Phần 2 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng, số phức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1NGUYEN HAM - TICH PHAN VA UNG DUNG $1 NGUYEN HAM
A KIEN THUC CAN BAN
I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu Ff{x) = Í(x) với mọi x e K
Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + € cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
Trang 2II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số
Nếu II = F(u) + C vàu = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Jf(u(x))w(x) dx = F(u(x)) + C
Hệ quả: [f(ax + b)dx : F(ax + b) + C (vdia z0) 2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
ju(x)v'(x)dx = u(x)v(x) Jư(x)v(x)dx
hay Judv = UV - [du
B PHUONG PHAP GIAI BAI TAP 1 64 Trong các cặp hàm số dưới đây; hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? ⁄ sS/ eR IS - ‘ & geteed be ox f A a)e * và -e `; b) sin2x và sinˆx ; €)|1 |e` và k fer \ X/ x) Gjiai a) Ta cé (e*)' = -e * và (=e *J = e * nên e và ~e * là nguyên hàm của nhau * YX, ˆ ˆ so ` ˆ ^ ` ` ˆ b) (sin*x)' = 2sinxcosx = sin2x nén sin*x là một nguyên hàm của sin2x \ ' DẦU C) ụ “er = = e* + (y ve = ì =) Ko \ x J x" \ xX \ X, 2 P BY yy oe we Ga ng: nên Ệ ~ } là một nguyên hàm của ụ V0 x x Tim nguyén ham của các hàm số sau: a) fx) = xi 41 ; b) fax) = z1 ; c) f(x) = -;-; z — Vx c` sin” x.cos’ x d) f(x) = sin5x.cos3x ; c) fix) = tan®x ; g) f(x) = 0 * h) fx) = —— (1+ x) ~ 2x Gjiat 1 ờ 2 1 ! 3 5 , To og: a) fix)= 74%, a x*pxS 4x Foo [f(x)dx = “x | 66 t xi + € ¬— 5 7 2 xí x3 x? la) 9\* 2 es 9» , 2
b) fix) = (?) —0-» [f(x)dx= Mile diế”” = 2 _+ = a me!
e In? e`(ln2- 1) e* e*(ln2- 1)
e
Trang 4c) [xsin (2x + 1)dx d) fa -x)cos x¢x u = In(1 +x) Dat A) đa, "HỆ fx In( (1+ x)dx = x 2 x2 In(1 + x) - 5 Íx-!*ca¡J® 2 2 x+]1 2 2 na +Xx)— 3S =x a + C 2 1 x x = —(x?- 1)In(1 9% Mn(1 + x) - —+>~+Ê 4 tt b) Đặt Nà + 2x -1 > {eee d v=e* Í(= + 2x - 1) eXdx = (x? + 2x — 1)e*= 2 [(x +1) e*dx Non +1 th Đặt dv= v =e"
Suy ra [(x+ e*dx = (x + l)e* - Íe*dx = xe" + C
Vậy fle ae + 2x — 1)e* — 2xe* + C = (x? - 1)e*+ C du = dx
=X
c) Dat i dv = sin(2x + 1)dx = v= F Hườa +1) ~1
[xsin (2x +1)dx = > cos(2x +1) + 5 feos (2x + 1)dx
= —a cos(2x +1)+ + sin(2x +41)+C
u=l-x th
=>
dv = cosxdx v = sinx
d) Dat’
Trang 52 Tính các nguyên hàm các hàm số sau:
a) {a 3x)e “*dx b) fxin(2 x )dx
Ẳ) [x cos? xdx d) fe* sin 2xdx
3 Bang cach bién doi lugng ide hay tinh:
a) feos? xdx ; b) fsin x cos 2x.sin 7xdx ; c) {(sin® x + cos® x dx
§2 TICH PHAN
A KIEN THUC CAN BAN
1 Tich phan va tinh chat a)
b)
Dinh nghia
Cho f(x) la hàm số liên tục trên đoạn [a; bị Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b}
Trang 62 Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Định li 1: Cho ham sé f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giá sử hàm số x = 0(†) có đạo hàm liên tục trên đoạn (a; ð] sao cho y(«) = a, ~(B) = b
