ −1, x ≤ Từ 3(xy + x − 1) = 2y suy ra: y + = 3x − −21 1 Từ y ≤ suy ra: − ≤ x < Mà giả thiết cho x ≤ nên − ≤ x ≤ 20 3 3 Thay vào ta có: P = 3(3x − 2) √3x − − 16(3x − 2) + 2(6 − 5x)√6 − 5x ⟹ P = f(x) = 3(3x − 2) √3x − + 2(6 − 5x)√6 − 5x − 48x + 32 ⟹ f ′ (x) = 12 √3x − + 18√6 − 5x − 48 Ta có f ′ (x) = ⟺ √3x − + 3√6 − 5x − = ⟺ 2( √3x − + 2) + 3(√6 − 5x − 4) = 3(x + 2) −5(x + 2) ⟺ + =0 ( √3x − 2)2 − √3x − + √6 − 5x + ⟺ 3(x + 2) ( − )=0 − 5x + √6 ( √3x − 2) − 2√3x − + 2 5 Với − ≤ x ≤ ≤ < ≤ 3 ( √3x − 2) − √3x − + 12 √6 − 5x + GTLN P = Do f ′ (x) = ⟺ x = −2 Lập bảng biến thiên cho f(x) − ≤ x ≤ ta được: Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn 26√39 f(x) ≥ f ( ) = 19 + { f(x) ≤ f(−6) = 752 + 60 √20 Vậy ta có kết luận: 26√39 x = , y = −2 −21 GTLN P = 752 + 60√20 x = −6, y = 20 Nhận xét: Bài tốn hay Hãy ln cảnh giác tập giá trị 𝐱; 𝐲 trước xét hàm số Nó nhắc nhở ta cách giải phương trình vơ tỷ Ngồi cách giải trên, ta đặt √3x − = a, √6 − 5x = b đưa hệ phương trình giải Đồng thời nhắc nhở đạo hàm hàm phức hợp n m Tổng quát cho phương trình trên: k √ax + b ± h √cx + d = e n +b =u Phương pháp giải: Đặt { m√ax √cx + d = v ku ± hv = e n Ta có hệ: {u − b v m − d − =0 a c GTNN P = 19 + Giải hệ u; v Tìm x thử lại Bài 5: Cho x; y thỏa mãn: 2x − y = 2.Tìm giá trị nhỏ của: P = √x + (y + 1)2 + √x + (y − 3)2 Phân tích: Nếu x; y khơng bị ràng buộc phần bất đẳng thức biến ta nhận thấy P có dạng ⃗ | ta áp dụng bất đẳng thức |a⃗| + | b ⃗ |≥|a⃗ + b ⃗ | theo lập luận cũ để P ≥ const ta |a⃗| + |b phải chọn a⃗ = (x; y + 1); ⃗b = (−x; − y) Khi a⃗ + ⃗b = (0; 4) tức P ≥ √02 + 42 = dấu “=” x = 0, y = không thỏa mãn ràng buộc giả thiết Như vậy, ta có hướng nghĩ tự nhiên thay y = 2x − vào xét hàm số Lời giải: Ta có: y = 2x − nên: P = √5x − 4x + + √5x − 20x + 25 Đến ta có hai hướng giải: Một dùng bất đẳng thức vec-tơ Hai dùng đạo hàm Ta theo hướng hai giải nhiều Xét f(x) = √5x − 4x + + √5x − 20x + 25 có: 5x − 5x − 10 f ′ (x) = + √5x − 4x + √5x − 20x + 25 (5x − 2)(5x − 10) ≤ 2 ′ (x) 5x − 5x − 10 Do đó: f =0⟺{ ( ) =( ) √5x − 4x + √5x − 20x + 25 2 ⟺{ 5≤x≤2 ⟺x= 24x − 16x = Lập bảng biến thiên ta suy ra: f(x) = 2√5 ⟺ x = 2 Vậy P = 2√5 ⟺ (x; y) = ( ; − ) 3 Bài 6: Cho x; y ≥ 0, x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của: P = √1 − x + √1 + y Hướng dẫn giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Khi đó, ta nên theo biến x.(thực theo biến y) P = √1 − x + √1 + √1 − x = f(x) Tương tự Ta việc xét đạo hàm thu được: P ≤ f(0) = + √2 { P ≥ f(1) = GTNN P = ⟺ x = 1; y = GTLN P = + √2 ⟺ x = 0; y = Lưu ý: Đây cách giải ln có sẵn đầu chúng ta, mang chất lời giải Tuy nhiên, theo góc độ “nghệ thuật” ta có lời giải khác hồn toàn “đơn giản” sau: Do y ≥ nên: P = √1 − x + √1 + y ≥ + √1 + = GTNN P x = 0; y = ( thỏa mãn giả thiết ) Do x ≥ 0, y ≤ (cái dễ suy từ giả thiết) nên: P = √1 − x + √1 + y ≤ √1 − + √1 + = + √2 GTLN P + √2khi x = 0, y = 1( thỏa mãn giả thiết ) Bài 7: Cho x; y > 0, x + y = Tìm giá trị lớn của: P = xy + yx Lời giải: Thế y = − x ta được: P = x 2−x + (2 − x)x = f(x) Xét f(x) (0; 2) ta có: 2−x x f ′ (x) = x 2−x ( − ln x) + (2 − x)x (ln(2 − x) − ) x 2−x (cách tính đạo hàm hàm số f(x)(g(x)) lấy logarit hai vế đạo hàm nhân lên) Khá khó giải tiếp được, biểu thức phức tạp nên ta lại thử biểu diễn lại hai biến cho đơn giản y x f ′ (x) = x y ( − ln x) + y x (ln y − ) = xy(x y−2 − y x−2 ) + (y x ln y − x y ln x) x y Đến đây, ý muốn ta phải có: x = y = Khi đó, ta xét dấu ngoặc nhọn xy(x y−2 − y x−2 ) ≤ ⟺ x y−2 ≤ y x−2 ⟺ (y − 2) ln x ≤ (x − 2) ln y (do x; y > lên lấy logarit) ln x ln y ( x; y < 2) ⟺ ≤ x−2 y−2 ln x Xét hàm số: g(x) = (0; 2) có: x−2 x − − x ln x G(x) g ′ (x) = = x(x − 2)2 x(x − 2)2 Xét hàm số G(x) (0; 2) có: G′ (x) = − ln x − = − ln x G′ (x) = ⟺ x = ⟹ G(x) ≤ G(1) = −1 < 0, ∀x ∈ (0; 2) ⟹ g ′ (x) < 0, ∀x ∈ (0; 2) ⟹ g(x) nghịch biến (0; 2) Do đó, ta có: xy(x y−2 − y x−2 ) ≤ ⟺ g(x) ≤ g(y) ⟺ x ≥ y (∗) y x ln y − x y ln x ≤ ⟺ y x ln y ≤ x y ln x Tuy nhiên, theo ta cần phải có tương đương với x ≥ y Thì ta có: x ≥ y ⟺ f ′ (x) ≤ Dấu “=” ⟺ x = y = Suy ra: f ′ (x) = ⟺ x = Lại có: x ≥ y ⟺ x ≥ ≥ y ⟺ ln x ≥ ≥ ln y ⟹ x y ln x ≥ y x ln y x ≤ y ⟺ x ≤ ≤ y ⟺ ln x ≤ ≤ ln y ⟹ x y ln x ≤ y x ln y Như vậy: y x ln y − x y ln x ≤ ⟺ x ≥ y (∗∗) Công phá Bất đẳng thức Do đó, kết hợp (∗); (∗∗) ta có: Lovebook.vn x ≥ ⟺ x ≥ y ⟺ f ′ (x) ≤ Do đó: f ′ (x) = ⟺ x = y = Từ đó, lập bảng biến thiên, ta thu được: P = f(x) ≤ f(1) = Còn nữa… PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ Bất đẳng thức hốn vị ln tốn khó thú vị Trong chun đề này, giới thiệu bạn số kinh nghiệm xử lí bất đẳng thức hốn vị, việc giới thiệu số bổ đề hay quan trọng Bổ đề (Vasile Cirtoaje) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh ta có a2b b2c c2a abc (a b c )3 27 Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử b số nằm a c Khi ta có c(b a)(b c) b2c c2a abc bc2 Sử dụng đánh giá kết hợp với bất đẳng thức AM-GM ba số, ta có a2b b2c c2a abc a2b abc bc abc b(a c )2 2b (a c ) (a c ) (2b a c a c )3 27 (a b c )3 27 Bổ đề chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c a 2b, c hoán vị Tương tự, ta chứng minh ab2 bc2 ca2 abc (a b c )3 27 Nhận xét, cho a b c ta có a2b b2c c2a abc ab2 bc2 ca2 abc Và bất đẳng thức dùng nhiều việc chứng minh bất đẳng thức Ví dụ (Phạm Kim Hùng): Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh a b3 b c3 c a3 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM GM , ta có a b3 a (1 b)(b2 b 1) a b b2 b ab2 2a 2 Thiết lập hai biểu thức tượng tự, cộng vế với vế ta a b3 b c3 c a3 ab2 bc2 ca2 ab2 bc2 ca2 abc 2 Mặt khác, theo bổ đề 1, ta có a2b b2c c2a abc Từ suy Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a 2, b 1, c hoán vị a b3 b c3 c a3 Ví dụ (Trần Quốc Anh): Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh a b c b 16 c 16 a 16 Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Lời giải Nhìn hình thức vế trái ta nghĩ đến kĩ thuật AM-GM ngược dấu Ta có a 16a a(b3 16) ab3 ab3 a 3 3 3 16 b 16 16 b 16 16 b 16 b 2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM GM , ta có b3 23 23 33 b3 23 23 12b Từ ta có a 1 ab2 a 12 b3 16 16 Tương tự với biểu thức cịn lại, sau cộng vế theo vế, ta a b c 1 ab2 bc2 ca2 3 12 b 16 c 16 a 16 16 Mặt khác, theo bổ đề 1, ta có a2b b2c c2a abc Từ suy a b c 1 3 b 16 c 16 a 16 16 12 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a 2, b 1, c hốn vị Ví dụ (Tăng Hải Tuân): Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a2 b2 c2 abc 2 b c c a a b abc Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 3 a3 b3 c3 a b c a b c b c c a a b ab ac bc ba ca cb ab2 bc ca2 ac ba cb Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Và ac ba cb a3 b3 c3 a3 b3 c3 a b c a b c a b c 3 a b c (a b c )2 Sử dụng bổ đề, ta có ab2 bc2 ca2 abc Do ta có a2 b2 c2 2 b c c a a b abc Như vậy, ta cần chứng minh abc abc abc Thật vậy, đặt t abc bất đẳng thức tương đương với 6t 3(1 t )(8 3t 2t ) t2 t (7 t )(5 t ) 1 t Hiển nhiên 8 3t 2t Bài toán chứng minh xong 7 t Đẳng thức xảy a b c Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn Sử dụng Bất đẳng thức giải số tốn Vật lí Bài Một điện trở R cắt thành điện trở nhỏ Với R1 R3 R9 , R2 R4 R5 , R6 R7 R8 lắp vào mạch hình vẽ Biết hiệu điện đặt vào hai đầu đoạn mạch U 6V không đổi Xác định giá trị điện trở cắt để công suất tiêu thụ toàn mạch P 18W (Diễn đàn Vật lí phổ thơng – http://vatliphothong.vn) Lời giải Bài tốn hình thức phát biểu đơn giản ngắn gọn, không dễ để giải R1 R3 R9 a Đặt R2 R4 R5 b R R R c Vì điện trở R cắt thành điện trở R1 R3 R9 , R2 R4 R5 , R6 R7 R8 nên ta có 3a 3b 3c tương đương a b c Để P 18W điện trở tương đương mạch phải Rtd U2 tương đương với P (a b)a (b c )b (c a)c 2 2a b 2b c 2c a Phải dùng bất đẳng thức để đánh giá? Vì đẳng thức với biến hoán vị vòng quanh a b c (thỏa mãn a b c ) đẳng thức xảy Từ dự đốn này, ta có lời giải sau: Ta có (a b)a (b c )b (c a)c a2 b2 c2 abc Q 2a b 2b c 2c a 2a b 2b c 2c a Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz , ta có a2 b2 c2 (a b c )2 abc 2a b 2b c 2c a 2a b 2b c 2c a Vậy Q Mặt khác, đẳng thức xảy ra, nên ta có a b c , tức tất điện trở có giá trị P 18 W Bài tốn giải xong Cịn nữa… ... THỨC AM-GM $1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1 I Bất đẳng thức AM-GM II Các bất đẳng thức phụ hay dùng III Một số tốn sử dụng AM-GM thơng thường: A Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM B... bất đẳng thức AM-GM $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I Kĩ dự đốn điểm rơi: II Kĩ biến hóa: 13 $3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ $1: LÀM... ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 17 23 23 I Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 23 II Một số dạng hay dùng đề thi đại học 23 III Một vài ứng dụng 23 $2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 28
Ngày đăng: 02/05/2021, 15:53
Xem thêm:
![[123doc.vn] - trich-doan-cong-pha-bdt](data:image/svg+xml,%3Csvg width='210' height='280' viewBox='0 0 210 280' fill='none' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%3E%3Crect width='210' height='280' fill='%23F6F6F6'/%3E%3Cpath d='M129.893 116.272C129.728 118.805 129.189 121.233 128.65 123.708L128.147 126.046C127.732 127.981 127.315 129.916 126.896 131.85C126.541 133.489 126.188 135.129 125.837 136.77L125.339 139.067L125.037 140.482L124.895 141.122C124.633 142.361 124.459 143.528 124.578 144.801C125.38 145.45 125.38 145.45 126.361 145.342C127.606 145.02 127.983 144.691 128.772 143.681C129.026 142.824 129.107 141.964 129.192 141.077C129.853 135.799 131.445 130.905 135.766 127.46C138.635 125.703 141.484 124.998 144.842 125.63C146.606 126.203 147.409 127.333 148.281 128.893C148.841 130.298 148.839 131.84 148.91 133.334C151.082 133.07 151.082 133.07 152.846 131.894C153.163 131.412 153.472 130.925 153.771 130.432C155.296 127.958 157.631 126.509 160.359 125.602C162.635 125.209 165.039 125.239 167.09 126.342C168.532 127.859 168.607 128.988 168.58 131.034C168.495 131.868 168.42 132.324 167.945 133.003C166.798 133.823 165.938 133.775 164.571 133.615C164.273 133.108 164.273 133.108 164.012 132.496L164.292 131.656C164.317 131.231 164.329 130.806 164.327 130.38L164.329 129.715C164.328 129.121 164.328 129.121 164.013 128.579C163.159 128.579 162.554 128.658 161.908 129.248C159.057 132.838 157.441 138 157.579 142.565C157.708 143.511 157.884 144.282 158.419 145.081C159.595 145.755 160.455 145.689 161.723 145.362C163.268 144.838 164.612 144.017 165.969 143.123C165.805 145.431 165.233 147.069 163.505 148.665C161.394 150.369 159.15 150.855 156.477 150.596C154.08 150.207 152.638 149.493 151.01 147.69C150.016 146.163 149.918 144.488 149.923 142.722L149.921 142.067C149.962 139.806 150.489 137.724 151.146 135.572L148.629 135.852L148.617 136.439C148.388 141.143 146.579 145.142 143.185 148.4C140.79 150.422 138.194 150.585 135.19 150.443C133.154 150.269 131.902 149.439 130.556 147.949C130.234 147.557 129.919 147.159 129.609 146.757L129.208 147.207C127.545 148.984 126.215 149.995 123.749 150.208C123.348 150.221 122.948 150.231 122.547 150.236L121.966 150.245C120.737 150.223 119.96 150.016 118.981 149.274C118.353 148.557 117.832 147.828 117.304 147.036L116.902 147.485C115.108 149.401 113.318 150.491 110.663 150.681C108.808 150.652 107.273 150.198 105.835 148.994C104.249 147.182 103.714 144.481 103.816 142.11C104.315 136.665 106.022 131.329 110.221 127.599C112.158 126.09 114.108 125.707 116.534 125.675L117.115 125.663C118.334 125.675 119.139 125.854 120.1 126.619V127.179H120.659L120.69 126.702C120.86 124.607 121.304 122.612 121.795 120.571L122.033 119.558C122.226 118.742 122.42 117.926 122.617 117.111C123.618 116.969 124.622 116.83 125.622 116.691L126.484 116.57L127.315 116.454L128.079 116.348C128.771 116.27 128.771 116.27 129.889 116.27L129.893 116.272ZM115.413 130.144C112.498 133.242 111.426 137.725 111.345 141.882L111.313 142.967C111.45 144.119 111.727 144.56 112.551 145.362C113.35 145.712 113.35 145.712 114.228 145.642C115.956 144.744 116.947 143.539 117.585 141.726C117.796 140.907 117.974 140.081 118.148 139.253L118.3 138.534L118.613 137.036C118.771 136.272 118.937 135.512 119.102 