2.5 HDG TỈ SỐ THỂ TÍCH

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP DẠNG 5: TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác ABD cạnh a , tam giác BCD · SA ⊥ ( ABCD ) ( P ) qua A vng góc cân C BCD = 120° SA = a Mặt phẳng với SC cắt cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP a3 a3 2a 3 a3 A 12 B 42 C 21 D 14 Hướng dẫn giải Chọn B S N M K P B A O C I D Gọi O trọng tâm tam giác ABD I trung điểm BD a OI = AI = AI = a ; a a ID = BD = IC = ID.cot 60° = · 2 Tam giác ICD vng I có ICD = 60° , 2a ⇒ AC = AI + IC = ⇒ O C đối xứng qua đường thẳng BD Trang 1/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC )  ⇒ BD ⊥ SC Khi  BD ⊥ SA SC ⊥ ( P ) BD // ( P ) Mà nên ( P ) ∩ ( SBD ) = MP ⇒ MP // BD  SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD (   Do  BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AN  AN ⊂ ( SAC )   ⇒ AN ⊥ MP Lại có Tam giác SAC vng A có SN SC = SA Tam giác ABC có SD = a ; ⇒ SN SA2 SN SA2 = ⇒ = = 2 SC SC SC SA + AC a 3 AC = AB + BC AM ⊂ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM BC = IC + IB = ⇒ tam giác ABC vuông B ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ; ⇒ SM = SB Lại có tam giác SAB vng nên AM ⊥ SB ⇒ M trung điểm SB SP SM = = MP // BD Mà nên SD SB Mặt khác a2 a2 a3 = + CB CD sin120 = V = V = S ABCD S ABCD = S ∆ABC + S∆BCD Suy VS AMN SM SN 3 3 = = = ⇒ VS ANP = V VS ANM = V SB SC 14 28 Do 28 Khi VS ABC VS AMNP a3 = ⇒ VS AMNP = 42 Vậy VS ABCD 14 Câu ( P ) qua A vng góc SC cắt SC , SB, SD Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng V ,V B′, C ′, D′ Biết 3SB′ = 2SB Gọi thể tích hai khối chóp S A′B′C ′D′ V1 = V A V1 S ABCD Tỉ số V2 V1 = V B V1 = V C V1 = V D Hướng dẫn giải Chọn B Trang 2/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 SB ' SD ' SC ' = ⇒ = SD , cần tìm SC Ta có SB Tọa độ hóa với Ox ≡ OC , Oy ≡ OB, OS≡ Oz đặc biệt hóa cho OA =  A ( −1;0;0 ) ⇒ uuu r C 1;0;0 , S 0;0; a ⇒ SC = ( 1;0; − a ) ( ) ( )  ⇒ ( P ) : ( x + 1) − az = ⇔ x − az + = x = uur  B ( 0;1;0 ) ⇒ SB = ( 0;1; − a ) ⇒ SB :  y = + t ( t ∈ ¡ )  z = − at  Ta có 1 ( P ) ⇒ a 2t + = ⇒ B '  0;1 − ; ÷ a a   Cho giao với  −   a = 1  S 0;0;    0;1 − ; − a ÷ = ( 0;1; −a ) ⇒  ⇒a= 3⇒ a a    − 3a = −2a ( P ) : x − z + =  a Ta có ( ) Cho SC giao với VS AB ' C ' 1 = = V 1 3 3 SC ' 1  S ABC = ⇒ ⇒ VS AB ' C ' D ' = VS ABCD ( P ) ⇒ C '  ;0; ÷⇒  SC 2 VS AC ' D ' = =  VS ACD 3 · · · Câu Cho hình chóp S ABC có ASB = ASC = BSC = 60° SA = ; SB = ; SC = Tính thể tích V khối chóp 7 V= V= A V = B C D V = Hướng dẫn giải Chọn B Trang 3/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Lấy hai điểm B′ , A′ hai cạnh SB SC cho SB′ = , SC ′ = Ta có hình chóp S AB′C ′ hình tứ diện có cạnh 23 2 ⇒ VS AB′C ′ = = 12 VS AB′C ′ SA SB′ SC ′ 2 = = = Ta lại có: VS ABC SA SB SC 21 ⇒ VS ABC = 21VS AB′C ′ 21.2 = = 3.4 ( P) Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC , mặt phẳng VS AB ' MD ' chứa AM song song với BD , cắt SB SD B′ D′ Tỷ số VS ABCD A B C Hướng dẫn giải D Chọn D Gọi O tâm hình bình hành đáy I = AO ∩ SO Đường thẳng qua I song song BD cắt SB, SD B′, D′ Ta có VSAB′MD′ = VSAB′M + VSAMD′ VSAB′M