và a < o(t) <b với i te [a: 0Ì Khi đó: i x)dx = Hol )ø(t)dt
Định lí 2: Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trân [a; b] sao cho ơ < u(x) < B, Vx e [a; b]
Trang 11' i } ] 1 Ì xu x)” dx = lu u)u du fx(u’ u”}du =- uous | 6 7 42 {} a 1) idu dx bi yi Da Pat " a | „šñ dv (1) x)'dx V 1 x 6 xi -xẾÍ 4? (oxy) 1 5 xX x 6 x fxa x) dx= | fa x) dx = | 6 6 42 | 42 0 lo a l0 BÀI TẬP LÀM THÊM Định các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số a) kủ x)'"dx ; b) le 1dx; e) Ee?h : đ) fv ~x dx I ) 0 1 Tình các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phản #72 In 3 1 g a) [xsin2xdx > b) [ xe PX dx | €) fin (3x + 1)dx; d) fin? xdx Ụ 0 0 Cho ham sé f lién tục trên [a; bị Chứng minh rang: [ftsinxidx = [ficosxidx
§3 UNG DUNG CUA TICH PHAN TRONG HINH HOC
A KIEN THUC CAN BAN
1 Dién tich hinh thang cong
Cho f(x) liên tực trên [a; b]; diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
b
y =f(x), y = 0, x = a, x = b tính theo công thức: S = [t(x)ax
a
2 Diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C,) và (C;) có phương trình
y = f;(%), y = fa(x) và các đường thang x = a; x = b (voi f,(x) < f;(x) Vx c {a; b]
b
có diện tích: S = { tp (x) - f,(x)]dx
a
3 Thé tich hinh xoay tron
Thể tích hình xoay tròn do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x);
trục Ox, các đường thẳng x = a; x = b quay quanh Ox là:
Trang 12i) V= x J[f(x) Ï dx;
a
b
ii) 09 > g(x) thi V = x [[f?(x) - gỂ (x) Jax
'B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f;(x), y = fạ(x), x = a, x = b là:
S= J#(«)-5(x)dx (1)
Để bỏ giá trị tuyệt đối trong (1) ta thực hiện một trong hai cách:
:Cách 1: Xét dấu f(x) — f;(x) trên [a; b]
Trang 13Tinh fi n xdx { ju -Inx jdu- ax lav dx | vox * Suy ra fin xdx = xinx- fax =xInx-x#C Đặt Vậy một nguyên hàm của v = lnx là F(x) = xÌnx - x _ 1
Do đó S= xInx| + (2x-xÌnxj = : +2e-e-2= - +e-2(dvd) e ‡ e e c) Phuong trinh hoanh d6 giao diém cua hai dudng cong là: x=3 (= 6)! = 6x =x co x! 9x 1809 | x =6 6 6 Vậy 5 = Ít -6} -(6x x” Jax [2(x’ -9x+ 18) = 9 (dvdt) 3 3
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = xỶ + 1, tiếp tuyến ' với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy Gjiai Ta có M(2; 5) c (C) y'=2x>y(2) = 4 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(2; 5) là y - 5 = 4(x - 2) c> y = 4x~ 3 2 2 Điện tích cần tìm là: S = lỗ +1-4x+ 3x = fie’ ~4x+ 4dx 0 0 8 2 = fox 9)2dx ~ 1 (x2)! = 8 cavaty, g 3 ọ 3 2
Parabol y = 2 chia hình tròn có tam tai géc toa dd, ban kinh 2V¥2
thành hai phần Tìm tỉ số diện tích của chúng Gidi Phương trình đường tròn tâm O bán kính 2/2 là: (C): x? + yŸ = 8 Tung độ giao điểm của (C) va (P) 1a: ly = ~4 (loai) |y =2 y +2y-8=0<> y=2ox=t2
Goi S, 1a diện tích giới hạn bởi (C) va