134.749L119.405 133.291L119.557 132.604C119.804 131.381 119.95 130.533 119.261 129.42C117.781 128.432 116.668 129.01 115.41 130.145L115.413 130.144ZM141.081 129.418C137.769 132.855 136.479 138.551 136.484 143.197C136.628 144.097 136.908 144.628 137.445 145.361C138.228 146.002 138.228 146.002 139.087 145.884C140.448 145.503 141.261 144.784 141.957 143.571C142.147 143.202 142.333 142.831 142.514 142.458L142.808 141.866C143.688 140.009 144.132 138.163 144.438 136.128L143.598 135.569C143.262 134.559 143.227 133.831 143.318 132.771C143.685 132.3 144.058 131.834 144.437 131.372C144.575 130.216 144.534 129.837 143.877 128.855C142.661 128.395 142.075 128.614 141.08 129.415L141.081 129.418Z' fill='%2300A888'/%3E%3Cpath d='M101.447 115.574C103.021 116.808 103.953 118.259 104.257 120.249C104.379 122.565 103.628 124.842 102.153 126.632C100.984 127.889 99.7154 129.025 98.2868 129.977L98.8996 130.318C101.171 131.654 102.416 132.952 103.426 135.379C104.01 138.822 103.458 141.736 101.583 144.677C99.5999 147.39 96.9413 149.472 93.6385 150.265C90.0743 150.758 86.1543 150.896 83.0943 148.787C81.4025 147.398 80.3856 145.894 80.1055 143.682C79.9043 141.287 80.0851 138.82 81.5918 136.846C83.315 135.204 84.9371 135.132 87.2307 135.169C88.565 135.335 89.0531 135.67 89.8952 136.69C89.8952 137.337 89.8952 137.337 89.615 138.089C89.138 138.309 89.138 138.309 88.5489 138.49C87.6627 138.781 87.375 138.93 86.6959 139.626C85.7834 141.672 85.8055 143.599 86.5159 145.701C86.9098 146.348 87.2281 146.506 87.9377 146.758C89.8315 147.035 91.4112 146.756 92.9722 145.639C94.8761 143.822 95.5535 141.669 95.629 139.067C95.5442 136.349 94.8159 134.411 92.9544 132.425C92.103 131.655 91.1718 131.095 90.1744 130.536L89.3349 129.976L90.1422 129.588L91.2049 129.068L91.7346 128.814C94.3405 127.531 96.1511 125.553 97.1468 122.794C97.5568 121.345 97.6289 120.161 97.1289 118.72C96.4804 117.768 96.0102 117.487 94.9262 117.111C93.7115 116.959 93.1292 117.027 92.041 117.6C90.9842 118.485 90.7712 118.908 90.6421 120.275C90.7754 121.849 91.2507 123.027 92.4069 124.103C90.9307 125.287 89.7118 125.733 87.8079 125.638C86.6297 125.415 86.19 125.02 85.4133 124.103C84.7122 122.67 84.6128 121.135 85.0033 119.596C85.8734 117.071 87.577 115.743 89.9181 114.579C93.4348 113.259 98.3046 113.513 101.438 115.573L101.447 115.574ZM75.9309 115.503C77.3706 116.559 78.0556 117.903 78.4308 119.629C78.8611 123.922 77.7899 127.561 75.0846 130.944C72.7461 133.631 70.0765 135.916 67.2694 138.09C65.132 139.749 63.116 141.383 61.6501 143.683L62.1433 143.664C63.4836 143.635 64.7186 143.709 66.0369 143.964C68.979 144.486 72.1646 144.778 74.7952 143.124C75.3553 142.638 75.8811 142.113 76.3689 141.555L76.7518 141.166H77.3111C77.4554 147.709 77.4554 147.709 75.6338 149.837C74.1679 150.787 72.8683 150.826 71.1766 150.814H70.3694C68.0215 150.766 65.8145 150.348 63.5422 149.775C61.3768 149.23 59.6248 148.966 57.4891 149.836C56.0945 150.395 56.0945 150.395 55.496 150.395C55.2422 145.569 56.8228 142.369 59.9635 138.806C61.1403 137.505 62.3617 136.245 63.6253 135.029C67.8254 130.863 70.9542 126.042 70.9907 120.025C70.8727 119.01 70.6444 118.483 70.04 117.67C69.0825 116.952 68.1259 117.009 66.9638 117.111C65.8926 117.587 65.4435 117.994 65.0055 119.069C64.7849 120.648 64.9614 121.906 65.8451 123.265L66.4044 123.545C66.1387 124.246 65.8629 124.648 65.3035 125.153C63.9954 125.688 62.7612 125.723 61.37 125.502C60.2673 124.953 59.59 124.118 59.1316 122.985C58.8515 120.917 59.1537 119.167 60.2504 117.392C63.7883 113.069 71.3625 112.736 75.9309 115.505V115.503ZM56.0537 114.034C55.8695 116.011 55.5206 117.916 55.1047 119.858L54.8984 120.832L54.2253 123.997L53.7585 126.202L52.7806 130.811L51.6491 136.141C51.2867 137.853 50.9237 139.565 50.56 141.276L50.0974 143.46L49.4506 146.502L49.2562 147.418L49.078 148.25L48.9235 148.976C48.7817 149.556 48.7817 149.556 48.5033 150.115H41.2305C42.3679 144.046 43.6378 138.009 44.9289 131.972L45.7607 128.066L47.3828 120.467L42.9078 120.187L43.4672 117.67L44.3898 117.587C48.2062 117.212 