SB′ SM 1 = = = V = VSABC SB SC 3 nên SAB′M VSAMD′ 1 = VSAMD′ = VSABCD Tương tự VSACD nên VSABCD VSAB′MD′ = VSABCD V N S ABCD M Câu 5.Cho hình chóp tích Gọi , trung điểm SA , MC Thể tích khối chóp N ABCD V V V V A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 4/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 V = Bh B = S ABCD Đặt , Suy d ( M ; ( ABCD ) ) = d ( S ; ( ABCD ) ) Vì M trung điểm SA nên , d ( N ; ( ABCD ) ) = d ( M ; ( ABCD ) ) Lại N trung điểm MC nên Suy 1 d ( N ; ( ABCD ) ) = d ( S ; ( ABCD ) ) = h 4 Từ ta có 1 V VN ABCD = d ( N ; ( ABCD ) ) B = Bh = 4 Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ tích Tính thể tích V khối chóp A′ AB′C ′ 1 V= V= V= A V = B C D Hướng dẫn giải ChọnD 1 VA′ AB′C′ = VA A′B′C′ = d ( A; ( A′B′C ′ ) ) ×S ∆A′B′C′ = ×VABC A′B′C′ = 3 Ta có: Câu Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A , B , C thay đổi trục Ox , Oy , Oz d ( S ; ( ABCD ) ) = h thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC ( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt Biết mặt phẳng cầu A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Trang 5/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 z C O B y A x S ABC S ABC = VOABC S d O, ABC = ) ) d ( O, ( ABC ) ) ( ( ABC Ta có S ABC = V nên d ( O, ( ABC ) ) = OABC Mà ( ABC ) tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R = Vậy mặt phẳng Câu 8.Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 12 3a Thể tích khối chóp A′ ABC A V = 3a 3 B V = 3a C V = 3a Hướng dẫn giải 3a3 V= D Chọn C V = S ABC AA′ = 12 3a Ta có ABC A′B′C′ 1 VA ' ABC = S ABC AA′ = 12 3a = 3a 3 ( SAB ) ( SAD ) Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng vng góc với đáy, biết SC = a Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh SB , SD , CD , BC Tính thể tích khối chóp a3 A a3 B a3 C 12 Hướng dẫn giải a3 D Chọn B Trang 6/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi F = PQ ∩ AC Dễ thấy AF ⊥ PQ ( MNPQ ) // SC nên ( SAC ) ∩ ( MNPQ ) = EF ( EF // SC ; F ∈ SA ) Mặt khác PQ ⊥ ( SAC ) Dựng AH ⊥ EF Do nên PQ ⊥ AH AH ⊥ ( MNPQ ) ⇒ AH = d ( A; ( MNPQ ) ) Suy 3 3a 3a AF = AS = SC − AC = AE = AC = 4 4 ; Ta có: AF AE a AH = = 2 AE + AF Suy ra: Mặt khác BD ⊥ SC nên PQ ⊥ QM suy tứ giác MNPQ hình chữ nhật a2 S MNPQ = MQ.QP = BD.SC = a3 VA.MNPQ = AH S MNPQ = Vậy Câu 10 Cho hình chóp S ABC có A′ B′ trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp S ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S A′B′C A V = B V = 12 C V = D V = Hướng dẫn giải Chọn D VS A′B′C SA′ SB′ SC 1 = = = V SA SB SC 2 S ABC Ta có 1 VS A′B′C = VS ABC = 24 =6 4 Vậy Trang 7/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 11 Cho khối tứ diện tích V Gọi V ′ thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh V′ khối tứ diện cho Tính tỉ số V V′ V′ V′ V′ = = = = A V B V C V D V Hướng dẫn giải Chọn C Gọi khối tứ diện cho ABCD Gọi E , F , G , H , I , J trung điểm AD , AB , AC , BC , CD , BD V = V ′ + 4.VA.FEG Khi ta có: VA FEG = V Mặt khác V′ V =V′+ V ⇒ = V Suy Câu 12 Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp ( AHK ) , cắt với đáy góc 45° H , K