chuyen de LTDH Luong giac

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.. b..[r]

Chuyên đề

LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC

1 Hệ thức LG bản

2

2

sin cos

sin tan cos tan cos k k                                       2

tan cot cos cot sin cot sin k k                 

2 Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

 

 

 

sin sinacosb sinbcosa cos cos a cos b sinasinb

tan tan tan b

1 tan tan

a b a b a b a a b          

Công thức nhân:

2 2

3

3

3 sin 2sin cos

cos cos sin 2cos 1 2sin cos3 cos 3cos

sin 3sin 4sin 3tan tan tan =

1 3tan

a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a a a             

Tích thành tổng: cosa.cosb =1

2[cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb =1

2[cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb =1

2[sin(ab)+sin(a+b)]

Tổng thành tích: sin sin 2sin cos

2

a b a b

a b  

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b  

cos cos 2cos cos

2

a b a b

a b  

cos cos 2sin sin

2

a b a b

a b  

sin( ) tan tan cos cos a b a b a b   

Công thức hạ bậc: cos2a =1

2(1+cos2a) sin2a =1

2(1cos2a) Biểu diễn hàm số LG theo tan

2

2

2 2

2 1-

sin ; cos ; tan

1 1

t t t

a a a

t t t

  

  

3 Phương trìng LG bản

* sinu=sinv

2

u v k

u v k



 

  

    

 * cosu=cosvu=v+k2

* tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k kZ

4 Một số phương trình LG thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng cơng thức LG để đưa phương trình phương trình LG

b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình ta đặt t hàm số LG

2 Phương trình bậc sinx cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 b2 c2

 

C

ách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt b tan

a  , ta được: sinx+tancosx= cos c

a 

sinxcos+sin cosx= cosc

a   sin(x+ )= cos c

a  sin

đặt C

ách 2: Chia hai vế phương trình cho a2 b2

 , ta được:

2 sin 2 cos 2

a b c

x x

a b  a b  a b

Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin

a b   a b   Khi phương trình tương đương:

2 cos sinx sin cosx c

a b

   

 hay   2

sin x c sin

a b

 

  

 đặt

Cách 3: Đặt tan

2

x

t

3 Phương trình bậc hai sinx cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

x k

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0 Chú ý: 2

1

tan

2

cos x x x k

 

 

     

 

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

4 Phương trình đối xứng sinx cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c

Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện t

sin cos sin cos

4

sin cos sin cos

4

x x x x

x x x x

 

 

   

       

   

   

       

   

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC Ph

ươ ng pháp 1 :Dùng công thức lượng giác đưa phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải

Phương trình (1) tương đương với: cos cos cos cos8

2 2

x x x x

   

  

 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x =  2cos5xcosx+2cos5xcos3x =  2cos5x(cos3x+cosx) =  4cos5x.cos2x.cosx =

5

10

cos5

cos 2 , ( , , )

2

cos

2

π kπ

π

x

x kπ

x

π π lπ

x x kπ x k l n

x π π

x kπ x nπ

 

 

  

 

  

  

        

  

   





    

 

 



Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = ( cos8x+sin8x) (2).

Giải

Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)  cos2x(sin6x–cos6x) =

 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) =  cos2x =

 , ( )

2

π π kπ

x kπ x  k 

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 cos6 x 2 sin3 xsin 3x 6 cos4 x 1 0

    (3)

Giải

Ta có:

3 3

2

2

(3) 2 cos (4cos 3cos ) 2 sin sin 2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin

(1 cos )(cos cos ) (1 cos )(cos cos ) 2(cos cos cos )

2 cos (1 cos )

2 cos cos

4

cos

2

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

π

x x

    

  

      

  

  

 

    kπ k,(  ) Ph

ươ ng pháp 2 : Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác phương trình đại số: Ví dụ 4 Giải phương trình lượng giác: sin8 cos8 17

32

x x (4)

Giải

Ta có (4)

4

4

1 cos cos 17 17

(cos cos 1)

2 32 32

x x

x x

 

   

         

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2

1

17 13

6

13

4

2

t

t t t t

t 

          

   Vì t[0;1], nên cos 22 cos 1

2 2

x t  x   

cos4x = 4 , ( )

2

π π π

x kπ x k k  Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (5)

Giải

Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – =  (1cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] =  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) =

cos ,( )

2sin 2cos 2sin cos (*)

x x kπ k

x x x x

   



     





Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | |t  2, phương trình (*) trở thành:

2t + t2 – + = t2 + 2t = 0 sin -cos ,( )

2 (

t π

x x x nπ n

t lo

 

       

 



¹i)

Vậy nghiệm phương trình cho là:

4

π

x nπ; x kπ , ( , n k  )

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác việc giải hệ phương trình lượng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Ví dụ 6. Giải phương trình: π|sin x| cosx  (6)

Giải

Điều kiện: x ≥

Do | sin x| 0, nên π|sin x|π0 1, mà |cosx| ≤ Do

2 2 0

| sin | ,( )

(6)

0

| cos | ,( )

k n

x kπ k π n

x x kπ k

x

x nπ x nπ

x x nπ n



           

 

         



 

  

    

 