Trang 15OM = Ro Osa: wok -01 Gọi V là khôi tròn xoay thủ được khi quay V tam giác đó Xung quanh trục Ox a2 Tình thể tích của V theo ở và h bi Vim sao cho the tich của V lớn nhất Gidi ea CÀ a) Taco OP = OMI.cosử = R.cosu UY PM = OM.sing = Rsinw , Miltcosu; Rsinw) Phuong trinh dugng thang OM: y = (tana).x Thẻ tích của V là: Hoe su 3 dt từng R° Ven { x’tan®udx = ntanZa ~ = * (cosa — cosa) 3], 3 | Ị j \ H a i R : my 5 bj) Dat t = cosa -> te j= 1) vi lace |0; -||,ta có Vẽ a ft fh 2} te’ 3h : [ ] R 4 , ey | [2 Vie (1-30); Ve0c0] Y 3 ] IL= - ~~ (loại) | V3 ( \ 9 fs x3 Vay maxVia) = maxVit)= Vep| t = L | 2v3nl Sâu ‘ a \ V3 } 27 1 1 (trong d6 cosu = ~= hay a = arccos 7 ) V3 vả
C BAI TAP LAM THEM
1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
ayx=0,x=1l,y =0,y = 5x! + 3x? + 3; bby=x’+1,x+y=3;
Trang 16- Hướng dẫn: V = x [(cos* x+sin" x) 4 x = a —;x = 1 Tinh thé tich khéi tron xoay tao nén do ta quay miền D 2 quanh truc Ox x 4 2 - Ị ees dx = ot 5 nr 2
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên Lan ta quay hinh (IJ) quiarh tric .- Ơx với (H) là hình được giới hạn bởi các đường:
78
y=0;y= Veos°x + sin®x ; x = 0; x= 5 j 5n?
Đáp sé: V = — e 16
Gọi miễn được giới hạn bởi các đường: y = 0 và y = 2x - x là D Tíah thé
tích vật thể được tạo thành do ta quay D
a) quanh trục Ox; b) quanh true Oy 2 z _ 2 2 — 16x Nướng dân: a) Vì = as ~X ) dx = +i 1 2 =—=- b) V2 = 2 {(x3 - “xt) dy = = (Véi x =1- J1- -y, x¿=1 + V1-y) 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hith y=xe" phẳng S giới hạn bởi các đường: y=0 (0<x<1) x=1 2 Dap số: V = a sea = ale" - 1) ˆ
ON TAP CHUONG III
Trang 20nx * n Suy ra fx sin xdx = -xcos x\, + feos xdx = 1+ sin X|, =7 0 0 gỗ Vậy [a+ sinay dx = + or 7 Xét hình phẳng D giới hạn bởi y = 2V1-x” và y = 2(1-x) a) Tính diện tích hình D b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành y Gjidi 2 y20 Tacóy=2v]-x” 4, y? x + —=]
Phương trình hoành độ giao điểm của 1 Of Ị x
Trang 21BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM He ] é : 1 Tình E= , két qua là: 3 vl X "1 ` {fy ¬ 2 3 (A) (B) Cv1- x (C).-2V1-x +€ (D) -_=— + v]- x N] = 1 1 ee T ra lo: a = fa -x) ?dx =~2(1~ x)? +C=-2v1-x +C Chon (C) vl-x l ‹ Tính J ve nde, kết quả sai là: vx (A), 2°14 (B) 2(2* -1) +C (C) 212° 414 C (D) 2“ +C
T ra loi: Dat u = Vx => u’ = x => dx = 2udu
Trang 22hị T + conte « Leindal Trả lời: [(cos? x - sin? x) dx = feos 2xdx = san 2x =0 0 0 0 sin? xdx Chọn (C) O ey | z 2 => feos? xdx = 0 5 Dién tich hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: a) y = x va y = x° bang: 1 (A) 0 (B) -4 (C) tr (D) 2 b) y =x + sinx và y = x (0 < x < 2n) bằng: (A)- 4 (B) 4 (C) 0 (D) 1 Trả lời: 4 6 1 a)S= lD -x°) dx -(5-¥] 2x n 2x b)S= Jin xÌdx = [sin xdx + [(-sin x)dx 0 0 n = = Chon (C) = -C0§ x\5 + cos|"" =4 Chọn (B)
6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = vx và Y = X quay xuin£ quanh
