[2D3-5.13-3]

Câu [2D3-5.13-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho vật thể gỗ có dạng hình trụ với chiều cao bán kính đáy R Cắt khối gỗ mặt phẳng qua đường kính mặt đáy khối gỗ tạo với mặt phẳng đáy khối gỗ góc thể tích 300 ta thu hai khối gỗ có V1 V2 , với V1 < V2 Thể tích V1 bằng? 3π R3 V = B 27 3R V = A 3π R3 V = C 18 3R V = D 27 Lời giải Tác giả: Vũ Việt Tiến, FB: Vũ Việt Tiến Chọn A Khi cắt khối gỗ hình trụ ta hình nêm tích Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Nửa đường trịn đường kính AB có phương trình Một mặt phẳng vng góc với trục diện ∆ MNP vng V1 hình vẽ N có Ox điểm · PMN = 300 M y = R − x , x ∈ [ − R; R ] có hồnh độ x , cắt hình nêm theo thiết R2 − x2 NM = y = R − x ⇒ NP = MN tan 30 = Ta có 2 1 R2 − x2 S ( x ) = NM NP = có diện tích 2 ∆ MNP R R R  3 3R R2 − x2 V1 = ∫ S ( x ) dx = ∫ dx = R x− x ÷ =  −R 2  Thể tích hình nêm −R −R * Chú ý: Có thể ghi nhớ cơng thức tính thể tích hình nêm: 2 AB V1 = R h = R tan α R= · , 3 , α = PMN II PHẦN TỰ LUẬN Câu [0D4-8.4-3] (HSG 12 Bắc Giang) Giải bất phương trình x + x + + x + 15 x + ≤ x + + x + + , ( x ∈ R ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thu Trang; Fb: Nguyễn Thị Thu Trang  x2 + x + ≥   x + 15 x + ≥  x + ≥ ⇔ x≥ −  ĐK:  x + ≥ Ta có ⇔ x + x + + x + 15 x + ≤ x + + x + + ( 1) ( x + 1) ( x + 3) + ( x + 1) ( x + ) ≤ ( x+ 3+ x+ + ) ( ) ⇔ 2x +1 x + + x + ≤ x + + x + + ⇔ 2x + ≤ + x+3 + x +7 ⇔ x + ≤ + x + − x + ( *) (Vì x+ − x+ > 0) ⇔ 2x + − ≤ x + − x + ( 2) Cách 1: ⇔ − ≤ x≤ Trường hợp 1: x + − ≤ Khi bpt ( 2) Trường hợp 2: (Vì x≥ − 2x + − > ⇔ x > 2) Bpt ( ) ⇔ ( ) ( 2x + − ≤ x+ − x+ ) ⇔ − x + ≤ − x + x + ⇔ x + ≥ ⇔ ( x + 1) ≥ ( x + 3) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) (Vì ( x + 3) ( x + ) > ) ⇔ x − 8x + 12 ≤ ⇔ ≤ x ≤ , kết hợp điều kiện x > ta có < x ≤   − ;6 Vậy tập nghiệm bất phương trình ( 1)   Cách 2: ⇔ ( *) ⇔ 2x + − x + + x + − ≤ 1   x− x− + + ≤ ⇔ ( x − 6)  ÷≤ x+ + 3 2x + + x + x+ 3+  2x + + x + ⇔ x− 6≤ ⇔ x≤ − ≤ x≤ Kết hợp điều kiện ta có   − ;6 Vậy tập nghiệm bất phương trình ( 1)   Cách 3: ( 2) ⇔ 2x + + x + − x + − ≤   − ;+ ∞ ÷  Xét hàm số f ( x ) = x + + x + − x + − nửa khoảng   Ta có f ′ ( x) = 1   + − f ′ ( x ) > 0, ∀ x ∈  − ; + ∞ ÷ x + x + x + Dễ thấy   suy hàm   − ;+ ∞ ÷  f x số ( ) đồng biến khoảng   ⇔ − ≤ x≤ Mặt khác f ( ) = suy ( ) ⇔ f ( x ) ≤ f ( )   − ;6 Vậy tập nghiệm bất phương trình ( 1)   thanhhai@thd.vn Câu [2H1-3.9-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác A Hình chiếu A mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm tam giác ABC Biết BB ' = AC = a , AB = a Tính thể tích khối chóp C A ' B ' BA vuông Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Anh Đào; Fb: Đào Nguyễn Gọi H trọng tâm tam giác ABC 2a AH = BC = Ta có 3 , AA ' = BB ' = a 4a a 23 A ' H = AA ' − AH = 3a − = Do 2 2 2 a 23 a 69 VC A ' B ' BA = VABC A ' B 'C ' = A ' H S∆ ABC = a.a = 3 3 Câu [1D2-2.2-4] (HSG 12 Bắc Giang) Cho tập hợp S = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} Hỏi có cách chia tập S thành ba tập khác rỗng cho tập khơng có hai số nguyên liên tiếp nào? Lời giải Tác giả: Võ Thanh Hải ; Fb: Võ Thanh Hải { } Ta đặt S n = 1;2;3; ; n , n ≥ un số cách chia tập S n thành ba tập khác rỗng cho tập khơng có hai số ngun liên tiếp Ta chứng minh *Với ( 1) un = 2n− − 1, n ≥ ( 1) phương pháp qui nạp n = 3: S3 = { 1;2;3} Rõ ràng ta có cách chia thỏa u cầu tốn, với *Giả sử ( 1) n = với * Ta chứng minh n = k ( k ≥ 3) , tức với Sk = { 1;2;3; ; k} ( 1) với uk = k − − n = k + , tức với Sk + = { 1;2;3; ; k + 1} uk + = 2k − − Giả sử ta chia tập Sk = { 1;2;3; ; k} ta cần bổ sung thêm phần tử ta có ta phải có thành ba tập thỏa yêu cầu đề bài, bây k + , có trường hợp xảy ra: k + bổ sung vào ba tập hợp chia sẵn Sk = { 1;2;3; ; k} , trường hợp ta có cách thực (vì k + khơng thể bổ sung vào tập hợp có chứa phần Trường hợp 1: phần tử tử k ) Do Sk = { 1;2;3; ; k} có uk cách chia nên trường hợp ta có 2uk cách thực k + tập có phần tử Sk + = { 1;2;3; ; k + 1} , phần tử cịn lại 1,2,3, ,k có cách chia thành hai tập hợp (một tập Trường hợp 2: phần tử chứa chữ số chẵn tập chứa chữ số lẻ) uk + = 2uk + = ( 2k − − 1) + = 2k − − (điều phải chứng minh) Vậy Kết luận: Với n = 10 ta có số cách chia thỏa yêu cầu toán u10 = 28 − = 255 Ta lập luận sau: Ta cần thiết lập công thức truy hồi dãy số Giả sử ta có tập un cách chia tập Sn+ = { 1;2;3; ; n + 1} Sn = { 1;2;3; ; n} ( un ) thành ba tập thỏa yêu cầu đề Khi với ta có trường hợp sau: n + bổ sung vào ba tập hợp chia sẵn Sn = { 1;2;3; ; n} , trường hợp ta có cách thực (vì n + khơng thể bổ sung vào tập hợp có chứa phần Trường hợp 1: phần tử tử n ) Do Sn = { 1;2;3; ; n} có un cách chia nên trường hợp ta có 2un cách thực n + tập có phần tử Sn+ = { 1;2;3; ; n + 1} , phần tử cịn lại 1,2,3, ,n có cách chia thành hai tập hợp (một tập Trường hợp 2: phần tử chứa chữ số chẵn tập chứa chữ số lẻ) Do ta có Đặt = un + ( ) cấp số nhân với công bội q = Mặt khác v3 = u3 + = ta có Vậy un+ = 2un + ⇔ ( un+ + 1) = ( un + 1) n +1 = v3 q n− = 2n−  vn = u → un = − = 2n− − u10 = 28 − = 255 Cách : Gọi tập A B S thỏa mãn yêu cầu toán A, B , C C + Thả số vào A , thả số 2 vào B + Thả số vào ba tập có cách ( loại tập B + Thả số B vào ba tập có cách ( loại tập chứa số chứa số ) ) nên đến số 10 vào ba tập A , B , C theo cách số có cách thả Vậy số cách thả 10 phần tử S vào ba tập A , B , C theo cách có 28 cách + Cứ thả số từ số * Xét trường hợp C=∅ Khi đó, A = { 1;3;5;7;9} B = { 2;4;6;8;10} có cách S thành ba tập khác rỗng cho tập khơng có hai số nguyên liên tiếp 28 − Vậy số cách chia tập Câu [2D3-5.13-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Săm lốp xe ô tô bơm căng đặt nằm mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu hình vẽ với bán kính đường