hình chiếu A lên SB , SD mặt phẳng SC I Khi thể tích khối chóp S AHIK là: A V= a3 B V= a3 12 V= C Hướng dẫn giải a3 18 D V= a3 36 Chọn C Trang 8/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 · Ta có SBA = 45° ⇒ SA = AB = a  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH  BC ⊥ AB Lại có  AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ AH Mà Tương tự SC ⊥ AK ⇒ SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ AI SA SI a SI = = = ⇒ = IC 2a SC Ta có AC VS AHI SA SH SI 1 = = ⇒ VS AHI = VS ABCD 12 Tỉ số VS ABC SA SB SC VS AIK SA SI SK 1 = = ⇒ VS AIK = VS ABCD 12 Tỉ số VS ACD SA SC SD 1 a ⇒ VS AHIK = VS AHI + VS AIK = VS ABCD = a.a = 6 18 Câu 13 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh BC Thể tích khối chóp S MAB 2a Thể tích khối chóp S ABC 3 A 2a B 4a a3 C Hướng dẫn giải a D Chọn B VS ABC = 2VSMAB = 4a Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Trên cạnh SB , SC lấy điểm M , N cho SM = 3MB, SN = NC Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh SD điểm P Tính thể tích khối chóp S MNP theo V V A Chọn C ( SBC ) gọi ( SBD ) gọi Trong mp Trong mp V B 9V C 80 Hướng dẫn giải 7V D 40 E = MN ∩ BC Trong mp ( ABCD ) gọi F = AE ∩ BD P = FM ∩ SD Khi P = ( AMN ) ∩ SD Trang 9/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 EB NC MS EB =1 ⇒ = EC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC ta có: EC NS MB FB EB EB ⇒ = = = EB P AD FD AD BC Lại có: PD MS FB PD SP =1 ⇒ = ⇒ = PS SD Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBD ta có: PS MB FD VSMNP VSMNP = SM SN SP 3 9V VSBCD × × = × × = ⇒ VSMNP = ×V = SB SC SD 40 80 Khi đó: Câu 15 Cho tứ diện ABCD tích 12 I trung điểm CD , M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A.MCD A V = B V = C V = D V = Hướng dẫn giải Chọn B Câu 16 Cho hình chóp S ABCD tích V Gọi M , N trung điểm SA , MC Thể tích khối chóp N ABCD V V V V A B C D Hướng dẫn giải Chọn B S M A N D O B C V = Bh B = S ABCD d ( S ; ( ABCD ) ) = h Đặt , Suy d ( M ; ( ABCD ) ) = d ( S ; ( ABCD ) ) Vì M trung điểm SA nên , d ( N ; ( ABCD ) ) = d ( M ; ( ABCD ) ) Lại N trung điểm MC nên Suy 1 d ( N ; ( ABCD ) ) = d ( S ; ( ABCD ) ) = h 4 Từ ta có 1 V VN ABCD = d ( N ; ( ABCD ) ) B = Bh = 4 Trang 10/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12  MN // BC  ( α ) ∩ ( SBC ) = PQ ⇒ PQ // BC Do  VS MNQ V VS MNQ VS NPQ V1 + S NPQ = ⇔ SM SN SQ + SP SN SQ = ⇔ x + x = + = SA SD SB SC SD SB V V V ⇔ 2VS ABD 2VS BCS −1 + 33 ⇔x= ⇔ 2x + x − = (vì x > ) VSABC V Câu 108 Cho hình chóp SABC Gọi M ; N trung điểm SB  ; SC Khi SAMN bao nhiêu? 1 A B C 16 D Hướng dẫn giải Chọn D VS ABC SB SC = =4 VS AMN SM SN uuur uuur uuu r uuur (α ) Câu 109 Cho khối chóp S ABC có M ∈ SA , N ∈ SB cho MA = −2 MS , NS = −2 NB Mặt phẳng qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện ( số bé chia số lớn ) 4 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Trang 62/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ( α ) cắt mặt ( SAC ) theo giao tuyến MQ PSC cắt mặt ( SBC ) Cách 1: Ta có mặt phẳng ( α ) với hình chóp hình thang MNPQ theo giao tuyến NP PSC Thiết diện tạo mặt phẳng Do