Trang 23CRuang VV SO PHUC §1 SỐ PHỨC A KIÊN THỨC CĂN BẢN 1 Sối:i=-†1 2 Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bị, trong đó a, b e %, iŸ = -1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z Tập hợp các số phức ki hiéu 1a C 3 Số phức bằng nhau a+bi=c+dica=cvab=d 4 Biểu diễn hình học số phức Điểm Mị(a; b) trong hệ tọa độ vuông góc xOy được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi 5 Môđun của số phức z=a+bithi lz! = Va? +b? 6 Số phức liên hợp Số phức z' = z = a- bi được gọi là số phức liên hợp của z = a + bi Chú ý: z =z;|z | = lzl
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 2486 ` “ 3 ) Gx-2)+Qy+Diek+ y-y-sie 257 2 SXtẻ 1= a) (8x — 2) + + li = (x + 1)-(y - 5)i > y y 2y +1=-(y -5) _& 3 a be 1-2x = V5 = b) (1 - 2x) -iV3 = 5 +(1- 3y) © TENS 2 1-3y = -V3 y= 1+ v/3 c) (2x + y) + (2y — x)i = (x — 2y + 3) + (y + 2x 4+ l)I 2x+y=x-2y+3 x+3y=3 x =0 => pe Tai = tố Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng -2 b) Phần ảo của z bằng 3
c) Phan thực của z thuộc khoảng (-1; 2)
d) Phan ảo của z thuộc đoạn [1; 3]
Trang 254 5 Tính Lzl với: a)z= 2+13; b)z= V3 — 31; c)z = —5; d)z=iV3 điưủ Ap dung la + bil = Va? +b? ay lz! = ý 9) t(/3#* = V7 : b) [zl = v2" +(-3)* = V11; (5)? 2 d) ial = ViV3)? = v3 c)lz| = Vi-5)? =5 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a)j]zÌ= 1; b)lz|Ì< 1; œ1<lz| <9; d)|z|= 1 va phan ảo của z bang 1 Gjiai Gia suz=xt+tyi a) |zl=leox+y bang 1
b) [zi < 1 <> x* + y* < 1 Tap hop diém 1a hình tròn kể cả bién tam O
ban kinh bang 1
c) va d) Tap hop diém 1a cac hinh sau:
1 Tập hợp điểm là đường tròn tâm O bán kính y V ngeesnsnrnrnsiD inyrssnansnsrnsaee X O[ 1 x ce) ĐT 6 Tìm Z, biết: a)z=1-iV2; b)z=-V2 +iv3; ez=5; d) z= Ti Gjidi a)z=1+i⁄2; b)Z=-V2 -iV3; c) Z# =Õ; d) # = -ïi _ BÀI TẬP LÀM THÊM Tim x, y © % thỏa: a) 3x —- 1+ (3 - 2y)i = 2 - 3x - 3yi
b)x+y-3 + (2x — yi = 3x - 2y - (2y + L)i
2 Tính môdun của z biết:
a)z=3- 2i b)z = -3i c)z2=5
3 Tim tap hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa |z| < 2 và phần ảo của z thuộc [—1; 1]
Trang 26§2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
A KIEN THUC CAN BAN
(a + bi) + (c + di) = (a+c)+(b+d)i (a + bi) — (c + di) = (a—c) + (b-d)i (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + be)i B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 — 5i) + (2 + 41) b) (-2 — 3i) + (-1 - Ti) c) (4 + 3i) — (5 — 7i) đ) (2 - 3) - (5 - 41)
Gjidi
a) (3 — 51) + (2 + 41) =5-i b) (-2 — 3i) + (-1 - 7i) =-3 ~ 10 c) (4 + 3i) — (5 —7i) = -1 + 101 đ) (2 - 3i) - (5 - 4i) = -ứ + i Tinh a + B, a — B vai:
a) a = 3, B = 21 b)a=1- 2i, B = Gi
c) a = 5i, B = -7i d)a = 15, B =4 - 2i
Gjidi
a)œ+R=3+2i,œ-B=3- 2i; bhatBP=1+4i;a-fP=1 - 81;