51.3121 116.202 54.7015 114.423C55.4943 114.034 55.4943 114.034 56.0537 114.034Z' fill='%23FF6D18'/%3E%3Cpath d='M47.8535 168.108C47.1215 168.108 46.5815 167.916 46.2335 167.532C45.8975 167.136 45.7295 166.65 45.7295 166.074C45.7295 165.822 45.7595 165.54 45.8195 165.228C45.8795 164.904 45.9395 164.592 45.9995 164.292C46.0715 163.992 46.1195 163.8 46.1435 163.716C46.2395 163.296 46.3295 162.882 46.4135 162.474C46.4975 162.066 46.5395 161.736 46.5395 161.484C46.5395 160.872 46.3235 160.566 45.8915 160.566C45.5795 160.566 45.3035 160.722 45.0635 161.034C44.8235 161.334 44.6315 161.73 44.4875 162.222L43.2635 168H40.6715L42.5795 159H45.1715L44.9735 159.936C45.5735 159.264 46.2755 158.928 47.0795 158.928C47.6915 158.928 48.1775 159.096 48.5375 159.432C48.8975 159.768 49.0775 160.278 49.0775 160.962C49.0775 161.31 49.0355 161.7 48.9515 162.132C48.8675 162.552 48.7475 163.068 48.5915 163.68C48.4955 164.052 48.4055 164.418 48.3215 164.778C48.2495 165.126 48.2135 165.402 48.2135 165.606C48.2135 165.846 48.2675 166.032 48.3755 166.164C48.4835 166.296 48.6695 166.362 48.9335 166.362C49.2935 166.362 49.5815 166.236 49.7975 165.984C50.0135 165.72 50.2295 165.318 50.4455 164.778H51.2015C50.7575 166.098 50.2415 166.986 49.6535 167.442C49.0775 167.886 48.4775 168.108 47.8535 168.108ZM53.0714 168.072C52.1834 168.072 51.4814 167.844 50.9654 167.388C50.4494 166.932 50.1914 166.212 50.1914 165.228C50.1914 164.4 50.3534 163.494 50.6774 162.51C51.0014 161.514 51.5294 160.656 52.2614 159.936C52.9934 159.204 53.9294 158.838 55.0694 158.838C56.4854 158.838 57.2474 159.648 57.3554 161.268C57.6194 161.208 57.8534 161.064 58.0574 160.836C58.2614 160.596 58.4534 160.326 58.6334 160.026H59.2094C58.8854 160.674 58.5974 161.184 58.3454 161.556C58.0934 161.916 57.7634 162.21 57.3554 162.438C57.2834 163.566 57.0494 164.556 56.6534 165.408C56.2694 166.26 55.7654 166.92 55.1414 167.388C54.5174 167.844 53.8274 168.072 53.0714 168.072ZM53.7914 166.452C54.2354 166.452 54.6494 166.092 55.0334 165.372C55.4174 164.652 55.6814 163.764 55.8254 162.708C55.5374 162.6 55.3934 162.33 55.3934 161.898C55.3934 161.43 55.5614 161.118 55.8974 160.962C55.8734 160.578 55.8074 160.314 55.6994 160.17C55.6034 160.014 55.4414 159.936 55.2134 159.936C54.8174 159.936 54.4394 160.224 54.0794 160.8C53.7194 161.364 53.4254 162.054 53.1974 162.87C52.9814 163.674 52.8734 164.382 52.8734 164.994C52.8734 165.57 52.9394 165.96 53.0714 166.164C53.2034 166.356 53.4434 166.452 53.7914 166.452ZM66.1232 158.028C65.7272 158.028 65.3912 157.89 65.1152 157.614C64.8392 157.338 64.7012 157.002 64.7012 156.606C64.7012 156.21 64.8392 155.874 65.1152 155.598C65.3912 155.31 65.7272 155.166 66.1232 155.166C66.5192 155.166 66.8552 155.31 67.1312 155.598C67.4192 155.874 67.5632 156.21 67.5632 156.606C67.5632 157.002 67.4192 157.338 67.1312 157.614C66.8552 157.89 66.5192 158.028 66.1232 158.028ZM64.8992 168.108C64.3232 168.108 63.8552 167.928 63.4952 167.568C63.1472 167.208 62.9732 166.668 62.9732 165.948C62.9732 165.648 63.0212 165.258 63.1172 164.778L64.3412 159H66.9332L65.6372 165.12C65.5892 165.3 65.5652 165.492 65.5652 165.696C65.5652 165.936 65.6192 166.11 65.7272 166.218C65.8472 166.314 66.0392 166.362 66.3032 166.362C66.6512 166.362 66.9752 166.218 67.2752 165.93C67.5752 165.63 67.7912 165.246 67.9232 164.778H68.6792C68.2352 166.074 67.6652 166.956 66.9692 167.424C66.2732 167.88 65.5832 168.108 64.8992 168.108ZM78.86 168.108C78.128 168.108 77.588 167.916 77.24 167.532C76.904 167.136 76.736 166.65 76.736 166.074C76.736 165.822 76.766 165.54 76.826 165.228C76.886 164.904 76.946 164.592 77.006 164.292C77.078 163.992 77.126 163.8 77.15 163.716C77.246 163.296 77.336 162.882 77.42 162.474C77.504 162.066 77.546 161.736 77.546 161.484C77.546 160.872 77.33 160.566 76.898 160.566C76.586 160.566 76.31 160.722 76.07 161.034C75.83 161.334 75.638 161.73 75.494 162.222L74.27 168H71.678L72.992 161.79C73.028 161.646 73.046 161.496 73.046 161.34C73.046 160.812 72.866 160.548 72.506 160.548C72.17 160.548 71.876 160.704 