trịn nhỏ R1 = 20cm , bán kính đường trịn lớn R2 = 30cm mặt cắt cắt mặt phẳng qua trục, vng góc mặt phẳng nằm ngang hai đường tròn Bỏ qua độ dày vỏ săm Tính thể tích khơng khí chứa bên săm A 1250π cm3 B 1400π cm3 C 2500π cm D 600π cm3 Lời giải Tác giả: Hoàng Văn Phiên; Fb: Phiên Văn Hồng Chọn A Thể tích săm xe thể tích khối trịn xoay sinh hình trịn tâm I ( 0;25) bán kính quay quanh trục Ox  y = 25 + 25 − x x + ( y − 25 ) = 25 ⇔  , x ∈ [ − 5;5]  y = 25 − 25 − x Ta có phương trình đường trịn  2 ( ) ( ) 5 2 5  2 V = π  ∫ 25 + 25 − x dx − ∫ 25 − 25 − x dx  = 100π ∫ 25 − x dx Vậy −5 −5  −5  ∫ Ta có 25 − x dx −5 diện tích nửa hình trịn tâm O ( 0;0 ) , bán kính 25π ⇒ ∫ 25 − x dx = π 52 = 2 −5 5 V = 100π ∫ 25 − x dx = 100π 25π = 1250π 2cm3 Suy −5 Chú ý: Có thể bấm máy tích phân, ta ) ( ) ( 2 5  2 V = π  ∫ 25 + 25 − x dx − ∫ 25 − 25 − x dx  ≈ 3927π cm3 −5  −5  Kiểm tra đáp án ta chọn đáp án A Câu [2D3-5.13-3] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Nhà trường dự định làm vườn hoa dạng elip chia làm bốn phần hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với qua trục elip hình vẽ bên Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ elip A, B m m , F1 , F2 hai tiêu điểm elip Phần C , D dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mét vng hoa 250.000 đ 150.000 đ Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa (làm dùng để trồng hoa, phần cỏ tròn đến hàng nghìn) A 5.676.000 đ B 4.766.000 đ C 4.656.000 đ D 5.455.000 đ Lời giải Tác giả: Ngô Quốc Tuấn; Fb: Quốc Tuấn Chọn A Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Do elip có độ dài trục lớn 2a = ⇔ a = , độ dài trục nhỏ 2b = ⇔ b = Diện tích ( E) = π ab = 8π là: S( E ) x2 y 2 + = y = ± 16 − x E Phương trình tắc ( ) là: 16 Suy Ta có ( c = a − b = ⇒ F2 3; F2 ) ⇒ N ( 3; 1) Do N Gọi ( P ) : y = kx parabol nằm phía trục Ox Do N ∈ ( P) có hồnh độ ta có ( ) 1= k ⇔ k = 1 P ) : y = x2 ( 12 Suy 12 A Diện tích phần = ∫ SA = 16 − x dx − 2 2 2 1 1 2 16 − x − x d x ÷ = ∫  16 − x − x ÷dx ∫  12  12  −2  ∫ x dx * Xét I1 = ∫ 16 − x dx Đặt x = 4sin t ⇒ dx = 4costdt Đổi cận: π π π π   I1 = ∫ 16 − 16sin t 4costdt = 16 ∫ cos 2tdt = 8∫ ( + cos2t ) dt =  t + sin 2t ÷ Khi  0 0 π 3 =  + ÷÷   I2 = * Ta có Suy ra: ∫ x dx = x = 18 S A = I1 − I = Tổng diện tích phần 8π + 16π + ⇒ S A + SB = 2S A = 3 C, D là: SC + S D = S ( E ) − ( S A + S B ) = 8π − Khi tổng số tiền để hồn thành vườn hoa là: 16π + 8π − 250000 + 150000 ≈ 5676000 đ 3 Câu [2D3-5.13-3] (Đặng Thành Nam Đề 1) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/ m phần lại 100.