VMNABPQ = VN ABPQ + VN AMQ , gọi V = VS ABC S = S ∆ABC ta có: 1   VN ABPQ = d ( N , ( ABC ) ) S ABPQ = d ( S , ( ABC ) )  S − S ÷ = V 3 3  27  1 VN AMQ = d ( N , ( SAC ) ) S ∆AMQ = d ( B, ( SAC ) ) S ∆ASC = V 3 27 VMNABPQ = VN ABPQ + VN AMQ = V ⇒ VSMNPQC = V 9 Vậy VSMNPQC = VMNABPQ Suy Cách 2: Gọi I = MN ∩ AB ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có MS IA NB IB × × =1⇒ = MA IB NS IA BI SA NM NM × × =1 ⇔ =1 NI Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác ∆AMI , ta có: BA SM NI PI AM AQ =1 MQ //SC ⇒ = = AS AC Tương tự ta có: PQ Vì VI BNP IB IN IP 1 1 15 = × × = × × = VI AMQ IA IM IQ 2 16 ⇒ VAMQ NBP = 16 VI AMQ Khi đó: d ( M ; ( ABC ) ) MA VM AIQ d ( M ; ( ABC ) ) S AIQ S AIQ AI AQ = × = = = × = × = VS ABC SA d ( S ; ( ABC ) ) S ABC d ( S ; ( ABC ) ) S AB AC 3 ABC Mà với 15 VAMQ NBP = × × ×VS ABC = VS ABC 16 9 Suy Trang 63/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 9=4 5 Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: S ABC SA SB SC Câu 110 Cho hình chóp có , , đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi B′ , C ′ hình chiếu vng góc S AB , AC Tính thể tích hình chóp S AB′C ′ 1− A V= a3 24 B V= a3 48 V= C Hướng dẫn giải a3 D V= a3 12 Chọn A Ta có ∆SAC vng cân S , SC ′ đường cao ⇒ SC ′ trung tuyến AB′ = Tương tự AB ⇒ AC ′ = AC 1 a3 a3 ⇒ VS AB ' C ' = VS ABC = = 2 24 Câu 111 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a , M trung điểm DC Thể tích V khối chóp M ABC bao nhiêu? a3 3a 2a 2a V= V= V= V= 24 12 24 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H trung điểm BD , ABCD trọng tâm ∆ABD a a AH = ⇒ AG = AH = 3 Ta có Trang 64/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A CG = AC − AG = Khối Đa Diện - Hình Học 12 a Trong ∆ACG có 1 2a VCABD = CG.S ABD = CG AB AD.sin 60° = 3 12 Do VCABM CM 1 2a = = ⇒ VCABM = VCABD = 24 Mà VCABD CD Câu 112 Cho khối chóp tam giác S ABC tích Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC , CA, AB Thể tích V khối chóp S MNP A V = B V= C V = Hướng dẫn giải D V= Chọn B + Gọi h chiều cao hình chóp S ABC S MNP VS ABC = h.S ABC VS MNP = h.S MNP S MNP = S ABC Mà 6 = Þ VS MNP = = Suy VS MNP Câu 113 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm A′, B′, C ′ cho 1 SA′ = SA SB′ = SB SC ′ = SC , , Gọi V V ′ thể tích khối chóp S ABC V′ S A′B′C ′ Khi tỉ số V 1 1 A B C D 27 Trang 65/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn D V ′ SA′ SB′ SC ′ 1 1 = = = SA SB SC 3 27 Ta có V Câu 114 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD 1 V= V= V= V= 3 12 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B S E A D B C 1 VSBCD = VSABCD = 2 Ta có VSEBD SE.SB.SD = = V = VSCBD SC SB.SD Do SEBD Câu 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích V1 khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V ? 