c)a+ PB = —-2i, a — B = 12i; d)œơ+B=19-2i;œ-B= 11+ 2 3 Thực hiện các phép tính sau: a) (3 - 212 - 3i) b) (—1 +iX3 +7) c) 5(4 + 3i) d) (-2 — 5i).4i Gjidi a) (3 — 2iX2 — 3i) = 6 + Gi? - 9i - 4i = -13i b) (-1 + i3 + 7i) = -3 + 7i? - 7i + 3i = —10 — 4i c) 5(4 + 3i) = 20 + 15i
d) (-2 — 5i)4i = -8i - 20i? = 20 - 8i
Tinh i’, i*, i> Néu cach tinh i" véi n 1a một số tự nhiên tùy ý Gjidi Ta c6 i® = i?.i = -i; i* = (i?)? = (-1)? = 1 P=itizi Lấy n chia cho 4: n = 4k +r,0<r<3 yh = ik = Grit) = it
*Néur =Othii" =1 *Néur=1 thi? =i
* Néur = 2 thi i® = i? =-1 *Néur=3thi? =i? = -i
5 Tinh: a) (2 + 3i)? b) (2 + 3i)°
Trang 27.„
đidải
Ap dung các hằng dang thức đã biết
a)(2+3i)/2= 4+ 12i + (i)” = =5 + 19i b) (2 + 31) = 8 + 3.4.31 + 3.2131)" + (31) = 8 + 361 — 54 - 271 = -46 + 91 C BAI TAP LAM THEM 1 Chứng mình rằng: 2, +2, = Z +2; Z2, = 2.2 2 Tinh: aA)(4 — 51)”; b)(3 + 21)”; c)(1+i)°; đ)(1— ¡)”"? 3 Chứng minh rằng: a) lzài — lz„l < lz, + z2l ` lzạl + lest b) |lz,;) — lasil < la; -— 221 (với z¡, z¿ là các số phức) §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC
A KIEN THUC CAN BAN
Trang 28a-bi a b_ Ap dungiz sas th be arb ate be a) 1-1 _ 1-211 z 1+2i 5 5 5 2; by 2 J2 -3i V2 +3 11 11 1 42,3, jet ou iv , ab SNE 5B, 5t+ti/3 52 +(V3)2 28 28 3 Thực hiện các phép tính sau: a) 9i(3 + 1)(2 + 4i); by G+ ir eir” ~9+1 c)3 + 2i+(6 + i5 +1); a aaj ~ 224 3+ 61 Gjidi a) 2i(3 + iN 2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i bị (+Đ@2U” (208) _ 16( 2-1) 32 16, -8+Ï 24) 5 5 5 c)3 + 21+ (64+ i1)5 + i) = 3 4+ 21 + 29 + 11i = 32 + lôi Ai 5 +4i)(3-6 a4—ai+ Ot 3+ 6i 4 4 _ 3p OP 4VG-6) 45 =4-3i+ 39 18,_ [4 *)- la: Bhi - - 219 153, 45 45 45 45 45 4B 4 Giải các phương trình sau: a) (3 — 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 31; b) (1 + 8i2 - (2 + Si) = (24 12; c) A + (2-31) - đi = 5 - Qi Gjidi a) (3 - 2i)z + (4+ 5i) = 7 + 81> (3 - Qi)z = 74+ 81-4 - B5isoze Tai =] 2-41
b) (1 + 3idz — (2 + 5i) = (2 + i)z <> (1 + Bila — (2 + ie = 2 + Bi
Trang 29C BÀI TẬP LÀM THÊM 1 Chứng mình rằng: ¬ | l| li a) )) ty J % 224 bk, 2 Tìm nghịch đảo của số phức sau ay J3 - 3ï b) -i c) (2+ V3 i) 3 Giai cac phuong trinh a) (2 + ð1)z = (3 + 21/(—1 + 31); b) 2iz + 31-1 = 21+ 3- (1+ 3i)z
§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
A KIEN THUC CAN BAN
1 Căn bac hai của số thực a < 0 là + ¡ (la|
2 Phương trình bậc hai với hệ số thực ax” + bx +c =0 vớia,b,cc3,az0 Xét A = bỂ - 4ac Nếu % = 0 phương trình có nghiệm kép x = >) 2a - ¬ -b‡ VA Néu A> 0 phương trình có hai nghiệm thực xị¿ = ta a nee -b+i(A| Nêu * < 0 phương trình có hai nghiệm phức x;¿ = -—- aa a
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Tìin các cần bậc hai phức của các số sau: ~7; -8; -12; -20; -121
Gjidi
Căn bậc hai phức của các số: -7; =8; -12; -20; -121 lan luot 1a: tì V7 ; +9i V2; +9¡ V3; +2i V5; 411i
Trang 30C b) A =-47 = 477? Phuong trình có hai nghiệm phức z¡ ; = +4 t4 c) A=-171 = 171