 

(Vì k, n  Z) Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: cos

x

x

 

Giải

Đặt

2 ( )= cos

2

x

f x x Dễ thấy f(x) = f(x),   x , f(x) hàm số chẵn trước hết ta xét với x ≥

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) hàm đồng biến, f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, x=0 nghiệm phương trình

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n số tự nhiên lớn 2, tìm x thuộc khoảng 0;

π

 

 

  thoả mãn phương trình:sin cos 222

n

n x n x 

 

Giải

Lập bảng biến thiên f(x) khoảng 0; 

 

 

 , ta có minf(x) = f        = 2 n 

Vậy x = 

nghiệm phương trình cho

BÀI TẬP

Giải ph ươ ng trình sau :

1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2

2

x k  x n  2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2

4

x  k x  n  3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

ĐS: ; ;

4 12 12

x  k x  n x   m 4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:

2

x k  . 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

ĐS: ; ; ;

2

x k  x  n  x  l  với sin   6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:

4

x k . 7. sin sin sin

4

x  x x 

   

  

   

   ; (Học Viện BCVT) ĐS: x k

 

 

8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:

12

x k 

9.

1

4 sin sin sin x x x                   ĐS: 8 x k x k x k                       10. sin3 x 3 cos3x sin cosx x 3 sin2 xcosx

  

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =

3 k 

   ,

4

x  k 11.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: Đưa cung x đặt thừa số ĐS: 2 ( )

4

x k  x  k  k  12.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).

Giải

(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0

Đặt t=cosx, ĐK t 1, ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2    1 cos sin -

t x t x       

 loại

13.2sinx+cotx=2sin2x+1.

HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK t 1

2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2. 14.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp … 15.Giải phương trình lượng giác: cos sin 

tan cot cot

x x

x x x

 

 

Giải

Điều kiện: cos sin sin tan cot  cot

x x x x x

x         Từ (1) ta có:

 

2 cos sin

1 cos sin

2 sin

sin cos cos 1 cos

cos sin sin

x x x x

x

x x x x

x x x



  

 

2sin cosx x sinx

    2 cos 2 x k x k x k                  

So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho  

x  k  k 

16.Giải phương trình:  

4

sin cos

tan cot

sin 2

x x x x x    Giải   4

sin cos

tan cot

sin 2

x x

x x

x



  (1)

Điều kiện: sin 2x0

1 sin 1 sin cos

(1)

sin 2 cos sin

x x x

x x x

          2

1 sin 1 1

2 1 sin 2 1 sin 2 0

sin sin 2

x

x x

x x



      

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

17.Giải phương trình: 2 sin2 sin2 tan

x  x x

 

  

 

  .

Giải

Pt2 sin2 sin2 tan

4

x  x x

 

  

 

  (cosx

)

 cos cos 2sin2 cos sin

2

x  x x x x

  

       

 

 

 (1–sin2x)(cosx–sinx) =  sin2x = tanx =

18.Giải phương trình: sin cosx x 3 2 osc 3x 3 os2c x 8 3 cosx s inx 3 0

       .

Giải

3

2

sin (cos 3) 3.cos 3.cos 8( 3.cos sin ) 3

2sin cos 6sin cos 3.cos cos 3 8( 3.cos sin ) 3

x x x x x x

x x x x x x x x

                ) sin cos ( ) sin cos ( cos ) sin cos ( cos 2       

2

2

( cos sin )( 2cos 6cos 8)

tan

3 cos sin

cos

cos 3cos cos 4 ( ai)

x x x x

x

x x

x

x x x

                         lo , x k k x k             Z

19.Giải phương trình: cosx=8sin3 x         Giải cosx=8sin3

6

x 

 



 

   cosx =  

3 sinxcosx

 3 sin3 x9sin2 xcos 3 sin cosx  x xcos3x cos x  (3) Ta thấy cosx = không nghiêm

(3)  3 tan3x8 tan2x 3 tan  x  tan x x k

   

20.Giải phương trình lượng giác: cos sin  tan cot cot

x x

x x x

 

 

Giải

Điều kiện: cos sin sin tan cot  cot

x x x x x

x        

Từ (1) ta có:  

2 cos sin

1 cos sin

2 sin

sin cos cos cos

1 cos sin sin

x x x x

x

x x x x

x x x



  

 

2sin cosx x sinx

    2 4 cos 2 x k x k x k                  

So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho  

x  k  k Z 21.Giải phương trình: cos 2x 5 2(2 cos )(sin x x cos )x

Giải

Phương trình  (cosx–sinx)2– 4(cosx–sinx) – = cos sin

cos sin ( cos sin 2)

x x

x x loai vi x x

 

  

   



    2

2 sin sin sin ( )

4 4 2

x k

x x k Z

x k                       

22.Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0 Giải

3 sinxcosx2 cos 3x 0  sin 

sinx + cos 

 cos cos3

x  x

 

 

 

   cos x cos( )x





 

  

 

 

 ( )

3

k x

k

x k

 

  

  

 

   

Z  x =

3

k

 

 (kZ)