1 A B C Hướng dẫn giải Chọn B D O ABCD SAC Gọi tâm hình bình hành G trọng tâm tam giác Trang 66/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 VS ADC = VS ABC = VS ABCD Ta có M , G, N thẳng hàng Do ABCD hình bình hành nên VS AMP SM SP V V SM SM = ⇔ S AMP = ⇔ S AMP = VS ADC SD SC VS ABCD SD VS ABCD SD Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có: VS ANP SN SP VS ANP VS ANP SN SN = ⇔ = ⇔ = VS ABC SB SC SB V SB S ABCD VS ABCD Tương tự VS AMP VS ANP  SM SN  VS AMNP  SM SN  + =  + =  + ÷⇒ ÷ V V SD SB V SD SB     S ABCD S ABCD Từ suy S ABCD V1  SM SN  =  + ÷ Hay V  SD SB  SD SB + =3 Ta chứng minh SM SN B , D Thậy vậy, qua kẻ đường song song với MN cắt SO E , F SD SF SB SE SD SB SE + SF = ; = ⇒ + = SM SN SG Ta có: SM SG SN SG SD SB SO ⇒ + = = = SM SN SG SD SB = x; =y SN Đặt SM Ta có x + y = V1  SM SN  =  + ÷= V  SD SB  11  x+ y 3 = ≥ =  + ÷=  x y  xy xy ( x + y ) Mặt khác V1 Vậy V nhỏ Câu 116 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm ( MNI ) chia khối chóp S ABCD cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng IA k= IS ? thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích 13 lần phần cịn lại Tính tỉ số 1 A B C D Hướng dẫn giải Trang 67/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Chọn A ( MNI ) với hình chóp hình ngũ giác IMNJH với EA = ED MN // JI Ta có MN , AD , IH đồng qui E với MN , CD , HJ đồng qui FC = FD F với , ý E , F cố định HS ED IA HS HS =1 ⇔ 3.k = ⇔ = HD HD 3k Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có HD EA SI Dễ thấy thiết diện tạo mặt phẳng d ( H , ( ABCD ) ) Từ Suy d ( S , ( ABCD ) ) = HD 3k = SD 3k + VHJIAMNCD = VH DFE − VI AEM − VJ NFC V = VS ABCD Đặt d ( I , ( ABCD ) ) d ( S , ( ABCD ) ) S AEM = S NFC = S S = S ABCD h = d ( S , ( ABCD ) ) và , ta có IA k = = SA k + Thay vào ta VHJIAMNCD Theo giả thiết ta có k= 3k k = 21k + 25k V 9  = h  S ÷− h S 3k + k + ( )( ) 3k +   k +1 VHJIAMNCD 21k + 25k 13 13 = = V 20 nên ta có phương trình ( 3k + 1) ( k + 1) 20 , giải phương trình Câu 117 Cho tứ diện ABCD tích V , gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ V V 4V 4V A 27 B C 27 D Hướng dẫn giải Chọn B Trang 68/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi E , F , I trung điểm đoạn thẳng BC , CD , BD VAMNP 8 = ⇒ VAMNP = VAEFI = V 9 Ta có VAEFI 11 1 V VMNPQ = d ( Q, ( MNP ) ) S MNP = d ( A, ( MNP ) ) S MNP = d ( Q, ( MNP ) ) S MNP = VAMNP = 32 Câu 118 Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = 2a AD = 4a Tính theo a thể tích V khối tứ diện · · · = CAD = DAB = 60° ABCD biết BAC A V = a 3 B V = a C V = a Hướng dẫn giải D V = 2 a Chọn D ′ AB = AD′ = AC = 2a ′ ′ Trên cạnh AB lấy điểm B ; cạnh AB lấy điểm D cho Gọi V1 thể tích tứ diện A.B′CD′; V2 thể tích tứ diện A.BCD Khi tam giác AB′C; ACD′; AB′D′ cạnh 2a suy tam giác B′CD′ đều, cạnh 2a Tứ diện AB′CD′ cạnh 2a nên tích   2 11 3  3 ÷ =  2a.2a ÷  ( 2a ) −  2a ÷ ÷ 2 3 2 ÷ ÷ V1 = S ∆B′CD′ AH = a   3  ÷  3 V1 AB′ AD′ 1 = = = Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có V2 AB AD 3 ⇒ V2 = 3V1 = 2a Câu 119 Cho khối chóp S ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD 1 V= V= V= V= 12 A B C D Hướng dẫn giải Trang 69/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Chọn A VS EBD SE.SB.SD SE 2 1 = = ⇒ VS EBD = VS CBD = VS ABCD = VS ABCD = V SC SB SD SC 3 3 Ta có S CBD - Câu 120 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi A′ điểm cạnh SA cho SA′ = SA Mặt phẳng ( P ) qua A′ song