Phuong trinh c6é hai nghiém phic 2,» = a tt Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)z“+z?—-6=0 b)z + 72” + 10 =0
Gjidi
Trang 312 Giải các phương trình sau trên tập số phức: ax +x+l1=0 b) 3x°-x+7=0 c) 2x' + 3x*- 5 =0 d)x'+1=0 Lap phương trình bậc hai có nghiệm là: a) J3 + 2i và V3 - 2i b)2- V3i và -2- V3i ÔN TẬP CHƯƠNG IV Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình sau y (` GY b) c) Gjidt
Trang 326 8 1 -1 ĐỊ 1 9 X c) d) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1+(2- x)i b) 2x + y— 1 = (x - 2y - 5) Gjidi Apd p dung unga+ bi=c+di<> bi dio iS —_ 3x = 2y+1 8) x sợi = 8y +0 xi e Lễ ” «Ssx=l,y=]l y=2-x 2 -1=0 b)2x+y_— Ì=(x+ 2y - 5)I <2 ate <cox=-ly=3 x+2y-5=0
Chứng tỏ rằng với moi số phức z, ta luôn có phần thuc va phin do cua z không vượt quá môdun của nó
Gjidi
Giả sử z = a + bì khi đó |z| = va? + bề
Ta có lzÌ = va? +b? > va? = laÌ > a và
Trang 339 Giải các phương trình sau trên tập số phức: aJ 3 + đầ)x + (1-30) =2+ 51; b) (1 + 71)x - (5 - 21) = 6ix Gjiai a) (3 4+ Alig = (2 + 5i) — (1 — 81) = 1 4+ 81 148i (1+ 818-41) 35 20 7 Vay z= — = —— Sob | bod 344i 25 25 25 5 5 bi (44 Viz - (5 = 21) = Giz <> (4 + Tie ~ Giz = 5 - 21 KR oF et 64 +i2=5-2icoa= ~ 1 = eo gia = 0) 225 ae da 4+1 17 17 17 10 Giai các phương trình sau trên tập số phức: a) 3x" + 7x + 8= 0; b)x'-8=0; c)x‘-1= Giai a) 32° + 72+ 8= 0 có A =~47 7 +47
Vậy phương trình có hai nghiệm z¡; = —g—
b) z' - 8= 0 Dat Z = z*, ta được phương trình ZŠ - 8 = 0 z2 =18 lz - +Ÿ8 “ ly s3 <> seas af 2 BP E = +i¥8 Vay 4 = +8325, = 1178 la bon nghiém cua phuong trinh c) z-1= 09 (2? - 12? + 1) = 0 Vậy phương trình có bốn nghiệm là +1 và 3+1 Suy ra Z = + VB <> 11 Tìm hai số thực, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4 Gjiai Gia su hai số cần tìm là z¡ và z Ta c6 2, + 2» = 3, 2\22 = 4 Ro rang 4, z» la cdc nghiém của phương trình (z — z;)\(2 — 22) = 0 ‹>Z”— (Z4 + Z2)2 + Z2 =0
Vậy z¡, z¿ là các nghiệm của phương trình zŸ” - 3z + 4= 0;
A=9- 16 =- 7 Vay z¡ = 34 ivT Z¿= ——————
2 2
Trang 34BAI TAP TRAC NGHIEM
1 Số nào trong các số sau là số thực? (A) (V3 + 2i) - (V3 - 2i) (B).(2+i 5) +(2- ¡V5 ) (C).(1+¡ 3 (D) v2 +i 2 -i Trả lời: (2 + ¡5 ) + (2 - ¡J5 ) = 4 Chọn (B) 2 Số nào trong các số sau là số ảo? (A) (2 + 3i) + (2 - 3i) (B) (V2 + 3i V2 — 3) j 3 + 2i i)? D) ` (C) (2 + 2i) (0D —
Trả lời: (2 + 2i)? = 4 + 4i? + 8ï = 8i Chọn (C)
3 Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
(A) i'977 = -1; (B) i294 =i; (C),i%=1; (D).it%=- Trd loi: 2345 = 586.4 + 1 => i? = i.(i*)°** = i Chon (B)
4 Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
(A) (1 + i)® = -16 (B) (1 + i)® = 16i (C) (1 + i)® = 16 (D) (1 + i)® = -16i Trả lời: (1 + i)? = 1+ i? + 2i = 2i; (1 + i)’ = (2i)” = -4
=> (1+ i)* =(-4)* = 16 Chon (C)
5 Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của m6, trmg
các kết luận sau, kết luận nào là đúng?