23.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2  Giải

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 

 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 

 cos 32 sin 32 cos cos sin sin  2

x x x x x x    cos ,

2 16

x  x k kZ

24.Định m để phương trình sau có nghiệm

2

4sin sin 4cos cos cos

4 4

x x  x   x   xm

     

Giải Ta có:

* 4sin sin x x  cos 2 x cos 4x;

* 4cos cos cos cos sin 2 cos 

4

x  x   x  x x x

     

      

       

       

* cos 2 1 cos 11 sin 4 

4 2

x   x   x

   

     

    

    

Do phương trình cho tương đương:

  1

2 cos sin sin (1)

2

x x  x m  

Đặt cos sin 2 cos

t x x   x  

  (điều kiện:  2 t 2)

Khi

sin x  2sin cos x x t 1 Phương trình (1) trở thành:

2 4 2 2 0

t  t m  (2) với  2 t 2

(2) t 4t 2 2m

Đây phuơng trình hồnh độ giao điểm đường ( ) :D y 2 2m (là đường song song với Ox cắt trục tung điểm có tung độ – 2m (P): y t2 4t

  với  2 t

x  2 2

y’ +

y 2 2

2 2 Trong đoạn  2; 2

  , hàm số

2 4

y t  t đạt giá trị nhỏ 2 2 t đạt giá trị lớn 2 t

Do u cầu tốn thỏa mãn 2 2   m 2 2 m 2

   

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) phương trình: sin cos sin cos

1 sin

x x

x x

x 

 

  

  

  (Khối A_2002)

Giải

ĐS: ;

3

x x 

2. Giải phương trình: cot 1 cos sin2 1sin 2

1 tan

x

x x x

x

   

 (Khối A_2003)

Giải

ĐS:  

4

x k kZ

3. Giải phương trình: 2

cos cos 2x x cos x0 (Khối A_2005)

ĐS:  

2

k

x  kZ

4. Giải phương trình:  

6

2 cos sin sin cos

0 2sin

x x x x

x

 

 

(Khối A_2006)

Giải

ĐS:  

4

x  k  kZ

5. Giải phương trình: 1 sin 2xcosx1 cos 2xsinx 1 sin 2x (Khối A_2007)

Giải

ĐS: , ,  

4

x  k x k  x k  kZ

6.

1

4 sin

sin

sin

x x

x

 

 

    

    

 

 

(Khối A_2008)

ĐS: , , ,  

4 8

x k x k x  k kZ

7. Giải phương trình:  

   

1 2sin cos

3

1 2sin sin

x x

x x





  (Khối A_2009)

Giải

ĐS: , 

18

x  k  kZ

KHỐI B

8. Giải phương trình sin 32 x cos 42 x sin 52 x cos 62 x

   (Khối B_2002)

Giải

ĐS: ; , 

9

x k  x k  kZ

9. Giải phương trình cot tan 4sin 2

sin

x x x

x

   (Khối B_2003)

ĐS: ,  

3

x k kZ

10. Giải phương trình 5sinx 2 sin xtan2x

   (Khối B_2004)

Giải

ĐS: ; , 

6

x k  x  k  kZ

11. Giải phương trình sin xcosxsin 2xcos 2x0 (Khối B_2005)

Giải

ĐS: 2  

3

x  k  kZ

12. Giải phương trình: cot sin tan tan

2

x x x  x 

  (Khối B_2006)

ĐS: ; , 

12 12

x k x  k kZ

13. Giải phương trình:

2 sin 2xsin 7x sin x (Khối B_2007)

Giải

ĐS: ; ,  

18 18

x k  x  k  kZ

14. Giải phương trình sin3x 3 cos3xsin cosx x 3 sin2 xcosx (Khối B_2008)

Giải

ĐS: ; , 

4

x k x  k kZ

15. Giải phương trình: sinxcos sin 2x x cos 3x2 cos 4 xsin3x (Khối B_2009)

Giải

ĐS: , ,  

42

k

x   x   k kZ

16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002) Giải

ĐS: ; ; ;

2 2

x x  x  x 

17. sin2 tan2 cos2 0

2

x x

x 

 

  

 

  (Khối D_2003)

Giải

ĐS: , , 

4

x  k  x  k kZ

18. Giải phương trình 2 cosx sin  xcosxsin 2x sinx (Khối D_2004)

Giải

ĐS: , ,  

3

x k  x  k kZ

19. Giải phương trình: cos4 sin4 cos sin 3 0

4

x x x   x  

ĐS: ,  

x k kZ

20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006)

Giải

ĐS: 2 ,  

3

x  k  kZ

21. Giải phương trình

2

sin cos cos

2

x x

x

 

  

 

  (Khối D_2007)

Giải

ĐS: , ,  

2

x k  x  k  kZ

22. Giải phương trình sin 3x cos 3x2sin 2x (CĐ_A_B_D_2008)

Giải

ĐS: , ,  

3 15

23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)

Giải

ĐS: 2 , ,  

3

x  k  x k kZ

24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)

Giải

ĐS: , ,  

12 12

x k x  k kZ

25. Giải phương trình cos 5x 2sin cos 2x x sinx0 (Khối D_2009)

Giải

ĐS: , ,  

18

x k x  k kZ