71.624 161.016C71.384 161.316 71.192 161.718 71.048 162.222L69.824 168H67.232L69.14 159H71.732L71.534 159.936C72.146 159.252 72.878 158.91 73.73 158.91C74.786 158.91 75.404 159.426 75.584 160.458C76.244 159.438 77.078 158.928 78.086 158.928C78.698 158.928 79.184 159.096 79.544 159.432C79.904 159.768 80.084 160.278 80.084 160.962C80.084 161.31 80.042 161.7 79.958 162.132C79.874 162.552 79.754 163.068 79.598 163.68C79.502 164.052 79.412 164.418 79.328 164.778C79.256 165.126 79.22 165.402 79.22 165.606C79.22 165.846 79.274 166.032 79.382 166.164C79.49 166.296 79.676 166.362 79.94 166.362C80.3 166.362 80.588 166.236 80.804 165.984C81.02 165.72 81.236 165.318 81.452 164.778H82.208C81.764 166.098 81.248 166.986 80.66 167.442C80.084 167.886 79.484 168.108 78.86 168.108ZM83.6112 168.108C82.9272 168.108 82.3572 167.874 81.9012 167.406C81.4452 166.938 81.2172 166.206 81.2172 165.21C81.2172 164.322 81.3912 163.392 81.7392 162.42C82.0992 161.436 82.6272 160.608 83.3232 159.936C84.0312 159.252 84.8712 158.91 85.8432 158.91C86.3352 158.91 86.7012 158.994 86.9412 159.162C87.1812 159.33 87.3012 159.552 87.3012 159.828V159.954L87.4992 159H90.0912L88.7952 165.12C88.7472 165.3 88.7232 165.492 88.7232 165.696C88.7232 166.212 88.9692 166.47 89.4612 166.47C89.7972 166.47 90.0852 166.314 90.3252 166.002C90.5772 165.69 90.7752 165.282 90.9192 164.778H91.6752C91.2312 166.074 90.6792 166.956 90.0192 167.424C89.3712 167.88 88.7172 168.108 88.0572 168.108C87.5532 168.108 87.1452 167.97 86.8332 167.694C86.5332 167.406 86.3532 166.992 86.2932 166.452C85.9452 166.944 85.5552 167.346 85.1232 167.658C84.7032 167.958 84.1992 168.108 83.6112 168.108ZM84.7812 166.362C85.0812 166.362 85.3752 166.224 85.6632 165.948C85.9632 165.66 86.1672 165.27 86.2752 164.778L87.1392 160.71C87.1392 160.554 87.0792 160.404 86.9592 160.26C86.8392 160.104 86.6532 160.026 86.4012 160.026C85.9212 160.026 85.4892 160.308 85.1052 160.872C84.7212 161.424 84.4212 162.096 84.2052 162.888C83.9892 163.668 83.8812 164.358 83.8812 164.958C83.8812 165.558 83.9652 165.942 84.1332 166.11C84.3132 166.278 84.5292 166.362 84.7812 166.362ZM94.1118 172.5C93.5358 172.5 93.0558 172.35 92.6718 172.05C92.2878 171.75 92.0958 171.318 92.0958 170.754C92.0958 170.07 92.3718 169.518 92.9238 169.098C93.4758 168.69 94.1778 168.348 95.0298 168.072L95.2458 167.118C94.6338 167.778 93.9138 168.108 93.0858 168.108C92.4018 168.108 91.8318 167.874 91.3758 167.406C90.9198 166.938 90.6918 166.206 90.6918 165.21C90.6918 164.322 90.8658 163.392 91.2138 162.42C91.5738 161.436 92.1018 160.608 92.7978 159.936C93.5058 159.252 94.3458 158.91 95.3178 158.91C95.8098 158.91 96.1758 158.994 96.4158 159.162C96.6558 159.33 96.7758 159.552 96.7758 159.828V159.936L96.9738 159H99.5658L97.7838 167.352C98.3598 167.16 98.8218 166.872 99.1698 166.488C99.5178 166.104 99.8118 165.534 100.052 164.778H100.808C100.484 165.846 100.046 166.632 99.4938 167.136C98.9418 167.628 98.3178 167.964 97.6218 168.144L97.3518 169.44C97.1118 170.604 96.6978 171.402 96.1098 171.834C95.5218 172.278 94.8558 172.5 94.1118 172.5ZM94.2558 166.362C94.5318 166.362 94.8138 166.236 95.1018 165.984C95.3898 165.732 95.5878 165.39 95.6958 164.958L96.6138 160.692C96.6138 160.548 96.5538 160.404 96.4338 160.26C96.3138 160.104 96.1278 160.026 95.8758 160.026C95.3958 160.026 94.9638 160.308 94.5798 160.872C94.1958 161.424 93.8958 162.096 93.6798 162.888C93.4638 163.668 93.3558 164.358 93.3558 164.958C93.3558 165.558 93.4398 165.942 93.6078 166.11C93.7878 166.278 94.0038 166.362 94.2558 166.362ZM93.6978 171.096C93.9018 171.096 94.0998 170.958 94.2918 170.682C94.4838 170.406 94.6338 170.01 94.7418 169.494L94.8498 168.972C93.6738 169.404 93.0858 169.914 93.0858 170.502C93.0858 170.658 93.1398 170.796 93.2478 170.916C93.3558 171.036 93.5058 171.096 93.6978 171.096ZM102.587 168.108C101.711 168.108 101.027 167.88 100.535 167.424C100.043 166.956 99.7968 166.23 99.7968 165.246C99.7968 164.418 99.9588 163.506 100.283 162.51C100.607 161.514 101.135 160.656 101.867 159.936C102.599 