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1 A2 = 8m, B1B2 = 6m A 7322000 đồng B tứ giác MNPQ hình chữ nhật có 7213000 đồng C 5526000 đồng MQ = 3m D 5782000 đồng Lời giải Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen Chọn A Gắn hệ trục tọa độ O = A1 A2 ∩ B1B2 Oxy có A1 A2 trùng với trục Ox , B1B2 trùng với trục Oy , gốc tọa độ (như hình vẽ) Elip có độ dài trục lớn 2a = A1 A2 = ⇔ a = ( m ) , độ dài trục nhỏ 2b = B1B2 = ⇔ b = ( m ) x2 y ⇔ y = ± 16 − x + = 2 Suy phương trình tắc elip Trong đó: yM2 MQ = −2 ⇒ yM = = ⇒ xM = − − ⇒ xN = Do MQ = 2 Gọi S1 diện tích phần tơ đậm elip, diện tích elip Suy y=− S1 S2 diện tích phần khơng bị tơ đậm elip S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= 16 − x , 16 − x , x = −2 , x = Ta có: +S + = π ab = 12π ( m ) S1 = Đặt Khi ∫ −2 3 16 − x   −  − 16 − x ÷ dx = ∫ 16 − x dx   x = 4sin t ⇒ dx = 4cos tdt x = ⇒ t = Khi x= 3⇒ t= π π π π 0 ⇒ S1 = ∫ 16 − x dx = 3∫ 16 − 16sin t 4cos tdt = ∫ 48cos tdt = π ∫ 24 ( + cos2t ) dt ( ) = ( 24t + 12sin 2t ) = 8π + m ⇒ S2 = S − S1 = 4π − ( m2 ) Suy chi phí để sơn biển quảng cáo là: 200000.S1 + 100000.S2 ≈ 7322416 (đồng) Vậy số tiền để sơn biển quảng cáo gần với Câu 7322000 đồng [2D3-5.13-3] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Vườn hoa trường học có hình dạng giới hạn đường elip có bốn đỉnh E ,F A, B, C , D hai đường parabol có đỉnh AB , AB = 8m , (phần tơ đậm hình vẽ bên) Hai đường parabol có trục đối xứng đối xứng qua trục CD , hai parabol cắt elip điểm M , N , P , Q Biết CD = 6m , MN = PQ = 3m , EF = 2m Chi phí để trồng hoa vườn 300.000 đ/ m2 Hỏi số tiền trồng hoa cho vườn gần với số tiền đây? A 4.477.800 đồng B 4.477.000 đồng C 4.477.815 đồng Lời giải D 4.809.142 đồng Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Trang ; Fb: Nguyen Trang Chọn D +) Gắn hệ trục tọa độ +) Khi elip ⇒ Oxy hình vẽ với O ( 0;0 ) , B ( 4;0 ) C ( 0;3) ( E ) có độ dài trục lớn AB = , độ dài trục bé CD = x2 y + =1 Phương trình ( E ) là: 16  3 P  2; ÷ ÷ Lại có EF = ⇒ F ( 1;0 ) +) Do PQ = 3 P , Q ∈ ( E ) , suy  +) Phương trình parabol ( P1 ) đỉnh F có dạng: x = ky +  3 P  2; ÷÷ x = y +1 P P  nên phương trình ( ) là: +) Vì parabol ( ) qua điểm  27 +) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn bới đường Ta có y= 16 − x , y = 0, x = 0, x = y= 3 x − 1, y = 0, x = 1, x = 16 − x dx ≈ 5.73967 m2 S1 = ∫ +) Gọi S2 ( ) diện tích hình phẳng giới hạn bới đường Ta có 3 x − 1dx ≈ 1,73205 ( m ) S2 = ∫ +) Diện tích trồng hoa là: S = ( S1 − S2 ) ≈ 16,0305 ( m2 ) Vậy số tiền trồng hoa cho vườn khoảng 16,0305.300000 ≈ 4809150 đồng STRONG TEAM TOÁN VD VDC ... S thành ba tập khác rỗng cho tập khơng có hai số ngun liên tiếp 28 − Vậy số cách chia tập Câu [2D3-5.13-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Săm lốp xe ô tô bơm căng đặt nằm mặt phẳng nằm... 25 + 25 − x dx − ∫ 25 − 25 − x dx  ≈ 3927π cm3 −5  −5  Kiểm tra đáp án ta chọn đáp án A Câu [2D3-5.13-3] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Nhà trường... 8π − Khi tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa là: 16π + 8π − 250000 + 150000 ≈ 5676000 đ 3 Câu [2D3-5.13-3] (Đặng Thành Nam Đề 1) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1