(A) z c R; (B).|z| = 1; (C) z là một số ảo; (D).|zÌ = —1
Trả lời: # « È = 5x 1 = Íz|?= 1= lz| = 1 Chọn (B)
Zz
6 Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?
(A) Môđun của số phức z là một số thực (B) Môđun của số phức z là một số phức
(C) Môđun của số phức z là một số thực dương (D) Môdun của số phức z là một số thực không âm
Trd loi: z = 0 thi |z| = 0 Chon (C)
Trang 35ÔN TẬP CUỐI NĂM
1 Cho hàm số f(x) = ax” - 2(a + 1)x +a + 2(a z0)
a) Chứng tỏ rằng phương trinh f(x) = 0 luôn có nghiệm thực Tính các nghiệm đó
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thi cua S va P theo a Gidi a) Vi a + (-2a - 2) + a + 2 = O nén phương trình fx) = 0 luôn có hai nghiệm thực x, = 1; x2 = ca a b) S=x, + XQ = BaD) mg tee sẽ a+2 a a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S = 2 + 2 a Tập xác định: R \ {0} S'=- z < 0, Va 0 nén ham sé nghich biến trên từng khoảng (—œ; 0) a và (0; +2) a 00 0 +00 S' _ _ 5 2 +0 —œ oo 2
Tiệm cận đứng a = 0; tiệm cận ngang S = 2 8 Giao của (C¡):Š =2 + 2 véi Oa:S=O>a=-l
a
Đô thị (C¡): S = 2 + 2 là đường nét liền a
Tịnh tiến dé thị (C;) song song với trục tung xuống dưới 1 đơn vị ta được đô thị
(C¿):Pz1+ £ (nét đứt)
a
2 Cho hàm số y = ~ 2 x” + (a — 1)x? + (a + 3)x — 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0,
X=-l,x= 1
ostqiditicn12 OT
Trang 3698 Gjiat a) Khi a = 0 ta c6 y= -2x'-x' + 3x-4 TXD: D=R lim y = +œ, lim y = — xe>.r xe>+x 7 , 2 , x=l (y=-z) y'=-X-2x+3;y =Ũc© 3 x = -3; (y = -13) +0 x —00 —3 y' ~ 0 + 1 0 y we _7 13_ TỶ C3 ee b) Diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 1 S = fbx? x? 43x da = {5x +x 3x + 4}ax -1 3 3 2 1 = l2 + + va a a + x = = (dvdt) -1 Cho hàm số y = x* + ax” + bx + 1
a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 2) va B(-2; -1) b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với cíc giá trị
tìm được của a và b
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành
Gjidi
a) Dé dé thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 2) và B(-2; —1), ta ›hải có
Trang 37Bảng biến thiên 1 1 —~œ ~ >> C X 3 +x y + 0 _ 0 + y 2— 22 _————# _ —— ~ 27 c) Thé tich vat thể tròn xoay cần tìm là: 1 1 Ven foe +x? —-x41)?dx =2 fox’ +2x° — x! + 3x? -2x + l)dx 134 105 H (x" x? x” 4 i "7 * 3 5 °* —-x° +x 4 Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s(t) = ttt- t+ f 3t, 4 2
trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét
Trang 38b) Khi a = T,b=ltac6y=x^= xế +1 TXD: D=R y' = 4x” — x = x(4x? — 1) x=0 (y=1) y=0c© 1 15 lim y = +0 x to Bang bién thién x —œ _ 0 5 +00 y - 0 0 + y we! = Sa +00 c) Ta có y= 1 ©xÝ - sx +1=lexÍ- x =0 1 x=0 =xG2- 5)=0e | _ ie Ta c6é ba tiép diém A(0; 1), B(—=; 1), C(- 1) si si
*- Tại A(0; 1) ta có y0) = 0
Phương trình tiếp ‘wen tại A:y-1=0«€Ầy=1
1 1
* Tai B(—=; — 1) ta có y(->) = — a"
Phương trình tiếp tuyến tại B: y - 1 = -*ự- -LJesy Some Ễ
4 42 2 2
* Tại CC:—~; 1) ta có y'——~- =— 1
V2’ V2 V2
1 1 1 1
trình tiế ến tại C: y— 1=—-—(Xx+ -—)©y=—-—%X+ =
Phương p tuyến tại C: y % 5 y 1? 2
6 Cho hàm số y= —X=2_,
x+m-]l
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của dé thị (C) tại điểm M có hoinlh độ
az-l
Trang 39e) Tính khoảng cách từ điểm I(-1; 1) đến tiếp tuyến d Xác định a để khoảng cách đó là lớn nhất Gjidi x-2 a) Khi m = 2 ta có y= ———- x+1 TXD: D= RB \ {-1) 3 # ————y 2 0, Vx #—1 ; (x +1)? Tiệm cận đứng: x = -1; tiệm cận ngang: y = 1 Bảng biến thiên x —% =1 +œ Vy + + y +00 1 1 _ — = _
Giao điểm với trục Ox tai (2; 0); Giao điểm với trục Oy tại (0; -2); a-2 b) Với x=a >y= ——— (a#—]) y a+l s 3 và f(a) = ai
Phương trình tiếp tuyến d có dạng HT
y= —3 (yay 4 22? (a + atl 1 YW? ng *
«» (a + 1)Ÿy = 3(x-a) + (a - 2)(a + 1) /
<> 3x - (a+ 1)*y + a? - 4a-2=0 Khoảng cách từ I(-1; 1) đến d là He etd #Œ!L _ & (ap dung: A+ B>2VAB) V9+(a+1)*° = 6(a +1)? => maxh = v6 khi và chỉ khi (a + 1)* = 9 @a=-lt v3 7 Cho hàm số y = apes 2-x
a) Khao sat sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm các giao điểm của (C) và đổ thị của hàm số y = xỶ + 1 Viết
phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới
hạn bởi đô thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh
trục Ox
Trang 40đái a) TXD: D=R \ (2] , 4 y'= a x >0, Vx #2 Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 0 Bảng biến thiên x —œ 2 +00 y’ + + y +0 0 0 _” —œ _” b) Hoành độ giao điểm của (C) với đô thị hàm số y = x” + 1 là aghiệm của phương trình: ? =x?+ 1€>2=(x” + 1)(2 - x) với x z 2 2-x 2 x= © x(—x“ + 2x-1)=00 x=1 2 Ta có f`(x)= (2-x)* e x=0>ye=lva £0) = + = phương trình tiếp tuyến có dạng y = 3% +1; ®e x=ly=2vàf(1)=2 = phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2(x - 1) + 2 hay y= 2x c) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: 1 1 2 v= nf a J ax = anf dx s=4n—— 25 9 (2-x) a 1 # an - 1 - Øn (đwdt) b 2 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) f(x) = 2x” - 3x? — 12x + 1 trên đoạn | 2 3 b) fx) = x?lnx trên đoạn [1; e]
©) Ñx) = xe" trên nửa khoảng [0; +z) d) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0:3 3]