159.204 103.529 158.838 104.657 158.838C105.977 158.838 106.637 159.414 106.637 160.566C106.637 161.238 106.445 161.856 106.061 162.42C105.677 162.984 105.167 163.44 104.531 163.788C103.895 164.124 103.217 164.316 102.497 164.364C102.473 164.628 102.461 164.808 102.461 164.904C102.461 165.9 102.833 166.398 103.577 166.398C103.913 166.398 104.273 166.308 104.657 166.128C105.041 165.948 105.389 165.72 105.701 165.444C105.377 167.22 104.339 168.108 102.587 168.108ZM102.623 163.5C103.079 163.488 103.505 163.338 103.901 163.05C104.309 162.762 104.633 162.396 104.873 161.952C105.125 161.496 105.251 161.022 105.251 160.53C105.251 160.038 105.101 159.792 104.801 159.792C104.381 159.792 103.961 160.176 103.541 160.944C103.133 161.7 102.827 162.552 102.623 163.5ZM112.703 168.108C112.019 168.108 111.449 167.874 110.993 167.406C110.537 166.938 110.309 166.206 110.309 165.21C110.309 164.322 110.483 163.392 110.831 162.42C111.191 161.436 111.719 160.608 112.415 159.936C113.123 159.252 113.963 158.91 114.935 158.91C115.427 158.91 115.793 158.994 116.033 159.162C116.273 159.33 116.393 159.552 116.393 159.828V159.9L117.275 155.76L119.939 155.4L117.869 165.12C117.821 165.3 117.797 165.492 117.797 165.696C117.797 165.936 117.851 166.11 117.959 166.218C118.079 166.314 118.271 166.362 118.535 166.362C118.871 166.362 119.159 166.218 119.399 165.93C119.651 165.642 119.849 165.258 119.993 164.778H120.749C120.017 166.926 118.811 168 117.131 168C116.639 168 116.237 167.868 115.925 167.604C115.625 167.34 115.439 166.956 115.367 166.452C115.055 166.932 114.677 167.328 114.233 167.64C113.801 167.952 113.291 168.108 112.703 168.108ZM113.873 166.362C114.161 166.362 114.449 166.23 114.737 165.966C115.037 165.702 115.241 165.336 115.349 164.868V164.778L116.231 160.656C116.123 160.236 115.877 160.026 115.493 160.026C115.013 160.026 114.581 160.308 114.197 160.872C113.813 161.424 113.513 162.096 113.297 162.888C113.081 163.668 112.973 164.358 112.973 164.958C112.973 165.558 113.057 165.942 113.225 166.11C113.405 166.278 113.621 166.362 113.873 166.362ZM123.006 158.028C122.61 158.028 122.274 157.89 121.998 157.614C121.722 157.338 121.584 157.002 121.584 156.606C121.584 156.21 121.722 155.874 121.998 155.598C122.274 155.31 122.61 155.166 123.006 155.166C123.402 155.166 123.738 155.31 124.014 155.598C124.302 155.874 124.446 156.21 124.446 156.606C124.446 157.002 124.302 157.338 124.014 157.614C123.738 157.89 123.402 158.028 123.006 158.028ZM121.782 168.108C121.206 168.108 120.738 167.928 120.378 167.568C120.03 167.208 119.856 166.668 119.856 165.948C119.856 165.648 119.904 165.258 120 164.778L121.224 159H123.816L122.52 165.12C122.472 165.3 122.448 165.492 122.448 165.696C122.448 165.936 122.502 166.11 122.61 166.218C122.73 166.314 122.922 166.362 123.186 166.362C123.534 166.362 123.858 166.218 124.158 165.93C124.458 165.63 124.674 165.246 124.806 164.778H125.562C125.118 166.074 124.548 166.956 123.852 167.424C123.156 167.88 122.466 168.108 121.782 168.108ZM126.851 168.108C126.275 168.108 125.789 168 125.393 167.784C124.997 167.556 124.703 167.268 124.511 166.92C124.319 166.56 124.223 166.188 124.223 165.804C124.223 165.408 124.319 165.066 124.511 164.778C124.691 164.478 124.913 164.262 125.177 164.13C125.645 163.29 126.053 162.444 126.401 161.592C126.749 160.728 127.079 159.798 127.391 158.802L130.055 158.442C130.115 159.978 130.217 161.64 130.361 163.428C130.421 164.148 130.451 164.67 130.451 164.994C130.451 165.27 130.427 165.498 130.379 165.678C130.943 165.354 131.375 165.054 131.675 164.778H132.431C131.663 165.666 130.745 166.416 129.677 167.028C129.329 167.4 128.897 167.676 128.381 167.856C127.877 168.024 127.367 168.108 126.851 168.108ZM126.275 166.686C126.719 166.686 127.091 166.554 127.391 166.29C127.691 166.026 127.841 165.6 127.841 165.012C127.841 164.652 127.805 164.148 127.733 163.5C127.613 162.132 127.535 161.214 127.499 160.746C127.211 161.694 126.725 162.828 126.041 164.148C126.317 164.292 126.455 164.502 126.455 164.778C126.455 165.006 126.377 