song với ( ABCD ) cắt SB , SC , SD B′ , C ′ , D′ Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: 37 27 27 A 98 B 37 C 19 D 87 Hướng dẫn giải Chọn B VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '   27 = = ÷ = SA SB SC   64 Ta có: VS ABC VS A ' B ' C ' 27 VS D ' B ' C ' 27 = = Do VABC A ' B ' C ' 37 ; tương tự VDBC D ' B ' C ' 37 Theo tính chất dãy tỉ số suy ra: VS A ' B ' C ' V VS A ' B ' C ' + VS D ' B ' C ' 27 = S D ' B ' C ' = = VABC A ' B ' C ' VDBC D ' B ' C ' VABC A ' B ' C ' + VDBC D ' B ' C ' 37 Trang 70/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 121 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích V Gọi I trọng tâm tam giác SBD Một mặt phẳng chứa AI song song với BD cắt cạnh SB, SC , SD B′, C ′, D′ Khi thể tích khối chóp S AB′C ′D′ bằng: V A V B 27 V C V D 18 Hướng dẫn giải Chọn C SB′ SD′ SI = = = SB SD SO Ta có SC ' CA OI SC ' SC ' =1⇒ = ⇒ = C ' C AO IS C ' C SC Mà VS AB′D′ = V  S ABD ⇒ ⇒ VS AB′C ′D′ = V VS B′C ′D′ = =  VS BCD 9 k= V1 3 = V2 Câu 122 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh A′B′ BC Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích V1 phần chứa đỉnh A, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số V 55 37 A 89 B 48 C D Trang 71/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H = AB ∩ DN ; MH cắt B ' B K , cắt A ' A S ; SD cắt A ' D ' E Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME Phần đa diện chứa A tích là: V1 = VS ADH − VS A ' EM − VK BNH Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA = BH ; AH = A ' M ; AD = A ' E SA ' = B ' K = A' A SA ' = ; KB = 3 Đặt độ dài cạnh hình lập phương thì: 1 1 VS ADH = SA AD AH = 1 + ÷.1.2 = 6 3 Ta có: 1 1 VS ADH = VK BNH = VS ADH = 64 144 ; 18 1 55 − − = Vậy phần đa diện chứa A tích là: 144 18 144 55 89 13 − = 144 144 Suy phần đa diện khơng chứa A tích là: Câu 123 Cho tứ diện ABCD có M , N , P thuộc cạnh AB, BC , CD cho VS A ' EM = MA = MB, NB = NC , PC = PD Mặt phẳng ( MNP ) chia tứ diện thành hai phần Gọi T tỉ số thể tích phần nhỏ chia phần lớn Giá trị T bằng? 19 26 13 25 A 26 B 45 C 25 D 43 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt V = VABCD , V1 = VBDMNPQ , V2 = VACMNPQ MA NB PC QD QD =1⇒ = MB NC PD QA QA V2 = VACMNPQ = VC MNP + VC MPQ + VC AQM VCMNP CN CP 2 VBCDM BM V 1 V = = = = = ⇒ CMNP = = ⇒ VCMNP = VCMBD CB CD 3 ; VBCDA BA VABCD 9 Q = ( MNP ) ∩ AD ⇒ Trang 72/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A SCPQ = VAMCQ Khối Đa Diện - Hình Học 12 2 2 V SCDQ = S ACD = S ACD ⇒ VMCPQ = VMACD = VABCD = 3 15 15 15 15 ; AM AQ 2V = = ⇒ VAMCQ = VABCD AB AD 5 V V V 2V 26V 19V 26 V2 = + + = ⇒ V1 = ⇒ = 15 45 45 V1 19 Suy ra: Câu 124 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′ , B′ , C ′ , D′ trung điểm SA , SB , SC , SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A′B′C ′D′ S ABCD là: 1 1 A B C 16 D Hướng dẫn giải Chọn B = Xét hình chóp S.ABC VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 = = ⇒ VS A ' B ' C ' = VS ABC VS ABC SA SB SC 8 VS A ' C ' D ' = VS ACD Tương tự: VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Câu 125 Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đối vng góc; SA = a , SB = 2a , SC = 3a Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , SAB , SBC , SCA Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a 2a A 27 a3 B 27 2a C Hướng dẫn giải a3 D Chọn B Trang 73/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi E , F , K trung điểm SB , BC , CS VS ABC = SA.SB.SC = a Ta có: h = SA Gọi h chiều cao từ đỉnh P MNPQ 2 4 1 MN = EF MQ = FK ⇒ S MNQ = S EFK = S SBC = S SBC 3 9 Mặt khác ; V 1 1 a3 VMNPQ = h.S MNQ = SA SSBC = S ABC = 3 27 27 Câu 126 Cho tứ diện ABCD cạnh Xét điểm M cạnh DC mà DM = DC Thể tích tứ diện ABMD A V= 12 B V= 12 V= C Hướng dẫn giải D V= 48 Chọn C VABCD = 12 ABCD tứ diện đều, cạnh nên VDABM DM 1 2 = = ⇒ VDABM = = V BC 4 12 48 DABC Ta có: Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD // BC AD = BC Kết luận sau đúng? V = 2VS ABC V = 4VS ABC V = 6VS ABC A S ABCD B S ABCD C S ABCD D VS ABCD = 3VS ABC Hướng dẫn giải Chọn D Trang 74/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 S ∆ABC = S ABCD ⇒ VS ABC = VS ABCD 3 Ta có S ABCD Câu 128 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D ; N trung điểm SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 7 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt V1 = VSABIKN V → =?  V2 V2 = VNBCDIK a 6 VS ABCD = a = a * 1 SO 1a 6 VN BMC = NH S∆BMC = S ∆BMC = a.2a = a 3 12 * MK → = MN * Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC VM DIK MD MI MK 1 = = = V MC MB MN 2 M CBN * 5 6 → V2 = VM CBN − VM DIK = VM CBN = a = a 6 12 72 Trang 75/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a V 6 7 → V1 = VS ABCD − V2 = a − a = a → = 72 = 72 72 V2 a 72 Câu 129 Cho khối chóp S ABC ; M N trung điểm cạnh SA, SB; thể tích khối chóp S MNC a Thể tích khối chóp S ABC 3 3 A a B 12a C 8a D 4a Hướng dẫn giải Chọn D Theo cơng thức tính tỷ số thể tích VS MNC SM SN = = VS ABC SA.SB Câu 130 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N theo thứ tự trung điểm VS CDMN SA SB Tính tỉ số thể tích VS CDAB là: A B C Hướng dẫn giải D Chọn D Phân tích: S M N A D B C Ta thấy việc so sánh ln thể tích hai khối trực tiếp khó khăn ta chia sau: S.MNCD = S.MCD + S.MNC S.ABCD = SACD + S.ABC Khi ta có ( ( ) ) d M ;( SCD ) VSMCD 1 = = ⇔ VSMCD = VSABCD d A ;( SCD ) VSACD ( chung diện tích đáy SCD ) VSMNC SSMN 1 = = ⇒ VSMNC = VSABCD Ta có VSABC SSAB  1 VSMNCD =  + ÷VSABCD = VSABCD  8 Từ suy Trang 76/76 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 76 ... ABC , M trung điểm cạnh SA Tỉ số thể tích khối chóp S MBC thể tích khối chóp S ABC 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Theo cơng thức tính thể tích tỷ số thể tích VS MBC SM = = VS ABC SA... VS ABCD = 8  Chú ý: Có thể tách khối S MNPQ làm khối nhỏ sử dụng cơng thức tỷ số thể tích Câu 21 Cho khối chóp S ABC Gọi A′ , B′ trung điểm SA SB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A′B′C... Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN ; MP; MQ Tỉ số thể tích VMIJK VMNPQ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Trong trường hợp áp dụng cơng thức tỉ lệ thể tích hình chóp tam giác: VMIJK MI MJ MK 1