165.21 126.221 165.39C126.077 165.57 125.891 165.66 125.663 165.66C125.411 165.66 125.249 165.582 125.177 165.426C125.177 165.858 125.261 166.176 125.429 166.38C125.609 166.584 125.891 166.686 126.275 166.686ZM133.04 158.334H135.632L135.344 159.684C135.944 159.168 136.646 158.91 137.45 158.91C138.122 158.91 138.656 159.132 139.052 159.576C139.448 160.02 139.646 160.746 139.646 161.754C139.646 162.702 139.508 163.662 139.232 164.634C138.956 165.594 138.488 166.416 137.828 167.1C137.168 167.772 136.298 168.108 135.218 168.108C134.45 168.108 133.94 167.892 133.688 167.46L132.752 171.852L130.034 172.5L133.04 158.334ZM134.66 166.542C135.236 166.542 135.71 166.272 136.082 165.732C136.466 165.192 136.742 164.55 136.91 163.806C137.09 163.05 137.18 162.348 137.18 161.7C137.18 160.704 136.88 160.206 136.28 160.206C136.064 160.206 135.842 160.284 135.614 160.44C135.398 160.596 135.206 160.812 135.038 161.088L133.976 166.128C134.072 166.404 134.3 166.542 134.66 166.542ZM141.874 168.108C141.298 168.108 140.83 167.928 140.47 167.568C140.122 167.208 139.948 166.668 139.948 165.948C139.948 165.648 139.996 165.258 140.092 164.778L142.018 155.76L144.682 155.4L142.612 165.12C142.564 165.3 142.54 165.492 142.54 165.696C142.54 165.936 142.594 166.11 142.702 166.218C142.822 166.314 143.014 166.362 143.278 166.362C143.626 166.362 143.95 166.218 144.25 165.93C144.55 165.63 144.766 165.246 144.898 164.778H145.654C145.21 166.074 144.64 166.956 143.944 167.424C143.248 167.88 142.558 168.108 141.874 168.108ZM147.051 168.108C146.367 168.108 145.797 167.874 145.341 167.406C144.885 166.938 144.657 166.206 144.657 165.21C144.657 164.322 144.831 163.392 145.179 162.42C145.539 161.436 146.067 160.608 146.763 159.936C147.471 159.252 148.311 158.91 149.283 158.91C149.775 158.91 150.141 158.994 150.381 159.162C150.621 159.33 150.741 159.552 150.741 159.828V159.954L150.939 159H153.531L152.235 165.12C152.187 165.3 152.163 165.492 152.163 165.696C152.163 166.212 152.409 166.47 152.901 166.47C153.237 166.47 153.525 166.314 153.765 166.002C154.017 165.69 154.215 165.282 154.359 164.778H155.115C154.671 166.074 154.119 166.956 153.459 167.424C152.811 167.88 152.157 168.108 151.497 168.108C150.993 168.108 150.585 167.97 150.273 167.694C149.973 167.406 149.793 166.992 149.733 166.452C149.385 166.944 148.995 167.346 148.563 167.658C148.143 167.958 147.639 168.108 147.051 168.108ZM148.221 166.362C148.521 166.362 148.815 166.224 149.103 165.948C149.403 165.66 149.607 165.27 149.715 164.778L150.579 160.71C150.579 160.554 150.519 160.404 150.399 160.26C150.279 160.104 150.093 160.026 149.841 160.026C149.361 160.026 148.929 160.308 148.545 160.872C148.161 161.424 147.861 162.096 147.645 162.888C147.429 163.668 147.321 164.358 147.321 164.958C147.321 165.558 147.405 165.942 147.573 166.11C147.753 166.278 147.969 166.362 148.221 166.362ZM157.173 172.5C156.609 172.5 156.111 172.314 155.679 171.942C155.259 171.582 155.049 171.12 155.049 170.556C155.049 170.028 155.181 169.596 155.445 169.26C155.709 168.924 156.051 168.66 156.471 168.468C156.891 168.276 157.455 168.072 158.163 167.856L158.343 167.064C157.731 167.76 156.999 168.108 156.147 168.108C155.571 168.108 155.103 167.928 154.743 167.568C154.395 167.208 154.221 166.668 154.221 165.948C154.221 165.648 154.269 165.258 154.365 164.778L155.589 159H158.181L156.885 165.12C156.849 165.264 156.831 165.414 156.831 165.57C156.831 166.098 157.011 166.362 157.371 166.362C157.707 166.362 157.995 166.224 158.235 165.948C158.475 165.66 158.667 165.27 158.811 164.778L160.035 159H162.645L160.449 169.44C160.209 170.592 159.783 171.39 159.171 171.834C158.571 172.278 157.905 172.5 157.173 172.5ZM156.759 170.898C156.975 170.898 157.179 170.784 157.371 170.556C157.563 170.34 157.713 169.986 157.821 169.494L158.037 168.432C157.401 168.648 156.909 168.9 156.561 169.188C156.213 169.476 156.039 169.848 156.039 170.304C156.039 170.448 156.111 170.58 156.255 170.7C156.399 170.832 156.567 170.898 156.759 170.898Z' fill='%23AAAAAA'/%3E%3C/svg%3E%0A)